Modelos e Teoremas Locais Prof. Marcus V. Americano da Costa F o Departamento de Engenharia Química Universidade Federal da Bahia Salvador-BA, 05 de janeiro de 2017.
Sumário
Introdução => Uma grande parte de sistemas reais apresenta comportamento aproximadamente linear se não houver um desvio elevado em relação a seu ponto de operação. Um dos métodos de linearização mais utilizados é baseado na aproximação de funções por série de Taylor.
Seja a função contínua y = f(x) e consideremos um pequeno desvio δx em torno de um ponto x. Nesse ponto, define-se ȳ = f( x). O desenvolvimento em série de Taylor da função em torno de x é dado por: f( x +δx) = f( x)+f ( x) δx + 1 2 f ( x) δx 2 + 1 3 f ( x) δx 3... Para pequenos valores de δx, tem-se que ȳ +δy = f( x +δx) f( x)+f ( x) δx. O modelo linearizado da função pode, então, ser representado por δy = k δx, em que k = f ( x)
Para uma função de n variáveis x 1, x 2,..., x n : y = f(x 1, x 2,...x n ). Para pequenos desvios em torno de x 1, x 2,..., x n representados por δx 1, δx 2,..., δx n, tem-se que ȳ +δy = f( x 1 +δx 1, x 2 +δx 2,..., x n +δx n ) f( x 1, x 2,..., x n )+ f x 1 ( x 1, x 2,..., x n ) δx 1 + f x 2 ( x 1, x 2,..., x n ) δx 2 +... + f x n ( x 1, x 2,..., x n ) δx n
O modelo linearizado da função pode, desse modo, ser apresentado por: em que δy = k 1 δx 1 + k 2 δx 2 +...+k n δx n k i = f x i ( x 1, x 2... x n ) Apliquemos esses resultados a sistemas dinâmicos descritos na forma de equações de estados: ẋ = f(x, u) y = g(x, u)
Suponhamos que o sistema esteja operando em um estado de equilíbrio x, de modo que x = f( x, ū) = 0 Para pequenos desvios δx, δu em torno do ponto de operação, tem-se que: x +δẋ f( x, ū)+ f f ( x, ū) δx + ( x, ū) δu x u ȳ +δy g( x, ū)+ g x g ( x, ū) δx + ( x, ū) δu u
Modelo linearizado δẋ δy = Aδx + Bδu = Cδx + Dδu A ij = f i x j ( x, ū) B ik = f i u k ( x, ū) C ej = g e x j ( x, ū) D ik = g e u k ( x, ū) G(s) = C(sI A) 1 B + D
Exemplo [ x1 x2 ] = x1 x 5 2 x1 x 2 5 + u x2 5 y = x 2
Sumário
Teorema de Hartman-Grobman Garante que a estabilidade de um ponto de equilíbrio hiperbólico é preservada quando se lineariza o sistema em torno desse ponto, de modo que o retrato de fases, na sua vizinhança, é topologicamente orbitalmente equivalente ao retrato de fases do sistema linear associado. Dois retratos de fases são topologicamente orbitalmente equivalentes quando um é uma versão distorcida do outro.
Teorema das variedades hiperbólicas Seja um sistema de equações diferenciais dx/dt = f(x), com campo vetorial f de classe r (ou seja, f é r vezes diferenciável). Seja P um ponto de equilíbrio de f e considere a matriz jacobiana calculada nesse ponto, a partir da versão linear. Os autovalores correspondentes a essa matriz podem ser separados em três grupos: σ e, σ i e σ c. Desse modo, λ σ e, se Re(λ) < 0 λ σ i, se Re(λ) > 0 λ σ c, se Re(λ) = 0 Autovetores associados a σ e => sub-espaço estável E e. Autovetores associados a σ i => sub-espaço instável E i. Autovetores associados a σ c => sub-espaço central E c.
Teorema das variedades hiperbólicas Seja um sistema dinâmico descrito por n equações diferenciais autônomas. Um conjunto S de pontos no espaço de fases n-dimensional é uma variedade invariante local se, para x 0 pertencente a esse conjunto S, a solução x(t) com condição inicial x 0 está em S para t < T, com T > 0. Se isso é válido para T, então S é uma variedade invariante.
Teorema das variedades hiperbólicas Se um ponto de equilíbrio P é hiperbólico, então a variedade estável W e e E e se tangenciam em P, assim como a variedade instável W i e E i se tangenciam em P e que, na vizinhança desse ponto, o sistema dinâmico não linear e a versão linearizada são topologicamente orbitalmente equivalentes.
Exemplo Esboce o espaço de fases do sistema: dx dt = x + e 2y 1 dy dt = y
Teorema da variedade central O Teorema estabelece que se há autovalor λ da matriz jacobiana, tal que λ σ c, então existe uma variedade central W c, invariante local, tangente ao sub-espaço E c em P. Essa variedade possui a mesma dimensão n c de E c. Entretanto, é de classe r 1 e não necessariamente única. Portanto, como há autovalor com parte real nula, não deve haver equivalência topológica em relação ao sistema linear correspondente. Isso dificulta a caracterização do comportamento assintótico em torno de P.