Resolução de Sistemas Lineares. Ana Paula

Resolução de Sistemas Lineares

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Aula Anterior Aula Anterior Decomposição LU A matriz de coeficientes é decomposta em L e U L é uma matriz triangular inferior com elementos da diagonal principal unitários U é uma matriz triangular superior Substituindo A por LU então a solução pode ser obtida resolvendo dois sistemas triangulares Ly = b Ux = y A decomposição não envolve o vetor b

Aula Anterior Revisão Decomposição LU com Pivotamento Parcial Vetor com as permutações das linhas

As operações aritméticas da Decomposição LU podem ser simplificadas ao explorar características da matriz de coeficientes A leva em conta que A é simétrica positiva definida A é importante pois muitas matrizes com essas características surgem em aplicações de engenharias e ciências

Definição (Matriz Simétrica): Uma matriz real A quadrada de ordem n é simétrica se A = A T, ou seja, a ij = a ji, i = 1,..., n e j = 1,..., n. Por exemplo, 4 1 2 A = 1 3 0 = A T 2 0 5 Definição (Matriz Positiva Definida): Uma matriz real A quadrada de ordem n é positiva definida se x T Ax > 0, x 0

Verificando se uma matriz é positiva definida 1. Critério de Sylvester: Uma matriz real e simétrica A é positiva definida, se e somente se, det(a k ) > 0, k = 1,..., n, onde A k é o menor principal de ordem k da matriz A 2. Uma matriz real A é positiva definida, se e somente se, todos os pivôs utilizados durante o processo de Eliminação de Gauss sem troca de linha ou coluna forem positivos

Exemplo Exemplo 1 Verifique se a matriz que segue é simétrica e positiva definida. 4 1 2 1 3 0 2 0 5 Solução: Como a ij = a ji então A é simétrica. Além disso, det(a1 ) = 4 > 0 det(a 2 ) = 11 > 0 det(a 3 ) = 43 > 0 Logo, A é simétrica e positiva definida (SPD)

Exemplo Exemplo 2 Verifique se a matriz que segue é simétrica e positiva definida. 2 1 0 1 2 1 0 1 2 Solução: Como a ij = a ji então A é simétrica. Além disso, det(a1 ) = 2 > 0 det(a 2 ) = 3 > 0 det(a 3 ) = 4 > 0 Logo, A é simétrica e positiva definida (SPD)

Teorema: Se A é uma matriz real simétrica e positiva definida (SPD), então existe uma única matriz triangular inferior G com elementos da diagonal principal positivos, tal que A = GG T

Demonstração: Se A é SPD, então pelo Critério de Sylvester tem-se que det(a k ) > 0, k = 1,..., n Portanto, todos os menores principais de A são não singulares e pelo Teorema da Decomposição LU, tem-se que A = LU

Demonstração: Sendo A simétrica, então A = A T Assim, LU = A = A T = (LU) T = U T L T

Demonstração: Sendo A simétrica, então A = A T Assim, LU = A = A T = (LU) T = U T L T LU = U T L T

Demonstração: Sendo A simétrica, então A = A T Assim, LU = A = A T = (LU) T = U T L T LU = U T L T L 1 LU = L 1 U T L T

Demonstração: Sendo A simétrica, então A = A T Assim, LU = A = A T = (LU) T = U T L T LU = U T L T L 1 LU = L 1 U T L T U ( L T ) 1 = L 1 U T L T ( L T ) 1

Demonstração: Sendo A simétrica, então A = A T Assim, LU = A = A T = (LU) T = U T L T LU = U T L T L 1 LU = L 1 U T L T U ( L T ) 1 = L 1 U T L T ( L T ) 1 U ( L T ) 1 = L 1 U T

Demonstração: Nota-se que U ( L T ) 1 é uma triangular superior L 1 U T é triangular inferior Logo, U ( L T ) 1 = L 1 U T = D, onde D é uma matriz diagonal Assim, D = U ( L T ) 1

Demonstração: Nota-se que U ( L T ) 1 é uma triangular superior L 1 U T é triangular inferior Logo, U ( L T ) 1 = L 1 U T = D, onde D é uma matriz diagonal Assim, D = U ( L T ) 1 DL T = U ( L T ) 1 L T

Demonstração: Nota-se que U ( L T ) 1 é uma triangular superior L 1 U T é triangular inferior Logo, U ( L T ) 1 = L 1 U T = D, onde D é uma matriz diagonal Assim, D = U ( L T ) 1 DL T = U ( L T ) 1 L T DL T = U

Demonstração: Resultando em A = LU = LDL T Como A é SPD e L é triangular com elementos da diagonal principal unitários, então d ii > 0, i = 1,..., n Portanto, A = LDL T = L (D) 1/2 (D) 1/2 L T }{{}}{{} G G T = GG T

Obtendo a Matriz G A matriz G pode ser obtida pela definição de produto e igualdade de matrizes a 11 a 12 a 13... a 1n g 11 0 0... 0 g 11 g 21 g 31... g n1 a 21 a 22 a 23... a 2n g 21 g 22 0... 0 0 g 22 g 32... g n2 a 31 a 32 a 33... a 3n = g 31 g 32 g 33... 0 0 0 g 33... g n3........................... a n1 a n2 a n3... a nn g n1 g n2 g n3... g nn 0 0 0... g nn Os elementos de G podem então ser determinados a cada coluna j como: Determina-se o elemento da diagonal gjj Obtém-se os elementos abaixo de gjj

Obtendo a Matriz G Coluna 1 Elemento da diagonal a 11 = g 2 11 g 11 = a 11 Elementos abaixo da diagonal a 21 = g 21 g 11 g 21 = a 21 g 11 a 31 = g 31 g 11 g 31 = a 31 g 11. a n1 = g n1 g 11 g n1 = a n1 g 11

Obtendo a Matriz G Coluna 2 Elemento da diagonal a 22 = g 2 21 + g 2 22 g 22 = a 22 g 2 21 Elementos abaixo da diagonal a 32 = g 31 g 21 + g 32 g 22 g 32 = a 32 g 31 g 21 g 22 a 42 = g 41 g 21 + g 42 g 22 g 42 = a 42 g 41 g 21 g 22. a n2 = g n1 g 21 + g n2 g 22 g n2 = a n2 g n1 g 21 g 22

Obtendo a Matriz G Generalizando para a coluna j Elemento da diagonal j j 1 a jj = gjk 2 a jj = gjk 2 + j 1 g2 jj g jj = ajj k=1 k=1 k=1 g 2 jk Elementos abaixo da diagonal (linhas i > j) a ij = j j 1 g ik g jk a ij = g ik g jk + g ij g jj k=1 k=1 g ij = a ij j 1 k=1 g ikg jk g jj

Algoritmo Entrada: Matriz A, n 1 inicio 2 para j = 1,..., n faça 3 g jj a jj j 1 k=1 g2 jk ; 4 para i = j + 1,..., n faça 5 g ij a ij j 1 k=1 g ikg jk g jj ; Algoritmo 1: - Complexidade O(n 3 )

Observa-se que A realiza menos operações aritméticas do que a Decomposição LU Apesar da mesma ordem de complexidade computacional O(n 3 ) Como a matriz de coeficientes A é positiva definida, então os cálculos de raiz quadrada podem ser realizados Cálculo do determinante de A A = GG T det(a) = det(gg T ) = det(g) det(g T ) = det(g) 2 = (g 11 g 22... g nn ) 2

Para resolver o sistema Ax = b utilizando a Decomposição de Cholesky Como Ax = b GG T x = b Faz-se G T x = y Resolve-se Gy = b Resolve-se G T x = y

Exemplo Exemplo 3 Dado o sistema de equações lineares que segue. 4 2 2 x 1 8 2 10 7 x 2 = 11 2 7 30 x 3 31 Verifique se a matriz de coeficientes pode ser decomposta usando a Decomponha A em GG T Calcule o determinante de A utilizando o resultado da decomposição Resolva o sistema linear

Exemplo Exemplo 3 Solução: Como A = A T então a matriz é simétrica e sendo det(a 1 ) = 4 > 0, det(a 2 ) = 36 > 0 e det(a 3 ) = 900 > 0, então a matriz de coeficientes é SPD e a pode ser utilizada A decomposição fica como 2 0 0 2 1 1 A = 1 3 0 0 3 2 1 2 5 0 0 5 det(g) 2 = 900 Solução do sistema x = 3 1 1

Exemplo Exemplo 4 Resolva o sistema linear que segue utilizando a decomposição realizada no exercício anterior. 4 2 2 2 10 7 2 7 30 x 1 x 2 x 3 = 6 3 78 Solução: 1 x = 2 3

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Revisão Revisão Sistemas em que a matriz de coeficientes é simétrica e positiva definida Requer menos operações aritméticas do que a decomposição LU

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