Matemática I 1710 Professor Cezar Rios 1. (Ufc) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Determine a tangente do menor ângulo agudo deste triângulo. 2. (Unicamp) Caminhando em linha reta ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto A a um ponto B, cobrindo a distância AB = 1.200 metros. Quando em A ele avista um navio parado em N de tal maneira que o ângulo NAB é de 60 ; e quando em B, verifica que o ângulo NBA é de 45. a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. b) Calcule a distância a que se encontra o navio da praia. 3. (Ufrrj) Determine os valores reais de k, de modo que a equação 2-3cosx = k - 4 admita solução. 4. (Unesp) Sejam a e b ângulos tais que a = 2b. Se vale a relação (cos a + cos b) + (sen a + sen b) = 3 determinar a e b. 5. (Unirio) Resolva a sentença 2 cos x - 3 cos x + 1 0, sendo 0 x<2. 6. (Uerj) Uma população P de animais varia, aproximadamente, segundo a equação abaixo. P = 800-100 sen [(t + 3) / 6] Considere que t é o tempo medido em meses e que 1. de janeiro corresponde a t = 0. Determine, no período de 1. de janeiro a 1. de dezembro de um mesmo ano, os meses nos quais a população de animais atinge: a) um total de 750; b) seu número mínimo. 7. (Ufmg) DETERMINE todos os valores de x pertencentes ao intervalo (0, ) que satisfazem a equação 3 tg x + 2 cos x = 3 sec x. 8. (Ufscar) O número de turistas de uma cidade pode ser modelado pela função f(x) = 2,1 + 1,6 sen ( x/6), onde x representa o mês do ano (1 para janeiro, 2 para fevereiro, 3 para março, e assim sucessivamente) e f(x) o número de turistas no mês x (em milhares). a) Determine quais são os meses em que a cidade recebe um total de 1300 turistas. b) Construa o gráfico da função f, para x real, tal que x Æ [1, 12], e determine a diferença entre o maior e o menor número de turistas da cidade em um ano. 9. (Unesp) Uma equipe de agrônomos coletou dados da temperatura (em C) do solo em uma determinada região, durante três dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita às 3 horas da manhã do primeiro dia (t=0) e terminou 72 horas depois (t=72). Os dados puderam ser aproximados pela função H(t) = 15 + 5 sen [( /12)t + (3 /2)], SISTEMA DE ENSINO VETOR 1
onde t indica o tempo (em horas) decorrido após o início da observação de H(t) a temperatura (em C) no instante t. a) Resolva a equação sen [( /12)t + (3 /2)] = 1, para t Æ[0,24]. b) Determine a temperatura máxima atingida e o horário em que essa temperatura ocorreu no primeiro dia de observação. 10. (Unesp) A figura mostra a órbita elíptica de Determine: a) A altura h do satélite quando este se encontra no perigeu e também quando se encontra no apogeu. b) os valores de, quando a altura h do satélite é de 1.580 km. 11. (Unicamp) Considere a equação trigonométrica sen š - 2 cos š + (1/2) sen 2š = 0. um satélite S em torno do planeta Terra. Na elipse estão assinalados dois pontos: o ponto A (apogeu), que é o ponto da órbita mais afastado do centro da Terra, e o ponto P (perigeu), que é o ponto da órbita mais próximo do centro da Terra. O ponto O indica o centro da Terra e o ângulo PÔS tem medida, com 0 360. a) Mostre que NÃO são soluções dessa equação os valores de š para os quais cos š = 0. b) Encontre todos os valores de cos š que são soluções da equação. 12. (Unifesp) Na procura de uma função y = f(t) para representar um fenômeno físico periódico, cuja variação total de y vai de 9,6 até 14,4, chegou-se a uma função da forma f(t) = A + B sen [( /90) (t - 105)], com o argumento medido em radianos. a) Encontre os valores de A e B para que a função f satisfaça as condições dadas. b) O número A é chamado valor médio da função. Encontre o menor t positivo no qual f assume o seu valor médio. 13. (Fuvest) Em uma progressão aritmética de A altura h, em km, do satélite à superfície da Terra, dependendo do ângulo, é dada aproximadamente pela função termos positivos, os três primeiros termos são 1-a, -a, 11 a. O quarto termo desta P.A. é: h = {- 64 + [ 7980/(100 + 5 cos ) ] } 10. 2 SISTEMA DE ENSINO VETOR
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 14. (Fuvest) A soma das frações irredutíveis, positivas, menores do que 10, de denominador 4, é d) - 5 e 3. e) 6 e 5. 17. (Cesgranrio) O número de assinantes de um jornal de grande circulação no estado aumentou, nos quatro primeiros meses do ano, em progressão geométrica, segundo os dados de uma pesquisa constantes na tabela a seguir. a) 10 b) 20 c) 60 d) 80 e) 100 15. (Puccamp) Um pai resolve depositar todos os meses uma certa quantia na caderneta de poupança de sua filha. Pretende começar com R$ 5,00 e aumentar R$ 5,00 por mês, ou seja, depositar R$ 10,00 no segundo mês, R$ 15,00 no terceiro mês e assim por diante. Após efetuar o décimo quinto depósito, a quantia total depositada por ele será de a) R$ 150,00 b) R$ 250,00 c) R$ 400,00 d) R$ 520,00 e) R$ 600,00 16. (Unaerp) A soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética é 185 e a soma dos 12 primeiros é 258, então, o 1. termo e a razão são respectivamente: a) 3 e 5. Em relação ao mês de fevereiro, o número de assinantes desse jornal no mês de abril teve um aumento de: a) 1600 b) 1510 c) 1155 d) 1150 e) 1050 18. (Fei) Dada a progressão geométrica 1, 3, 9, 27,... se a sua soma é 3280, então ela apresenta: a) 9 termos b) 8 termos c) 7 termos d) 6 termos e) 5 termos b) 5 e 3. c) 3 e - 5. SISTEMA DE ENSINO VETOR 3
19. (Fuvest) Uma progressão geométrica tem primeiro termo igual a 1 e razão igual a 2. Se o produto dos termos dessa progressão é 2 ª, então o número de termos é igual a: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 20. (Ita) Se a soma dos termos da progressão geométrica dada por 0,3: 0,03: 0,003:... é igual ao termo médio de uma progressão aritmética de três termos, então a soma dos termos da progressão aritmética vale: a) 2 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/8 e) 1/16 23. (Mackenzie) I) sen [( /7) - x] + sen [(5 /14) + x]=1, x Æ IR II) O maior valor real que 4 elevado ao expoente senx.cosx pode assumir é 2 III) No triângulo a seguir, não retângulo, tg + tg + tg = tg. tg. tg. a) 1/3 b) 2/3 c) 1 d) 2 e) 1/2 21. (Mackenzie) Numa progressão geométrica de termos positivos, cada termo é igual à soma dos dois termos seguintes. Então a razão da progressão vale: a) 2 b) -1 + 2 c) (1 + 2)/2 d) 2/2 e) ( 2-1)/2 22. (Unirio) O número que deve ser subtraído de 1, de 11/8 e de 31/16 para que os resultados formem uma P.G., nesta mesma ordem, é: Dentre as afirmações anteriores: a) Todas são verdadeiras. b) todas são falsas. c) somente a III é falsa. d) somente a II é falsa. e) somente a I é falsa. 24. (Unesp) Do quadrilátero ABCD da figura a seguir, sabe-se que: os ângulos internos de vértices A e C são retos; os ângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45 e 30 ; o lado CD mede 2 dm. 4 SISTEMA DE ENSINO VETOR
Então, os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm: 26. (Ufscar) Se o ponteiro dos minutos de um relógio mede 12 centímetros, o número que melhor aproxima a distância em centímetros percorrida por sua extremidade em 20 minutos é: (considere =3,14) a) 37,7 cm. b) 25,1 cm. c) 20 cm. d) 12 cm. e) 3,14 cm. a) 6 e 3. b) 5 e 3. c) 6 e 2. d) 6 e 5. e) 3 e 5. 25. (Uflavras) Às 11 horas e 15 minutos, o ângulo (figura abaixo) formado pelos ponteiros de um relógio mede a) 90 b) 112 30' c) 82 30' 27. (Fei) Na estação de trabalho de pintura de peças de uma fábrica, a pressão em um tambor de ar comprimido varia com o tempo conforme a expressão P(t) = 50 + 50sen[t - ( /2)], t > 0. Assinale a alternativa em que o instante t corresponda ao valor mínimo da pressão. a) t = /2 b) t = c) t = 3 /2 d) t = 2 e) t = 3 28. (Fuvest) A figura a seguir mostra parte do gráfico da função: d) 120 e) 127 30' SISTEMA DE ENSINO VETOR 5
a) sen x b) 2 sen (x/2) c) 2 sen x d) 2 sen 2x e) sen 2x 29. Calculando o valor da expressão (sen 80 / cos 10 ) (sen 20 / cos 70 ) (sen 130 / cos 40 ), encontraremos: a) -1 b) 1 c) sen 10 d) cos 20 e) sen 30 30. (Ita) Seja Æ [0, /2], tal que sen + cos = m. Então, o valor de y = sen2 /(sen + cos ) será: a) 2(m - 1)/m(4 - m ) b) 2(m + 1)/m(4 + m ) c) 2(m - 1)/m(3 - m ) d) 2(m - 1)/m(3 + m ) d) 2/7 e) 14 32. (Ufsm) Uma gráfica que confeccionou material de campanha determina o custo unitário de um de seus produtos, em reais, de acordo com a lei C(t) = 200 + 120. sen (. t)/2, com t medido em horas de trabalho. Assim, os custos máximos e mínimo desse produto são a) 320 e 200 b) 200 e 120 c) 200 e 80 d) 320 e 80 e) 120 e 80 33. (Unioeste) Sobre a função f: IR ë R, dada por f(x)=3cos2x, é correto afirmar que 01. f(0)=0. 02. é uma função periódica de período 2. 04. o maior valor que f(x) assume é 6. 08. para todo x, f(x) 3. 16. para todo x, f(x)=3-6sen x. 32. para todo x, f(x)=f(-x). 34. (Uel) Se senx = 1/2 e x é um arco do 2. quadrante, então cos2x é igual a e) 2(m + 1)/m(3 - m ) 31. (Mackenzie) A função real definida por f(x) = k. cos(px), k > 0 e p Æ IR tem período 7 e conjunto imagem [-7, 7]. Então, k. p vale: a) 7 b) 7/2 c) 2 a) 1 b) 3/4 c) 1/2 d) -1/2 e) - 3/4 6 SISTEMA DE ENSINO VETOR
35. (Ufal) O seno de um arco de medida 2340 é igual a a) -1 b) - 1/2 c) 0 d) ( 3)/2 e) 1/2 36. (Ufjf) O valor de y = sen 10 + sen 20 + sen 30 + sen 40 + sen 50 + sen 60 + sen 70 + sen 80 + sen 90 é: d) (2 2)/9 39. (Unesp) Na figura adiante o triângulo ABD é reto em B, e AC é a bissetriz de BÂD. Se åæ = 2. æè, fazendo æè = b e èî = d, então: a) d = b b) d = (5/2)b c) d = (5/3)b d) d = (6/5)b e) d = (5/4)b a) -1. b) 1. c) 2. d) 4. e) 5. 37. (Fuvest) Os números reais sen ( /12), sen a, sen (5 /12) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então o valor de sen a é: a) 1/4 b) ( 3)/6 c) ( 2)/4 d) ( 6)/4 e) ( 3)/2 38. (Uece) Seja p um número real positivo. Se sen(2š)=2p e senš=3p, 0 < š < /2, então p é igual a: a) ( 2)/9 b) ( 2)/8 40. (Fuvest) O dobro do seno de um ângulo š, 0 < š < /2, é igual ao triplo do quadrado de sua tangente. Logo, o valor de seu cosseno é: a) 2/3 b) ( 3)/2 c) ( 2)/2 d) 1/2 e) ( 3)/3 c) ( 2)/6 SISTEMA DE ENSINO VETOR 7
GABARITO 1. 3/4 2. Observe a figura a seguir: 9. a) 12 b) 20 C e 15 horas 10. a) 1200 km e 2000 km b) = 90 ou = 270 11. a) sen š - 2.cos š + 1/2.sen (2.š) = 0 ë b) d = 600 (3-3)m 3. 3 k 9 4. a = 2 /3 + 4n e b = /3 + 2n ou a = - 2 /3 + 4n e b = - /3 + 2n, n Æ Z 5. 0 x /3 ou 5 /3 x < 2 6. a) Novembro e março. b) Somente no mês de janeiro. 7. V = { /6, 5 /6} 8. a) julho e novembro. b) 3.200 turistas. Observe a figura a seguir: ë 1 - cos š - 2.cos š + 1/2.2.senš.cosš = 0 ë 1-3.cos š + senš.cosš = 0. Os valores de š, para os quais cos š=0, não são soluções da equação dada, pois, neste caso a sentença resultante é 1-0+0=0, que é falsa. b) +( 2)/2; -( 2)/2; + ( 5)/5; - ( 5)/5. 12. a) A = 12 e B = +2,4 ou B = -2,4 b) t = 15 13. [B] 14. [E] 15. [E] 16. [B] 17. [C] 18. [B] 19. [B] 20. [C] 21. [E] 22. [C] 23. [A] 24. [C] 25. [B] 26. [B] 27. [D] 28. [B] 29. [B] 30. [C] 31. [C] 32. [D] 33. F F F V V V 34. [C] 35. [C] 36. [E] 37. [D] 38. [D] 39. [C] 40. [B] 8 SISTEMA DE ENSINO VETOR