Dedução Natural LÓGICA APLICADA A COMPUTAÇÃO Professor: Rosalvo Ferreira de Oliveira Neto
Estrutura 1. Definições 2. Dedução Natural 3. Lista
Um dos objetivos principais da lógica é o estudo de estruturas que possam ser utilizadas na representação e dedução do conhecimento. Se, por um lado, a Lógica estabelece uma linguagem útil, ela também analisa como o conhecimento é deduzido, formalmente, a partir do conhecimento dado a priori. 04
Esse conhecimento, fornecido de antemão, é representado por um conjunto de fórmulas denominados axiomas. Os axiomas são, portanto, fórmulas às quais atribuímos um status especial de verdade básica ou a priori. 05
Argumentos Dedutivos X Argumentos Indutivos 06
Argumento Seqüência de premissas seguida por uma conclusão. 07
Os argumentos são divididos em dois grupos: Argumentos Dedutivos O argumento será dedutivo quando suas premissas fornecerem uma prova conclusiva da veracidade da conclusão. O argumento é dedutivo quando a conclusão é completamente derivada das premissas. Argumentos Indutivos O argumento será indutivo quando suas premissas não fornecerem o apoio completo para ratificar as conclusões. 08
Exemplo de Argumento Dedutivo A porta do apartamento 1 deste edifício é branca A porta do apartamento 2 deste edifício é branca A porta do apartamento 3 deste edifício é branca A porta do apartamento 4 deste edifício é branca Este edifício tem apenas 4 apartamentos Logo, todas as portas de apartamento deste edifício são brancas. 09
Exemplo de Argumento Indutivo A porta do apartamento 1 deste edifício é branca A porta do apartamento 2 deste edifício é branca A porta do apartamento 3 deste edifício é branca A porta do apartamento 4 deste edifício é branca Este edifício tem 6 apartamentos Logo, todas as portas de apartamento deste edifícios são brancas. 10
Argumento válido Um argumento é válido quando sua conclusão é uma conseqüência lógica de suas premissas 11
Conseqüência lógica Definição informal: Uma fórmula é uma conseqüência lógica de um conjunto de fórmulas se sempre que estas forem verdadeiras aquela também seja verdadeira. Definição formal: Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses b, H é conseqüência lógica de b num sistema de dedução, se existir uma prova de H a partir de b 12
Prova Sintática Sejam: H uma fórmula e β um conjunto de fórmulas denominadas por hipóteses. Uma prova sintática de H a partir de β, é uma seqüência de fórmulas H1,H2,...,Hn, H = Hn. onde temos: 14
Sistemas Dedutivos Um sistema dedutivo é um conjunto de regras (as vezes axiomas) que permite obter (deduzir) conclusões (sentenças) a partir de hipóteses (sentenças). 15
Sistemas Dedução Natural Dedução natural é um dos sistemas dedutivos utilizados para construir demonstrações formais na Lógica, tais demonstrações são realizadas através de uma árvore de dedução utilizando regras de introdução e eliminação. 16
Regras Regras de Introdução Introdução da CONJUNÇÃO Introdução da DISJUNÇÃO Introdução da IMPLICAÇÃO Introdução da NEGAÇÃO Regras de Eliminação Eliminação da CONJUNÇÃO Eliminação da DISJUNÇÃO Eliminação da IMPLICAÇÃO Eliminação da NEGAÇÃO 17
Introdução da CONJUNÇÃO 18
Introdução da DISJUNÇÃO 19
Introdução da IMPLICAÇÃO 20
Introdução da NEGAÇÃO 21
Eliminação da CONJUNÇÃO 22
Eliminação da DISJUNÇÃO 23
Eliminação da IMPLICAÇÃO 24
Eliminação da NEGAÇÃO 25
Exemplos de prova de conseqüência lógica por dedução natural 26
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Algumas das principais regras da lógica proposicional clássica são as seguintes: 30
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Prove utilizando o Sistema de Dedução Natural 1- A Λ (B Λ C) (A Λ B) Λ C 2- A D V ((B V A) V C) 34
1- A Λ (B Λ C) (A Λ B) Λ C 35
2- A D V ((B V A) V C) 36
Nestes exercícios, usar Dedução Natural. 37