UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Primeira Lista de Eercícios de Cálculo Diferencial e Integral I - MTM Prof. Júlio César do Espírito Santo 8 de Novembro de 03 () Construa os gráficos das funções a seguir. (a) f() = 4 + 3 (b) f() = 3 (c) f() = 4 + 3 (d) f() = sen (e) f() = cos (f) f() = cos (g) f() = sen(π) (h) f() = sen (i) f() = (/)sen (j) f() = sen (k) f() = sen (l) f() = + sen() (m) f() = arcsec() (n) f() = ln( + ) (o) f() = argcosh() (p) f() = () Prove as identidades abaio. (a) sena cos b = [sen(a + b) + sen(a b)] (b) cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a b)] (c) senasenb = [cos(a b) cos(a + b)] (d) cosh t senh t = (e) argcosh() = ln( + ), (f) tgθ = tgθ tg θ (3) Use as propriedades para calcular os ites (a) (3 7 5 ) (c) (e) ( 5 + 6 4 + ) [( + 4)3 ( + ) ] (g) t t + 5t + 6 t + (i) 3 (b) 3 (3 7 + ) (d) ( + 7) (f) t 5t + 6 (h) t (j) 3 4 (k) π [sen cos + cotg] (l) ( + 3)/4 /3 [R.3; 8; 9; 8; 7; ; 5; ; ; 3 ; ; 4 7/3]
(4) Calcule os ites a seguir (a) 3 + (c) t 0 (4 t) 6 t (e) h 0 3 8 + h h + 3 0 (b) 3 5 (d) h h h (f) 3 9 + 9 (g) 5 (i) 3 3 + + ( ) (h) (3 3 ) 4 6 3 (j) + 3 + (k) (l) h 0 ( + h) 3 3 h (k) a 3 3 a, a 0 (l) a h 0 4 4 a a, a 0. [R. 3/; ; 8; /; /; 0; /9; ; ; 3; 4; 3 ; /(3 3 a ); /(4 4 a 3 ) - ver mais eercícios Diva p.03 5 a ed.] (5) Escreva uma lista contendo as principais propriedades do logaritmo e da eponencial e uma outra contendo as principais identidades trigonométricas. (6) Calcule, se eistirem, os ites a seguir 5 + (/) (/5) (a) (b) 3 + 5 5 t (c) t 0 sin t (e) sin + sin() 3 (g) cos + 3 5 (d) + sin 4 (f) cos + sin (h) 3 + cos sin sin (i) cos (j) cos() [R.3; 0; /3; 3/5;.] (7) Sejam f e g duas funções com mesmo domínio A tais que f() = 0 0 e g é uma função itada (ou seja, eiste M > 0 tal que g() M para todo A). Use o Teorema do Confronto (Sanduíche) para provar que f()g() = 0. 0
3 (8) Nos items a seguir, verifique as identidades (a) cosh + senh = e (b) cosh senh = e (c) senh( ) = senh() (e) cosh( ) = cosh() (g) senh() = senh() cosh() + cosh() (i) cosh() = (d) senh( + y) = senh() cosh(y) + senh(y) cosh() (f) cosh( + y) = cosh() cosh(y) + senh(y)senh() (h) cosh() = cosh () + senh () (j) [cosh() + senh()] n = cosh(n) + senh(n), para n inteiro positivo. [Dica:use (a)] tg (k) sen() = + tg tg (l) cos() = + tg (9) Resolva: 3 + (a) Se f() = 7 5, calcule (b) Se f() = f() e +, calcule ( + ) f() e f(). f(). + [R. ;/6;+ ;0] (0) Verifique se as funções são continuas nos pontos dados. { sen() (a) f() =, se 0 0, se = 0. em = 0; (b) f() = em = 0; 3 8 (c) f() = 4, se 3, se =. em = ; (d) f() = sen em = ; (e) f() = {, se, se <. em =. [R. São contínuas, b,c,d.] () Calcular as derivadas laterais onde a função não é derivável. Esboce o gráfico. {, se < (a) f() = + 3 (b) f() =, se. (c) f() = + 4 + 3 (d) f() =, se < (e) f() =, se 6, se > {, se > 0, se. [R. a.;- b.; c.;- d.0;;-;0 e.0;4;;0.]
4 () Calcule. (a) + (33 + 4 t + ) (b) t + t + (c) (e) (g) t + t t + 3 t + 5t 3 + 3 + + ν ν ν + 3ν (d) (f) (h) 3 5 + 7 + 4 + + (i) ( 0 3 + 4 ) (j) + + 3 (k) (m) 5 3 + 4 + 3 + 3s7 4s 5 3 s + (o) 3 + 3 (q) + 4 (s) y 6 + y + 6 y 36 s 7 + 3 (u) 4 + 8 () 3 3 (l) (n) (p) (r) y + 3 7 + 3 3 y 5 + 4y 3 4 (t) y 6 y + 6 y 36 (v) 4 3 8 (y) 3 + 3 [R.a.+ ;b.0;c./;d. ;e.+ ;f.+ ;g.+ ;h.-;i.-/;j.0/3;k.0;l. ; m. 3 3/;n.-/;o.+ ;p. ; q.+ ;r. ;s.+ ;t. ;u. ;v.+ ;.+ y.+.] (3) Calcule os ites a seguir. (a) sen(4) 3 (c) tga (e) cos (b) 3 sen(0) sen(7) (d) cos (f) cos cos 3 ( ) n+ t + 3 (g) (h) t t + 3π 3 ( (i) + 0 ) 0 (j) (k) 5 5 e a e b (l) sen(a) sen(b) [R.4/3;0/7;a;0;/;5/;e;e;e 0 ;ln 0;5 ln 5;b a;]
5 (4) (Teorema do Valor Intermediário) Mostre que o polinômio tem uma raiz no intervalo (0, ). 5 + 3 (5) Mostre que eiste (0, ) tal que 5 = 4 +. [R. 8;4 ; /( + ) ; 4/( + 3) ; /[( ) ];/(3 3 ( 3 ) ] [Hint: Considere a função f() = 5 4 + definida no intervalo [0, ]. ] (6) Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso. (a) y = ; = ; = 0; = a, a R (b) y = 3 + 6; =, =. (c) y = (3 5); = /; = a, a R. [ R. a. y = 0,y =,a y a = 0. b.5 + y 5 = 0; y + = 0. c.8 + 4y + 3 = 0;(6a 5) y 3a = 0. ] (7) Encontrar as equações das retas tangente e normal à curva no ponto (, 9). y = +, [R. 6 + y + 3 = 0; 6y + 56 = 0 ] (8) Use o que voce aprendeu sobre translações para esboçar o gráfico da função y = ( ) +. (9) Obtenha a inversa das funções y = senh, y = cosh e y = tgh e calcule sua derivada. Em seguida, use o teorema de derivada de funções inversas para obter a derivada das funções y = argsenh, y = argcosh e y = argtgh. Faça o mesmo para y = arcsen, y = arccos e y = arctg. (0) Esboçe o gráfico de uma função f para a qual f(0) = 0, f (0) = 3, f () = 0, e f () =. () Esboçe o gráfico de uma função g para a qual g(0) = g (0) = 0, g ( ) =, g () = 3, e g () =. () A figura mostra os gráficos de f, f f e f. Identifique cada curva e eplique suas escolhas. (3) A derivada de uma função par é uma função ímpar e a derivada de uma função ímpar é uma função par. Verdadeiro ou falso? (4) Derive as fórmulas a seguir: (a) cos = cos sen (b) sen( + b) = sen cos b + senb cos
6 (5) Derive e simplifique. () y = ( 4 3 + 5) 3 () y = cos(tg()) (3) y = + 3 4 (4) y = 3 + (5) y = + (6) y = e + (7) y = e sen(θ) (8) y = e t (t t + ) (9) y = t t (0) y() = e m cos(n) () y = cos () y = (arcsen) (3) y = e/ (4) y = sen( sen) (5) y = ln. (6) y = ln(cossec5) (7) y = sec θ + tgθ (8) y =. (9) y = e c (csen cos ) (0) y = ln( e ) () y = 3 ln () y = sec( + ) (3) y = ( ) (4) y = / 3 + (5) y = 3. (6) y = sen (7) y = log 5 ( + ) (8) y = (cos ) (9) y = ln sen sen (30) y = ( + ) 4 ( + ) 3 (3 ) 5 (3) y = arctg(4) (3) y = e cos + cos(e ) (33) y = ln sec 5 + tg5 (34) y = 0 tgπθ (35) y = cotg(3 + 5) (36) y = t ln(t 4 ) (37) y = sen(tg + 3 ) (38) y = arctg(arcsen ) (39) y = tg (sen(θ)) (40) y = e. (4) y = + ( ) 5 (4) y = ( + λ)4 ) (43) y = senh( ) (44) y = senm ( + 3) 7 4 + λ 4 (45) y = ln(cosh 3) (46) y = ln + 4 + 5 (47) y = argcosh(senh) (48) y = arctg (49) y = cos(e tg(3) ) (50) y = sen (cos senπ) Respostas..6( 4 3 + 5) ( 3) 3./( ) 4/(3 3 7 ) 5.( + )/ + 7. cos θe senθ 9.(t + )/( t ).(cos sen )/ 3.[e / ( + )]/ 4 5. ln. 7. sec θ(tgθ )/( + tgθ) 9.( + c )e c sen.3 ln (ln 3)( + ln ) 3. ( ) 5.3 ln 3. 7./(+) ln 5 9.cotg sen cos 3.4/(+6 )+arctg(4) 33.5 sec 5 35. 6cossec (3 + 5) 37.3 cos(tg + 3 )(sec + 3 )/ + 3 39. cos θtg(senθ) sec (senθ) 4.( ) 4 (3 55 5)/ + ( + 3) 8 43. cosh( ) + senh( ) 45.3tgh3 47. cosh / senh 49.( 3sen(e tg3)e tg3 sec (3)/ tg3
7 (6) Derive e simplifique. () y = (cosh senh ) 00 () f() = arcsen(sen() cos()) (3) f() = 3 7 + (4) k() = /( 4 + ) (5) g(t) = 6t + 5 (6) h(t) = / 6t + 5 (7) F (z) = 3 7z 4z + 3 (8) f(ω) = 5 3ω (9) G() = 6/(3 ) 4 (0) H() = (3 ) 4 /6 () F (y) = (y y ) () h(z) = [(z ) 5 ] 5 (3) g() = 5 (3 + ) 4 (4) P () = ( + ) (5) r(s) = ( ) 8s 4 9s 3 (6) g(w) = (w )(w 3) (w + )(w + 3) (7) F () = ( 6 + ) 5 (3 + ) 3 (8) k(z) = (z + (z + 9) / ) / (9) g(y) = + cos y (0) p() = ( 4 + 3 )/ () f() = sen (4 3 ) () H(t) = ( + sen3t) 3 (3) h() = + + (4) K(r) = r r + r + (5) f() = 3 + 3/ 3 + (6) f() = 6 (5/) + (/ 3 ) (7) g(z) = (9z 5/3 5z 3/5 ) 3 (8) F (t) = (5t 7)/(t + ) (9) k(s) = (s 3s + )(9s ) 4 (30) H() = cos (3) f(w) = (w + 5)/(7w 9) (3) S(t) = t + t + 3 4t 9 (33) P (θ) = θ cos θ (34) g(v) = /( + cos v) (35) g() = (cos 3 sen 3 ) 3 (36) f() = sen(cos 5) (37) y = 5 3 + 4 (38) y = 3 cos 5 (39) y = 3 5 + (40) y = 3 5 (4) f() = arctg(θ) k (4) G() = 3 sec θ Respostas..0... 3.6 7 5.3/ 6t + 5 7.(/3)(7z 4z + 3) /3 (4z 4) 9. 44/(3 ) 5. (y y ) 3 (y y 3 ) 3.(/5)(3 + ) /5 5.4(8s 4) 3 (7s 4 08s + 6s)/( 9s 3 ) 5 7.( 6 + ) 4 (3 + ) (99 6 + 60 5 + 9) 9. seny/ + cos y.4 sen(4 3 ) cos(4 3 ) = sen8 3 3.(/ + + )( + ( + )/(4 + )) 5.[(/3)(3 + ) / ( + 3) /3 (3/)( + 3) /3 (3 + ) / ]/[3 + ] 7.3(9z 5/3 5z 3/5 ) (5z /3 3z /5 ) 9.(9s ) 3 (08s 39s + 39) 3. 53/ (w + 5)(7w 9) 3 33.θ cos θ [cos θ θ senθ ] 35. /3 (cos 3 + sen[3])(cos[3] sen[3]) 37.5 + / 39.3 5 4.θ/( + θ ) (7) Encontre a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função y = (4/ ) no ponto P = (4, 6). Plote em um mesmo gráfico (use o software gnuplot ou o winplot ) a função e as retas encontradas. (8) Dado y = sen cos (a) encontre todos os pontos nos quais o gráfico para os quais a reta tangente é horizontal; (b) encontre a inclinação da reta tangente nos pontos onde o gráfico intersecta o eio-. (9) Encontre os valores de tais que a reta tangente ao gráfico de y = 3 cos (a) é perpendicular a reta + 4y = 5 e (b) nos quais ela é horizontal. (30) Descanse. Bom Estudo!