Ministério da Educação Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica Instituto Federal Catarinense - Campus avançado Sombrio Curso de Licenciatura em Matemática PLANO DE AULA 1- IDENTIFICAÇÃO Instituto Federal Catarinense- Campus avançado Sombrio Município: Sombrio, SC. Disciplina: Matemática Série: 2º ano Nível: Ensino Médio Turma: 01 Tempo previsto: 4 horas/aula Professora: Susana Pereira da Cunha de Matos 2-TEMA: SISTEMAS LINEARES 3- JUSTIFICATIVA Diversas situações do cotidiano podem resultar em um sistema de equações lineares, com duas ou mais incógnitas. Estes sistemas estão presentes não só nos exemplos da Matemática, mas também em outras áreas, como na engenharia, na medicina, na física, entre outras. Por isso, é de grande importância que os alunos compreendam a representação, a resolução e a interpretação de um sistema linear. 4- OBJETIVOS: Identificar equações na forma linear; Identificar os termos que compõem uma equação linear; Representar situações problema na forma de sistemas lineares; Resolver sistemas lineares por diferentes métodos; Interpretar a solução dos sistemas lineares; Identificar as matrizes de um sistema linear
Classificar os sistemas lineares; Resolver, discutir e classificar um sistema linear. 5- CONTEÚDOS ENVOLVIDOS (conteúdos pré-requisitos para o desenvolvimento da aula). Operações básicas da Matemática, (adição, subtração, multiplicação e divisão). Matrizes e determinantes. 6- ESTRATÉGIAS: 6.1- recursos: Material disponível em sala de aula, data show, software matemático Winplot e Graph. 6.2- técnicas: Aula expositiva e dialogada, utilização de softwares matemáticos. 7- PROCEDIMENTOS: 7.1- Problematização: Atualmente, os carros bicombustíveis, isto é, aqueles que funcionam com gasolina, álcool ou com a mistura dos dois, conhecidos com flex, tem sido produzidos pelos principais fabricantes de carros. Em certo posto de combustíveis, um carro bicombustível foi abastecido com álcool e gasolina, totalizando 46L. Nesse dia, o preço do litro do álcool era R$ 1,50 e o litro da gasolina, R$ 2,50. Sabendo que foram pagos R$ 82,00 pelo abastecimento, determine a quantidade de litros de álcool e de gasolina com que o carro foi abastecido. 7.2- Historicização Na matemática ocidental antiga são poucas as aparições de sistemas de equações lineares. No Oriente, contudo, o assunto mereceu atenção bem maior. Com seu gosto especial por diagramas, os chineses representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Assim acabaram descobrindo o método de resolução por eliminação que consiste em anular coeficientes por meio de operações elementares. Exemplos desse
procedimento encontram-se nos Nove capítulos sobre a arte da matemática, um texto que data provavelmente do século 111 a.c. Mas foi só em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, que a idéia de determinante (como polinômio que se associa a um quadrado de números) veio à luz. Kowa, considerado o maior matemático japonês do século XVII, chegou a essa noção através do estudo de sistemas lineares, sistematizando o velho procedimento chinês (para o caso de duas equações apenas). O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos depois num trabalho de Leibniz, ligado também a sistemas lineares. Em resumo, Leibniz estabeleceu a condição de compatibilidade de um sistema de três equações a duas incógnitas em termos do determinante de ordem 3 formado pelos coeficientes e pelos termos independentes (este determinante deve ser nulo). (http://www.somatematica.com.br/historia/sistemas. php) 7.3- OPERACIONALIZAÇÃO DA AULA Sistemas Lineares Antes de iniciar o estudo dos sistemas lineares vamos identificar as equações lineares. Equações Lineares Você consegue identificar a ideia de equações lineares em nossa sala de aula? Onde temos a ideia de sistemas lineares em nossa sala de aula? O que identifica uma equação linear? As equações lineares podem representar inúmeras situações em nosso contexto, inclusive a soma de uma compra no supermercado pode ser expresso em equação linear. As equações escritas na forma chamadas equações lineares. são Nessas equações: são números reais e são coeficientes das incógnitas;,..., são as incógnitas; é o termo independente. Em um caso particular, quando b = 0, temos uma equação linear homogênea.
Ex: Na equação 5, -4, 1 e são os coeficientes; são as incógnitas; é o termo independente. Em uma equação linear não há termos do tipo termo tem apenas uma incógnita, cujo expoente é 1., etc., ou seja, cada Alguns exemplos de equações lineares: Alguns exemplos de equações não lineares: A solução de uma equação linear com n incógnitas é a ênupla de números reais,,..., que, ao substituírem, respectivamente, na equação a tornam verdadeira, isto é:. Ex: Na equação linear, o par (2,3) é solução, pois. Já o par (-1,4) não é solução, pois. Uma equação linear pode ter inúmeras soluções. Na equação linear a terna (3,-4,7) é solução, pois Já a terna (-1,2,4) não é solução, pois Sistemas Lineares Os sistemas lineares envolvem duas ou mais equações que estão relacionadas Denominamos de sistema linear m x n, o conjunto S de equações lineares de m equações com n incógnitas. Representamos esse conjunto genericamente da seguinte forma:
Em que: incógnitas;,..., são as incógnitas; são os termos independentes. são os coeficientes da Exemplos: a) Sistema linear 2x2, ou seja, com duas equações lineares e duas incógnitas (x e y). b) Sistema linear 3x3, ou seja, com três equações lineares e três incógnitas (x, y e z). c) Sistema linear 2x3, ou seja, com duas equações lineares e três incógnitas (x, y e z). Solução de um Sistema Linear Uma solução de um sistema linear é um conjunto de valores que satisfaz ao mesmo tempo todas as equações do sistema linear. Podemos determinar a solução e de um sistema linear de forma intuitiva ou por tentativa, substituindo os valores de x e y e testado para ver se verifica em cada uma das equações dadas. Exemplo: x=2 e y=1. Para o sistema, os valores que satisfazem as duas equações são Logo, a solução do sistema é o par ordenado (2,1). Nenhum outro par poderá ser colocado no lugar de x e y
Sistema Homogêneo Consideramos como sistema linear homogêneo aquele que possui todos os coeficientes independentes nulos. Exemplo: Todo sistema linear homogêneo admite a solução nula (0,0,...,0), chamada de solução trivial. Um sistema linear homogêneo pode ter outras soluções além da trivial. Ou seja, um sistema homogêneo é sempre possível. Classificação de um Sistema Linear Sistema Possível e Determinado (SPD): Nesse caso, o sistema é possível e a única solução é o par (-3,2). Na representação gráfica desse tipo de sistema, as retas que representam as equações se cruzam em um único ponto, cujas coordenadas correspondem à solução. Sistema Possível e indeterminado (SPI):
Nesse caso, o sistema é possível e possui infinitas soluções, entre elas (-1,0), (1,6) e (5,18). Na representação gráfica desse tipo de sistema, as retas que representam as equações são coincidentes e possuem infinitos pontos comuns. Sistema Impossível (SI) Nesse caso, o sistema é impossível, pois as duas equações não podem ser satisfeitas simultaneamente. Na representação gráfica desse tipo de sistema, as retas que representam as equações são paralelas, e, dessa forma, não possuem pontos comuns.
Os sistemas lineares são classificados quanto ao número de soluções da seguinte forma: Sistema linear Possível: Quando admite solução. Impossível: quando não admite solução. Determinado: admite uma única solução. Indeterminado: admite infinitas soluções. Matriz de um Sistema Linear Podemos associar matrizes a um sistema de equações lineares. Seja o sistema S de m equações com n incógnitas. A esse sistema, podemos associar as seguintes matrizes: Matriz completa Matriz formada pelos coeficientes das incógnitas e os termos independentes. Matriz incompleta Matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.
Matriz coluna das incógnitas Matriz formada pelas incógnitas do sistema. Matriz coluna dos termos independentes Matriz formada pelos termos independentes. Ao multiplicarmos a matriz incompleta pela matriz coluna das incógnitas, obtemos a matriz coluna dos termos independentes. Essa é a forma matricial do sistema. Exemplo: Ao sistema linear podemos associar: A matriz completa: A matriz incompleta: A matriz coluna das incógnitas: A matriz coluna dos termos independentes: A forma matricial:
Escalonamento de um Sistema Linear Sistemas equivalentes Dizemos que dois sistemas lineares, S 1 e S 2, são equivalentes quando apresentam a mesma solução, ou seja, quando toda solução de S 1 também é de S 2, e vice-versa. Exemplo: Os sistemas S 1 = e S 2 = são equivalentes, pois quando resolvidos apresentam como solução única a terna. Propriedades dos sistemas equivalentes Existem três propriedades envolvendo sistemas lineares que nos permitem, a partir de um sistema dado, obter outro equivalente. 1ª propriedade: Dado um sistema linear S 1, ao multiplicarmos por, com, os membros de uma equação qualquer desse sistema, obtemos um sistema S 2 equivalente a S 1. Exemplo: O sistema tem como solução única o par. Multiplicando a 2ª equação por 3, obtemos o sistema, cuja solução também é o par (-3,7). Portanto, esses sistemas são equivalentes. 2ª propriedade: Dado um sistema linear S 1, se substituirmos uma de suas equações pela soma, membro a membro, dela com outra equação desse sistema, obtemos um sistema S 2 equivalente a S 1. Exemplo: O sistema tem como solução única a terna (-1, -2, 3). Substituindo a 2ª equação por sua soma com a 3ª, obtemos o sistema, cuja solução também é a terna (-1,-2,3).
Assim esses sistemas são equivalentes. 3ª propriedade: Dado um sistema linear S 1, se permutarmos duas de suas equações, obtemos um sistema S 2 equivalente a S 1. Exemplo: O sistema tem como solução única a terna (-10,-6,3). Permutando a 1ª e a 2ª equação, obtemos o sistema cuja solução também é a terna (-10,-6,3). Portanto, esses sistemas são equivalentes. Sistema Escalonado Um método eficiente para a resolução de um sistema linear é o chamado método de escalonamento. Ele consiste em transformar um sistema dado em outro, com certas características, que tenha a mesma solução (equivalente), a qual chamamos sistema escalonado. Dizemos que um sistema linear S no qual cada equação possui pelo menos um coeficiente não nulo está na forma escalonada se: As incógnitas de todas as equações estiverem em uma mesma ordem; O número de coeficientes nulos que antecedem o primeiro não nulo aumenta de equação para equação. Exemplo de sistemas escalonados: ou Exemplo de sistema linear não escalonado: ou Nesse sistema, note que a quantidade de coeficientes não nulos na 2ª e 3ª equações é a mesma.
Resolução de sistemas escalonados Ao estudar os sistemas lineares escalonados, consideramos dois tipos possíveis: 1º tipo: o número de equações é igual ao de incógnitas Para resolver esse sistema, determinamos o valor de z em III. Agora, substituímos z = 3 em II e determinamos y. Por fim, substituímos z = 3 e y = -4 em I e determinamos x. Logo, a solução do sistema é a terna (1, -4, 3). Todo sistema escalonado desse tipo é possível e determinado. 2º tipo: o número de equações é menor que o de incógnitas Exemplo: Todo sistema linear escalonado desse tipo possui uma incógnita que não aparece no inicio de nenhuma das equações, denominada incógnita livre. Nesse caso z é a incógnita livre. Como z é a incógnita livre, pode assumir qualquer valor real. De acordo com o valor assumido por z, obtém-se uma solução diferente para o sistema. Como exemplo, vamos assumir z = 1. Substituindo y = 14 na 1ª equação, determinamos x.
Portanto, para z = 1, a solução do sistema é a terna (-29, 14, 1). Assim, esse sistema possui infinitas soluções. Para determinar a solução geral desse sistema, é preciso encontrar os valores de x e y em função de z. Fazendo z =, com, temos: Substituindo y = 15 na 1ª equação: Portanto, para, a solução geral do sistema é (-32+3, 15-, ). Todo sistema linear escalonado desse tipo é possível e indeterminado. Cabe destacar que a quantidade de incógnitas livres define o grau de indefinição de um sistema escalonado. Nesse exemplo, temos um sistema com grau 1 de indeterminação, pois apresenta uma única incógnita livre. Escalonando um sistema linear Nesse tópico, iremos estudar algumas formas de obter um sistema linear escalonado a partir de um sistema linear dado. Para isso, faremos uso de algumas operações básicas e de propriedades vistas anteriormente. Exemplo 01: Vamos escalonar e resolver o sistema Inicialmente, anulamos o coeficiente da incógnita x da 2ª equação. Para isso, substituímos a 2ª equação pela soma dela com a 1ª. Agora, anulamos o coeficiente da incógnita x da 3ª equação. Para isso, substituímos a 3ª equação pela soma dela com a 1ª, multiplicada por (-3).
Para terminar de escalonar o sistema, anulamos o coeficiente da incógnita y da 3ª equação. Para isso, substituímos a 3ª equação pela soma dela com a 2ª. Podemos verificar que esse sistema é possível e determinado. Dessa forma, basta determinar o valor de z, y e x. (III) (II) (I) Logo a solução do sistema é a terna (-7, 5, -1). Exemplo 02: Vamos verificar se o sistema tem solução. A 3ª equação obtida é falsa para quaisquer valores de x, y e z. Portanto, temos um sistema impossível, ou seja, que não admite solução.
Exemplo 03: Vamos escalonar e resolver o sistema. Nesse sistema, a 3ª equação é verdadeira, porém, não traz informações acerca dos valores das incógnitas. Assim, ela pode ser retirada e o sistema fica da seguinte forma: Obtemos um sistema escalonado com duas equações e três incógnitas. Vimos que um sistema desse tipo é possível e indeterminado (SPI) e, nesse caso, com grau 1 de indeterminação. Temos que z é a incógnita livre. Fazendo z =, com, temos: Substituindo II em I, temos: Portanto, para, a solução geral do sistema é Discussão de um Sistema Linear Seja o sistema linear de equações e n incógnitas
Discutir o sistema, em função de um ou mais parâmetros, significa dizer se ele é possível e determinado (SPD), possível e indeterminado (SPI) ou impossível (SI) para valores desses parâmetros. Essa discussão pode ser feita por meio do escalonamento da matriz completa associada ao sistema. Exemplo 01: Vamos discutir o sistema em função do parâmetro. Escalonando esse sistema, temos: Analisando a 3ª equação, temos duas possibilidades: Se, a 3ª equação é eliminada, ficando o sistema escalonado com duas equações e duas incógnitas. Dessa forma, ele é possível e determinado e sua solução é (3,-2). Se, a 3ª equação é falsa e, dessa forma o sistema é impossível. A discussão desse sistema pode ser resumida da seguinte maneira: Para : SPD Para : SI Quando o número de equações é igual ao de incógnitas, podemos discutir o sistema utilizando os determinantes. Nesse caso, calculamos o determinante D da matriz incompleta: Se D, temos um SPD; Se D = 0, temos um SPI ou SI.
Exemplo: Discuta o sistema em função dos parâmetros. Resolução: D= = Para D Com temos D=0. (sistema possível e determinado). Observando a ultima linha, teremos uma igualdade verdadeira se, portanto, (sistema possível e indeterminado). A igualdade será falsa para (sistema impossível). Portanto: Sistema possível e determinado Sistema possível e indeterminado Sistema impossível. 8- CONCLUSÃO DA AULA: Verificar através da lista de exercícios se os alunos conseguiram atingir os objetivos previstos para a aula. 9- AVALIAÇÃO A avaliação permite ao professor acompanhar se os alunos compreenderam os conteúdos, a partir da capacidade de aplicação dos mesmos na resolução de problemas, assim como as habilidades complementares adquiridas pelo aluno, consideradas necessárias para sua formação acadêmica e de cidadão. 9.1 Instrumentos de avaliação Os alunos serão avaliados através de uma prova, contendo cinco questões, sendo uma questão de verdadeiro ou falso, uma questão de somatório, e três questões de resolução e classificação dos sistemas lineares. A prova será individual e sem consulta ao material. O peso total da prova será igual à dez, e cada questão terá peso igual à dois.
Avaliação de Matemática Aluno:. 2º Ano:. Data:. 1) Considerando os conceitos sobre sistemas lineares, determine se as sentenças abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando as falsas: ( ) A equação é um exemplo de equação linear. ( ) Dado o sistema, o par (4,3) é solução do sistema. ( ) Um sistema linear classificado como SPD, admite infinitas soluções. ( ) Quando o número de equações de um sistema linear é igual ao número de incógnitas, podemos discutir o sistema utilizando os determinantes. 2) Determine a soma das alternativas verdadeiras: 01- O sistema é linear. 05- O sistema está na forma escalonada. 09- Quando todos os termos independentes de um sistema linear é igual a zero, dizemos que esse é um sistema linear homogêneo. 13- A terna (-1, -2, 3) é solução do sistema. Total: 3) (RIBEIRO, 2010, pg.160) Para cada uma das equações, escreva quais são os coeficientes, as incógnitas e o termo independente: a) b) 4) (PAIVA, 2009, pg.152) Determine os números complexos sabendo que 1 e -1 são raízes do polinômio 5) Resolva o sistema a seguir, e classifique como, SPD, SPI ou SI:
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BONJORNO, José Roberto. GIOVANNI, José Ruy. Matemática Completa 2ª Série. 2ª Ed. São Paulo, Editora FTD, 2005. DANTE, Luis Roberto. Matemática: contexto e aplicações. 2ª Ed. São Paulo: Ática, 2013. RIBEIRO, Jackson. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia, 2 ensino médio. São Paulo: Scipione, 2010. PAIVA, Manoel. Matemática-Paiva Volume 3 1ª Ed. São Paulo: Moderna, 2009. (http://www.somatematica.com.br/historia/sistemas. php). Acesso em dezembro/2013.