DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO Lucas Santana da Cunha email: lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 25 de setembro de 2017
Distribuição amostral da proporção Exemplo 1 Suponhamos que uma pesquisa eleitoral foi feita tomando uma amostra aleatória de 10 eleitores para saber a intenção de voto em três candidatos à prefeito de General Salgado: Eleitor (i) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Candidato A A C A B B C A A C
Distribuição amostral da proporção Exemplo 1 Suponhamos que uma pesquisa eleitoral foi feita tomando uma amostra aleatória de 10 eleitores para saber a intenção de voto em três candidatos à prefeito de General Salgado: Eleitor (i) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Candidato A A C A B B C A A C Consideremos uma variável aleatória Y i da seguinte forma: Y i = { 1, se o i-ésimo eleitor votou no candidato A; 0, se o i-ésimo eleitor não votou no candidato A.
Assim, temos: Eleitores (i) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Y i 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0
Assim, temos: Eleitores (i) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Y i 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 Portanto, a proporção π de todos os eleitores que votam no candidato A será estimada pela proporção, ˆP, de eleitores da amostra que votam no candidato A. Assim, a estimativa obtida será ˆP = Y 1 + Y 2 +... + Y 10 10 ˆp = 1 + 1 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 0 10 = 0, 5. Indicando que 50% de todos os eleitores votam no candidato A.
Distribuição amostral da proporção Seja π a proporção das unidades de uma população que possuem uma determinada característica (proporção de sucessos ). A população pode ser definida como uma variável Y, Bernoulli, tal que: Y = { 1, se o elemento da população tem a característica; 0, se o elemento da população não tem a característica. sendo P(Y = 1) = π e P(Y = 0) = 1 π. Logo, µ Y = E(Y ) = π, σ 2 Y = Var(Y ) = π(1 π).
Se amostras aleatórias de tamanho n forem tomadas de uma população com proporção π, então, o estimador de π dado por ˆP = n i=1 Y i n = Ȳ tem média e variância dadas por µ ˆP = E( ˆP) = π σ 2ˆP = Var( ˆP) = π(1 π). n
Logo, pelo teorema central do limite ( ) ˆP a π(1 π) N π;, n e assim, Z = ˆP π π(1 π) n a N(0, 1)
Exemplo 1 Um fabricante afirma que sua vacina contra gripe imuniza 80% dos casos. Uma amostra de 25 indivíduos que tomaram a vacina foi sorteada e testes foram feitos para verificar a imunização ou não desses indivíduos. Se o fabricante estiver correto, qual é a probabilidade da proporção de imunizados na amostra ser inferior à 0,75? E superior à 0,85?
Exercício 1 Um distribuidor de sementes determina, por meio de testes, que 5% das sementes não germinam. Ele vende pacotes com 200 sementes com garantia de 90% de germinação. Qual é o probabilidade de que um pacote não satisfaça à garantia?
Exercício 2 Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir um máximo de 10% dos itens defeituosos na produção. A cada 6 horas sorteia-se uma amostra de 20 peças e, havendo mais de 15% de defeituosos, encerra-se a produção para verificação do processo. Qual a probabilidade de uma parada desnecessária?
Exercício 3 Supondo que a produção do exemplo anterior esteja sob controle, isto é, π = 10%, e que os itens sejam vendidos em caixas com 100 unidades, qual a probabilidade de que uma caixa: a) tenha mais do que 10% de defeituosos? b) entre 10% e 15% de defeituosos?
Exercício 4 Suponha que π = 30% dos estudantes de uma escola sejam mulheres. Colhemos uma amostra aleatória simples de n = 10 estudantes e calculamos a proporção, ˆP, de mulheres na amostra. Qual a probabilidade de que ˆP difira de π em menos de 0,01?