1 Universidade de São Paulo Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade LISTA 1 - Disciplina de Matemática Financeira Professora Ana Carolina Maia Monitora Pg: Paola Londero / Monitor: Álvaro Lima GABARITO 1) Qual o valor do capital que, aplicado à taxa de juros simples de 3% ao mês pelo prazo de 2 meses, produz juros no valor de $ 18.000,00? R: $ 300.000,00 Juros = P x i x n 18.000 = P x 0,03 x 2 18.000 / 0,06 = P P = $ 300.000,00 2) Um banco informa que sua taxa de juros compostos para empréstimos é de 2,5%a.m. Um cliente que tomou emprestado um valor de $20.000 teve de liquidá-lo pelo valor de $31.193,17. Qual foi o prazo do empréstimo? R: 18 FV = PV (1+ i) n 31.193,17 = 20.000 (1+0,025) n n = 18 meses 3) A quantia de $2.000 foi emprestada pelo prazo de 150 dias à taxa de juros simples de 5%a.m. Por quanto deve ser liquidada esta dívida após 99 dias se a taxa de juros simples negociada nesta data para calcular o valor da antecipação é de 4,5%a.m.? R:2.322,34. Como 150 dias / 30 dias ao mês = 5 meses, temos: Montante em 150 dias: FV = PV x (1+ i x n) FV = 2.000 x (1+ 0,05 x 5) = 2.500 No 99 dia sabemos que a taxa de antecipação é de 4,5% ao mês, assim: De 99 para 150 dias faltam 51 dias Taxa de juros ao dia: 0,045/ 30 dias = 0,0015 No 99 dia temos: FV = PV x (1+ i x n) 2.500 = PV x (1+ 0,0015 x 51) 2.500 = PV x (1,0765) PV = 2.322,34 4) Quanto deve ser aplicado hoje à taxa de juros compostos de 10% ao quadrimestre, para que se obtenha $ 3.000.000,00 daqui a 28 meses? R: R$ 1.539.474,35 28 meses / 4 = 7 quadrimestres FV = PV x (1+ i ) n 3.000.000 = PV x (1 + 0,1) 7 3.000.000 = PV x 1,9487171 3.000.000 / 1,9487171 = PV PV = R$ 1.539.474,35 5) Um produto é oferecido à vista com 12% de desconto. O seu preço para pagamento daqui um mês é de $ 90.000,00. A taxa efetiva de juros cobrada na operação com pagamento daqui um mês é? R: 13,64% ao mês Valor a vista = 90.000 - (12% x 90.000) = $79.200 PV = 79.200 / FV = 90.000 / n = 1 / PMT = 0
90.000 = 79.200 x (1 + i) 1 i= 13,64% ao mês 6) Calcular o montante acumulado ao final de 5 meses de uma aplicação financeira no valor de R$ 215.234,00 sabendo-se que a taxa de juros simples é 1,0%, 1,5%, 1,3%, 1,4% e 1,64% nos próximos cinco meses? Resolva também supondo que essas taxas sejam compostas. R: R$ 229.956,01; R$ 230.361,74 Juros Simples FV = PV x ( 1 + i1 + i2 + i3 + i4 + i5) FV = 215.234 x (1 + 0,01 + 0,015 + 0,013 + 0,014 + 0,0164) FV = 215.234 x 1,0684 FV = R$ 229.956,01 Juros Compostos FV = PV x [(1 + i1) x ( 1 + i2 ) x ( 1 + i3) x ( 1 + i4) x ( 1 + i5)] FV = 215.234 x [(1 + 0,01) x ( 1 + 0,015 ) x ( 1 + 0,013) x ( 1 + 0,014) x ( 1 + 0,0164)] FV = 215.234 x 1,070285 FV = R$ 230.361,74 7) Uma pessoa tem quatro parcelas a pagar para liquidar um financiamento: $2.000 no final de um mês; $3.000 no final do 2º mês; $5.000 no final do 3º mês; e $8.000 no final do 4º mês. Se a taxa de juros da operação é 3% ao mês, qual deve ser o valor para liquidar antecipadamente a dívida na data de hoje? R: R$ 16.453,14 VP = [2.000/(1+0,03)^1] + [3.000 / (1+0,03)^2] + [5.000 / (1+0,03)^3] + [8.000 / (1+0,03)^4] VP = $ 16.453,14 8) Qual o montante obtido em uma aplicação financeira no valor de R$ 50.000,00 pelo prazo de um ano sabendo-se que, nos primeiros 6 meses, a taxa de juros média foi de 1,5% ao mês e, nos últimos 6 meses, 1,6%. Resolver supondo taxa de juros simples e composta. R: R$ 59.300,00; R$ 60.135,16 Juros Simples FV = PV x [ 1 + (n1 x i1) + (n2 x i2)] FV = 50.000 x [ 1 + (6 x 0,015) + (6 x 0,016)] FV = 50.000 x [1,186] FV = 59.300 Juros Compostos FV = PV x [ (1 + i1)^n1 x (1 + i2)^n2] FV = 50.000 x [(1 + 0,015)^6 x (1 +0,016)^6] FV = 50.000 x 1,20270 FV = 60.135,16 9) Em quanto tempo dobra um capital aplicado à taxa de juros simples de 8% ao mês? R: 12,5 meses FV = PV x (1 + i x n) FV =2 x PV 2 x PV = PV x (1 + 0,08 x n) 2 = 1 + 0,08 x n n = 12,5 meses 10) Um imóvel foi colocado à venda pelo preço de R$ 120 mil. São oferecidas duas alternativas de pagamento: (a) R$ 10 mil entrada + 1 prestação de R$ 60 mil e outra de R$ 50 mil; (b) R$ 35 mil entrada + 1 prestação de R$ 55 mil e outra de R$ 30 mil. Qual é a melhor alternativa de pagamento sabendo-se que um fundo de renda fixa paga uma taxa de juros compostos de 1,5% ao mês? R: Preferível alternativa A. 2
3 Alternativa A Necessário utilizar o conceito de valor presente. VP = 10.000 + 60.000 / (1 + 0,015)^1 + 50.000 / (1 + 0,015)^2 VP = 10.000 + 59.113,3 + 48533,09 VP = R$ 117.646,39 Considerando que o imóvel vale R$ 120.000, o ganho será R$ 120.000 - R$ 117.646,39 Ganho de R$ 2.353,61 Alternativa B VP = 35.000 + 55.000 / (1 + 0,015)^1 + 30.000 / (1 + 0,015)^2 VP = 35.000 + 54.187,19 + 29.119,85 VP = R$ 118.307,04 Considerando que o imóvel vale R$ 120.000, o ganho será R$ 120.000 - R$ 118.307,04 Ganho de R$ 1.692,96 11) Um empréstimo de $20.000 foi obtido hoje e será liquidado em três (3) parcelas: $4.000 no final do 2º mês; $8.000 no final do 6º mês e uma parcela adicional no final do 9º mês. Se a taxa de juros contratada foi 2% ao mês, o valor da parcela adicional no final do 9º mês será de qual valor? R: R$ 10.817,44 FV = 20.000 x (1+0,02)^2 FV = 20.808 PV2 = 20.808-4.000 = 16.808 FV = 16.808 x (1+0,02)^4 FV = 18.193,52 PV3 = 18.193,52 8.000 = 10.193,52 FV = 10.193,52 x (1+0,02)^3 FV = 10.817,44 12) Um empréstimo no valor de R$ 25.000,00 para liquidação daqui a 3 meses foi concedido a uma taxa de juros de 4,5% ao mês. Ao final deste período, o tomador do empréstimo não dispondo de recursos para liquidar a dívida faz um novo empréstimo pelo prazo de 3 meses a uma taxa de juros de 5,0% ao mês. Qual o montante a ser pago e a taxa de juros média paga pelo tomador do empréstimo, sabendo-se que o empréstimo inicial foi de R$ 12.500,00? R: R$ 14.470,31; 4,7497% FV = 25.000 x (1+0,05) 3 FV = 25.000 x (1,157625) FV = R$ 14.470,31 Taxa média de juros [(1+i1)^n] x [(1+i2)^n)] ^ (1/n+n) - 1 [(1+0,045)^3] x [(1+0,05)^3)] ^ (1/6) - 1 [1,14117 x 1,157625] = 1,3210 [1,32104]^(1/6)-1 = 0,047497 13) Considere um tomador de empréstimo que deve em um banco, dois títulos: R$ 100.000,00 para pagamento em 9 meses, com uma taxa de 4,2% a.m e R$ 70.000,00 para pagamento em 6 meses, com taxa de 3,97%. Para tentar renegociar sua dívida, o devedor propõe ao banco a substituição da dívida por um pagamento único no valor de R$ 220.000 no final de 4 meses. Essa proposta é vantajosa para o tomador do empréstimo, considerando que o mesmo dispõe de recursos para o pagamento proposto? Qual o valor do montante a ser pago nas condições atuais? Qual o valor da taxa juros nas condições propostas pela renegociação? R: A renegociação é vantajosa para o tomador do empréstimo; R$233.233; i= 6,658%
Título 1: FV = 100.000 x (1+ 0,042) 9 Título 1: FV = R$ 144.814 Título 2: FV = 70.000 x (1+ 0,0397) 6 Título 2: FV = R$ 88.419 Título 1 + Título 2 = R$ 233.233 Renegociação: R$ 220.000 Renegociação < Título 1 + Título 2 (Renegociação vantajosa) 220.000 = 170.000 x (1+i) 4 1,29411765 = (1+i) 4 i = 6,658% 14) Uma empresa tem os seguintes compromissos já assumidos: $15.975,00 para pagar daqui a 1 mês; $8.820,00 para pagar daqui a 2 meses; $8.029,35 para pagar daqui a 5 meses; $5.000,00 para pagar daqui a 1 ano. Como não vai poder honrar seus compromissos nos respectivos vencimentos propõe à credora recompor a dívida de tal forma que faça três (3) pagamentos iguais, sendo o primeiro daqui a 3 meses, o segundo no final de 7 meses e o terceiro no final de 10 meses. Se a taxa de juros acertada for de 6,5%a.m., pede-se indicar o valor dos pagamentos. R: R$ 15.461,01 Os valores presentes dos compromissos assumidos devem ser iguais aos valores presentes da nova proposta, assim: 15.975/(1,065)^1+8.820/(1,065)^2+8.029,35/(1,065)^15+5.000/(1,065)^12= VF/(1,065)^3)+VF/(1,065)^7+VF/(1,065)^10 Onde VF é um valor fixo. Assim: 15.000+7.776,23+5.860,47+2;348,41=VF/1,20795+VF/1,55399+VE/1,87714 Somando o lado esquerdo e colocando VF em evidência temos: 30.985,11 = VF X (1/1,20795+1/1,55399+1/1,87714) 30.985,11 = VF X (2,00408) VF = 30.985,11 / 2,00408 VF = R$ 15.461,01 15) Os pais de três crianças decidiram efetuar um depósito hoje num fundo privado individual para seus filhos de 4, 6 e 8 anos. A expectativa é que quando cada criança chegue a idade de 18 anos, os pais depositem mais $25.000 nesse fundo privado. Dessa forma, espera-se que com 21 anos, cada criança tenha $ 100.000, considerando que o fundo manterá uma taxa de 11% ao ano. Com base nesses aspectos e eventos previstos, qual o valor que os pais devem investir agora em cada fundo privado individual para que cada criança passa sacar $ 100.000 ao completar 21 anos? R: R$11.163,39; R$13.754,41; R$16.946,81. Depósito entre 18 e 21 anos igual para todas as crianças. FV = 100.000 n = 3 (21-18anos) i = 11% 100.000 = PV x (1 + 0,11)^3 100.000 = PV x (1,367631) PV= 100.000/1,367631 = 73.119,14 R$ 73.119,14 é o que as crianças deverão ter em seus fundos quando completarem 18 anos para que em aos 21 anos tenham R$ 100.000. Como quando cada criança completar 18 anos os pais irão depositar no fundo R$ 25.000, o valor que deverá existir no fundo aos 18 anos 4
será de R$ 73.119 - R$ 25.000 = R$ 48.119. Considerando que cada criança possui uma idade diferente, três cálculos separados devem ser realizados. Criança com 4 anos FV = R$ 48.119 (73.119-25.000); i = 11%; n = 14 (18-4 anos) 48.119 = PV x (1+0,11)^14 PV= 11.163,39 Criança com 6 anos FV = R$ 48.119 (73.119-25.000); i = 11%; n = 12 (18-6 anos) 48.119 = PV x (1+0,11)^12 PV= 13.754,41 Criança com 8 anos FV = R$ 48.119 (73.119-25.000); i = 11%; n = 10 (18-8 anos) 48.119 = PV x (1+0,11)^10 PV= 16.946,81 16) Um apartamento tem seu preço fixado em $60.000. Uma pessoa adquiriu este apartamento pagando um sinal de 20% e assumindo o compromisso de pagar o saldo à taxa de juros compostos de 8%a.m.. Sabendo-se que o comprador pagará uma parcela de $20.000 após 2 meses da data da compra e $28.000 um mês após a 2ª parcela, quanto deverá pagar 9 meses após a data da compra para liquidar o financiamento? R: R$ 17.243 PV = 60.000 (-) Sinal = 12.000 Saldo = 48.000 -> 8% a.m Saldo corrigido para o 2º mês (segundo pagamento) FV = 48.000 x (1+0,08)^2 = 55.987,72 PV2= 55.987,72 20.000 = 35.987,20 Sando remanescente corrigido para o 3º mês FV = 35.987,20 x (1+0,08)^1 = 38.866,18 PV3= 38.866,18 28.000 = 10.866,18 Saldo remanescente corrigido para o 9º mês FV = 10.866,18 x (1+0,08)^6 = 17.243,26 17) Considere um investidor que conseguiu negociar 4 investimentos sucessivos. O primeiro investimento apresentava o valor nominal de $ 125.000 com taxa de juros de 1,5% ao mês durante os quatro primeiros meses. Em seguida, o investidor realiza um segundo investimento com o montante recebido, de apenas dois meses, mas com 1,8% de juros. Posteriormente, para garantir uma terceira operação de investimento, mais rentável, o investidor realiza um aporte de $ 90.000 na terceira operação, onde os juros chegariam a 2,25% a.m e durante o período 12 meses. Por fim, como a terceira operação tinha o prazo máximo de 12 meses, o investidor acordou com banco que iria retirar os $ 90.000 investidos, deixando os rendimentos e as aplicações anteriores por mais 6 meses a um juros de 2,05%. Qual o montante recebido pelo investidor na sua retirada após a quarta operação? Quais são os juros referentes a cada uma das operações? Qual a taxa média desses investimentos? R: R$233.929 (Montante); R$7.670 (J.op.1); R$4.819(J.op.2); R$69.623(J.op.3); R$26.817(J.op.4); 2,037%. 1º Operação FV = 125.000 x (1+ 0,015)^4 FV = 132.670 Juros = R$ 7.670 2º Operação FV = 132.670 x (1+ 0,018)^2 FV = 137.490 5
Juros = R$ 4.819 3º Operação FV = 227.490 x (1+ 0,0225)^12 FV = 297.113 Juros = R$ 69.623 4º Operação FV = 207.113 x (1+ 0,0205)^6 FV = 233.929 Juros = R$ 26.817 Taxa média de juros [[(1+i1)^n] x [(1+i2)^n)] x [(1+i3)^n)] x [(1+i4)^n)] ^ (1/n+n+n+n)] - 1 [[(1+0,015)^4] x [(1+0,018)^2)] x [(1+ 0,0225)^12] x [(1+ 0,0205)^6] ^ (1/24)] - 1 [[1,622548097] ^ (1/24)] - 1 i = 0,020371295 = 2,037% 18) Calcular a taxa de juros para 12 dias, 35 dias, 87 dias e 265 dias sabendo-se que a taxa de juros simples mensal é 1,75%. R: i12=0,70%; i35=2,04%; i87=5,08%; i265=15,64% i12 = 12 x 0,0005833 = 0,70%; i35 = 35 x 0,0005833 = 2,04%; i87 = 87 x 0,0005833 = 5,08%; i265 = 265 x 0,0005833 = 15,64% 19) Qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês? ia = (1 + im)^12 1 = (1,02)^12-1 = 1,2682-1 = 0,268 20) Qual a taxa anual equivalente a 0,19442% ao dia? ia = (1 + id)^360-1 = (1,0019442)^360-1 = 2,0122 1 = 1,0122 21) Qual a taxa trimestral equivalente a 47,746% em dois anos? 6 R: 26,82% a.a R: 101,22% a.a R: 5% ao trimestre it = (1 + ia)^1/8-1 = (1,47746 )^1/8-1 = 1,05-1 = 0,05 22) Qual a taxa anual equivalente a 1% á quinzena? R: 26,97%a.a ia = (1 + iq)^24-1 = (1,01)^24-1 = 1,2697-1 = 0,2697 23) Se uma taxa efetiva de juros é de 3,5%a.m., quais as taxas equivalentes ao trimestre, semestre e anual? R.: i= 10,87%a.t.;i= 22,93%a.s.;i= 51,11%a.a. it = (1 + im)^3 1 = (1,035)^3-1 = 1,1087-1 = 0,1087 is = (1 + im)^6 1 = (1,035)^6-1 = 1,2293-1 = 0,2293 ia = (1 + im)^12 1 = (1,035)^12-1 = 1,5111-1 = 0,5111 24) Qual a taxa para 183 dias, equivalente a 65% ao ano? R: 28,99% i183 = (1 + 0,65)^183/360 1 = 28,99% 25) Qual a taxa para 27 dias, equivalente a 13% ao trimestre? R: 3,73% i27 = (1 + 0,13)^27/90 1 = 3,73% Exercícios retirados: Bueno, R. de L. da S., Rangel, A. de S., Santos, J. C. de S. (2011). Matemática Financeira Moderna. São Paulo: Cengage. Broverman, S. A. (2010) Mathematics of Investiment and Credit. 5th Edition. Actex Academic Series.