A TEORIA RESTRITA DA RELATIVIDADE

A TEORIA RESTRITA DA RELATIVIDADE A ausência dos efeitos normais de mudança de referencial para as ondas eletromagnéticas, que eram esperados devidos à presença tida como necessária de um meio para sua prpagação, levaram à procura de transformações de coordenadas, diferentes da transformação de Galileu, que preservassem a forma das equações de onda, em particular mantendo inalterada a velocidade de propagação. Transformações com essa propriedade foram efetivamente encontradas, e desde então chamadas transformações de Lorentz. Uma dessas transformações é x = x Vt ; y = y; z = z; t = t V x (1) 1/ǫ 0 µ 0 é a velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas no vácuo. O onde c = parâmetro V é claramente uma velocidade, que deve ser menor que c sob pena de denominadores imaginários nas expressões para x e t. Mais que isso, se V/c 1, as expressões para x e t se aproximam de x = x Vt+O ( ) V 2 ( ) V ; y = y; z = z : t = t+o c que, desprezando as correções pequenas, se reduz à transformação de Galileu de um referencial K para um referencial K que se move com relação a K com velocidade V na direção x. A transformação de Lorentz aparece, desse modo, como uma particular distorção da transformação de Galileu, que se torna mais séria para valores de V mais próximos de c, e que tem a virtude de não alterar a forma das equações de onda. Einstein mostrou em 1905 que as transformações de Lorentz resultam de duas hipóteses básicas: a) a velocidade da luz é a mesma em todos os referenciais inerciais e b) todos os fenômenos naturais se dão segundo exatamente as mesmas leis em todos os referenciais inerciais (o chamado princípio de relatividade, no sentido restrito). Com isso elas adquirem a relevância central de serem as transformações básicas que relacionam descrições de eventos referidas a diferentes referenciais inerciais. 1. Dedução simples das transformações de Lorentz (a partir dos postulados de Einstein, e pelo próprio 1 ). Para a orientação relativa dos sistemas de coordenadas indicada 1 Esta seção é uma tradução integral do Appendix I do livro não técnico Relativity, The special and the general theory de Albert Einstein, a partir da reimpressão de 1957 da 15a. edição ampliada de 1954 da tradução autorizada, para o inglês, de Robert W. Lawson, publicada por Methuen & Co. Ltd., London. A Fig. 2. usada no texto é reproduzida dessa mesma edição. O livro foi publicado pela primeira vez em 19 de agôsto de 1920. 1

Figura 1: Figura reproduzida da referência citada na nota 1 como Fig. 2. na Fig. 2, [v. figura 1] os eixos dos x dos dois sistemas sempre coincidem. Neste caso, podemos dividir o problema em partes, considrando primeiramente apenas eventos localizados nos eixos dos x. Qualquer evento desse tipo é representado com relação ao sistema de coordenadas K pela abcissa x e pelo tempo t, e com relação ao sistema K pela abcissa x e pelo tempo t. Precisamos achar x e t quando x e t são dados. Um sinal de luz que está se propagando ao longo do eixo x positivo, é transmitido de acordo com a equação ou x = ct x ct = 0. (2) Como o mesmo sinal de luz deve ser transmitido relativamente a K com velocidade c, a propagação com relação a K vai ser representada pela fórmula análoga x ct = 0. (3) Os pontos do espaço-tempo (eventos) que satisfazem (2) precisam satisfazer também (3). Isso será obviamente o caso quando a relação (x ct ) = λ(x ct) (4) for satisfeita em geral, onde λ indica uma constante; porque, de acordo com (4), o anulamento de (x ct) acarreta o anulamento de (x ct ). Se fizermos considerações inteiramente semelhantes para raios de luz que estão sendo transmitidos ao longo do eixo x negativo, vamos obter a condição (x +ct ) = µ(x+ct). (5) 2

Somando (ou subtraindo) as equações (4) e (5), e introduzindo por conveniência as constantes a e b no lugar das constantes λ e µ, onde obtemos as equações a = λ+µ 2 e x = ax bct ct = act bx b = λ µ, 2 }. (6) Teríamos então a solução do nosso problema se as constantes a e b fossem conhecidas. Elas resultam da seguinte discussão. Para a origem de K temos permanentemente x = 0, e portanto segundo a primeira das equações (6) x = bc a t. Se chamamos V a velocidade com que a origem de K está se movendo relativamente a K, então temos V = bc a. (7) O mesmo valor de V pode ser obtido das equações (6), se calculamos a velocidade de um outro ponto de K com relação a K, ou a velocidade (dirigida no sentido negativo do eixo x) de um ponto de K com relação a K. Em suma, podemos designar V como a velocidade relativa dos dois sistemas. Além disso, o princípio de relatividade nos ensina que, do ponto de vista de K, a medida de uma régua de comprimento unitário que está em repouso com relação a K deve ser exatamente a mesma que a medida, a partir de K, de uma régua de comprimento unitário que está em repouso com relação a K. Para ver como os pontos do eixo x se mostram quando vistos de K, basta tirar uma fotografia instantânea de K a partir de K. Isso significa que temos que substituir um valor particular de t (tempo de K), e.g. t = 0. Para esse valor de t obtemos da primeira das equações (6) x = ax. Dois pontos do eixo x separados pela distância x = 1 quando medidos no sistema K estão portanto na nossa fotografia instantânea separados pela distância 3

x = 1 a. (8) Mas se o instantâneo for tirado de K (t = 0), e se eliminarmos t das equações (6), levando em conta a expressão (7), obtemos ( x = a ) x. A partir disto concluímos que dois pontos no eixo x separados pela distância 1(relativamente a K vão ser representados no nosso instantâneo pela distância ( x = a ). (9) Mas pelo que foi dito os dois instantâneos têm que ser idênticos; portanto x em (8) tem que ser igual a x em (9), de modo que obtemos a 2 = 1. (10) As equações(7) e(10) determinam as constantes a e b. Inserindo os valores dessas constantes em (6), obtemos a primeira e a quarta das equações [(1)]. x = x Vt ; t = t V x. (11) Assim obtivemos a transformação de Lorentz para eventos no eixo x. Ela satisfaz a condição x 2 t 2 = x 2 t 2. (12) A extensão deste resultado, para incluir eventos que têm lugar fora do eixo x, é obtida conservando as equações (11) e suplementando-as pelas relações y = y; z = z. (13) Desse modo satisfazemos o postulado da constância da velocidade da luz in vacuo para raios de luz com direção arbitrária, tanto para o sistema K como para o sistema K. Isso pode ser mostrado da seguinte maneira. Suponhamos um sinal de luz enviado a partir da origem de K em t = 0. Ele se propagará de acordo com a equação 4

r = x 2 +y 2 +z 2 = ct ou, tomando o quadrado dessa equação, de acordo com a equação x 2 +y 2 +z 2 t 2 = 0. (14) É uma exigência da lei de propagação da luz, juntamente com o postulado da relatividade, que a transmissão do sinal em questão deva se dar - como observado a partir de K - de acordo com a fórmula correspndente ou r = ct, x 2 +y 2 +z 2 t 2 = 0. (15) Para que a equação (15) possa ser uma consequência da equção (14), devemos ter x 2 +y 2 +z 2 t 2 = σ(x 2 +y 2 +z 2 t 2 ). (16) Como a equação (12) deve valer para pontos no eixo x, temos que σ = 1. É fácil ver que a transformação de Lorentz realmente satisfaz a equação (16) para σ = 1; pois (16) é uma consequência de (12) e (13), e portanto também de (11) e (13). Portanto deduzims a transformação de Lorentz. A transformação de Lorentz representada por (11) e (13) ainda precisa ser generalizada. Obviamente é irrelevante que os eixos de K sejam paralelos aos de K. Também não é essencial que a velocidade de translação de K com relação a K esteja na direção do eixo x. Uma consideração simples mostra que podemos construir a transformação de Lorentz neste sentido geral a partir de dois tipos de transformação, a saber de transformações de Lorentz no caso especial e de transformações puramente espaciais, que correspondem à substituição dos sistemas de coordenadas retangulares por novos sistemas com seus eixos apontando em direções diferentes. Matematicamente, podemos caracterizar a transformação de Lorentz generalizada do seguinte modo: Ela exprime x, y, z, t em termos de funções lineares e homogêneas de x, y, z, t de tal natureza que a relação x 2 +y 2 +z 2 t 2 = x 2 +y 2 +z 2 t 2 (17) esteja identicamente satisfeita. Quer dizer: se substituirmos do lado esquerdo as expressões de x, y, z e t em termos de x, y, z e t, então o lado esquerdo de (17) coincide com o lado direito. 5

Note que as transformações puramente espaciais envolvidas na generalização proposta por Einstein são rotações que não alteram a origem dos sistemas de coordenadas envolvidos. A convenção adotada na Fig. 2, isto é, a de que as origens K e K (ou seja, os pontos x = y = z = 0 e x = y = z = 0) coincidem em t = t = 0, permanece válida. Isso é importante para deixar claro o significado da relação (17), que é o seguinte: as coordenadas x,y,z,t podem ser vistas como as coordenadas de um dado evento enquanto observado a partir do sistema K, enquanto x,y,z,t são as coordenadas do mesmo evento enquanto observado a partir do sistema K ; um outro evento é o encontro das duas origens, K e K, que se dá em x = y = z = t = 0 e x = y = z = t = 0 enquanto observado a partir de K e de K respectivamente. Os dois lados de (17) envolvem então uma particular combinação dos quadrados das diferenças das coordenadas desses dois eventos, que tem o mesmo valor nos dois referenciais. Essa propriedade de invariança não depende da escolha particular do encontro das origens como um dos eventos. Isso pode ser facilmente verificado para as transformações especiais (11), (13) tomando dois eventos quaisquer, rotulados em K respectivamente por x 1,y 1,z 1,t 1 e x 2,y 2,z 2,t 2 e em K por x 1,y 1,z 1,t 1 e x 2,y 2,z 2,t 2. De fato, é simples verificar algebricamente que (x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 2 (t 2 t 1 ) 2 = = (x 2 x 1) 2 +(y 2 y 1) 2 +(z 2 z 1) 2 (t 2 t 1) 2. (18) 2. Cinemática galileana e cinemática lorentziana. Os dois postulados de Einstein (validade do princípio de relatividade e constância da velocidade da luz) levam portanto à necessidade de substituir as transformações de Galileu pelas transformações de Lorentz (11), (13) para relacionar grandezas cinemáticas (coordenadas de eventos, distâncias, intervalos de tempo, velocidades, etc.) envolvendo diferentes referenciais inerciais. Essa substituição implica em resultados muitas vezes de aparência contra-intuitiva, embora na realidade eles contradigam apenas os hábitos de pensamento galileanos, sem prejuízo algum para a consistência interna da nova cinemática. A seguir uma série de situações típicas serão examinadas sucessivamente dos dois pontos de vista, com o intuito de enfatizar semelhanças e diferenças. i. Comprimento de uma régua vista a partir de K e de K. A) Caso galileano. Supondo a régua em repouso no referencial K, colocada a longo do eixo x, com os extremos nas posições x 1 e x 2 > x 1, o comprimento será d = x 2 x 1. Do ponto de vista de um observador em K, as posições dos extremos da régua dependerão do tempo. De fato, usando a transformação de Galileu x 1 = x 1 Vt ou seja x 1 (t) = x 1 +Vt e, analogamente x 2 (t) = x 2 +Vt. 6

Para medir o comprimento da régua, o observador de K deve comparar as posições das duas extremidades da régua no mesmo instante t, obtendo d = x 2 (t) x 1 (t) = (x 2+Vt) (x 1+Vt) = x 2 x 1 = d, ou seja, o mesmo comprimento observado em K, em relação ao qual a régua está em repouso. B) Caso lorentziano. Se essa mesma situação é considerada sob o ponto de vista da cinemática lorentziana, a única alteração a ter em conta é a substituição da transformação de Galileu pela transformação de Lorentz (11). Supondo novamente a régua em repouso no sistema K, e colocada ao longo do eixo x, o seu comprimento neste referencial será também d = x 2 x 1. Usando agora a transformação de Lorentz (11), x 1 = x 1 Vt ou x 1 (t) = 1 V 2 x 1 +Vt e, analogamente x 2 (t) = x 2 +Vt e, para medir o comprimento da régua, o observador de K deve novamente comparar as posições das duas extremidades da régua no mesmo instante t. O resultado agora é d = x 2 (t) x 1 (t) = (x 2 x 1) = d, mostrando que d < d, isto é, o comprimento medido pelo observador em relação ao qual a régua esta em movimento é menor. Esse resultado era conhecido antes do trabalho de Einstein, e é conhecido como contração de Lorentz. Antes do trabalho de Einstein ele chegou a ser pensado como um efeito físico real ligado ao deslocamento da régua com relação ao éter ; depois, no entanto, ele fica reduzido a um efeito cinemático devido à natureza do espaço-tempo. ii. Tempo marcado por um relógio fixo em K como medido a partir de K. A) Caso Galileano. Neste caso, a relação t = t é suficiente para que se conclua que um intervalo de tempo T medido por um observador em K coincida sempre com o intervalo T medido por um observados em K. B) Caso lorentziano. Diferentemente das transformações de Galileu, as expressões lorentzianas para os tempos nos dois referenciais envolvem também coordenadas espaciais (t depende de x em (11)), o que também modifica o resultado galileano. Para ver qual é a relação entre intervalos de tempo considerados a partir de cada um dos referenciais neste caso, seja T o intervalo de tempo marcado por um relógio fixo na origem do referencial K a partir do encontro das origens dos dois referenciais. Após esse intervalo de tempo, a posição desse relógio com relação ao sistema K será X = VT, sendo V a velocidade relativa dos dois referenciais e T o tempo correspondente a T também medido a partir do sistema K. A transformação de Lorentz dá então 7

T = T V X mas, como X = VT, T = T V 2 T = c T 2 ou seja, T = T /, mostrando que o intervalo de tempo T avaliado a partir do referencial K é maior que o intervalo T avaliado a partir de K ( dilatação do tempo). Vale a pena examinar o caso em que um relógio agora em repouso em relação ao referencial K é observado a partir de K. Como a velocidade de K com relação a K é V, a expressão relevante da transformação de Lorentz é agora T = T + V X mas, agora X = VT de modo que T = T V 2 T = T ou seja T = T. Portanto, também neste caso o relógio visto como estando em movimento (isto é, o relógio cuja posição muda com o tempo) se atraza do ponto de vista do tempo do referencial onde ele se move. iii. Simultaneidade de eventos. A) Caso Galileano. O fato de que no caso galileano todos os referenciais inerciais compartilham um tempo comum único, absoluto, garante que a afirmação de que dois eventos ocorrem simultaneamente para um dado observador inercial seja igualmente válida também para qualquer outro observador inercial. Ou seja, a simultaneidade adquire um caráter absoluto, no sentido de ser compartilhada por todos os observadores inerciais. Mais formalmente, se para o observador K os eventos ocorrem respectivamente em x 1, no instante t 1 e em x 2, no instante t 2, a simultaneidade se exprime através do fato de que t 1 = t 2, independentemente de x 1 e x 2 ; e a transformação de Galileu garante que se tenha nesse caso t 1 = t 2, também independentemente de x 1 e x 2. B) Caso lorentziano. Diferentemente do caso galileano, na cinemática lorentziana a simultaneidade de dois eventos não tem um caráter absoluto, no sentido de que dois eventos simultâneos para um observador inercial em geral não serão simultâneos para outro. Isso resulta diretamente do fato de que as transformações de Lorentz misturam variáveis espaciais e o tempo, de modo a levar à invariança expressa pela relação (18). Tomando, por simplicidade, y 1 = y 2 = y 1 = y 2 e z 1 = z 2 = z 1 = z 2 (e usando a transformação de Lorentz (11)), 8

(x 2 x 1 ) 2 (t 2 t 1 ) 2 = (x 2 x 1) 2 (t 2 t 1) 2 (19) e a simultaneidade dos eventos para o observador inercial K se exprime por t 1 = t 2. A transformação (11)) dá, no entanto, t 1 = t 1 V x 1, t 2 = t 2 V x 2 logo t 2 t 1 = (t 2 t 1 ) V (x 2 x 1 ) V (x c = 2 2 x 1 ) mostrando que t 2 t 1 0 sempre que x 2 x 1, isto é, sempre que os eventos não ocorram na mesma posição do ponto de vista do observador K. A invariança expressa por (19) mostra ainda que a distância espacial entre os dois eventos também é diferente para os dois observadores inerciais K e K. De fato, sendo os dois eventos simultâneos para K, t 2 t 1 = 0, e usando a expressão (19) juntamente com o resultado obtido para t 2 t 1, ( (x 2 x 1) 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (t 2 t 1) 2 = 1+ V 2 ) )(x V 2 2 x 1 ) 2. Note, em particular que x 2 x 1 > x 2 x 1, como uma consequência direta da simultaneidade em K e da não simultaneidade em K, pois segundo a relação (19) a quantidade positiva (x 2 x 1 ) 2 deve ser igual à quantidade positiva (x 2 x 1) 2 quando dela for subtraída a quantidade também positiva (t 2 t 1) 2. A quantidade invariante (19), ou, de forma mais geral, a (18) é chamada intervalo entre os dois eventos. Devido ao sinal negativo nos termos referentes ao tempo o intervalo pode ser positivo, nulo ou negativo. A positividade do intervalo (como no caso de simultaneidade em K e x 1 x 2 tratado acima) indica a existência de um referencial inercial onde os dois eventos são simultâneos. Neste caso o intervalo é dito tipo espaço. A negatividade do intervalo por outro lado, sinaliza a existência de um referencial inercial no qual os dois eventos ocorrem na mesma posição, em instantes diferentes, e neste outro caso o intervalo é dito tipo tempo. O caso intermediário em que o intervalo é nulo corresponde a dois eventos ligados por um raio de luz, isto é, a razão (x 2 x 1 ) 2 /(t 2 t 1 ) 2 = em qualquer referencial inercial. Uma consequência de importância crucial da invariança do intervalo(18) entre dois eventos é que o caráter tipo tempo ou tipo espaço, ligado ao sinal do intervalo, tem um sentido absoluto, isto é, independente do observador inercial. O mesmo ocorre, é claro, com a fronteira entre essas duas regiões de pares de eventos com intervalo nulo entre si, e portanto que podem ser ligados por um raio de luz. Dado um evento E 0 rotulado pelas coordenadas espaço-temporais x 0,y 0,z 0,t 0 de um referencial inercial K, o conjunto de coordenadas espaço-temporais x,y,z,t cujo intervalo com E 0 seja tipo tempo (isto é, negativo) constituem o passado e o futuro de E 0, isto é, são posições espaço-temporais que podem ter tido ou podem vir a ter alguma 9

tipo tempo c(t t ) o futuro de x, o t o Figura 2: Representação em uma única dimensão espacial dos domínios dos intervalos tipo espaço, tipo tempo passado e futuro para um evento x 0,t 0. tipo espaco, x o, t o tipo espaco, x x o tipo tempo passado de x, o t o relação de causalidade com E 0, pela possibilidade de comunicação com ou a partir de E 0 por sinais propagados com velocidade menor que c. Os pontos x,y,z,t cujo intervalo com E 0 seja tipo tempo constituem um domínio do espaço tempo sem qualquer relação causal possível com E 0. A figura 2 acima é uma representação bi-dimensional (coordenadas x e t apenas) dessas regiões do espaço-tempo relativamente a um evento em x 0,t 0. iv. Um exemplo: paradoxos e sua resolução. Familiaridade com situações tal como entendidas através da cinemática galileana tende a levar a resultados aparentemente paradoxais quando re-examinadas através da cinemática lorentziana. Há duas coisas que devem ser decididas quanto a tais paradoxos ligados à relatividade especial: a primeira é, existe realmente alguma inconsistência interna a problematizar a cinemática lorentziana? A segunda, que se apresenta apenas se a resposta à primeira for negativa, é, a descrição lorentziana é realmente a que é realizada na natureza? O que vai ser tratado aqui, através de um exemplo, é a possibilidade de manter uma resposta negativa à primeira das duas questões. A decisão do segundo ponto por uma resposta afirmativa é, sobretudo agora no início do século XXI, amplamente apoiada por um enorme e crescente volume de evidências que, de tão comuns, é até mesmo algo impróprio chamar de experimentais. O exemplo considera a situação hipotética (e bem pouco realista) 2 de uma nave espacial, cujo comprimento é L em seu próprio referencial de repouso (suposto inercial) que se move com velocidade relativa V com relação a uma estação espacial na qual existe um túnel de 2 Na literatura didática sobre a relatividade há um grande número de variantes, maiores ou menores, desta situação. Ver, por exemplo, o problema 3.2 de Teoria da relatividade especial de Ramayana Gazinelli (ed. Edgard Blucher, 2005). 10

comprimento l (no referencial de repouso da estação). A nave, em seu movimento, atravessa esse túnel. Para um observador situado na estação espacial, o comprimento da nave (afetado pela contraçãodelorentzdevidaàvelocidadev danaveemrelaçãoàestação)éexatamenteigualao comprimento do túnel, pois ele observa que o nariz e a cauda da nave passam simultaneamente pela saída e pela entrada do túnel, respectivamente. Para um observador que viaja dentro da nave, no entanto, o comprimento do túnel é que é afetado pela contração de Lorentz, ele é visto como sendo bastante menor que o comprimento da nave. Desse modo o nariz da nave chega à saída do túnel bastante antes que a cauda tenha chegado à entrada dele. A questão a ser decidida é se existe algum nexo coerente capaz de organizar essas observações à primeira vista discrepantes. Discussão do exemplo. Preliminarmente, é bom deixar claro que, do ponto de vista da cinemática galileana, a situação hipotética descrita não faz sentido. Como nessa cinemática a simultaneidade de dois eventos tem um sentido absoluto (independente do observador inercial considerado), a observação da simultaneidade da passagem do nariz e da cauda da nave respectivamente pena saída e pela entrada do túnel por um observador da estação espacial deve valer também necessariamente para um observador da nave, determinando de forma cabal que a nave e o túnel têm o mesmo comprimento. A descrição dada faz sentido, no entanto, no contexto da cinemática lorentziana, tendo em conta em especial as características dessa cinemática discutidas nos itens i), ii) e iii) acima. Nesse contexto há dois referenciais (supostamente inerciais) a considerar: a) o referencial de repouso da nave (isto é, no qual a nave está em repouso), que será chamado referencial K ; e b) o referencial de repouso da estação espacial, que será chamado referencial K. A situação corresponde dessa forma à da figura 2 à página 2, K tendo velocidade V, na direção x, com relação a K. No referencial K (da nave) seja x 1 a posição do nariz no instante t 1, e x 2 a posição da cauda no instante t 2. Essas posições são independentes do tempo para os observadores da nave,de modo que o comprimento L da nave, dado pela distância entre o nariz e a cauda, no mesmo instante de K, será x 1 x 2 = L. Do ponto de vista dos observadores da estação espacial (referencial K), as observações x 1,t 1 e x 2,t 2 feitas em K vão se traduzir em coordenadas x 1,t 1 e x 2,t 2 de K, relacionadas com as de K através de uma transformação de Lorentz, isto é x 1 = x 1 Vt 1, t 1 = x 2 = x 2 Vt 2, t 2 = 11 t 1 V x 1 t 2 V x 2 (20)

A diferença das duas equações da primeira coluna dá x 1 x 2 = L = (x 1 x 2 ) V(t 1 t 2 ). O comprimento da nave para os observadores da estação espacial será a diferença x 1 x 2, essas duas posições sendo observadas no mesmo instante de K, isto é, quando t 1 = t 2. O resultado observado é l, de modo que L = l ou l = c L. 2 Isto é um resultado menor que o obtido pelos observadores situados na nave devido à contração de Lorentz. Conhecendo os resultados L e l dos dois observadores é possível deduzir a velocidade da nave, pois a última relação pode ser re-escrita como = l L ou seja V = 1 l2 c. (21) L2 A pergunta que cabe a seguir é qual, para os observadores da nave, é o intervalo de tempo t 1 t 2 transcorrido entre os dois eventos simultâneos para os observadores da estação espacial, t 1 t 2 = 0. Devido à relatividade da simultaneidade, esse intervalo não será nulo em K. De fato, subtraindo as duas equações da segunda coluna de (20), se obtém t 1 t 2 = (t 1 t 2 ) V (x 1 x 2 ) = V x 1 x 2 = v l = V L. O fato de que t 1 t 2 < 0, ou seja, t 1 < t 2 significa que, do ponto de vista dos observadores da nave, a observação da posição do nariz da nave pelos observadores da plataforma espacial precede a observação, também pelos observadores da plataforma, da posição da cauda. Portanto, para os observadores da nave, ela se desloca de uma distância d = V(t 2 t 1) = V 2 L entre as duas observações. Resta relacionar as observações do túnel feitas a partir do referencial K da nave e a partir do referencial K da estação espacial. Sejam X 1 e X 2 observações feitas respectivamente da posição saída e da entrada do túnel por observadores de K, em que o túnel está em repouso, em instantes T 1 e T 2, também respectivamente; e sejam X 1,X 2 e T 1,T 2 as coordenadas e tempos 12

correspondentes dos mesmos eventos em K. É claro que X 1 e X 2 não dependem de T 1 e T 2, e que X 1 X 2 = l em K. A relação entre as coordenadas e tempos referidos a K e a K é novamente dada pela transformação de Lorentz X 1 = X 1 VT 1, T 1 = X 2 = X 2 VT 2, T 2 = T 1 V X 1 T 2 V X 2 (22) e o comprimento do túnel, tal como observado a partir e K, será X 1 X 2 com T 1 = T 2, isto é, usando medidas de posição simultâneas em K. A relatividade da simultaneidade faz com que as duas observações não sejam simultâneas do ponto de vista de K. De fato, subtraindo as duas equações da segunda coluna de (22), T 1 T 2 = 0 = (T 1 T 2 ) V (X 1 X 2 ) ou seja T 1 T 2 = V (X 1 X 2 ). O comprimento do túnel para os observadores da nave será portanto l X 1 X 2 = (X ( 1 X 2 ) V(T 1 T 2 ) = ) l = l. (23) c2 Resulta portanto que l < l, mais uma vez devido à contração de Lorentz. Agora é possível tomar todos os resultados obtidos pelos observadores tanto da nave (referencial K ) como da estação espacial (referencial K), e examinar a sua consistência. Para K o comprimento da nave é L, e ela atravessa um túnel de comprimento l, menor que o comprimento da nave. Consistentemente com isso, para os observadores de K o nariz da nave chega à saída do túnel antes que a cauda chegue à entrada do túnel, o que ocorre apenas um tempo VL/ mais tarde, quando a nave já se deslocou de uma distância d = V 2 L/. A consistência disso com o comprimento medido da nave requer que se tenha l +d = L. Mas o comprimento l do túnel, medido em K, depende do comprimento l do túnel no seu referencial de repouso K e também da velocidade relativa V de K com relação a K, como expresso em (23), que pode ser inferida da observação feita em K de que o comprimento da nave e o comprimento do túnel são iguais. Usando isso, tem-se de (21) que = l L donde l = 13 l = l2 L.

Por outro lado, usando novamente (21), d = V 2 ( ) c L = 1 l2 L 2 L 2 de modo que, de fato l +d = l2 L + ( ) 1 l2 L 2 L = L. Isso mostra que os resultados aparentemente discrepantes dos observadores dos dois referenciais acerca dos comprimentos da nave e do túnel (ligados a contrações de Lorentz) se combinam com os resultados aparentemente discrepantes quanto à simultaneidade ou não de eventos (ligadas à relatividade da simultaneidade) para garantir a sua consistência interna. 3. Adição de velocidades. A) Caso galileano. Se um corpo se move com uma velocidade constante V {V x,v y,v z } com relação ao referencial K, o qual por sua vez se move com velocidade constante V, na direção x, com relação a K (v. fig.2 da página 2), o tempo absoluto comum a todos os referenciais implica, no caso galileano, que esse corpo se move, com relação ao referencial K, com velocidade cujas componentes são, no referencial K, {V +V x,v y,v z }. Em geral, a velocidade do corpo no referencial K será a soma vetorial da sua velocidade no referencial K com a velocidade do referencial K no referencial K. B) Caso lorentziano. Aqui não pode valer a simples soma vetorial de velocidades que vale no caso galileano, pois ela pode levar a velocidades maiores que c, fazendo que o fator que aparece na transformação de Lorentz não exista como número real. Para ver como se faz a adição de velocidades no contexto da cinemática lorentziana, basta tomar a transformação de Lorentz que relaciona as coordenadas de K com as de K, isto é x = x Vt, y = y, z = x e t = t V x, e combiná-la com as coordenadas do corpo que se move com velocidade V {V x,v y,v z } com relação ao referencial K, isto é x = V x t, y = V y t e z = V z t. A transformação de Lorentz permite exprimir as coordenadas do corpo com relação ao sistema K e em função do tempo t do sistema K. Assim 14

x = V x t, x Vt = V x t V x e, resolvendo para x como função de t, x = V x +V 1+ V x V t donde V x = V x +V Procedendo de modo semelhante para as componentes y, y y = V y t, y = V y t V x = V y 1+ V x V. (24) t V V x +V 1+ V x V onde a dependência em x foi tratada usando a primeira das expressões em (24). Esta última expressão fornece a expressão apropriada para V y como em (24). A expressão pode ainda ser re-arranjada: V y = donde, finalmente, V y 1 V V x +V 1+ V x V V y = V y = V y t 1+ V x V V x V V 2 1+ V x V 1+ V x V. (25) A expressão para a componente V z da adição da velocidade V do corpo com relação a K com a velocidade V, na direção x, de K com relação a K é obtida de forma análoga a V y, sendo V z = V z 1+ V x V. (26) Usando as expressões (24), (25) e (26), a composição das duas velocidades V e V (na direção x) é sempre limitada pela velocidade da luz c, mesmo quando o móvel considerado no referencial K é ele próprio um raio de luz. De fato, nesse caso (V x) 2 + (V y) 2 + (V z) 2 = e, usando essas expressões 15

(V x ) 2 +(V y ) 2 +(V z ) 2 = (V x +V) 2 + ( )( c (V 2 y ) 2 +(V z) 2) ( ) 2. (27) 1+ V x V Usando do lado direito (V y) 2 + (V z) 2 = (V x) 2 á fácil verificar algebricamente que ele se reduz de fato a, consistentemente com o postulado da constância da velocidade da luz. 4. Intervalos e outros invariantes por transformações de Lorentz. Momento e energia relativísticos. A não invariança das equações da dinâmica Newtoniana sob transformações de Lorentz exigiram uma revisão para que fosse preservado o princípio de relatividade. Essa revisão foi apenas iniciada no trabalho de Eistein de 1905 sobre a relatividade especial, onde é apresentado um estudo do movimento lentamente acelerado de um elétron submetido a um campo elétrico externo, e mostrando que a imposição do princípio de relatividade exigia que a aceleração (no sentido newtoniano) do elétron devia depender de sua velocidade, além de depender de sua massa (newtoniana); e que a energia ganha pelo elétron (de carga elétrica q) ao atravessar uma dada diferença de potencial eletrostático V devia ser dada por qv = m 1 1 1 v2 sendo v a velocidade final do elétron. Para v c esse resultado pode ser aproximado por qv m 1+ 1 v 2 2c + 3 ( ) v 2 2 +... 1 2 8 = mv2 2 + 3 8 mv 4 +... (28) que reproduz, com correções de ordem v 2 /, o resultado newtoniano para a energia cinética. Em geral, no entanto, essa expressão leva a um valor de v sempre menor que c por maior que se suponha ser a diferença de potencial V. A possibilidade de ter valores arbitrariamente grandes para a energia cinética adquirida pelo elétron ao atravessar uma correspondente diferença de potencial, mantendo ao mesmo tempo a velocidade da luz como velocidade limite para o elétron, sinaliza a existência de um regime no qual a relação newtoniana entre a energia cinética e a velocidade deixa de ser válida até mesmo como aproximação. Se em 1905 a verificação experimental desse resultado era tecnicamente problemática, ela não só pode logo ser verificada com o desenvolvimento de aceleradores de partículas carregadas, mas se tornou um lugar comum indispensável para a construção de tais máquinas. Em termos de teoria, o que faz falta é uma reformulação relativística consistente das quantidades básicas para mecânica newtoniana de partículas que são o momento e a energia cinética. Em vez de tentar recriar os caminhos que possam ter sido seguidos historicamente 16

nesse sentido, o que segue é uma espécie de atalho que leva ao resultado buscado, talvez com menos esforço. O ponto de partida consiste em lembrar o que foi dito na página 5 em conexão com as expressões (17) e (18) sobre as transformações de Lorentz, que é a possibilidade de caracterizalas pelo fato de manterem invariante o intervalo s entre dois eventos, cujas coordenadas (espaço-temporais) num dado referencial inercial K sejam respectivamente {x 1,y 1,z 1,t 1 } e {x 2,y 2,z 2,t 2 }. Tal intervalo é definido como s 2 (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 +(z 1 z 2 ) 2 (t 1 t 2 ) 2 ( x) 2 +( y) 2 +( z) 2 ( t) 2 ( l) 2 ( t) 2 Invariante quer dizer que as coordenadas espaço-temporais dos mesmos dois eventos, mas referentes a outro referencial inercial K, ligadas portanto às coordenadas referentes a K pela transformação de Lorentz apropriada, são tais que se tem ( l ) 2 ( t ) 2 = s 2 = ( l) 2 ( t) 2, com ( l ) 2 ( t ) 2 = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 +(z 1 z 2 ) 2 (t 1 t 2 ) 2, qualquer que seja o outro referencial inercial K. Com base na invariança do intervalo, é possível construir outras quantidades invariantes que são de interesse. A primeira delas é o chamado tempo próprio. Tomando as coordenadas de posição de um dado móvel em dois instantes sucessivos de tempo, medidos em um dado referencial inercial, como os dois eventos que definem um intervalo, da invariança desse intervalo e da invariança da velocidade da luz c decorre a invariança também de ( ) ( ( τ) 2 = s2 c = ( t) 2 ( l)2 = ( t) 2 1 1 ( l) 2 ) ( ) = ( t) 2 1 v2. (29) 2 ( t) 2 Aqui v é a velocidade do corpo no referencial considerado. O intervalo de tempo invariante τ é chamado intervalo de tempo próprio do móvel. A expressão (29) mostra que o tempo próprio é o tempo do referencial de repouso do móvel, pois τ = t quando v = 0. Uma vez identificado o tempo próprio, podemos em seguida usar as diferenças x, y, z e c t para definir as quatro componentes de uma velocidade β x = x τ, β y = y τ, β z = z τ e β t = c t τ. Dadas as invarianças do intervalo e do tempo próprio, é claro que a quantidade β 2 x+β 2 y+β 2 z β 2 t é por sua vez também invariante. De fato, 17

β 2 x +β 2 y +β 2 z β 2 t = = 1 ( ( ) ( t) 2 1 v ( x) 2 +( y) 2 +( z) 2 ( t) 2) = 2 1 ( v 2 ) =. 1 v2 Além do mais, no limite em que v c, as componentes espaciais β x,β y e β z dessa velocidade se aproximam das componentes correspondentes da velocidade do móvel no referencial inercial considerado. Por exemplo, β x = x τ = x t 1 v x 1 v2 ( 1+ 1 2 v 2 ) c +.... 2 Finalmente, multiplicando as quatro velocidades acima pela massa m do móvel (medida através de sua inércia no referencial em que ele esteja em repouso, que pode ser identificada como a massa inercial newtoniana ), obtemos quatro componentes de um momento p x = mβ x, p y = mβ y, p z = mβ z e p t = mβ t. com as quais é possível formar mais uma quantidade invariante, a saber p 2 x +p 2 y +p 2 z p 2 t, que também pode ser facilmente calculada. O modo mais conveniente de fazer isso é notar que p t = mβ t = mc, p x = mβ x = mv x (30) 1 v2 1 v2 e expressões correspondentes à de p x para as outras duas componentes espaciais p y e p z. Então p 2 x +p 2 y +p 2 z p 2 t = m2 v 2 m 2 1 v2 = m 2. A forma usual de apresentar esse invariante consiste em exprimir a componente temporal p t do momento em termos de uma quantidade E com dimensões de energia, pondo E = cp t. Fazendo isso o novo invariante passa a ser representado como p 2 x +p 2 y +p 2 z E2 = m2 ou E 2 = (p 2 x +p 2 y +p 2 z) +m 2 c 4 = p 2 +m 2 c 4. (31) É claro que, no limite em que v c, os fatores que aparecem no denominador das componentes espaciais (x,y e z) do momento (v. eq. (30)) diferem muito pouco da unidade, de 18

modo que essas componentes por sua vez diferem muito pouco das componentes do momento newtoniano usual. Por outro lado, nesse mesmo limite, o termo p 2 é muito menor que m 2 c 4, a energia E é muito bem aproximada por E = p 2 +m 2 c 4 = m 1+ p2 m 2 c 4 mc2 ( ) 1+ p2 2m 2 = m + p2 2m isto é, a menos da constante m, a energia E reproduz nesse limite a energia cinética newtoniana usual. Desse modo, candidatos naturais para uma reformulação da dinâmica newtoniana condizente com o princípio de relatividade de Einstein são, para uma partícula de massa de repouso m, o momento relativístico p e a energia E dados por p {p x,p y,p z } = m v e E = mc2, (32) 1 v2 1 v2 ligados entre si através da relação invariante (31), isto é E 2 = p 2 +m 2 c 4. É claro também que a expressão (32) para a energia concorda com o resultado (28) do trabalho de 1905 de Einstein, feita a subtração da constante m. Para dar credibilidade à candidatura das expressões (32) ao status de momento e energia relativísticos pode-se verificar que, contrariamente às expressões newtonianas p = m v e E = mv 2 /2, elas garantem a invariança sob mudanças lorentzianas de referencial da conservação de momento e energia em um processo de colisão elástica de duas partículas. Por outro lado, a forma pela qual foram obtidas as quatro quantidades p x, p y, p z e E/c garante que elas se transformam da mesma forma que as coordenadas x, y, z e ct por uma mudança de referencial inercial. Desse modo, a transformação para um referencial K que se movecomvelocidadev, nadireçãodoeixoxcomrelaçãoaoreferencialdepartidak é(compare com as eqs. (11) e (13)) E c p x = p x V c ; p y = p y ; p z = p z ; E E c = V p c c x com p x, p y, p z e E/c dados por (32). AFRTP para Física III, 24/04/2017. 19