GAAL Conhecendo alguns comandos básicos do Maple 17

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1 GAAL Conhecendo alguns comandos básicos do Maple 17 Maple é um sistema algébrico computacional comercial de uso genérico. Constitui um ambiente informático para a computação de expressões algébricas, simbólicas (pode-se usar essa capacidade simbólica para obter soluções analíticas exatas para muitos problemas matemáticos como diferenciação, integração e etc), permitindo o desenho de gráficos a duas ou a três dimensões. O seu desenvolvimento começou em 1981 pelo Grupo de Computação Simbólica na Universidade de Waterloo em Waterloo, no Canadá, província de Ontário. Desde 1988, o Maple tem sido desenvolvido e comercializado pela Maplesoft, uma companhia canadense também baseada em Waterloo, Ontário. Após o início do software, a digitação das expressões serão feita ao lado do prompt : Isto é, quando aparecer o prompt, implica em que o MAPLE está pronto para receber os comandos. A sintaxe de todo comando do MAPLE deve terminar em ponto e vírgula: expressão; Ou dois pontos: expressão: Utilizamos "; (ponto e vírgula) quando desejamos que o resultado seja mostrado imediatamente na tela. Utilizamos ": (dois pontos) quando desejamos que o MAPLE execute o comando e o resultado seja guardado na memória, sem mostrá-lo na tela. A execução da sintaxe do comando após "; ou ": é finalizada pressionando a tecla enter. Em geral, é conveniente, ao início de cada exercício, utilizar o comando: restart; Este comando apaga da memória os comandos utilizados anteriormente, porém, não apaga o que já foi digitado no worksheet. Para acessar o help do Maple basta ir na barra de menus e selecionar Ajuda, ou basta digitar no prompt de entrada o sinal?, seguido da expressão (em inglês) da qual se deseja a informação. Exemplo:?matrix; Operações aritméticas básicas: Comandos: ( +, -, *, /, ^), sqrt 2+3; #Soma 2*3; #Multiplicação 2-3; #Subtração 6/2; #Divisão sqrt(9); #Raiz quadrada de 9 6^2; #Exponenciação Uma das características do MAPLE são suas bibliotecas (packages). As bibliotecas são pacotes de comados especiais, utilizados para resolver tipos especificos de problemas. Por exemplo, o MAPLE possui bibliotecas especificas, para Gráficos, Geometria, Álgebra Linear, Álgebra Vetorial, etc. Somente os mais importantes são carregados automaticamente na memória. No ato de executar o programa os outros comandos ficam nas bibliotecas. As bibliotecas são agrupadas por temas e podem ser carregadas, individualmente, ou uma função só. Para usuários avançados é possível criar suas próprias bibliotecas. A sintaxe para ativar uma livraria na memória, é: with(biblioteca):

2 A sintaxe para ver o conteúdo das livrarias é: with(biblioteca); Algumas bibliotecas: with(student); #Cálculo with(realdomain); #Todos os cálculos utilizados nessa biblioteca serão efetuados em R (reais) Bibliotecas linalg e LinearAlgebra de Álgebra Linear #informações sobre a biblioteca linalg de álgebra linear #informações sobre a biblioteca linalg de álgebra linear Matrizes: M:=matrix([[a,b,c],[d,e,f],[g,h,i]]); # matriz de ordem 3# #Multiplicação ou produto de matrizes #Adição ou soma de matrizes #Subtração ou diferença de matrizes #Multiplicação por escalar Atribuições: A sintaxe para isto é: Por exemplo: := (dois pontos e igual) Exercício 1: Calcule A-5B. #Transposta de B Exercício 2: A seguir são listadas três operações elementares para matrizes que estão no pacote linalg.

3 a) mulrow(a,i,s) multiplica a linha i da matriz A pelo número s. b) addrow(a,i,j,s) multiplica s vezes a linha i da matriz A e soma com a linha j e armazena em j. c) swaprow(a,i,j) faz a mudança entre as linhas i e j da matriz A. Estas operações podem ser executadas nas colunas, com comandos análogos. Dada a matriz A= então: a) multiplique a segunda linha da matriz A por -3; b) some 5 vezes a primeira linha da matriz A com a segunda linha e substitua na segunda linha; c) permute a primeira linha da matriz A com a terceira linha. #determinante de A Exercício 3: Calcule o determinante da matriz B. São consideradas elementares as seguintes operações: a) multiplicação de uma linha da matriz por um escalar (o determinante fica multiplicado por este escalar); b) troca de ordem entre duas linhas da matriz (o determinante fica multiplicado por -1); c) soma de uma linha com o múltiplo escalar de outra (o determinante não se altera). Exercício 4: Seja calcule o seu determinante. Depois, execute as seguintes etapas: a) Multiplique a primeira linha de C por 5, obtendo uma matriz C1, e calcule o seu determinante. b) Troque a primeira e a segunda linha da matriz C, obtendo uma matriz C2, e calcule o seu determinante. c) Some à segunda linha de C um múltiplo escalar k da terceira linha, obtendo uma matriz C3, e calcule o seu determinante. Compare o determinante obtido nestas matrizes com a matriz C. Matriz Identidade de qualquer ordem. Exemplo: Ordem 3 Id:=IdentityMatrix(3); Comandos: augment ou concat une duas ou mais matrizes horizontalmente Como exemplo, vamos concatenar as matrizes e armazenar na matriz F: #concatenação das matrizes E e Id2

4 Exercício 5: a) Execute os comandos b) Execute os comandos Exercício 6: a) Calcule o determinante da matriz E. b) Determine a matriz inversa de E conforme Teorema 2 da apostila na página 12. Esse teorema nos garante que a mesma sucessão de operações elementares que transformam a matriz E na matriz Id2, transformam Id2 na inversa de E. Exercício 7: Utilize as mesmas sucessões de operações elementares utilizadas no Exemplo 16, página 12 da 1 apostila, que transformaram a matriz em Id3 e a Id3 na A. Comando inverse( ) O Maple pode encontrar facilmente a inversa de uma matriz não-singular. Exercício 8: Use o comando inverse( ) para calcular as inversas das matrizes abaixo: Conforme vimos no exercício 5, a localização dos coeficientes da matriz F na i-ésima e j-ésima posição é dada pelo comando F[i,j] em que 1 i 2 e 1 j 4. É possível criar uma matriz cujas componentes estão 1 definidas em função de i e j. Por exemplo, a matriz A [ a ij ] de ordem 3 4 definida por a ij. i j 1

5 Exercício 9: Escreva a matriz A [ a ij ] do tipo 4 3sabendo que: i j. a ij 2i 3 j se i = j e a ij 3i 2 j se Potência de uma Matriz: Uma matriz quadrada pode ser multiplicada por ela mesma tantas vezes quanto se queira. O comando evalm(a^n) disponível no Maple calcula a n-ésima potência de uma matriz A. Exemplo: 2 Matriz Idempotente e Nilpotente: Dada uma matriz quadrada A. Se A A diz-se que A é uma matriz p idempotente. Se existir um número p, inteiro e positivo, tal que A 0 (matriz nula de mesma ordem que A), diz-se que A é uma matriz nilpotente. O número p é chamado de índice. Exercício 10: a) Mostre que a matriz A abaixo é idempotente. b) Mostre que a matriz H abaixo é nilpotente. Qual é o indíce p?