RESUMO A relação binária é uma relação entre dois elementos, sendo um conjunto de pares ordenados. As relações binárias são comuns em muitas áreas da matemática. Um par ordenado consiste de dois termos, a e b, dos quais um, (a) é designado como primeiro termo e o outro como segundo termo. Um par ordenado com primeiro termo a e segundo termo b é representado explicitamente por (a, b). O Sistema de Coordenadas Cartesianas, mais conhecido como Plano Cartesiano tem o objetivo de localizar pontos. Ele é formado por dois eixos perpendiculares: um horizontal e outro vertical que se cruzam na origem das coordenadas. O eixo horizontal é chamado de abscissa (x) e o vertical de ordenada (y). Os eixos são enumerados compreendendo o conjunto dos números reais. Os diagramas de venn-euler consistem de curvas fechadas simples desenhadas sobre um plano, de forma a simbolizar os conjuntos e permitir a representação das relações de pertença entre conjuntos e seus elementos. Exercício Resolvido 1) Seja o conjunto A = (0;1). Quantas relações binárias distintas podem ser definidas sobre o conjunto A? a) A x A = {(0;0);(0;1);(1;0);(1;1)}; b) A x A = {(0;0);(0;1);(1;0)}; c) A x A = {(0;0);(0;1);(1;1)}; d) A x A = {(0;0);(0;1)}; e) A x A = {(0;1);(1;0);(1;1)}; RELAÇÕES RELAÇÕES BINÁRIAS Uma relação binária R sobre dois universos A e B é Em outras palavras, uma relação binária é definida como sendo um subconjunto do produto cartesiano entre dois conjuntos A e B. Isto é, uma relação R é um conjunto de pares ordenados. Um subconjunto de A A pode ser chamado simplesmente de relação binária em A. Suponha que R é uma relação de A para B. Então R é um conjunto de pares ordenados onde cada primeiro elemento pertence a A e cada segundo elemento pertence a B. Isto é, para cada par (a,b), a A e b B. Então exatamente uma das seguintes afirmativas é verdadeira: (a,b) R: dizemos que a é R-relacionado a b, escrevendo arb. (a,b) R: dizemos que a não é R-relacionado a b, escrevendo arb.
O domínio de uma relação R é o conjunto de todos os primeiros elementos de um par ordenado que pertence a R. A imagem de R é o conjunto dos segundos elementos. No caso descrito acima, o domínio é um subconjunto de A e a imagem é um subconjunto de B. Exemplos: Sejam A = {1, 2, 3} e B = { x, y, z}, e seja R = {(1,y), (1,z), (3,y)}. Então R é uma relação de A para B, uma vez que R é um subconjunto de A x B. Com respeito a esta relação, 1Ry, 1Rz, 3Ry, mas 1Rx, 2Rx, 2Ry, 2Rz, 3Rx, 3Rz. O domínio de R é {1.3} e a imagem é {y.z}. Seja A um conjunto qualquer. Uma relação importante em A é a relação de igualdade, {(a,a); a A}, que é usualmente denotada por =. Essa relação é também chamada de identidade ou relação diagonhal em A e será também denotado por δ. Suponha que existam 4 objetos: {carro, bola, boneca, bala} e quatro pessoas {João, Maria, Marcos, Pedro}. Suponha que João tem a bola, Maria tem a boneca, e Pedro tem o carro. Ninguém tem a bala e Marcos não tem nada. Então a relação binária R "pertence a" é dada como R = ({bola, carro, boneca, bala}, {João, Maria, Marcos, Pedro}, {(bola, João), (boneca, Maria), (carro, Pedro)}). PAR ORDENADO CONCEITO Intuitivamente, um par ordenado consiste de dois termos, digamos a e b, dos quais um, digamos a, é designado como primeiro termo e o outro como segundo termo. Um par ordenado com primeiro termo a e segundo termo b é representado explicitamente por (a, b). DEFINIÇÃO O par ordenado (a, b) foi definido como {{a}, {a, b}} por K. Kuratowski em 1921. Em 1914 Wiener deu uma definição, historicamente importante, para par ordenado definindo (a, b) como {{a, }, {b, { }}}. ELEMENTOS DE UM PAR ORDENADO Num par ordenado u = (x, y), x é chamado abscissa, primeiro elemento, primeira coordenada ou primeira projeção. Já y é chamado ordenada, segundo elemento, segunda coordenada ou segunda projeção.
IGUALDADE DE PARES ORDENADOS Se x e y são pares ordenados (representados não explicitamente), a igualdade x = y significa por definição que a abscissa de x é igual a abscissa de y e que a ordenada de x é igual a ordenada de y. De outro modo, (a, b) = (c, d) significa por definição que a = c e b = d. PRODUTO CARTESIANO Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano denotado por A B (lê-se A cartesiano B) é o conjunto de todos os pares ordenados cujos primeiros elementos (primeiras coordenadas) pertencem a A e cujos segundos elementos (segundas coordenadas) pertencem a B. Exemplos: Se A = {1, 2, 3} e B = {p, q} então: A B = {(1, p), (2, p), (3, p), (1, q), (2, q), (3, q)} B A = {(p, 1), (p, 2), (p, 3), (q, 1), (q, 2), (q, 3)} CONCEITO DE CONJUNTO O conjunto é um conceito fundamental em todos os ramos da Matemática. Intuitivamente, um conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetos bem definidos. Os objetos em um conjunto podem ser qualquer entidade abstrata: números, variáveis, equações, operações, algoritmos, sentenças, nomes, etc. Esses objetos são chamados elementos ou membros de um conjunto. Exemplos: O conjunto cujos elementos são os números 1, 4, 9, 16 e 25 O conjunto das soluções da equação x 2 5x + 6 = 0 O conjunto dos números inteiros,... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... O conjunto das potências inteiras de 2 que são 1, 2, 4, 8, 16, 32,... Geralmente denotamos os conjuntos por letras maiúsculas: A, B, C, X, Y,... e os elementos de um conjunto por letras minúsculas: a, b, c, x, y,... ELEMENTO DE UM CONJUNTO Os elementos de um conjunto são os objetos que estão no conjunto. Por exemplo, um gestor é um elemento do conjunto de todas as pessoas, mas uma cadeira não é. O elemento de um conjunto também é chamado de membro desse conjunto.
DESCREVENDO UM CONJUNTO POR EXTENSÃO (OU ENUMERAÇÃO) Um conjunto pode ser descrito por extensão (enumeração) quando escrevemos todos os elementos do conjunto entre chaves e separados por vírgulas ou ponto e vírgulas: P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} ou P = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18} Desse modo sabemos que 6 está no conjunto P (6 pertence ao conjunto P), mas 11 não. Quando um conjunto tem muitos elementos podemos representá-lo usando reticências e apenas alguns de seus elementos, se estiver claro quais elementos pertencem ao conjunto e quais não pertencem. Exemplo: A = {1, 3, 5, 7,... 997, 999} Nesse caso A é o conjunto dos números naturais ímpares menores que 1000. Como 701 é um número natural ímpar e menor que 1000, então 701 está em A. As reticências indicam a repetição de um padrão reconhecível. Os números 1, 3, 5, 7 são os primeiros naturais ímpares. As reticências indicam os naturais ímpares que os sucedem. Podemos indicar um conjunto com infinitos elementos escrevendo seus primeiros elementos (que formam um padrão reconhecível) entre chaves separados por vírgulas e com reticências. O conjunto I de todos os números naturais ímpares será representado por: I = {1, 3, 5, 7,...} O conjunto de todos os quadrados dos números inteiros positivos será: DIAGRAMAS DE VENN-EULER {1, 4, 9, 16, 25,...} Podemos representar conjuntos por diagramas de Venn-Euler, também conhecidos como diagramas de Venn, consistindo de curvas simples planas fechadas. No interior de tais diagramas representamos os elementos, e do lado de fora indicamos os nomes dos conjuntos. Exemplo: representemos o conjunto A dos números primos menores que 15 usando o diagrama de Venn:
REPRESENTANDO UM CONJUNTO POR ABSTRAÇÃO (COMPREENSÃO) Podemos também representar um conjunto por abstração (compreensão) quando seus elementos são conhecidos através de uma propriedade comum a eles. Nesse caso denota-se o conjunto por: {x : p(x)} ou por {x p(x)} onde x é uma variável qualquer (poderia ser y, z, t, a, b,...) e p(x) é uma propriedade ou qualidade de x. Ora, p(x) pode ser verdadeira ou falsa. Se p(x) é a propriedade "x é maior que 10", então p(2) é falsa (pois 2 não é maior que 10) e p(129) é verdadeira, pois 129 é maior que 10. O conjunto {x : p(x)} tem por elementos apenas aqueles que tornem a propriedade p verdadeira. Por exemplo: Q = {x : x N, x é número par e x < 19} O conjunto Q acima é o conjunto dos elementos que são números naturais, pares e menores que 19. Note que sendo P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}, então P = Q, visto que dois conjuntos são iguais quando tem os mesmos elementos. O conjunto P foi descrito por extensão (ou enumeração), enquanto o conjunto Q foi descrito por abstração (ou compreensão). Mas seus elementos são exatamente os mesmos. PERTINÊNCIA Se um objeto x é membro de um conjunto B, isto é, se x está em B como um de seus elementos dizemos que "x pertence a B" ou "x está em B", e indicamos isso pela seguinte notação:
x B (le-se "x pertence a B" ou "x está em B") Intuitivamente podemos dizer: Um quadrado pertence ao conjunto dos polígonos; A Terra pertence ao conjunto dos planetas de nosso sistema solar; O número 7 pertence ao conjunto dos números naturais ímpares; O Brasil pertence ao conjunto de todos os países; Niterói, Porto Alegre e Belo Horizonte pertencem ao conjunto das cidades do Brasil; Se um objeto x não é membro de um conjunto B, isto é, se x não pertence a B, indicamos isso pela notação: x B (lê-se "x não pertence a B" ou "x não está em B") Se A = {a, e, i, o, u} temos a A; o A; b A; h A, etc. Além disso, podemos dizer que: Os elementos que pertencem ao conjunto {2, 4, 8, 1} são exatamente os números 2, 4, 8, 1. O único elemento do conjunto {7, 7, 7} é o número 7. Os dois únicos elementos do conjunto {0, 1, 0, 1, 0} são 0 e 1