1. Converta para a base binária, usando o método das divisões sucessivas, os seguintes números inteiros: a) 13 b) 35 c) 192 d) 255 e) 347 f) 513 g) 923 2. Converta para a base binária, usando os métodos das divisões sucessivas (quando necessário) e das multiplicações sucessivas, os seguintes números reais com ponto fixo: a) 0.5 b) 1.25 c) 3.125 d) 12.75 e) 7.5225 f) 4.25 g) 75.8 h) 24 i) 7.65 j) 197 k) 8.963 l) 1001 m) 266.66 n) 3.8 o) 0.625 3. Represente no formato com ponto flutuante normalizado da base binária os seguintes números reais: a) 0.1 b) 0.5 c) 0.625 d) 1.25 e) 3.8 f) 12.75 g) 7.5225 h) 4.25 i) 75.8 4. Seja um hipotético computador com 4 dígitos, base decimal e expoente e {-5,, 6}, F(10, 4, -5, 6):.d 1 d 2 d 3 d 4 x 10 e. a) Qual o maior e o menor números positivos que este computador pode representar. b) Para que números ocorre overflow e underflow? c) Quantos números podem ser representados neste sistema? d) Qual o valor do epsilon ou precisão da máquina (x eps ou e). 5. Seja um hipotético computador com 4 dígitos, base decimal e expoente e {-5,, 6}, F(10, 4, -5, 6):.d 1 d 2 d 3 d 4 x 10 e. Determine o resultado das seguintes operações (começar por representar os valores no formato de ponto flutuante normalizado): a) 12.7542 + 7.5225 b) 4.32567 + 0.00654 d) 1.25 x 3.125 e) 12.7542 / 1.25 c) 75.87643 46.00222 6. Considere um hipotético computador com 4 dígitos, base binária (b=2) e expoente e {-5,, 6}, F(2, 4, -5, 6): d 1 d 2 d 3 d 4 x 2 e. Determine todos os valores possíveis neste computador. 7. Determinar os números decimais correspondentes às seguintes representações binárias: a) 1110110001 b) 10010110 c) 0.111010101 d) 101001.0101 Computação Científica 1
8. Qual é o maior número (em valor absoluto) que pode ser representado com 11 dígitos binários? E qual é o menor número (em valor absoluto), excluindo-se zero? 9. Caso fosse utilizado um sistema de representação com 3 símbolos (0, 1 e 2), qual deveria ser a base utilizada? Como seria a representação do número decimal 29? 10. Caso fosse utilizado um sistema de representação com 8 símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7), qual base poderia ser utilizada? Como seria a representação do número decimal 23. 11. Converter os seguintes números decimais em binário com ponto flutuante, utilizando 8 dígitos binários significativos: 7; 31; 65; 97; 1099; 0,1377; 265,43; 909,7463. 12. Obter os números decimais correspondentes às seguintes representações em binário com ponto flutuante: a) (1.001) x 2 (0100) b) -(1.10101) x 2 (1001) c) (1.011) x 2 -(1110) 13. Suponha que um sistema de representação binária com ponto flutuante utilize 6 algarismos para representar a mantissa de um número e 4 algarismos para representar o expoente. Qual o número imediatamente maior que (1.01001) x 2 (0001) e qual o número imediatamente menor? Quanto valem estes números na representação decimal? Neste caso, como poderia ser representado o número decimal 2.6? 14. Represente o número 12 em notação normalizada de 2 dígitos, base binária e intervalo dos expoentes definido em { -4,, 5 }, F(2, 2, -4, 5). 15. Representar o número 25 em notação normalizada de 2 dígitos, base decimal e intervalo dos expoentes definido em { -2,, 3 }, F(10, 2, -2, 3). 16. Converta os seguintes números em binário para decimal, usando o algoritmo de Horner: a) 10101010 b) 10011001 c) 10111 17. Converter os seguintes números binários fracionários, usando o algoritmo de Horner modificado, para a base decimal a) 1011.11 c) 1011011.1101 b) 1101.111 d) (0.11 010) = (0.11010010010...) 18. Efetua as seguintes operações entre números binários: a) 1111 + 0001 e) 110110-101011 b) 0001 + 0111 f) 10011 x 10011 c) 1010 + 0111 g) 1111 + 0101 d) 110110 101011 h) 101010 / 110 i) 11001110 / 1101 j) 100100011 / 11101 k) 111000001 / 101001 Computação Científica 2
19. Represente os seguintes números reais no formato com ponto flutuante (normalizado): a) 0.00025 e) 4.25 b) 0.125 f) 75.8 c) 12.75 g) 80142.76013 10 d) 7.5225 h) 11001.11 2 20. Considerando o sistema de números de ponto flutuante F(10, 2, -2, 3), determine: a) o menor número positivo possível; b) o maior número positivo possível; c) As regiões de underflow e de overflow; d) o maior número que pode ser somado ou subtraído de 1.0, que mantém o resultado inalterado (precisão da máquina); e) o número de elementos do sistema F. 21. Considerando o sistema de números de ponto flutuante F(2, 3, -1, 2), determine: a) o menor número positivo possível e respetivas regiões de underflow; b) o maior número positivo possível e respetivas regiões de overflow; c) O maior número que pode ser somado ou subtraído de 1.0 mantendo o resultado inalterado (precisão da máquina); d) o número de elementos do sistema F. 22. Quantos dígitos significativos existem em cada um dos seguintes números? a) 00001000020000 b) 10000200003004 c) 000123.0004500 23. O resultado de uma operação não tem necessariamente o mesmo número de dígitos significativos do que as parcelas. Comprove a afirmação, calculando x + y com x = 0.123 x 10 4 e y = 0.456 x 10-3. 24. Para x = 0.433 x 10 2, y = 0.745 x 10 0 e z = 0.100 x 10 1, calcule usando aritmética de três dígitos significativos: a) x + y b) y/x c) x.z d) Quantos dígitos significativos apresentam os resultados? Computação Científica 3
25. Supondo que as operações abaixo são processadas numa máquina com 4 dígitos significativos e fazendo-se: X 1 = 0.3491 x 10 4 X 2 = 0.2345 x 10 0 determinar os resultados das seguintes expressões: a) (X 2 + X 1 ) X 1 b) X 2 + (X 1 X 1 ) c) Compare e comente os resultados obtidos. 26. Considere um sistema de ponto flutuante com b = 10 e n = 3 e uma representação por arredondamento simétrico, verifique que: a) (4210 4.99) 0.002 4210 (4.99 0.002) b) (0.123 / 7.97) x 84.9 (0.123 x 84.9) / 7.97 c) 15.9 x (4.99 + 0.02) (15.9 x 4.99) + (15.9 x 0.02) 27. Considere o sistema F(10, 3, -2, 3). Represente nesse sistema, os seguintes números de modo que eles estejam normalizados: a) 0.35 c) 5391.3 b) 0.0123 d) 0.0003 28. Calcule os erros absolutos (EA) e relativos (ER), e quantos dígitos significativos aproxima fl(x) a X, das seguintes aproximações: a) X = 231.29 e fl(x) = 232.04 c) X = 12.329 e fl(x) = 12.331 b) X = 0.5682 e fl(x) = 0.5701 d) X = 0.397682 e fl(x) = 0.396965 29. Arredonde cada um dos seguintes números a cinco dígitos significativos: a) 0123.395 b) 0123.205 c) 0123.206 30. Represente os seguintes números, por arredondamento simétrico e por defeito (corte), no sistema F(10, 4, -98, 99): a) 0.333333 c) 0.348446 b) 0.123952 d) 0.666... 31. Represente os seguintes números, por arredondamento simétrico e por defeito (corte), no sistema F(6, 4, -2, 3): a) 0.0055555 d) 0.055555 b) 1345.15 e) 13.053 c) 0.000123425 Computação Científica 4
32. Dada a quantidade X = ( 1 3 11) + 3 3, realize os seguintes cálculos 20 a) Determine o valor exato de X com cinco dígitos significativos b) Aproxime o valor de X usando 3 dígitos fazendo arredondamento por defeito (corte do número) c) Aproxime o valor de X usando 3 dígitos com arredondamento simétrico d) Calcule os erros absoluto, relativo e relativo percentual nas aproximações obtidas nas alíneas b) e c). 33. Seja m = (1/2)b 1-n é a unidade de erro de arredondamento de um sistema de ponto flutuante F(b, p, e min, e max ). a) Qual é o valor em F de 1 + m? b) Qual o menor número positivo e, de F, tal que 1 + e > 1? 34. Calcular um limite superior para o erro de truncatura quando se usa 1 (x 2 /2) para aproximar cos(x) para x [0.0, 0.1]. 35. Considere o seguinte integral: 1 4 0 1 1+x 2 dx a) Calcule aproximações para o integral anterior, usando a regra b a n 1 f( x)dx = h f(x i ) + R, com R = (h/2)(b a)f '( ), i=0 Selecione h = 1/n (n = 1, 2, 4, 8,, 1024). [a,b]. b) Conhecido o valor exato do integral determine o erro em cada aproximação. c) Obtenha um limite superior para o erro de truncatura em cada passo. d) Obtenha estimativas para o erro devido a arredondamentos (calculando a diferença entre os resultados dos cálculos efetuados em precisão simples e em precisão dupla). Comente sobre a dominância de cada erro quando n cresce. 36. Escreva aproximações com seis dígitos significativos para os números a) 1/11 b) (2) c) e 3 37. Obtenha os erros absolutos, erros relativos e percentagem de erros das aproximações a) (3) 1.73 b) 1 6 0.166667 c) π 3.1416 Computação Científica 5
38. A Agência Nacional do Petróleo efetuou verificações em bombas de postos de gasolina, obtendo como resultado a tabela apresentada abaixo. Qual dos postos está a enganar o consumidor em maior proporção? Posto Quantidade de gasolina efetivamente dispensada Quantidade de gasolina medida pela bomba Shill 9,90 10,00 Bri 19,90 20,00 Texis 29,80 30,00 Ipiris 29,95 30,00 39. Se A = 3.56 ± 0.05 e B =3.25 ± 0.04, em que intervalo se encontra o resultado de A + B 40. A fórmula para calcular a tensão normal em uma barra longitudinal é dada por = F/AE, onde F = força normal aplicada, A = área da barra e E = módulo de Young. Se F = 50 ± 0.5N, A = 0.2 ± 0.002 m 2 e E = 210 x 10 9 ± 1 10 9 Pa, qual é o maior erro na medida da tensão? 41. Caso se queira especificar um número m para o mínimo de dígitos significativos corretos de um determinado resultado, então o valor do erro aproximado relativo deve ser a 0.5 x 10 2 m %. Por outro lado, dado o valor para a, o número mínimo de dígitos corretos é dado por m 2 log( a /0.5). Responda: a) O erro aproximado relativo no cálculo da raiz de uma equação é 0,004%. Qual o número mínimo de dígitos corretos da solução? b) Qual o menor erro aproximado relativo para obtermos uma solução com 6 dígitos corretos? 42. No cálculo do volume de um cubo com lado de 5cm, a incerteza na medição de cada lado é de 10%. Qual o erro relativo máximo na medida do volume do cubo? 43. Considere o cálculo de f'(2) para a função f(x) = x 2 utilizando f'(x) = (f(x + h) f(x)) / h. Responda: a) Qual o erro se utilizarmos h = 0.2? b) Qual o valor de h para que tenhamos pelo menos 3 dígitos corretos na solução? Computação Científica 6