Sistemas Lineares e Matrizes

Sistemas Lineares e Matrizes Lino Marcos da Silva linosilva@univasfedubr Obs Este texto ainda está em fase de redação Por isso, peço a gentileza de avisar-me sobre a ocorrência de erros conceituais, gráficos ou de digitação Além disso, críticas e sugestões serão bem vindas 1 Introdução Muitos problemas oriundos das diversas áreas das engenharias, das ciências humanas aplicadas e da própria matemática necessitam da resolução de sistemas lineares para serem analisados ou resolvidos Em Álgebra linear, a resolução de sistema lineares é um problema fundamental Embora estejam disponíveis métodos computacionais eficientes, que encontram a solução numérica de sistemas lineares com milhares de equações e incógnitas, um estudo teórico do mesmo através da Álgebra Linear é importante por possibilitar a aprendizagem de conceitos e ferramentas necessários à resolução de outros problemas da vida real Um exemplo de aplicação dos sistemas lineares é o cálculo dos coeficientes do polinômio de interpolador de um determinado grau n A interpolação polinomial é uma importante ferramenta matemática comumente utilizada em cálculos de estimativas demográficas pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) e por outras instituições A técnica permite calcular a estimativa populacional de uma determinada cidade, por exemplo, em datas que não foram cobertas por censos Para exemplificar essa técnica, considere a Tabela(1) com a população do munícipio de Petrolina em vários anos Tabela 1: População de Petrolina (IBGE) Ano População 1991 175406 1996 189983 2000 218538 2007 268339 2010 293962 Observe que a tabela não apresenta a população referente ao ano de 2005 De fato, o IBGE realiza censo a cada 10 anos e, portanto, a população em anos intermediários devem ser estimadas por meio de algum método adequado Nesse sentido temos duas 1

questões importantes sobre estimativas populacionais: a primeiras, é como pode-se estimar uma determinada população em uma data localizada entre dois censos realizados Por várias razões, conhecer uma estimativa dessa população é importante para diversos órgãos públicos de planejamento; a segunda, e mais interessante, questão é sobre a estimativa da população em uma data futura, por exemplo, a população do município no ano de 2018 A primeira questão pode ser resolvida, com certa precisão, por meio da interpolação polinomial, enquanto que a segunda necessita de um método mais sofisticado, como por exemplo, o método dos quadrados mínimos Agora, considere calcular uma estimativa para a população de Petrolina no ano de 2005 por meio de um polinômio interpolador grau 2 Isto é, um polinômio do tipo p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 (1) Como queremos calcular uma estimativa para o ano de 2005, escolheremos, na tabelas, três pares de dados referentes aos anos mais próximos de 2005 Por exemplo, (2000, 218538), (2007, 268339) e (2010, 293962) Dessa forma, o polinômio interpolador p(x) deve satisfazer as seguintes condições: p(2000) = 218538, p(2007) = 26833 e p(2010) = 293962 Substituindo esses dados em (1) obtemos as 3 seguinte equações lineares: a 0 + a 1 2000 + a 2 2000 2 = 218538 (2) a 0 + a 1 2007 + a 2 2007 2 = 26833 a 0 + a 1 2010 + a 2 2010 2 = 293962 sendo a 0, a 1 e a 2 as suas incógnitas Um conjunto de equações lineares como o representado acima é chamado de sistema linear Uma solução para tal sistema linear é um tripla ordenada de números reais (a 0, a 1, a 2 ) que é solucão das três equações simultaneamente Estes e outros conceitos relacionados a sistemas lineares serão apresentados ao longo desse texto Com relação ao problema da interpolação polinomial, que uma calculados os valores de a 0, a 1 e a 2 ) temos determinado esse polinômio O resultado numérico desse problema encontra-se resolvido na última sessão desse texto 2 Sistemas Lineares - Conceitos Básicos Um sistema linear com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações do tipo: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m 2, (3)

sendo a ij números reais, 1 i m e 1 j n Uma solução do sistema (3) é uma n-upla (x 1, x 2,, x n ) que satisfaz simultaneamente as suas m equações Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes se, e somente se, toda solução de qualquer um dos sistemas também é solução do outro De outra maneira, podemos dizer que dois sistemas lineares são equivalentes se um pode ser obtido do outro através das seguintes operações, chamadas de operações elementares, sobre as suas equações: 1 Troca de duas equações de lugar; 2 Multiplicação uma equação por um número diferente de zero; 3 Substituição de uma equação pela soma de duas (ou mais) equações Exemplos Os sistemas lineares (b) e (c) seguintes foram obtidos do sistema (a) realizando-se operações elementares em suas linhas Logo, esses três sistemas são equivalentes 1x 1 + 12x 2 + 3x 3 = 8 (a) 2x 1 + 4x 2 + 16x 3 = 14 3x 1 + 16x 2 + 9x 3 = 5 1x 1 + 12x 2 + 3x 3 = 8 (b) 1x 2 + 1 2 x 3 = 1 10 1x 3 = 2 (c) 1x 1 = 3 1x 2 = -2 1x 3 = 2 Os sistemas lineares (a), (b) e (c) são sistemas equivalentes No entanto, observe que o sistemas (b) e (c) são mais simples de resolver do que o sistema (a) É comum classificarmos um sistema linear quanto a existência e número de soluções Dizemos que um sistema é impossível quando não possui solução; possível e determinado quando possui uma única solução; e possível e indeterminado quando possui infinitas soluções 3 Forma Matricial Um sistema linear também pode ser representado por meio de matrizes Isso é possível, devido ao modo como o produto entre duas matrizes está definido Usando a notação de matrizes, o sistema linear (3) pode ser escrito da seguinte forma: 3

A matriz A = matriz X = x 1 x 2 x n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn x 1 x 2 x n = b 1 b 2 b n (4), chamada de matriz dos coeficientes; a é chamada de matriz das incógnitas; e a matriz B = matriz dos termos independentes De forma simplificada, o sistema linear (4) pode ser representado por AX = B b 1 b 2 b n é a É comum usarmos também a notação Ax = b para nos referirmos ao sistema linear na forma matricial Chamamos de matriz ampliada ou matriz aumentada do sistema linear a matriz obtida quando juntamos em uma única matriz a matriz dos coeficientes A e a matriz dos termos independentes B, do seguinte modo: [A B] = a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m2 a mn b n Note que a matriz ampliada possui uma coluna a mais do que a matriz dos coeficientes, justamente a coluna formada pelos termos independentes do sistema linear Exemplos Para o sistema linear (a) apresentado anteriormente, temos: a matriz dos 1 12 3 8 coeficientes A = 2 4 16, a matriz dos termos independentes B = 14 e a 3 16 9 5 1 12 3 8 matriz ampliada 2 4 16 14 3 16 9 5 4 (5)

4 Operações Elementares Em muitas situações é interessante transformar uma dada matriz A em outra matriz Ã, que seja, de alguma forma mais simples, mas ainda preservando propriedades importantes da matriz A No contexto da resolução de sistemas lineares, essas transformações consistem em transformar uma matriz A qualquer em uma ou mais matrizes triangulares Tais transformações podem ser feitas, por exemplo, efetuando nas linhas da matriz A operações similares as operações elementares realizadas nas equações de sistemas lineares para transformar um sistema linear em outro equivalente Operações Elementares Seja A uma matriz de ordem m n Definimos as Operações Elementares nas linhas de A do seguinte modo: 1 Troca das linhas L i e L k, L i L k 2 Multiplicação de uma linha L i por um número real c diferente de zero, L i cl i 3 Substituição de uma linha L i pela soma desta com um múltiplo de uma outra linha L k L i L i + cl k Matrizes Equivalentes por Linhas Sejam A e B matrizes de ordem m n A matriz A é dita ser equivalente por linhas à matriz B, se B pode ser obtida de A pela aplicação sucessiva de um número finito de operações elementares sobre linhas Observamos que a equivalência de matrizes por linhas corresponde à noção de equivalência de sistemas lineares quando se efetuam as respectivas operações sobre as suas equações Além disso, temos o seguinte resultado: A é equivalente por linhas a B se, e somente se, B é equivalente por linhas a A A seguir apresentamos o enunciado de um teorema fundamental no cálculo da solução do sistema linear AX = B A demonstração do mesmo pode ser obtida em livros de Álgebra Linear ou Análise matricial Teorema Sejam os sistemas lineares AX = B e ÃX = B tais que as matrizes aumentadas [A B] e [Ã B] são matrizes equivalentes por linhas Então os sistemas lineares AX = B e ÃX = B têm a mesma solução 5 Escalonamento e o Método de Gauss O método da Eliminação Gaussiana ou Método de Gauss é um dos métodos mais utilizados para resolver sistemas lineares A ideia do método é usar operações elementares sobre as linhas da matriz ampliada [A B], do sistema linear AX = B, de modo a obter uma matriz equivalente [Ã B], porém com a característica de que o sistema linear 5

ÃX = B é mais simples de resolver do que o sistema original No caso em que o sistema linear tem número de equações igual ao número de incógnitasl, a matriz à em [à B] se reduz à uma matriz triangular superior 51 Escalonamento Uma matriz A = [a ij ] m n está na forma escalonada reduzida se possui as propriedades: (i) Todas as linhas nulas ocorrem abaixo das linhas não nulas; (ii) O primeiro elemento não nulo de uma linha, chamado de pivô, é igual a 1; (iii) O pivô de cada linha não nula ocorre à direita do pivô da linha anterior; (iv) Se uma coluna contém um pivô, então todos os seus outros elementos são iguais a zero Exemplos Apenas as matrizes A e E, abaixo, estão na forma escalonada reduzida 0 1 2 0 1 1 0 0 0 0 3 1 A = 0 0 0 1 3 B = 0 1 2 0 C = 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 3 7 2 1 0 0 3 D = 0 2 5 1 E = 0 1 0 4 0 0 0 3 0 0 1 5 Note que a matriz B não possui a propriedade (iv) e as matrizes C e D não possuem a propriedade (i) Se uma matriz satisfaz as propriedades (i) e (iii), mas não necessariamente (ii) e (iv), dizemos simplesmente que ela está na forma escalonada As matrizes B e D do exemplo anterior estão na forma escalonada Dessa maneira, na forma escalonada, o pivô, em cada linha não nula, não precisa ser necessariamente o número real 1 Além disso, para a matriz escalonada, o item (iv) pode ser reescrito do seguinte modo: se uma coluna possui um pivô, então todos os elementos dessa coluna que estão abaixo do pivô são iguais a zero É possível provar que toda matriz é equivalente por linha a uma única matriz na forma escalonada reduzida Prova-se também que toda matriz é equivalente por linhas a uma matriz na forma escalonada O método conhecido como método de Gauss- Jordan usa operações elementares para transformar a matriz aumentada do sistema 6

AX = B em um matriz na forma escalonada reduzida Já o método que apresentaremos aqui, método de Gauss, transforma a matriz aumentada do sistema em uma matriz na forma escalonada Este método é também chamado de método da Eliminação Gaussiana 52 Método de Gauss O método de Gauss consiste no uso de operações elementares sobre as linhas da matriz ampliada do sistema linear com o intuito de obter a forma escalonada da mesma Em seguida, resolsve o sistema triangular obtido por meio de substituições retroativas, isto é, de trás para frente Vamos apresentar o método de Gauss através da resolução de alguns sistemas lineares 1 Resolver o sistema linear Resolução x + 4y + 7z = 2 2x + 3y + 6z = 2 5x + 5y z = 8 Primeiro escrevemos a matriz aumentada do sistema: 1 4 7 2 2 3 6 2 5 5 1 8 Em seguida, começamos o escalonamento da matriz aumentada Na primeira etapa devemos começar escolhendo o pivô na primeira linha Como, neste caso, o primeiro elemento da primeira linha é não nulo, pois e igual a 1, ele será escolhido como pivô e não há necessidade de efetuar trocas de linhas Lembramos que nessa etapa, o objetivo é zerar os elementos que estão na primeira coluna e abaixo do pivô Dessa forma, as operações elementares a serem efetuadas nas linhas da matriz devem ser cuidadosamente escolhidas para chegar a esse fim Nesse caso, faremos a operação L 2 2L 1 + L 2 para zerar o elemento da segunda liinha; e L 3 3L 1 + L 3 para zerar o elemento da terceira linha Em palavras, o que iremos fazer é substituir a segunda linha pelo resultado da soma da segunda linha mais a primeira linha multiplicada por -2; e a terceira linha será substituida pelo resultado da soma da terceira linha com a primeira linha multiplicada por -3 Ao final dessa primeira etapa obtemos a seguinte matriz: 1 4 7 2 0 5 8 2 0 15 36 2 7

Agora, na segunda etapa do processo de escalonamento, o pivô deve ser escolhido na segunda linha Será o primeiro elemento não nulo dess linha Se necessário efetuamos troca de linhas Mas, nesse caso, não será necessário O pivô é o elemento 5, e como o objetivo nessa etapa é zerar o elemento da segunda coluna que está abaixo do pivô, a operação elementar escolhida será: L 3 3L 2 + L 3 Assim, após esse processo, obtemos a seguinte matriz: 1 4 7 2 0 5 8 2 0 0 12 4 Como não há mais linhas abaixo da terceira linha, o processo termina e a matriz obtida é a matriz aumentada do sistema em sua forma escalonada Agora, reescrevemos o sistema utilizando a matriz escalonada x + 4y + 7z = 2 5y 8z = 2 12z = 4 e o resolvemos por substituições retroativas, isto é, efetuando as substituições de baixo para cima Note que z pode ser facilmente calculado da terceira equação, de onde obtemos z = 1 Substituindo esse valor na terceira equação, obtemos 3 y = 14 Finalmente, substituindo os valores de y e z na primeira equação, obtemos 15 x = 3 5 Portanto, a solução do sistema dado é tripla ordenada (3 5, 14 15, 1 3 ) 2 Resolver o sistema linear Resolução x + 2y + z = 1 4x + 3y + 5z = 5 3x + y + 4z = 4 Primeiro escrevemos a matriz aumentada do sistema 1 2 1 1 4 3 5 5 3 1 4 4 Como nessa primeira etapa, o objetivo é zerar os elementos que estão na primeira coluna e abaixo do pivô, as operações elementares a serem efetuadas nas linhas da matriz devem ser L 2 4L 1 + L 2 8

para zerar o elemento da segunda linha; e L 3 3L 1 + L 3 para zerar o elemento da terceira linha Ao final dessa primeira etapa obtemos a seguinte matriz: 1 2 1 1 0 5 1 1 0 5 1 1 Agora, na segunda etapa do processo de escalonamento, o pivô deve ser escolhido na segunda linha O objetivo nessa etapa é zerar o elemento da segunda coluna que está abaixo do pivô Sendo assim, a operação elementar escolhida será: L 3 1L 2 + L 3 Assim, após esse processo, obtemos a seguinte matriz: 1 2 1 1 0 5 1 1 0 0 0 0 Como não há mais linhas abaixo da terceira linha, o processo termina e a matriz assim obtida é a matriz aumentada do sistema em sua forma escalonada Agora, reescrevemos o sistema utilizando a matriz escalonada { x + 2y + z = 1 5y + z = 1 e o resolvemos por substituições retroativas Note que ficamos com menos equações do que incógnitas Isso aconteceu pelo fato de que todos os elementos da última linha da matriz escalonada serem iguais a zero Note que neste caso o sistema terá infinitas soluções Para encontrar a forma geral dessas soluções, procedemos do seguinte modo: isolamos uma variável na segunda equação, por exemplo, z = 1 + 5y; e a substituimos na primeira equação, de onde obtemos x + 2y + 1 + 5y = 1 x = 7y Neste caso, y é uma variável livre Portanto, a solução do sistema é {( 7y, y, 1 + 5y); y R} Se quisermos uma solução particular desse sistema, basta atribuir um valor real qualquer para a variável y Por exemplo, se y = 1 obtemos a solução particular ( 7, 1, 6) 9

x + 3y + 13z = 9 3 Resolver o sistema linear y + 5z = 2 2y 10z = 8 Resolução Primeiro escrevemos a matriz aumentada do sistema 1 3 13 9 0 1 5 2 0 2 10 8 Observe que todos os elementos da primeira coluna que estão abaixo da diagonal são nulos Logo, podemos pular a primeira etapa Para realizarmos a segunda etapa do processo de escalonamento, escolhemos o pivô 1 e a seguinte a operação elementar: L 3 2L 2 + L 3 Assim, após esse processo, obtemos a seguinte matriz: 1 3 13 9 0 1 5 2 0 0 0 4 Como não há mais linhas abaixo da terceira linha, o processo termina e a matriz obtida é a matriz aumentada do sistema em sua forma escalonada Agora, reescrevemos o sistema utilizando a matriz escalonada x + 3y + 13z = 9 y + 5z = 2 0z = 4 Da terceira equação podemos concluir que o sistema é impossível, pois não existe z R tal que 0z = 4 Até agora resolvemos sistemas lineares nos quais não precisamos efetuar troca de linhas das matrizes e tínhamos a sorte do pivô encontrado ser sempre igual a 1 Os dois próximos exemplos são mais completo nesse sentido { 2x + 5y = 1 4 Resolver o sistema linear 3x + 2y = 2 Resolução Primeiro escrevemos a matriz aumentada do sistema [ ] 2 5 1 3 2 2 10

Nesse caso, como o pivô na primeira linhar é diferente de 1, podemos multiplicar a primeira linha por 1, para facilitar os cálculos Dessa maneira, podemos iniciar 2 o escalonamento com a operação L 1 1 2 L 1 Assim, obtemos a matriz [ ] 1 5/2 1/2 3 2 2 Agora para zerar o elemento da primeira coluna que está abaixo do pivô 1, realizamos a operação L 2 3L 1 + L 2 Assim, obtemos a matriz escalonada [ ] 1 5/2 1/2, 0 11/2 1/2 e podemos reescrever o sistema da seguinte forma: x + 5 2 y = 1 2 11 2 y = 1 2 Daí resolvemos o mesmo fazendo as substituições retroativas Isto é, da segunda equação obtemos y = 1 11, que subtistuindo na primeira nos dá x = 8 11 x 3 + 3x 4 = 4 x 5 Resolva o sistema linear 1 x 2 + x 4 = 1 x 3 3x 4 = 4 x 1 + x 2 x 4 = 1 Resolução Escrevendo a matriz aumentada do sistema, obtemos: 0 0 1 3 4 1 1 0 1 1 0 0 2 6 8 1 1 0 1 1 Nesse caso, começamos efetuando uma troca de linhas para obtermos pivô 1 na primeira linha Isso pode ser feito através da troca da segunda linha com a primeira Isto é, realizamos a operação L 1 L 2 11

e obtemos a seguinte matriz: 1 1 0 1 1 0 0 1 3 4 0 0 2 6 8 1 1 0 1 1 Agora para zerar o elemento da primeira coluna que está abaixo do pivô 1( na quarta linha), realizamos a operação L 4 L 1 + L 4 Assim, obtemos a matriz : 1 1 0 1 1 0 0 1 3 4 0 0 2 6 8 0 0 0 0 0 Agora, note que o pivô da segunda linha é o elemento 1 que está na terceira coluna Com a operação elementar L 3 2L 2 + L 3 zeramos o único elemento não nulo elemento da terceira coluna que está abaixo do pivô Depois de realizada a operação, obtemos a matriz e o processo de escalonamento termina 1 1 0 1 1 0 0 1 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Agora, reescrevendo o sistema com a matriz escalonada obtemos: { x1 x 2 + x 4 = 1 x 3 + 3x 4 = 4 Note que o sistema tem quatro incógnitas mas apenas duas equações, logo trata-se de um sistema indeterminado Além disso, note que a matriz escalonada apresenta duas linhas nulas, logo o sistema possui duas variáveis livres Na segunda equação isolamos uma das variáveis, por exemplo, podemos fazer x 3 = 4 3x 4 12

Na primeira equação, isolamos a variável x 4 obtendo x 4 = 1 x 1 + x 2 Substituindo x 4 na equação anterior, obtemos x 3 = 3 + x 1 x 2 Portanto, o conjunto de soluções do sistema linear é dado por 6 Sistema Linear Homogêneo {(x 1, x 2, 3 + x 1 x 2, 1 x 1 + x 2 ); x 1, x 2, x 3, x 4 R} O sistema linear é chamado de sistema homogêneo se é da forma Na forma matricial temos a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = 0 AX = 0, (6) onde 0 indica a matriz nula de m linhas e 1 coluna Um sistema linear homogêmo é sempre possível, pois admite a solução X = 0, que é chamada de solução trivial Exercício Mostre que se X 1 e X 2 são soluções distintas do sistema linear homogêneo AX = B, então X 1 + X 2 e αx 1 ( α R) também são soluções 7 Posto e Nulidade Definição Seja A uma matriz de ordem m n e à a sua forma escalonada Definimos o posto p da matriz A como o número de linhas não nulas de à A nulidade de A é o número n p Dado o sistema linear AX = B, onde A tem ordem m n, seja p A o posto da matriz dos coeficientes A e p AB o posto da matriz aumentada [A B] 1 Se p A = p AB = n, então o sistema possui solução única; 2 Se p A = p AB < n, então o sistema admite infinitas soluções; 3 Se p A p AB, então o sistema não possui solução 13

Exemplos Observe os escalonamentos realizados nas matrizes dos coeficientes dos sistemas lineares utilizados anteriormente nos exemplos 1, 2 3 e 4 No Exemplo 1, temos p A = p AB = 3 Neste caso, o sistema linear possui única solução; no Exemplo 2, temos p A = p AB = 2, mas a dimensão do sistema linear é 3 Logo o sistema possui infinitas soluções (1 variável livre); Já no Exemplo 3, o posto p A da matriz dos coeficientes é igual a 2, enquando o posto P AB da matriz ampliada é igual a 3 Logo, p A p AB e o sistema não tem solução; No Exemplo 4, temos p A = p AB = 2 (o sistema linear possui única solução); Por fim, no Exemplo 5, o sistema linear possui dimensão 4, mas p A = p AB = 2 Logo o sistema linear possui infinitas soluções Note que o sistema possui duas variáveis livres 8 A Matriz Inversa Matriz Inversa Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chamamos de inversa de A a matriz quadrada X de ordem n tal que AX = XA = I É comum usarmos a notação X = A 1 Logo, se a matriz A possui uma inversa A 1, então AA 1 = A 1 A = I Usando a matriz inversa na resolução de sistemas lineares Dado o sistema linear AX = B, se soubermos que a matriz A é invertível e soubermos como calcular sua inversa, então a solução do sistema é dada por X = A 1 B Pois AX = B A 1 AX = A 1 b IX = A 1 B X = A 1 B Na prática esta não é uma boa estratégia para calcular a solução do sistema linear De fato, o cálculo da matriz inversa, em geral, é muito trabalhoso A seguir enunciaremos alguns teoremas relacionados com a matriz inversa Teorema Uma matriz quadrada de ordem n é invertível se, e somente se, ela tem posto n Uma matriz invertível é também chamada de não-singular Procedimento prático para o cálculo da Matriz Inversa Teorema Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se, e somente se, a matriz I n é equivalente por linhas à matriz A Isto é, se I n pode ser obtida de A através de operações elementares sobre as linhas A Nesse caso, a mesma sequência de operações elementares transformam I n em A 1 Este Teorema nos fornece o seguinte procedimento para calcular a matriz inversa de uma matriz quadrada A de ordem n por meio dos seguintes passos: 14

1 Escrevemos a matriz M = [A I n ], onde I n é a matriz identidade de ordem n 2 Efetuamos operações elementares sobre as linhas da matriz M até transformarmos a matriz A na matriz indentidade I n (note que esse procedimento implicará em transformações na matriz I n à direita da matriz A) 3 Ao final do processo a matriz M terá sido transformada em uma matriz M do tipo M = [I n X] 4 A matriz X é a matriz inversa da matriz A Isto é, X = A 1 Exemplo Considere calcular a inversa da matriz A = Resolução 1 Primeiro escrevemos a matriz: [ ] 2 3 1 0 ; 1 4 0 1 [ ] 2 3 1 4 2 Efetuamos operações elementares sobre as linhas dessa matriz (escalonamento); [ ] 1 0 4/5 3/5 3 Ao final do processo obtemos a forma escada equivalente: 0 1 1/5 2/5 [ ] 4/5 3/5 4 A matriz inversa de A é a matriz 1/5 2/5 81 Propriedades da Matriz Inversa Sejam A e B matrizes invertíveis de ordem n Então, valem as seguintes propriedades: 1 AB é invertível e (AB) 1 = B 1 A 1 2 A 1 é invertível e (A 1 ) 1 = A 9 Determinantes O determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada A um escalar Em geral, o determinante da matriz A é representado por det(a) e, uma vez estando disponível, podemos usá-lo para detectar a existência de soluções do sistema linear Ax = b ou a existência da matriz inversa de A Neste texto iremos apresentar um definição indutiva para o determinante de uma matriz quadrada A de ordem n, fazendo uma indução sobre n 1 15

Se n = 1, então a matriz A possui apenas o elemento a 11 Neste caso, det(a) = a 11 Vamos supor agora que n > 1 e que det(a) esteja definido para todas as matrizes de ordem r tal que 1 r n 1 Isto é, podemos calcular o determinante de todas as matrizes quadradas de ordem até n 1 Agora seja A uma matriz quadrada de ordem n Para cada par (i, j) defina a matriz A ij formada a partir da matriz A retirando sua i-ésima linha e j-ésima coluna A matriz assim formada é chamada de menor complementar da matriz A em relação ao elemento A ij Note que dessa forma, A ij é uma matriz de ordem n 1, e portanto, o seu determinante det(a ij ) já está definido Finalmente, o determinante da matriz A é definido como sendo det(a) = n ( 1) j+1 a 1j det(a 1j ) (7) j=1 [ ] a11 a Exemplo 1 Considere a matriz A = 12 Pela definição de menor complementar temos A 11 = [a 22 ] e A 12 = [a 21 ] Dessa a 21 a 22 forma, det(a) = ( 1) 1+1 a 11 det(a 11 ) + ( 1) 1+2 a 12 det(a 12 ) = a 11 a 22 a 12 a 21 Portanto, det(a) = a 11 a 22 a 12 a 21 Esse resultado, pode ser reescrito como uma regra, comumente utilizada para o cálculo do determinante de matrizes de ordem 2 Regra para o cálculo do determinante de matrizes de ordem 2: O determinante de uma matriz A de ordem 2 é igual ao produto do elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária a 11 a 12 a 13 Exemplo 2 Considere a matriz A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 [ ] [ ] a22 a Pela definição anterior, temos A 11 = 23 a21 a, A a 32 a 12 = 23 e A 33 a 31 a 13 = 33 Agira usando a regra apresentada no Exemplo 1, obtemos: det(a 11 ) = a 22 a 33 a 23 a 32, det(a 12 ) = a 21 a 33 a 23 a 31, det(a 13 ) = a 21 a 32 a 22 a 31 [ a21 a 22 a 31 a 32 ] 16

Agora, substituindo na fórmula da definição, obtemos det(a) = ( 1) 1+1 a 11 det(a 11 ) + ( 1) 1+2 a 12 det(a 12 ) + ( 1) 1+3 a 13 det(a 13 ) = a 11 det(a 11 ) a 12 det(a 12 ) + a 13 det(a 13 ) Substituindo os valores de det(a 11 ), det(a 12 ), det(a 13 ) e efetuando os cálculos necessários, obtem-se o valor do det(a) Na prática, o determinante de uma matriz de ordem 3 é calculado usando uma regra conhecida como Regra de Sarrus Na definição de determinantes apresentada aqui consideramos realizar uma soma utilizando os elementos da primeira linha e determinantes de matrizes menores A nossa opção pela primeira linha foi apenas por conveniência Na verdade, esse é um caso particular de uma definição mais geral, onde essa soma pode ser realizada usando-se qualquer uma das linhas ou colunas da matriz A Na prática, escolhemos a linha ou coluna que apresenta o maior número de elementos nulos Essa escolha se justifica pelo fato de que a quantidade de zeros presentes na linha ou coluna, implica na mesma quantidade de parcelas nulas desta soma, reduzindo assim a quantidad de cálculos necessários para achar o determinante Observação Essa regra utilizada para calcular determinantes é conhecida como Regra de Laplace 2 1 1 1 4 0 3 2 Exemplo 3 Calcule o determinante da matriz A = Resolução Fazendo o desenvolvimento pela linha 2 temos 1 3 1 0 1 0 1 1 det(a) = ( 1) 2+1 a 21 det(a 21 ) + ( 1) 2+2 a 22 det(a 22 ) + ( 1) 2+3 a 23 det(a 23 ) + ( 1) 2+4 a 24 det(a 24 ) = 2det(A 21 ) + 0det(A 22 ) 3det(A 23 ) + 2det(A 24 ) = 2det(A 21 ) 3det(A 23 ) + 2det(A 24 ) Se em vez disso, usássemos a coluna 2 teríamos det(a) = ( 1) 1+2 a 12 det(a 12 ) + ( 1) 2+2 a 22 det(a 22 ) + ( 1) 3+2 a 32 det(a 32 ) + ( 1) 4+2 a 42 det(a 42 ) = 1det(A 21 ) + 0det(A 22 ) 3det(A 23 ) + 0det(A 24 ) = det(a 21 ) 3det(A 23 ) Ou seja, neste caso, só teríamos que calcular dois determinantes de ordem 3 91 Propriedades dos Determinantes Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n e k R propriedades: Então, valem as seguintes 1 det(ab) = det(a)det(b); 17

2 det(a) = det(b T ); 3 det(ka) = (det(a)) k 4 Se a matriz A é invertível, então det(a 1 ) = (det(a)) 1 5 Se A é uma matriz triangular, então o det(a) é igual ao produto da elementos da diagonal principal 92 Aplicações do Determinante 1 Existência da matriz inversa Uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se, e somente, det(a) 0 2 Existência de solução única para sistema linear Seja A uma matriz quadrada de ordem n O sistem linear Ax = b admite uma única solução se, e somente, det(a) 0 3 Regra de Cramer A regra de Cramer é uma conhecida regra para o cálculo da solução de um sistema linear por meio do cálculo de determinantes Como, na prática, essa regra é pouco utilizada não a apresentaremos neste texto 10 Exercícios Propostos 3x + 5y = 1 1 Dada o sistema 2x + z = 3 5x + y z = 0 (a) Escreva a matriz A dos coeficientes do sistema linear e calcule o seu determinante (b) Escreva a matriz ampliada do sistema e faça o escalonamento da mesma (c) Obtenha a solução do sistema 2 Determine k, para que o sistema 4x 1 + 3x 2 = 2 2x 1 + x 3 = 0 5x 1 + x 2 = k, admita solução Sugestão Faça o escalonamento da matriz ampliada do sistema e analise o posto das matrizes dos coeficientes e da matriz ampliada 3 Explique porque a nulidade de uma matriz nunca é negativa 4 Encontre os valores de k, tais que o sistema homogêneo tenha uma solução distinta da solução trivial x = y = z = 0 2x 5y + 2z = 0 x + y + z = 0 2x + kz = 0 18

x + y w = 0 x z + w = 2 5 Dado do sistema linear y + z w = 3 x + 2y 2w = 1 Calcule o posto da matriz dos coefiencientes e da matriz ampliada do sistema Determine, se existir, a solução do sistema 2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 x 6 Dado o sistema linear 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 = 2 x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 = 3 x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 = 4 (a) Escreva a matriz A dos coeficientes do sistema linear e calcule o seu determinante (b) Escreva a matriz ampliada do sistema e faça o escalonamento da mesma (c) Obtenha a solução do sistema 11 Recursos Computacionais para Álgebra Linear 111 O Software Scilab O Scilab é um software para computação científica e visualização, gratuito, com código fonte aberto e interface para as linguagens FORTRAN e C Ele permite a solução de problemas numéricos em uma fração do tempo que seria necessário para escrever um programa em uma linguagem como FORTRAN, Pascal ou C, devido às suas centenas de funções matemáticas Mais informações sobre o Scilab, bem como o link para download do mesmo, podem ser obtidas no site wwwscilaborg 112 Cálculo da solução de Sistemas Linerares A seguir apresentamos a resolução em Scilab dos sistemas lineares apresentados no exemplos da seção 5 No Scilab dado a matriz dos coeficientes A e o vetor do lado direito b, a solução do sistema linear Ax = b pode ser calculada através do comando x=a\b 1 Resolver o sistema linear >A=[ 1 4 7; 2 3 6 ; 5 5-1] A = 1 4 7 2 3 6 5 5-1 x + 4y + 7z = 2 2x + 3y + 6z = 2 5x + 5y z = 8 19

> b= [ 2; 2; 8] b = 2 2 8 > x=a\ b x = 06 09333333-03333333 2 Resolver o sistema linear >A=[ 1 2 1; 4 3 5; 3 1 4] A = 1 2 1 4 3 5 3 1 4 >b=[1;5;4] b = 1 5 4 >x=a\b x + 2y + z = 1 4x + 3y + 5z = 5 3x + y + 4z = 4 Aviso: A matriz é quase singular ou possui má escala rcond = 00000D+00 Computando a solução de mínimos quadrados (ver lsq) x = 0-1526D-15 1 Observação Na resolução da equação Ax = b, o comando x=a\b do Scilab computa uma solução aproximada (solução de quadrado quadrado) com no máximo P A, posto de A, componentes não nulas Observe ainda que, neste exemplo, P A = 2 A sigla lsq significa least square, ou seja, quadrado mínimo 3 Resolver o sistema linear x + 3y + 13z = 9 y + 5z = 2 2y 10z = 8 20

>A = [ 1 3 13; 0 1 5; 0-2 -10] A = 1 3 13 0 1 5 0-2 - 10 >b=[ 9; 2; -8] b = 9 2-8 >x=a\b Aviso: A matriz é quase singular ou possui má escala rcond = 00000D+00 Computando a solução de mínimos quadrados (ver lsq) x = - 036 0 072 113 Cálculo da Matriz Inversa Dado a matriz quadrada A, o comando inv(a) calcula a inversa da matriz A No caso da matriz não ser invertível, o programa retorna a informação de que o problema é singular ; além disso, devido a erros de aprximações, um aviso pode ser impresso na tela informando que A possui má escala ou é quase singular 1 Calcular a inversa da matriz dos coeficientes do sistema linear do Exemplo 1 da Seção 5 >A=[ 1 4 7; 2 3 6; 5 5-1] A = 1 4 7 2 3 6 5 5-1 >X=inv(A) X = - 055 065 005 05333333-06 01333333-00833333 025-00833333 >Y=A*X Y = 21

1 0-1110D-16 0 1 0-1527D-16 0 1 Observação Note que, por definição, sendo X a matriz inversa da matriz A, a matriz Y = AX deveria ser igual a matriz identidade I 3 Porém, note que os elementos x 13 e x 31 são diferentes de zero, contudo os mesmos são da ordem de 10 16 Ou seja, são números muito próximos de zero Fatos como este ocorrem em cálculos numéricos realizados por computadores e por isso as implementações de algoritmos numéricos para resolver problemas matemáticos devem ser feitas cuidadosamente e de modo a minimizar esse tipo de erro 2 Calcular a inversa da matriz dos coeficientes do sistema linear do Exemplo 2 da Seção 5 >A=[ 1 2 1; 4 3 5; 3 1 4] A = 1 2 1 4 3 5 3 1 4 >X=inv(A)! error 19 O problema é singular Observação Neste caso, o programa retorna uma mensagem de erro e a informação de que o problema é singular Isto significa que a matriz A não é invertível 114 Cálculo do determinante O determinante de uma matriz quadrada A pode ser calculado no Scilab por meio do comando det(a) Observe o cálculo dos determinantes das matrizes dos exemplos anteriores: >A=[ 1 4 7; 2 3 6; 5 5-1] A = 1 4 7 2 3 6 5 5-1 >det(a) ans = 60 >B=[ 1 2 1; 4 3 5; 3 1 4] B = 1 2 1 4 3 5 3 1 4 22

>det(b) ans = 0 >C=[1 3 13; 0 1 5; 0-2 -10] C = 1 3 13 0 1 5 0-2 - 10 >det(c) ans = 0 23