2. 11. Multiplicação entre Matrizes Os exemplos abaixo servirão para compreendermos a definição de multiplicação, porque não é óbvia como as operações anteriores. Esses exemplos poderiam ser resolvidos sem o uso da multiplicação entre matrizes, o objetivo de trabalhar com eles é visualizarmos o padrão utilizado que será chamado de multiplicação entre matrizes. Situação 1. Durante a primeira fase da copa do mundo de futebol de 2014, o grupo A é formado pelos países: Brasil, Croácia, México e Camarões. País Vitórias Empates Derrotas Brasil 2 1 0 Croácia 1 0 2 México 2 1 0 Camarões 0 0 3 Pelo regulamento da copa, e dos campeonatos de futebol, em geral, cada resultado tem pontuação correspondente a mostrada na tabela 2. Resultado Pontos Vitória 3 Empate 1 Derrota 0 Determinamos a seguir, uma tabela que mostra a pontuação correspondente de cada país. Tabela 3. País Brasil Croácia México Camarões Pontuação Camarões Se nos concentrarmos apenas nas informações numéricas, teremos três matrizes. 2 1 0 A = 1 0 2 B = 2 1 0 0 0 3 Podemos observar que: 3 1 0 País Brasil Croácia México C= = Pontuação A 1ª linha de A foi operada com a 1ª (única) coluna de B, gerando o elemento da 1ª linha e da 1ª coluna de C. c 11 = a 11.b 11 + a 12.b 21 + a 13.b 31 A 2ª linha de A foi operada com a 1ª coluna de B, gerando o elemento da 2ª linha e 1ª coluna de C. c 21 = a 21.b 11 + a 22.b 21 + a 23.b 31 A 3ª linha de A foi operada com a 1ª coluna de B, gerando o elemento da 3ª linha e da 1ª coluna de C. c 31 = a 31.b 11 + a 32.b 21 + a 33.b 31 A 4ª linha de A foi operada com a 1ª coluna de B, gerando o elemento da 4ª linha e da 1ª coluna de C. c 41 = a 41.b 11 + a 42.b 21 + a 43.b 31 Essa operação é feita pelo somatório da multiplicação do 1º elemento da linha pelo 1º elemento da coluna, 2º elemento da linha pelo 2º elemento da coluna, 3º elemento da linha pelo 3º elemento da coluna. Situação 2. Para fabricação de caminhões, uma indústria montadora precisa de eixos e rodas para seus três modelos de caminhões, com a seguinte especificação: Componentes Modelo A Modelo B Modelo C Eixos 2 3 4 Rodas 4 6 8 Nos dois primeiros meses do ano foram encomendadas as seguintes quantidades por modelo: Modelo Janeiro Fevereiro A 30 20 B 25 18 C 20 15 53 Matrizes
Quantos eixos e rodas foram necessários para os meses de janeiro e de fevereiro? Componentes Janeiro Fevereiro Eixos Rodas Concentramo-nos nas informações numéricas. A = 2 3 4 B= 4 6 8 30 20 25 18 20 15 C= C = Podemos observar que: A 1ª linha de A foi operada com a 1ª coluna de B, gerando o elemento da 1ª linha e da 1ª coluna de C. c 11 = a 11.b 11 + a 12.b 21 + a 13.b 31 A 2ª linha de A foi operada com a 1ª coluna de B, gerando o elemento da 2ª linha e 1ª coluna de C. c 21 = a 21.b 11 + a 22.b 21 + a 23.b 31 A 1ª linha de A foi operada com a 2ª coluna de B, gerando o elemento da 1ª linha e da 2ª coluna de C. c 12 = a 11.b 12 + a 12.b 22 + a 13.b 32 A 2ª linha de A foi operada com a 2ª coluna de B, gerando o elemento da 2ª linha e da 2ª coluna de C. c 22 = a 21b 12 + a 22b 22 + a 23.b 32 Essa operação é feita pelo somatório da multiplicação do 1º elemento da linha pelo 1º elemento da coluna, 2º elemento da linha pelo dever da 2º elemento da coluna, 3º elemento da linha pelo 3º elemento da coluna. Observação: 1.A matriz C terá tantas linhas a matriz A possui e tantas colunas quanto B possui. 2. Essa operação entre matrizes A e B chamamos de multiplicação de A por B (nessa ordem). 3. Mostramos problemas entre tabelas (matrizes) onde há sentido fazer a multiplicação entre matrizes, operação descrita acima. Só existe esse sentido se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. Definição: Dada uma matriz A =(a ij) do tipo mxn e uma matriz B =(b ij) do tipo nxp, o produto da matriz A pela matriz B é a matriz C = (c ij) do tipo mxp tal que o elemento c ij é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j da matriz B, e somando-se os produtos obtidos. Para dizer que a matriz C é o produto de A por B, vamos indicá-la por AB. Exemplo: Considere as matrizes: 2 1 3 0 5 A = B = 1 3 1 4 0 Matriz A do tipo 2x2 e a matriz B do tipo 2x3, a matriz resultado AB é do tipo 2x3. 1º)Elemento c 11:1ª linha de A x 1ª coluna de B 2º)Elemento c 12:1ª linha de A x 2ª coluna de B c 11= 1 3 1 4 0 c 12= 54 Matrizes
3º)Elemento c 13:1ª linha de A x 3ª coluna de B de A x 1ª coluna de B 4º)Elemento c 21:2ª linha c 13= c21= 5º)Elemento c 22:2ª linha de A x 2ª coluna de B de Ax3ª coluna de B. 6º)Elemento c 23:2ª linha c 22= c 23= C = AB =. Observação: Assim como a notação da multiplicação com números reais usamos A 2 = AA, A 3 = AAA,... Pense: 1. O produto entre matrizes pode ser comutativo, ou seja, AB = BA? Existe a possibilidade de o produto ser igual? 2. Existe uma matriz neutra para multiplicação entre matrizes? Ou seja, uma matriz multiplicada por esta é a própria matriz? 3. Para que tipo de matriz podemos calcular suas potências A 2, A 3,... 2.12. Aplicação de operações entre matrizes. Transformações lineares: As imagens em uma tela de computador são na verdade formadas por pequenos pontos (pixels) que são elementos de uma matriz. Uma imagem de resolução 800x600 tem 480 mil pixels distribuídas em 800 colunas e 600 linhas (inverso da nossa ordem usual). Quando um programa gráfico altera a posição da imagem, por um giro ou tamanho, na verdade está mudando a posição dos pixels que a formam. Isso tudo é feito por operações com matrizes. 2.12.1. Rotação. Para fazer a rotação do triângulo, teríamos que fazer a rotação de cada ponto pertencente a ele, ao menos seus vértices. Representaremos essa y rotação usando o ponto A, que após uma rotação de um ângulo em torno da origem no sentido anti-horário, resultará em A, A considerando: cos sen A= [x y] R= A' =[x' y'] sen cos A x A = AR Suponhamos que as coordenadas de A sejam (5,1), podemos considerar como uma matriz linha, do tipo 1x2. Supomos ainda que = 90º. cos 90º sen90º 0 1 R = = sen90º cos 90º 1 0 0 1 A = [5 1 ] A =[ ] 1 0 55 Matrizes
Observação: A rotação pura do ponto A não pode alterar a distância do ponto A' à origem, ou seja, OA' = OA. 2.12.2. Ampliação/redução. Podemos mudar a escala de um objeto, ou seja, seu tamanho. Podemos modificar a escala horizontal e a escala vertical por diferentes fatores. Em geral, no plano, se A é um ponto de coordenadas A = [ x y ], obtémse uma mudança de escala em x pelo fator S x e em y pelo fator S y, gerando y A, pelo produto: P A A = A.E Onde : Sx 0 E = 0 Sy P A x Observe o pentágono P ele foi duplicado na altura e na largura, assim obteve-se o pentágono P. Teríamos que tomar cada ponto da figura escolhida e alterá-lo, à semelhança da rotação. Seja A um dos vértices do pentágono P. Suponha A = [ 3 2 ]. O fator de multiplicação para x e para y, denotadas por S x e S y, respectivamente, é 2. 2 0 A = A.E, onde E = 0 2 2 0 A = [ 3 2 ] A = [ ] 0 2 2.12.3. Translação. Translação é um movimento composto por um deslocamento horizontal e um vertical. A translação não pode deformar o objeto. Tomando a translação de um ponto P = [x y] por um vetor V= [a b] a operação é simplesmente a adição das matrizes linha P e V. P' = P + V Suponha que o ponto P tenha coordenadas P = [1 2,3] e que o vetor seja V = [3,7 2]. As coordenadas de P', ou seja, da translação do ponto P pelo vetor V é: P' = [ ] 2.13. Exercícios 1. Sendo A 2x2, B 2x4 e C 4x1, determine o tipo das matrizes produto, se existirem: (a) AB (b) BC (c) BA (d) AA (e) CB (f) CC 2. Determine AB, produto da matriz A por B, se: 4 3 4 2 5 8 (a) A = e B = 3 6 1 (b) A = ( 2 3 10) B = 1 4 3 1 2 0 5 4 2 56 Matrizes
(c) A = 3 1 1 4 2 2 B = 4 3 2 0 1 1 2 1 2 6 3. Dadas as matrizes A = 4 2, B = 4, C = 3 5 1 0 e D = (1 2), determine: 3 (a) AB (b) BC (c) BB = B 2 (notação) (d) CD 1 1 1 2 3 4. Dadas as matrizes A = 1 1 1, B = 4 4 e C = 0 6 1, determine: 2 2 1 1 1 (a) AB (b) BA (c) A.I 3 (d) I 2.A (e) BC 3 1 2 1 5. Dadas as matrizes A = e B = 4 1 : 0 5 (a) Calcule AB (b) Calcule BA (c) Compare (a) e (b) 2 1 3 5 6. Dadas as matrizes A = e B = 4 0, calcule: 2 0 (a) AB (b) B 2 (c) A 2 (d) A 2 B 2 (e) (A+B)(AB) (f) (A+B) 2 (g) A 2 + 2AB+ B 2 1 3 7. Determine a matriz X tal que: X.[ 1 3] = 3 9 8. Classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo. No caso de ser falsa, justifique: (a) Se P e Q são matrizes quaisquer tais que existam os produtos PQ e QP, então PQ = QP. (b) Para quaisquer matrizes P e Q tais que existam os produtos PQ e QP, tem-se: (P + Q) 2 = P 2 + 2PQ + Q 2. (c) Para P do tipo mxn e Q do tipo nxk, tem-se: (PQ) t = Q t.p t. (d) Se o produto de duas matrizes, P e Q, é igual à matriz nula, então pelo menos uma das matrizes é nula. (e) Se P é do tipo mxn PI m = P e I np = P. 9. Sabemos como é uma matriz que provoca uma rotação de um ângulo de um ponto no plano em torno da origem no sentido anti-horário, assim como aplicar uma ampliação/redução na largura e na altura desse ponto. Podemos, por extensão desse pensamento, fazer rotação e ampliação/redução de um polígono fazendo o mesmo para todos os vértices. Façamos isso para um triângulo ABC, de coordenadas A (x a, y a), B (x b, y b) e C(x c, y c). Para minimizar trabalho como é possível produzir uma rotação e uma ampliação/redução do triângulo ABC de uma vez só com apenas uma operação entre matrizes? Dica considere onde M matriz relativa aos pontos e T a matriz transformação linear que gera a rotação e a mudança de escala AO MESMO TEMPO. Não invente um exemplo, indique apenas as matrizes e o que fazer com elas a fim de termos o resultado descrito. 10. Para a construção de casas populares, um prefeito sugeriu dois tipos de casa : M e G. As casas do tipo M têm 5 portas, 6 janelas e 6 caixas de luz. As casas do tipo G têm 8 portas, 9 janelas e 10 caixas de luz. Numa primeira etapa, deverão ser construídas 500 casas do tipo M e 200 casas do tipo G; numa segunda etapa, 600 do tipo M e 400 do tipo G. (a) Determine A matriz material por tipo de casa e de B matriz número de casas por etapas. 57 Matrizes
(b) Qual operação necessária para obter C uma matriz material por etapas. Calcule C. 0 1 11. Sendo A uma matriz quadrada A =, qual o resultado de: 1 0 A + A 2 + A 3 + A 4 +... + A 39 + A 40? 12. Considere um vetor no espaço U = [a b c] e um vetor no plano V =[r s]. Como é calculado o módulo desses vetores? Associe esse cálculo a uma operações entre matrizes de modo que a mesma operação sirva para o vetor U e o vetor V. Dica: Considere o módulo ao quadrado para a raiz não atrapalhar. 1 1 13. Considere a matriz P =. 0 1 Calcule: (a) P 2 ; (b) P 3 ; (c) P 4. (d) Intuitivamente, qual é a expressão de P n, para n N? 14. Uma nutricionista recomendou aos atletas de um time de voleibol a ingestão de uma quantidade mínima de certos alimentos (frutas, leite e cereais) necessária para uma alimentação sadia. A matriz D fornece a quantidade diária mínima (em gramas) daqueles alimentos. A matriz M mostra a quantidade (em gramas) de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida por cada grama ingerido dos alimentos citados. fruta leite cereais 200 fruta 0,006 0,033 0,108 proteínas D = 300 leite M = 0,001 0,035 0,018 gorduras 600 cereais 0,084 0,052 0,631 carboidratos Determine a matriz que mostra a quantidade diária mínima (em gramas) de proteínas gorduras e carboidratos fornecidas pela ingestão daqueles alimentos. 15. Amanda, Bruna e Camila saíram para tomar chocolate quente, numa cafeteria, tanto no sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir resumem quantos chocolates quentes cada um consumiu e como a despesa foi divida: 4 1 4 5 5 3 S = 0 2 0 D = 0 3 0 3 1 5 2 1 3 S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo. Cada elemento a ij nos dá o número de chocolates quentes que i pagou para j, sendo Amanda o número 1, Bruna o número 2 e Camila o número 3. (a) Quem bebeu mais chocolates quentes no fim de semana? (b) Quem pagou mais chocolates quentes no fim de semana? (c) Quantos chocolates quentes Camila ficou devendo para Amanda? 2.14. Respostas dos exercícios 2.10. 1. a 11 = 1 a 23 = 2 a 32 = 4 a 43 = 3 a 52 = 0 1 4 7 10 13 1 2 3 2. A = C = 1 2 5 8 11 1 4 9 1 1 1 3 1 1 3. B = 4 5 1 5 6 7 4. (a) U$ 2.800,00 (b) U$ 10.580,00 (c) U$ 1.950,00 4 16 5 25 58 Matrizes
5. x = 1 e y = 4. 6. x = 2 e y = 1 1 3 7 13 7. 3 4 7 12 8. 10 4 14 10 5 20 9. (a) 5 21 (b) 13 5 25 30 10 10. (a) Verdadeiro. Mostre que se A+ A t = (b ij), então b ij = b ji. (b) Verdadeiro. A A t é antissimétrica. Mostre que se A A t = (c ij), então c ij = c ji. 11. (a) W = [ 7 1 1 ] (b) 3U = [ 6 3 9 ] (c) B = [ 2 2 3 ] 59 Matrizes