1 ALGUNS MODELOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS Prof.: Idemauro Antonio Rodrigues de Lara
2 Modelos de variáveis aleatórias discretas 1. Distribuição Uniforme Discreta 2. Distribuição Binomial 3. Distribuição de Poisson 4. Distribuição Geométrica 5. Distribuição Binomial Negativa (Pascal) 6. Distribuição Hipergeométrica
3 Distribuição Uniforme Discreta Definição: Uma variável aleatória X assumindo valores no conjunto A = {x 1, x 2,..., x n }, em que os n resultados são equiprováveis, tem distribuição uniforme discreta com função: f(x) = P (X = x) = 1 n I(x) A Notação: X Ud(n)
4 P(X=x) 0.00 0.05 0.10 0.15 10 20 30 40 50 60 70 80 x Figura 1: Distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta.
5 Ensaios de Bernoulli Definição: Um experimento em que se admite apenas uma dicotomia de resultados do tipo sucesso (evento A) ou fracasso (evento A c ) é denominado ensaio de Bernoulli. Admita: X = 0 se ocorre o fracasso ou X = 1 se ocorre o sucesso e seja π a probabilidade do sucesso, então a função de probabilidade da variável aleatória X é dada por: Esperança e Variância f(x) = P (X = x) = π x (1 π) 1 x, I(x) {0,1}. E(X) = π Var(X) = π(1 π)
6 Distribuição Binomial Definição: Considere a realização de n ensaios de Bernoulli, independentes e todos do mesmo tipo. Admita que em cada ensaio a probabilidade do sucesso permanece constante π. Nestas condições: seja X a variável aleatória que descreve o número de sucessos nestas n realizações. Dizemos que a variável aleatória X tem distribuição binomial. Notação: X b(n, π) Função de probabilidade ( ) n f(x) = P (X = x) = π x (1 π) n x I(x) A, A = {0, 1,..., n} x Função Geradora de Momentos Esperança e Variância M X (t) = [πe t + (1 π)] n E(X) = nπ Var(X) = nπ(1 π)
7 Função de probabilidade Função de distribuição f(x)=p(x=x) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 F(x) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 2 4 6 8 10 x 0 2 4 6 8 10 x Figura 2: Função de probabilidade e de distribuição da v.a. X b(10, 0, 40).
8 Limite da função binomial Suponha a realização de n ensaios de Bernoulli independentes e todos do mesmo tipo. Façamos n. Se quando n, π 0 e nπ λ, então a função binomial pode ser aproximada pela expressão abaixo, chamada de função Poisson: lim n ( n )π x (1 π) n x e λ λ x x x!
9 Distribuição Poisson Definição: Seja X uma variável discreta, dizemos que X tem distribuição Poisson se sua função de probabilidade for dada por: f(x) = P (X = x) = e λ λ x I(x) A, A = {0, 1, 2,...} x! Notação: X Poisson(λ) Função Geradora de Momentos M X (t) = exp[λ(e t 1)] Esperança e Variância E(X) = λ Var(X) = λ
10 Função de probabilidade Função de distribuição f(x)=p(x=x) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 F(x) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 5 10 15 20 x 0 5 10 15 20 x Figura 3: Função de probabilidade e de distribuição da v.a. X Poisson(2).
11 Distribuição Geométrica Definição: Seja X a variável discreta que descreve o número de ensaios de Bernoulli até a ocorrência do primeiro sucesso, então a v.a. tem distribuição geométrica, com função de probabilidade: f(x) = P (X = x) = (1 π) x 1 π I(x) A, A = {1, 2, 3...} Notação: X Geo(π) Função Geradora de Momentos M X (t) = Esperança e Variância E(X) = 1 π πe t 1 (1 π)e t Var(X) = 1 π π 2
12 Distribuição Geométrica Definição: Outra forma de descrever a distribuição geométrica é pela variável aleatória Y, que registra o número de fracassos anteriores ao primeiro sucesso. Assim a função de probabilidade é: f(y) = P (Y = y) = (1 π) y π I(y) A, A = {0, 1, 2, 3...} Notação: Y Geo(π) Função Geradora de Momentos Esperança e Variância M Y (t) = E(Y ) = 1 π π π 1 (1 π)e t Var(Y ) = 1 π π 2
13 Distribuição Binomial Negativa (Pascal) Definição: Uma v.a. X tem distribuição Pascal, se ela descreve o número de ensaios de Bernoulli até a ocorrência de r sucessos. Notação: X bn(r, π) Função de probabilidade ( ) x 1 f(x) = P (X = x) = (1 π) x r π r I(x) A, A = {r, r + 1, r + 2,...} r 1 Função Geradora de Momentos ( πe t M X (t) = 1 (1 π)e t ) r Esperança e Variância E(X) = r π Var(X) = r 1 π π 2
14 Distribuição Binomial Negativa (Pascal) Definição: Outra forma de descrever a distribuição Pascal é por meio da v.a. Y, que descreve o número de fracassos anteriores ao r-ésimo sucesso. Função de probabilidade ( ) y + r 1 f(y) = P (Y = y) = (1 π) y π r I(y) A, A = {0, 1, 2,...} y Função Geradora de Momentos ( π M Y (t) = 1 (1 π)e t ) r Esperança e Variância E(X) = r 1 π π Var(X) = r 1 π π 2
15 Distribuição Hipergeométrica Definição: Considere uma população de N itens, dos quais r possuem uma característica A. Seleciona-se uma amostra de n itens (n < N), um a um e sem reposição, então a v.a. X que descreve o número de itens na amostra com a característica A tem distribuição hipergeométrica. Notação: X Hiperg(N, n, r) Função de probabilidade f(x) = P (X = x) = ( r N r ) x)( n x ( N n) I(x) A em que A = {x max[0, n (N r)] x min[n, r]}. Esperança e Variância E(X) = nπ Var(X) = N n nπ(1 π) N 1 π = r N
16 Modelos de variáveis aleatórias contínuas 1. Distribuição Uniforme Contínua 2. Distribuição Normal 3. Distribuição Gama 4. Distribuição Qui-Quadrado 5. Distribuição Beta 6. Distribuição Weibull 7. Distribuição de Cauchy 8. Distribuição t de Student 9. Distribuição F de Fisher-Snedecor
17 Distribuição Uniforme Contínua Definição: Uma variável aleatória X tem distribuição Uniforme no intervalo real (a, b), se sua função de densidade de probabilidade for dada por: f(x) = 1 b a I(x) (a,b) Função Geradora de Momentos M X (t) = Notação X U(a, b) 1 (b a) t (ebt e at ), t 0 Esperança e Variância E(X) = b + a 2 e Var(X) = (b a)2 12
18 densidade 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 5 6 7 8 9 10 11 12 x Figura 4: Gráfico da v.a. X U(a = 5, b = 12)
19 Distribuição Normal Definição: Uma variável aleatória X tem distribuição normal de parâmetros µ R e σ 2 > 0, se se sua função de densidade de probabilidade for dada por: f(x) = [ 1 exp 2πσ 2 1 ] (x µ)2 I(x) 2σ2 (,+ ). Notação X N(µ, σ 2 )
20 função de densidade 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 70 80 90 100 110 120 130 µ Figura 5: Gráfico da distribuição normal
Características da Distribuição Normal 21
22 1. f(x) é uma legítma função densidade de probabilidade, pois: f(x) 0 x R; + [ 1 exp 1 ] (x µ)2 = 1 2πσ 2 2σ2 2. Simetria em relação à µ f(x) depende de x apenas em (x µ) 2. Dessa forma, tem-se para x = µ b (µ b µ) 2 = b para x = µ + b (µ + b µ) 2 = b 3. Limites extremos do modelo normal. [ 1 exp 2πσ 2 e lim x lim x + [ 1 exp 2πσ 2 1 (x µ)2 2σ2 ] 1 ] (x µ)2 2σ2 = 0 = 0
23 4. Parâmetros que caracterizam o modelo: E(X) = µ e Var(X) = σ 2. A esperança matemática é dada por: + [ 1 E(X) = x exp 1 ] (x µ)2 = µ 2πσ 2 2σ2 e a variância: Var(X) = + (x µ) 2 1 2πσ 2 exp [ 1 ] (x µ)2 2σ2 = σ 2 Os resultados também podem ser estabelecidos pela função geradora de momentos (f.g.m.), que é dada por: M X (t) = E(exp(tX)) = exp (tµ + t2 σ 2 ) 2 Usando a propriedade fundamental da f.g.m, temos: M X(t = 0) = µ M X(t = 0) = µ 2 + σ 2
24 5. Interpretação geométrica dos parâmetros µ e σ 2. médias diferentes e dp iguais médias iguais e dp diferentes densidade 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 densidade 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 60 80 100 120 x 90 95 100 105 110 x Figura 6: Interpretação geométrica dos parâmetros do modelo
25 6. Pontos de máximo e de inflexão da função normal. Condição necessária: f (x) = 0 x = µ (ponto de máximo). Condição necessária: f (x) = 0 x 1 = (µ σ) e x 2 = (µ + σ) (pontos de inflexão) Condições suficientes: estudo do sinal ou teste da derivada superior. 7. Considerações sobre assimetria e curtose. α 3 = E[(X µ)3 ] σ 3 = 0 (simétrica) α 4 = E[(X µ)4 ] σ 4 α 4 < 3 (platicúrtica) α 4 = 3 (mesocúrtica) α 4 > 3 (leptocúrtica)
26 densidade 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 platicúrtica mesocúrtica leptocúrtica 90 95 100 105 110 x Figura 7: Três curvas normais com graus de curtose diferentes
27 8. Cálculo de probabilidades sob a curva normal. Característica da função de distribuição da normal. Modelo normal padrão. Se X N(µ, σ 2 ): P(a X b) = b a [ 1 exp 2πσ 2 1 ] (x µ)2 2σ2 = F X (b) F X (a) Observa-se que a função de distribuição acumulada não tem forma analítica fechada e tem que ser resolvida numericamente: F X (x) = P(X x) = x [ 1 exp 2πσ 2 1 ] (t µ)2 dt 2σ2
28 9. Teorema: Se X N(µ, σ 2 ) e, se Y = ax + b (a, b R), então: Y N(aµ + b, a 2 σ 2 ) 10. Corolário: Se X N(µ, σ 2 ) e, se Z = X µ, então Z N(0, 1). σ f(z) = 1 [ exp 12 ] 2π z2 Eventos equivalentes implicam em igual probabilidade. Dado que Z = X µ σ P(a X b) = P(a σz + µ b) = P(a µ σz b µ) = P( a µ Z b µ σ σ ) (1)
29 (1) (2) densidade 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 F(z) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 4 2 0 2 4 z 4 2 0 2 4 z Figura 8: Distribuição normal padrão (1) e função de distribuição normal padrão (2)
30 Distribuição Gama Definição: A variável aleatória X tem distribuição gama de parâmetros α > 0 e β > 0 se sua função de densidade de probabilidade for dada por: Função Geradora de Momentos f(x) = xα 1 Γ(α) βα exp( βx)i(x) (0,+ ). Notação X Γ(α, β) M X (t) = ( β β t ) α, t < β Esperança e Variância E(X) = α β e Var(X) = α β 2
31 Casos particulares 1. Se α = 1 e β > 0 tem-se que X exp(β); 2. Se α = n/2 (n > 0 inteiro) e β = 1/2, tem-se que X χ 2 (n) ; 3. Se α = k (k > 0 inteiro) e β > 0, tem-se que X Erl k (β);
32 f(x) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 gamma(3,3) gamma(4,3) gamma(3,1) 0 1 2 3 4 5 x Figura 9: Gráficos da função densidade da Gama para alternativas dos parâmetros.
33 f(x) 0.0 0.1 0.2 0.3 gamma(2,1) gamma(3,1) gamma(6,1) 0 1 2 3 4 5 x Figura 10: Gráficos da função densidade da Gama para alternativas do parâmetro de forma.
34 Distribuição Qui-quadrado Definição: A variável aleatória X tem distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade, n > 0 (inteiro), se sua função de densidade de probabilidade for dada por: f(x) = x n 2 1 ( Γ( n βα exp 12 ) x I(x) (0,+ ). 2 )2n/2 Notação X χ 2 (n) Função Geradora de Momentos M X (t) = (1 2t) 1/2, t < 1/2 Esperança e Variância E(X) = n Var(X) = 2n e Moda(X) = n 2(n > 2).
35 Dedução da função de densidade de probabilidade da distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade: 1. Como um caso particular da distribuição Gama; 2. Como uma função do vetor aleatório Z = (Z 1, Z 2,..., Z n ), em que Z i são v.a s. independentes e identicamente distribuídas, tais que Z i N(0, 1). Decorre: X = n Zi 2 χ 2 (n) i=1
36 f(x) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Qui(1) Qui(2) Qui(6) 0 1 2 3 4 5 6 7 x Figura 11: Gráficos da função de densidade qui-quadrado.
37 Distribuição Beta Definição: Uma variável aleatória X tem distribuição Beta de parâmetros a e b se sua função de densidade de probabilidade for dada por: f(x) = 1 β(a, b) xa 1 (1 x) b 1 I(x) (0,1) Notação X β(a, b) Esperança e Variância E(X) = a a + b Var(X) = ab (a + b + 1)(a + b) 2
38 densidade 0.0 0.5 1.0 1.5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x Figura 12: Gráfico da v.a. X β(a = 3/2, b = 2)
39 Distribuição Weibull Definição: Uma variável aleatória X tem distribuição Weibull de parâmetros υ, α e β, se sua função de densidade de probabilidade for dada por: f(x) = β ( ) β 1 [ ( ) β ] x υ x υ exp I(x) (x>υ) α α α Notação X Weibull(υ, α, β)
40 Distribuição Cauchy Definição: Uma variável aleatória X tem distribuição Cauchy de parâmetro θ, se sua função de densidade de probabilidade for dada por: f(x) = 1 π 1 1 + (x θ) 2 I(x) (,+ )) Notação X Caughy(θ) Esperança e Variância não existe E(X) não existe Var(X)
41 Distribuição t de Student Definição: Uma variável aleatória X tem distribuição t de Student de parâmetro n > 0 (inteiro) se sua função de densidade de probabilidade for dada por: f(x) = ) ( n+1 1 nβ( 1 (1 2, n 2 ) + x2 2 ) I(x) (,+ ), n > 0. n Notação X t n
42 densidade 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 t(6) N(0,1) 4 2 0 2 4 x Figura 13: Comparação entre as densidades t (6) e normal padrão.
43 Estudo das características e propriedades da distribuição t 1. Dedução da função densidade de probabilidade, a partir da função de duas v.as.: X = Z, em que Z N(0, 1) e V χ 2 (n) ; V n 2. f(x) é uma legítma função densidade de probabilidade. (Dica: verifique a paridade e faça x2 n = tg2 θ); 3. Simetria em relação a 0 (ponto de máximo); 4. Esperança e Variância: E(X) = 0 e Var(X) = n, com n > 2. n 2
44 Distribuição F de Fisher-Snedecor Definição: Uma variável aleatória X tem distribuição F (m,n), com m e n graus de liberdade, se sua função de densidade de probabilidade for dada por: f(x) = 1 β( m 2 n 2 ) ( m n ) (m/2) x ( m 2 1) ) (1 I(x) ( m+n (0,+ ), m, n > 0. + mn x 2 ) Notação X F (m,n)
45 densidade 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 1 2 3 4 5 x Figura 14: Gráfico da função de densidade da v.a. X F (4,11).
46 Estudo das características e propriedades da distribuição F 1. Dedução da função densidade de probabilidade a partir do quociente: X = em que V 1 χ 2 m e V 2 χ 2 n; 2. f(x) é uma legítma função densidade de probabilidade; Sugestão: (1 + m n x) = 1 t 3. Esperança: E(X) = n, com n > 2; n 2 4. Variância: Var(X) = 2n2 (m + n 2) m(n 2) 2, com n > 4; (n 4) 5. Relação entre a distribuição F e a t de Student: F (1,n) = (t (n) ) 2. V 1 m V 2 n,
47 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS DeGROOT, H. M.; SCHERVISH, M. J. Probability and Statistics. 3 a New York: Addison Wesley, 2002 816 p., MOOD, A. M.; GRAYBILL, F. A.; BOES, D. C. Introduction to the Theory of Statistics, 3 a ed., McGraw-Hill, 1974, 564 p. MURTEIRA, B. J. F. Probabilidades e Estatística, vol. I. Lisboa: McGraw- Hill de Portugal, 2 a ed., 1990, 480 p.