Variáveis Aleatórias Definição: Uma variável aleatória v.a. é uma função que associa elementos do espaço amostral a valores numéricos, ou seja, X : Ω A, em que A R. Esquematicamente As variáveis aleatórias são classificadas em dois tipos: VA discreta: é aquela para a qual o conjunto A é um conjunto finito ou infinito enumerável Exs.: A = {1,, 3, 4, 5, 6}, A = = {, 1,, 3, 4,... }, etc. VA contínua: é aquela para a qual o conjunto A é um conjunto infinito não enumerável, ou seja, é uma v.a. que assume valores em intervalos de números reais Exs.: A = R = (, ), A = [,1] R, etc. Notas: Para v.a. s contínuas, a função que normalmente associa pontos de Ω ao conjunto A R, é a função identidade; Para v.a. s discretas, a função que normalmente associa pontos de Ω ao conjunto A R, é uma contagem ou soma.
Exemplo: Três jogadores A, B e C cobram um penalti cada um. a) Quais os resultados possíveis? b) Como definir uma v.a.? c) Como associar probavilidade a essa uma v.a.? Sejam os eventos A = o jogador A marca o penalti, B = o jogador B marca o penalti e C = o jogador C marca o penalti a) Ω = { ABC, A C BC, AB C C, ABC C, A C B C C, A C BC C, AB C C C, A C B C C C } é o espaço amostral. b) Temos pelo menos duas formas de definir uma variável aleatória nesse caso: (i) X 1 = número de gols marcados nas três cobranças ou (ii) X = número de gols não marcados nas três cobranças. Vamos considerar X = número de gols marcados nas três cobranças X(ABC) = 3 X(A C BC) = X(AB C C) = X(ABC C ) = X(A C B C C) = X(A C BC C ) = X(AB C C C ) = 1 X(A C B C C C ) = Por conveniência, vamos utilizar a notação simplificada para representar os possíveis valores de uma v.a.: X(ABC) X = 3 X(A C BC) = X(AB C C) = X(ABC C ) X = X(A C B C C) = X(A C BC C ) = X(AB C C C ) X = 1 X(A C B C C C ) X = Assim pode-se escrever: P(X = 3) = P(ABC) =.673 P(X = ) = P(A C BC AB C C ABC C ) =.854 P(X = 1) = P(A C B C C A C BC C AB C C C ) =.396 P(X = ) = P(A C B C C C ) =.18
Função de probabilidade de uma v.a. discreta A função que associa probabilidades aos possíveis valores de uma v.a. discreta X, é chamada de função de probabilidade discreta e é representada por: p(x) = P(X = x), x A. Propriedades: a) p(x) 1; b) p ( x) = 1. x A Exemplo: No exemplo dos 3 jogadores, temos A = {, 1,, 3 } e: x p(x).18 1.396.854 3.673 p(x) assim definida, é uma função que associa probabilidades à v.a. X = número de gols narcados nas 3 cobranças de penaltis. Exemplo: Um atirador acerta a mosca de um alvo 8% das vezes. Se ele realiza dez tiros, a) Defina uma variável aleatória para esse caso. Qual é a probabilidade de que ele acerte o alvo: b) exatamente uma vez? c) pelo menos uma vez? d) no máximo três vezes? (escreva essas probabilidades em termos da v.a.)
a) Vamos definir a v.a. X = número de acertos nos dez tiros Desta forma temos que A = {, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1 }, ou seja p(x) = P(X = x), em que x {, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1 }. b) A probabilidade de que o atirador acerte o alvo exatamente uma vez pode ser representada por: P(X = 1). Se o atirador acerta o alvo em 8% das vezes, então, em cada tiro ele tem probabilidades.8 de acertar e. de errar. Sendo A = acerto e E = erro e considerando que ele acerte o primeiro tiro, temos que A/E A E E E E E E E E E prob..8......... tiro 1 3 4 5 6 7 8 9 1 Assim, a probabilidade de que ele acerte uma única vez, sendo este o primeiro tiro é igual a: (.8) (.) 9 Como ele pode acertar o primeiro tiro ou o segundo ou o terceiro... ou o décimo, então ele tem dez vezes essa probabilidade, então: P(X = 1) = 1 (.8) (.) 9 1 = (.8) 1 (.) 9 = 4.96 1-6. 1 c) Se o atirador acerta pelo menos uma vez, então, ele pode acertar uma vez ou duas vezes ou três vezes... ou dez vezes, portanto, a probabilidade de que o atirador acerte pelo menos uma vez pode ser escrita por: 1 P(X 1) = P( X = x) = P(X = 1) + P(X = ) +...+ P(X = 1). x= 1 Mas, utilizando o evento complementar, podemos escrever a probabilidade do atirador acertar pelo menos uma como sendo um menos a probabilidade de que ele erre todos os tiros, ou seja:
P(X 1) = 1 P(X = ) = 1 (.) 1 =.9999999 d) A probabilidade do atirador acertar no máximo três vezes pode ser escrita como: P(X 3) = P(X = ) + P(X = 1) + P(X = ) + P(X = 3). Mas: 1 P(X = ) = (.8) (.) 1 = 1.4 1-7 1 P(X = 1) = (.8) 1 (.) 9 = 4.96 1-6 1 1 P(X = ) = (.8) (.) 8 = 7.378 1-5 1 P(X = 3) = (.8) 3 (.) 7 = 7.8643 1-4 3 Logo, P(X 3) = 8.644 1-4. No exemplo acima podemos escrever uma fórmula geral para as probabilidades: 1 P(X = x) = (.8) x (.) 1 x. x Generalizando um pouco mais, podemos pensar num atirador que tem um índice de acertos maior ou menor do que os 8%, como por exemplo: 95%, 7%, 4%, etc... Como esse índice de acertos pode ser expresso como uma proporção entre e 1, podemos definir uma quantidade p 1, como sendo a probabilidade de que, num tiro, o atirador acerte a mosca. Considerando que o atirador pode atirar um número n qualquer de vezes, sendo X a v.a. que conta o número de acertos nos n tiros, então podemos generalizar a probabilidade P(X = x) por:
n P(X = x) = p x (1 p) n x, x =, 1,,..., n. x Esse modelo é conhecido como modelo binomial. O modelo binomial está associado à ensaios com apenas dois resultados possíveis: sim/não; ocorre/não ocorre; /1. Esses ensaios quando são independentes recebem o nome de ensaios de Bernoulli. Nos ensaios de Bernoulli sempre estamos interessados em apenas um dos resultados ao qual chamaremos de sucesso. A não ocorrência de sucesso vamos chamar de fracasso. Desta forma, para o modelo binomial temos que: p = P(sucesso) e (1 p) = P(fracasso) No exemplo do atirador ocorre sucesso quando o atirador acerta a mosca e fracasso quando ele não acerta a mosca. Uma característica do modelo binomial é que são realizados n ensaios com apenas dois resultados possíveis nos quais a probabilidade de sucesso p é sempre constante, ou seja, os ensaios são independentes. Assim sendo, definimos uma variável aleatória binomial como sendo uma variável que conta o número de sucesso num número fixo de ensaios de Bernoulli. Notação: X binomial(n, p). No exemplo do atirados temos p =.8 e n = 1, logo X binomial(1,.8).
Outro exemplo: Considere a fabricação de componentes eletrônicos em que o índice de produtos com defeito é de.5%. Se um inspetor seleciona um lote de 8 peças para inspeção, qual a probabilidade de que: a) apenas uma seja defeituosa? b) nenhuma seja defeituosa? c) no máximo duas sejam defeituosas? d) Qual é o número esperado de peças defeituosas no lote? Vamos definir a v.a. X = número de peças defeituosas dentre as 8. Como estamos interessados nos defeito, então, p = P(defeito) =.5 e X binomial(8,.5). 8 a) P(X = 1) = (.5) 1 (.975) 79 =.76 1 8 b) P(X = ) = (.5) (.975) 8 =.1319 c) P(X ) = P(X = ) + P(X = 1) + P(X = ) =.6767. d) Espera-se: 8.5 = peças defeituosas no lote, ou seja, espera-se np peças com defeito. Resultado: O número esperado de sucessos em n ensaios de Bernoulli com P(sucesso) = p é dado por np. Obs: No exemplo do atirador espera-se que ele acerte 1.8 = 8 tiros na mosca.
Função de probabilidade de uma v.a. contínua Para modelarmos as probabilidades associadas a uma v.a. contínua, temos de considerar que estas assumem valores em intervalos dos reias. Desta forma, o conjunto de possíveis valores que uma v.a. contínua X pode assumir é dado por A = { x R: k 1 x k }, k 1 < k. Como existem infinitos pontos no intervalo [k 1, k ], não faz sentido pensarmos em calcular a probabilidade de X assumir um dado valor x A, uma vez que essa probabilidade será igual a zero. Assim, para uma v.a. contínua, P(X = x) =. No entanto, podemos determinar a probabilidade de X assumir um valor entre dois pontos quaisquer pertencentes a A: P(a X b) ; P(X b), P(X a), etc Definição: Seja um função f(x) não negativa tal que a) f(x), x A; + b) f ( x) dx= 1; c) lim f ( x) = lim f ( x) = ; x x + b d) P(a X b) = a f ( x) dx A função f(x) é chamada de função densidade de probabilidade (f.d.p.) da v.a. X, ou simplesmente função densidade de X. e serve para descrever a distribuição de probabilidade de uma v.a. contínua.
A função de probabilidade f(x) pode ser aproximada pelo histograma da v.a. X., conforme podemos observar pela figura. Definição: Seja um função F(x) tal que x F ( x) = P( X x) = f ( x) dx. F(x) é chamada função de distribuição acumulada (f.d.a.) da v.a. X, ou simplesmente função de distribuição. Nota: b Da definição de f.d.p. segue-se que P(a X b) = a f ( x) dx = F(b) F(a)
Exemplo: Seja uma v.a. X com f.d.p. f(x) dada por k x f(x) = e, x. a) Para que valor de k, f(x) define uma f.d.p.? + + De f ( x) dx= e dx= 1, fazendo w = kx, segue-se que dw = kdx. + k x = k Portanto, e dx e ( e ) ( e e ) 1 k x = w dw k w = k + =, de onde se obtém: = 1 k k =. b) Encontre a f.d.a. Portanto, x u u e x F( x) = e du = = 1 e. x x F( x) = P( X x) = 1 e. Desta forma, podemos encontrar P(1 X ) = F() F(1), ou seja 1 4 P(1 X ) =( ) ( ) 1 e 1 e = e e =.117. Medidas associadas: a) Valor esperado ou média de uma v.a. denotado por E(X) Se X é uma v.a. discreta, então: Se X é uma v.a. contínua, então: E ( X ) = x p( x) x A E ( X ) = x f ( x) dx
b) Variância de uma v.a. denotado por Var(X) Em ambos os casos definimos variância por: [ X E( X) ] = E( X ) [ E( )] Var( X ) = E X, Em que: ( X ) = E x p( x) x A, ou ( X ) E = x f ( x) dx c) Exemplos: 1) Para o modelo binomial mostra-se facilmente que por E(X) = np e que Var(X) = np(1 p). Dessa forma, no exemplo do atirador, como n = 1 e p =.8, E(X) = 1.8 = 8 acertos e Var(X) = 1.8. = 1.6. ) No exemplo da fabricação de componenetes eletronicos, como n = 8 e p =.5, E(X) = 8.5 = peças/lote e Var(X) = 8.5.975 = 1.95. 3) Para o exemplo da v.a. contínua, temos que: x x E( X ) = x e dx= x e dx, integrando por partes, 1 E ( X ) =. Ainda, E ( X ) = x x E( X ) = x e dx= x e dx, e, integrando p.partes 1 1, logo, Var ( X ) =. 4
A distribuição de probabilidade Normal. Uma v.a. X tem distribuição normal ou Gaussiana, com parâmetros µ e σ se a sua f.d.p. for: 1 ( ) ( xµ x = e ) σ f, < x <, <µ< e σ. σ π Notação: X normal(µ; σ ) ou X N(µ; σ ). As principais características da distribuição normal são: a) X tem média E(X) = µ e variância Var(X) = σ ; b) f(x) é uma função simétrica em torno de µ: f(µ k) = f(µ + k); c) f(x) tem pontos de inflexão em (µ σ) e (µ + σ); d) f(x) tem o conhecido formato de sino com 95% de probabilidade entre (µ σ) e (µ + σ) (ver figura). >
A função de distribuição acumulada da normal não pode ser obtida, uma vez que a integral F x 1 ( x) e ( wµ ) σ = dw, σ π não tem solução algébrica. Isso dificulta um pouco as coisas, pois, nesse caso temos de recorrer à programação numérica. Um resultado importante, entretanto, vem facilitar a nossa vida. µ Considere uma v.a. qualquer X e seja a transformação linear Z = X. σ Essa transformação padroniza a v.a. X em relação ao seu desvio padrão, além de centralizá-la na origem. Desta forma, a média e variância de Z serão E(Z) = e Var(X) = 1. Resultado: Seja X uma v.a. com distribuição normal com média µ e variância σ, então a variável Z tem normal padronizada, com média e variância 1, ou seja: Z N(; 1), e a sua f.d.p. será dada por: f 1 z ( z) e, = < z <. π
Nota: Por meio deste resultado, basta construirmos uma tabela de probabilidades para a distribuição normal padronizada que conseguimos as probabilidades para uma v.a. normal qualquer. Como obter probabilidades para a normal com a tabela da distr. padrão? Exemplo: Seja uma v.a. X com distribuição normal com média e variância 16, ou seja, X N(; 16). Calcular as probabilidades abaixo: a) P(X 5) X 5 P =.8943 4 4 P(X 5) = = P( Z 1.5) b) P(1 X 8) 1 X 8 P(1 X 8) = P = 4 4 4 = P (.5 Z. )= ( Z.) P( Z. )= = P 5.9773.6 =.9711
c) Qual o valor de k tal que P(X k) =.1? X k P(X k) = P =.1, 4 4 k Da tabela temos que =. 33 4 k = 1.38 d) Quais os valores k 1 e k simétricos em torno de µ, tal que P(k 1 X k ) =.95? P(k 1 X k ) = k1 k P Z =.95, 4 4 k Da tabela temos que 1 k P Z = P Z =.5, e, 4 4 k1 = 1.96 k 1 = 1.16 4 Como k 1 e k simétricos em torno de, então k = 1.96 k = 7.84 4 Exemplo: ) Suponha que o nível de dureza de uma peça de espuma 4; 36. Qual a probabilidade de que: tenha distribuição ( ) a) Um item produzido tenha dureza inferior a 8.7? b) Um item produzido tenha dureza superior a 5.5? c) A especificação para esse produto é que pelo menos 95% dos itens produzidos tenham dureza entre 8 e 5. A especificação é atendida?
a) P(X < 8.7) 8.7 4 P =.31 6 P(X < 8.7) = Z < = P( Z <1.88) b) P(X > 5.5) 5.5 4 P =.41 6 P(X > 5.5) = Z > = 1 P( Z < 1.75) c) P(48 < X < 5) P.< Z <. = P Z <. P Z <. P(48 < X < 5) = ( ) ( ) ( ) =.9773.8 =.9545 3) O tempo até a falha dos televisores da marca X-View tem distribuição normal com média 35 mil horas ( 4 anos) e desvio padrão de.675 mil horas ( 3.7 meses). A empresa deseja fixar a garantia do produto de forma que, no máximo 5% dos televisores apresentem problemas abaixo desse limite. a) Encontre esse limite? P(X < L) =.5 35 < L L 35 P Z =.5 =1. 645.675.675 L = 3.6 mil horas ( 3.5 anos) b) Os diretores da companhia traçam um plano de ação para reduzir a variabilidade do processo de produção. De quanto deve ser reduzido o desvio padrão do processo para que, mantido o limite obtido em (a), o percentual de itens abaixo do limite garantia caia pela metade? P(X < L) =.5 3.6 35 4.4 P Z < =.5 =1. 96 σ* σ* σ* =.45 mil horas ( 3.1 meses)