Instituto de Matemática e Estatística da UP MAT455 - Cálculo Diferencial e Integral III para Engenharia a. Prova - o. emestre 5 - /6/5 Turma A Questão :(, pontos) Calcule a massa da superfície que é parte da esfera x + y + z para z com densidade δ(x, y, z) z. A superfície dada pode ser vista na gura abaixo: x y e olução:...4..6.8.6.8.6.4.. Uma parametrização para essa superfície σ é dada por: σ(u, v) (cos u sen v, sen u sen v, cos v). E o módulo do vetor normal é dado por: σu σv sen v. ubstituindo as componentes da superfície nos intervalos dados para x e y, é possível encontrar os novos intervalos que caracterizam a superfície. endo assim: x y tg u u 6 z cos v v D {(u, v) : u, v } 6 A massa é, então calculada da seguinte forma: δ(σ(u, v)). σu σv du dv M D sen v cos v dv du 6 ) ( cos v 9 9 8 7 M. 7 ( sen v) cos v dv
Questão (,5 pontos) Calcule ( ) x, y 48, z e a parte da superfície x F. N d sendo F (x, y, z) 4 + y 6, limitada pelos planos z e z, orientada pela normal N que se afasta do eixo z (exterior). olução: A integral será calculada por meio do Teorema de Gauss. A superfície não é fechada. Como o domínio do campo F é, podemos tomar qualquer região fechada (sólido), na qual a superfície faça parte do bordo. Uma região imediata é a região interior à e fechada superior e inferiormente por parte dos planos para z e z. ejam T e T as superfícies ("tampas"): A região é exibida a seguir: T (u, v) (u, v, ), D {(u, v) : T (u, v) (u, v, ), D {(u, v) : u 4 + v 6 }, N (,, ) u 4 + v 6 }, N (,, ) Como a normal dada é a normal exterior, do Teorema de Gauss segue que F. N d + F. N d + F. N d T T Calculando cada integral separadamente: Integral sobre de T : Integral sobre de T : T F. N d T F. N d div F dx dy dz. ( ) u D, v 48,.(,, ) d d D.Área(D)...4 4 ( ) u D, v 48,.(,, ) d d D.Área(D)...4 4
Integral do div F : divf dx dy dz Utilizando coordenadas cilíndricas para a solução da integral: x 4 + y + dx dy dz 6 z z J 8r Com mudança de coordenadas apresentada, a região passa a ser descrita por: x r. cos θ y 4r. sen θ {(r, θ, z) θ, r, z } A integral é resolvida da seguinte forma: x 4 + y + dx dy dz 6 96 7. (r + )8r dz dr dθ ( r r 4 + r dr 96 4 + r ) Assim, a integral pedida é F. N d 7 4 4 4. Outra maneira de resolver... O exercício pode ser resolvido também calculando a integral de superfície de forma direta, pela denição. Para isso, encontra-se uma parametrização para a superfície : (θ, z) ( cos θ, 4 sen θ, z) sendo os intervalos dos parâmetros θ e z. E o vetor normal para essa parametrização é: θ z (4 cos θ, sen θ, ) que se afasta do eixo z, coincidindo com o sentido dado.
A integral será calculada da seguinte forma: F. N d ( 8 cos θ, 64 ) sen θ, z.(4 cos θ, sen θ, ) dθ dz 48 8 cos4 θ + 8 sen 4 θ dθ dz [ ( )] 8 cos 4 θ + sen 4 θ dθ 48 ( ) ( + cos θ cos θ + ) 48 + cos θ dθ 4 + ( + cos 4θ) dθ 4 cos 4θ dθ ( ) sen 4θ 4 θ + 4 4 4
( ) xz Questão (,5 pontos) Calcule γ x + y + y dx + yz dy + x ez4dz, sendo γ a curva dada + y pela intersecção de x + y e z arctg (5 + x 4 + y 8 ) orientada de modo que sua projeção no plano xy é pecorrida uma única vez no sentido anti-horário. olução: A integral pedida será calcula por meio do Teorema de tokes. Como o domínio do campo F é {(,, z) : z }, a superfície escolhida que contenha γ no seu bordo, não pode ser interceptada pelo eixo z. Uma superfície que atende os requisitos seria parte do cilindro x + y. Vamos então limitar o cilindro inferiormente pelo plano z. Assim {(x, y, z) : x + y, z arctg (5 + x 4 + y 8 )} Essa superfície tem como bordo a curva γ e uma curva α no plano z, que limita a superfície. Para utilizar o Teorema de tokes as orientações das curvas que compõe o bordo de devem ser compatíveis (induzidas) pela orientação da superfície. O sentido da curva γ induz, pela regra da mão direita, uma normal interior à (se aproximando do eixo z). Uma parametrização para é dada por (θ, z) ( sen θ, cos θ, z), com vetor normal θ z ( sen θ, cos θ, ), que coincide com a normal à induzida pelo sentido de γ. Portanto, a curva α deve ser percorrida de modo a induzir uma normal interior à, ou seja, sentido horário: α(t) ( sen t, cos t, ) com t. É possível visualizar as superfícies e curvas a seguir: endo assim, o Teorema de tokes é dado por: γ F.d r + α F.d r rot F. N d O rotacional do campo, é dado por F é dado por: ( rotf y ) x + y, x x + y, Calculando cada integral separadamente: rot F N d ( cos θ, sen θ, )( sen θ, cos θ, ) d sen θ cos θ sen θ cos θ d 5
α F d r. (cos t,, ).(cos t, sen t, ) dt cos t dt + cos t dt Assim, a integral pedida é dada por: γ F d r. 6
Instituto de Matemática e Estatística da UP MAT455 - Cálculo Diferencial e Integral III para Engenharia a. Prova - o. emestre 5 - /6/5 Turma B Questão :(, x y olução: e pontos) Calcule a massa da superfície que é parte da esfera x + y + z para z com densidade δ(x, y, z) z. A superfície dada pode ser vista na gura abaixo:...4.8.6.....4..8.6 Uma parametrização para essa superfície σ é dada por: σ(u, v) (cos u sen v, sen u sen v, cos v) E o módulo do vetor normal é dado por: σu σv sen v ubstituindo as componentes da superfície nos intervalos dados para x e y, é possível encontrar os novos intervalos que caracterizam a superfície. endo assim: y x tg u θ z cos v v A massa é, então calculada da seguinte forma: δ(σ(θ, φ)). σθ σφ dθ dφ M sen φ cos φ dφ dθ 6 ) ( cos φ 8 8 8 7 M 44 7 ( sen φ) cos φ dφ
Questão (,5 pontos) Calcule ( ) x 48, y, z e a parte da superfície x F. N d sendo F (x, y, z) 6 + y 4, limitada pelos planos z e z, orientada pela normal N que se afasta do eixo z (exterior). olução: A integral será calculada por meio do Teorema de Gauss. A superfície não é fechada. Como o domínio do campo F é, podemos tomar qualquer região fechada (sólido), na qual a superfície faça parte do bordo. Uma região imediata é a região interior à e fechada superior e inferiormente por parte dos planos para z e z. ejam T e T as superfícies ("tampas"): A região é exibida a seguir: T (u, v) (u, v, ), D {(u, v) : T (u, v) (u, v, ), D {(u, v) : u 6 + v 4 }, N (,, ) u 6 + v 4 }, N (,, ) Como a normal dada é a normal exterior, o Teorema de Gauss é dado por: F. N d + F. N d + F. N d T T Calculando cada integral separadamente: Integral sobre de T Integral sobre de T T F. N d T F. N d div F dx dy dz ( ) u D 48, v,.(,, ) d d D.Área(D)...4 4 ( ) u D, v 48,.(,, ) d d D.Área(D)...4 4 () 8
Integral do div F divf dx dy dz Utilizando coordenadas cilíndricas para a solução da integral: x 4 + y + dx dy dz 6 z z J 8r Com mudança de coordenadas apresentada, a região passa a ser descrita por: x r. cos θ y 4r. sen θ {(r, θ, z) θ, r, z } A integral é resolvida da seguinte forma: x 4 + y + dx dy dz 6 96 7 (r + )8r dz dr dθ ( r r 4 + r dr 96 4 + r ) Assim, a integral pedida é F. N d 7 4 4 4 Outra maneira de resolver... O exercício pode ser resolvido também calculando a integral de superfície de forma direta, pela denição. Para isso, encontra-se uma parametrização para a superfície : (θ, z) (4 cos θ, sen θ, z) sendo os intervalos dos parâmetros θ e z. E o vetor normal para essa parametrização é: θ z ( cos θ, 4 sen θ, ) que se afasta do eixo z, coincidindo com o sentido dado. 9
A integral será calculada da seguinte forma: F. N d ( 64 cos θ 48, 8 ) sen θ, z.( cos θ, 4 sen θ, ) dθ dz 8 cos4 θ + 8 sen 4 θ dθ dz [ ( )] 8 cos 4 θ + sen 4 θ dθ 48 ( ) ( ) + cos θ cos θ + dθ 48 + cos θ dθ 4 + ( + cos 4θ) dθ 4 cos 4θ dθ ( ) sen 4θ 4 θ + 4 4
( ) xz Questão (,5 pontos) Calcule γ x + y + y dx + yz dy + x ez4dz, sendo γ a curva dada + y pela intersecção de x + y e z arctg (7 + x 4 + y 8 ) orientada de modo que sua projeção no plano xy é pecorrida uma única vez no sentido anti-horário. olução: A integral pedida será calcula por meio do Teorema de tokes. Como o domínio do campo F é {(,, z) : z }, a superfície escolhida que contenha γ no seu bordo, não pode ser interceptada pelo eixo z. Uma superfície que atende os requisitos seria parte do cilindro x + y. Vamos então limitar o cilindro inferiormente pelo plano z. Assim {(x, y, z) : x + y, z arctg (7 + x 4 + y 8 )} Essa superfície tem como bordo a curva γ e uma curva α(t) no plano z, que limita a superfície. Para utilizar o Teorema de tokes as orientações das curvas que compõe o bordo de devem ser compatíveis (induzidas) pela orientação da superfície. O sentido da curva γ induz, pela regra da mão direita, uma normal interior à (se aproximando do eixo z). Uma parametrização para é dada por (θ, z) ( sen θ, cos θ, z), com vetor normal θ z ( sen θ, cos θ, ), que é coincidentemente com a normal à induzida pelo sentido de γ. A curva α deve ser percorrida de modo a induzir uma normal interior à, ou seja: α(t) ( sen t, cos t, ). É possível visualizar as superfícies e curvas a seguir: endo assim, o Teorema de tokes é dado por: γ F.d r + α F.d r rot F. N d O rotacional do campo, é dado por F é dado por: ( rotf y ) x + y, x x + y, Calculando cada integral separadamente: rot F N d cosθ, sen θ, )( sen θ, cos θ, ) d sen θ cos θ sen θ cos θ d
α F d r (cos t,, ).(cos t, sen t, ) dt cos t dt + cos t dt Assim, a integral pedida é dada por: γ F d r