Definição POLINÔMIOS Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função definida pela relação P(=a n x n + a n-1.x n-1 + a n-.x n- +... + a x + a 1 x + a 0. Onde: a n, a n-1, a n-,..., a, a 1, a 0 são números reais chamados coeficientes. n IN x C (n os complexos) é a variável. GRAU DE UM POLINÔMIO: Grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se o coeficiente a n 0, então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(p)=n. Exemplos: a) P(=5 ou P(=5.x 0 é um polinômio constante, ou seja, gr(p)=0. ) P(=x+5 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(p)=1. c) P(=4x 5 +7x 4 é um polinômio do 5º grau, ou seja, gr(p)=5. Os: Se P(=0, não se define o grau do polinômio. Valor numérico O valor numérico de um polinômio P( para x=a, é o número que se otém sustituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio. Exemplo: Se P(=x +x +x-4, o valor numérico de P(, para x=, é: P(= x +x +x-4 P()= +. +-4 P()= 14 Oservação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(. Por exemplo, no polinômio P(=x -x+ temos P(1)=0; logo, 1 é raiz ou zero desse polinômio.
Alguns exercícios resolvidos: 1º) Saendo-se que é raiz de P(=x +4x -ax+1, calcular o valor de a. Resolução: Se é raiz de P(, então P(-)=0. P(-)=0 => (-) +4(-) -a.(-)+1 = 0 a = -10 => a=-10/ Resposta: a=-10/ º) Calcular m IR para que o polinômio P(=(m -1)x +(m+1)x -x+4 seja: a) do ºgrau ) do º grau c) do 1º grau Resposta: a) para o polinômio ser do º grau, os coeficientes de x e x devem ser diferentes de zero. Então: m -10 => m 1 => m1 m+10 => m-1 Portanto, o polinômio é do º grau se m1 e m-1. ) para o polinômio ser do º grau, o coeficiente de x deve ser igual a zero e o coeficiente de x diferente de zero. Então: m -1=0 => m =1 => m=1 m+10 => m-1 Portanto, o polinômio é do º grau se m=1. c) para o polinômio ser do 1º grau, os coeficientes de x e x devem ser iguais a zero. Então: m -1=0 => m =1 => m=1 m+1=0 => m=-1 Portanto, o polinômio é do 1º grau se m=-1. º) Num polinômio P(, do º grau, o coeficiente de x é 1. Se P(1)=P()=0 e P()=0, calcule o valor de P(-1). Resolução: Temos o polinômio: P(=x +ax +x+c. Precisamos encontrar os valores de a, e c (coeficientes). Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do prolema:
P(1)=0 => (1) +a.(1) +(1)+c = 0 => 1+a++c=0 => a++c=-1 P()=0 => () +a.() +()+c = 0 => 8+4a++c=0 => 4a++c=-8 P()=0 => () +a.() +()+c = 0 => 7+9a++c=0 => 9a++c= Temos um sistema de três variáveis: a c -1 4a c -8 9a c Resolvendo esse sistema encontramos as soluções: a=9, =-4, c=4 Portanto o polinômio em questão é P(= x +9x -4x+4. O prolema pede P(-1): P(-1)= (-1) +9(-1) -4(-1)+4 => P(-1)=-1+9+4+4 P(-1)= 66 Resposta: P(-1)= 66 Polinômios iguais Dizemos que dois polinômios A( e B( são iguais ou idênticos (e indicamos A(B() quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum atriuído à variável x. A condição para que dois polinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais. Exemplo: Calcular a, e c, saendo-se que x -x+1 a(x +x+1)+(x+c)(x+1). Resolução: Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes do segundo memro temos: x -x+1 ax +ax+a+x +x+cx+c 1x -x+1 (a+)x +(a++c)x+(a+c) Agora igualamos os coeficientes correspondentes: a 1 a c a c 1
Sustituindo a 1ª equação na ª: 1+c = - => c=-. Colocando esse valor de c na ª equação, temos: a-=1 => a=4. Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos: 4+=1 => =-. Resposta: a=4, =- e c=-. Os: um polinômio é dito identicamente nulo se tem todos os seus coeficientes nulos. Divisão de polinômios Sejam dois polinômios P( e D(, com D( não nulo. Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q( e R(, que satisfaçam as duas condições aaixo: 1ª) Q(.D( + R( = P( ª) gr(r) < gr(d) ou R(=0 P( R( D( Q( Nessa divisão: P( é o dividendo. D( é o divisor. Q( é o quociente. R( é o resto da divisão. Os: Quando temos R(=0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, P( é divisível por D( ou D( é divisor de P(. Se D( é divisor de P( R(=0 Exemplo: Determinar o quociente de P(=x 4 +x -7x +9x-1 por D(=x +x-. Resolução: Aplicando o método da chave, temos:
4 x x 7x 9x1 x x x 4 x x x x1 Q( x 5x 9x1 x 6x 4x x 5x1 x x x1 R( Verificamos que: 4 x x -7x 9x-1 P( (x x - ) (x - x1) (x1) D( Q( R( Divisão de um polinômio por um inômio da forma ax+ Vamos calcular o resto da divisão de P(=4x -x+ por D(=x-1. Utilizando o método da chave temos: 4x 4x x x x1 x Logo: R(= A raiz do divisor é x-1=0 => x=1/. Agora calculamos P( para x=1/. P(1/) = 4(1/4) (1/) + P(1/) = Oserve que R( = = P(1/) Portanto, mostramos que o resto da divisão de P( por D( é igual ao valor numérico de P( para x=1/, isto é, a raiz do divisor.
Teorema do resto O resto da divisão de um polinômio P( pelo inômio ax+ é igual a P(-/a). Note que /a é a raiz do divisor. Exemplo: Calcule o resto da divisão de x +5x-1 por x+1. Resolução: Achamos a raiz do divisor: x+1=0 => x=-1 Pelo teorema do resto saemos que o resto é igual a P(-1): P(-1)=(-1) +5.(-1)-1 => P(-1) = -5 = R( Resposta: R( = -5. Teorema de D Alemert Um polinômio P( é divisível pelo inômio ax+ se P(-/a)=0 Exemplo: Determinar o valor de p, para que o polinômio P(=x +5x - px+ seja divisível por x-. Resolução: Se P( é divisível por x-, então P()=0. P()=0 =>.8+5.4-p+=0 => 16+0-p+=0 => p=19 Resposta: p=19. Divisão de um polinômio pelo produto (x-a)(x-) Vamos resolver o seguinte prolema: calcular o resto da divisão do polinômio P( pelo produto (x-a)(x-), saendo-se que os restos da divisão de P( por (x-a) e por (x-) são, respectivamente, r 1 e r. Temos: a é a raiz do divisor x-a, portanto P(a)=r 1 (eq. 1) é a raiz do divisor x-, portanto P()=r (eq. ) E para o divisor (x-a)(x-) temos P(=(x-a)(x-) Q( + R( (eq. ) O resto da divisão de P( por (x-a)(x-) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do º grau; logo:
R(=cx+d Da eq. vem: P(=(x-a)(x-) Q( + cx + d Fazendo: x=a => P(a) = c(a)+d (eq. 4) x= => P() = c()+d (eq. 5) Das equações 1,, 4 e 5 temos: ca d c d r r 1 Resolvendo o sistema otemos: r1 r c e a Logo : R( ar ar1 d, com a a r1 r ar ar1 x, com a a a Oservações: 1ª) Se P( for divisível por (x-a) e por (x-), temos: P(a)= r 1 =0 P()= r =0 Portanto, P( é divisível pelo produto (x-a)(x-), pois: R( r 1 r a x ar ar a 1 0 0 0 ª) Generalizando, temos: Se P( é divisível por n fatores distintos (x-a 1 ), (x-a ),..., (x-a n ) então P( é divisível pelo produto (x-a 1 )(x-a )...(x-a n ). Exemplo: Um polinômio P( dividido por x dá resto 6 e dividido por (x-1) dá resto 8. Qual o resto da divisão de P( por x(x-1)? Resolução:
0 é a raiz do divisor x, portanto P(0)=6 (eq. 1) 1 é a raiz do divisor x-1, portanto P(1)=8 (eq. ) E para o divisor x(x-1) temos P(=x(x-1) Q( + R( (eq. ) O resto da divisão de P( por x(x-1) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do º grau; logo: R(=ax+ Da eq. vem: P(=x(x-1) Q( + ax + Fazendo: x=0 => P(0) = a(0)+ => P(0) = (eq. 4) x=1 => P(1) = a(1)+ => P(1) = a+ (eq. 5) Das equações 1,, 4 e 5 temos: 6 a 8 Logo, =6 e a=. Agora achamos o resto: R( = ax+ = x+6 Resposta: R( = x+6. O dispositivo de Briot-Ruffini Serve para efetuar a divisão de um polinômio P( por um inômio da forma (ax+). Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio P(=x -5x +x- por (x-). Resolução: RAIZ DO DIVISOR COEFICIENTES DE P( 5 1.() 5 1.() 1 1 COEFICIENTES DO QUOCIENTE Q(.() 4 RESTO
Oserve que o grau de Q( é uma unidade inferior ao de P(, pois o divisor é de grau 1. Resposta: Q(=x +x+ e R(=4. Para a resolução desse prolema seguimos os seguintes passos: 1º) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo ordenadamente na parte de cima da cerquinha. º) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido aaixo. º) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido aaixo e somamos o produto com o º coeficiente do dividendo, colocando o resultado aaixo deste. 4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado aaixo do º coeficiente e somamos o produto com o º coeficiente, colocando o resultado aaixo deste, e assim sucessivamente. 5º) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão, e os números que ficam à esquerda deste serão os coeficientes do quociente. Decomposição de um polinômio em fatores Vamos analisar dois casos: 1º caso: O polinômio é do º grau. De uma forma geral, o polinômio de º grau P(=ax +x+c que admite as raízes r 1 e r pode ser decomposto em fatores do 1º grau, da seguinte forma: ax +x+c = a(x-r 1 )(x-r ) Exemplos: 1) Fatorar o polinômio P(=x -4. Resolução: Fazendo x -4=0, otemos as raízes r 1 = e r =-. Logo: x -4 = (x-)(x+). ) Fatorar o polinômio P(=x -7x+10. Resolução: Fazendo x -7x+10=0, otemos as raízes r 1 =5 e r =. Logo: x -7x+10 = (x-5)(x-).
º caso: O polinômio é de grau maior ou igual a. Conhecendo uma das raízes de um polinômio de º grau, podemos decompô-lo num produto de um polinômio do 1º grau por um polinômio do º grau e, se este tiver raízes, podemos em seguida decompô-lo tamém. Exemplo: Decompor em fatores do 1º grau o polinômio x -x -x. Resolução: x -x -x = x.(x -x-1) colocando x em evidência Fazendo x.(x -x-1) = 0 otemos: x=0 ou x -x-1=0. Uma das raízes já encontramos (x=0). As outras duas saem da equação: x -x-1=0 => r 1 =1 e r =-1/. Portanto, o polinômio x -x -x, na forma fatorada é:.x.(x-1).(x+(1/)). Generalizando, se o polinômio P(=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x+a 0 admite n raízes r 1, r,..., r n, podemos decompô-lo em fatores da seguinte forma: a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x+a 0 = a n (x-r 1 )(x-r )...(x-r n ) Oservações: 1) Se duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos que são raízes duplas, triplas, etc. ) Uma raiz r 1 do polinômio P( é dita raiz dupla ou de multiplicidade se P( é divisível por (x-r 1 ) e não por (x-r 1 ).