Anotaçõe obre omatório 3 Rodrigo Carlo Silva de Lima Univeridade Federal Fluminene - UFF-RJ rodrigo.uff.math@gmail.com
Sumário Somatório 3. Outra propriedade de omatório...................... 3.. Delta de kronecker e omatório..................... 4. A técnica de omatório por parte...................... 4.. Somatório de potência........................ 5.. Somatório do tipo g(.a..................... 6..3 Soma............................... 7..4 A oma 3 a............................ 8..5 A érie a t............................ 4 t.3 Soma envolvendo número harmônico.................... 8
Capítulo Somatório. Outra propriedade de omatório Propriedade. Se f é uma função ímpar então f(k, n Z. k n Demontração. f é ímpar quando f( k f(k, no cao f( f( f(, f(, f(, abrimo o omatório f(k f(k + f(k + k n k n }{{} f( f(k k Onde uamo a propriedade de abertura e produto por. Propriedade. Se f é uma função par, então f(k f( + k n Demontração. f(k f(k + f( + n k n f(k k f(k k f( k + f( + Corolário. Se f é par e f( temo f(k f(k k n k 3 f(k + k f(k k f(k f( + k f(k. f(k. k
CAPÍTULO. SOMATÓRIOS 4.. Delta de kronecker e omatório. Definição (Delta de kronecker. A função delta de kronecker é definida como e n k δ (n,k e n k Propriedade 3. Se n é um número tal que a n b, n Z então b f(kδ (n,k f(n. ka Demontração. Podemo abrir a oma em n b n f(kδ (n,k ka ka f(kδ (n,k } {{ } + kn f(kδ (n,k } {{ } f(n + b k f(kδ (n,k } {{ } f(n a última e a primeira oma ão zero poi ó pouem índice k diferente de n e nee índice o delta de kronecker é zero.. A técnica de omatório por parte Vamo calcular algun omatório cuja olução pode er feita atravé da técnica de omatório por parte. A fórmula de oma por parte no dá g( f( f(.g( Teorema (Múltiplo omatório por parte.. f( +. g( g(. f( k g(.( k k E k f( + ( g( n E f( Demontração. Para n temo g(. f( k g(.( k k E k f( g(ef( g(f( g(ef(
CAPÍTULO. SOMATÓRIOS 5 que vale. Supondo a validade para n g(. f( k g(.( k k E k f( + ( g( n E f( vamo provar para n + g(. f( k g(.( k k E k f( + ( n+ n+ g( n E n+ f( aplicando o omatório por parte no omatório g( n E f( g( n E f( n+ g( n E n+ f( e ubtituindo na hipótee chegamo no que queremo motrar g(. f( k g(.( k k E k f( + ( g( n E f( k g(.( k k E k f( + ( g( n E f( +( n+ n+ g( n E n+ f( k g(.( k k E k f( + ( n+ n+ g( n E n+ f(... Somatório de potência Eemplo. podemo tomar g( e f(, aim temo g( e f( e ficamo com ( + logo aim ( (
CAPÍTULO. SOMATÓRIOS 6 Eemplo. tomando g( temo g( e tomando f( temo f( ( / ficamo com ( aim logo ( ( ( + ( ( (. + ( ( ( ( 3 ( ( 6.. Somatório do tipo g(.a ( (. ( (. Uando a fórmula g(. f( k g(.( k k E k f( + ( g( n E f( tomando f( a temo f( onde egue a a e k f( (a k a (a k a de k f( (a k a a e k E k f( a k (a k a Corolário. g(a k g(a k ( k a (a k+ + ( a (a a g( Corolário 3. Seja g( um polinômio de grau n, temo que g( logo ecrevendo g(a k g(a k ( k a + ( a a g( (a k+ (a g(a k g(a k ( k a (a k+
CAPÍTULO. SOMATÓRIOS 7..3 Soma Eemplo 3. Se g( temo a k a k ( k a a ( + aa + a a (a k+ (a (a (a 3 aplicando a oma com limite b a b c c a (b + a b+ (a tomando a na oma indefinida a ( + aa + a a (a (a (a 3 (b + 3aab+ + a a b+ (a (a c a c (c + aac + a a c 3 (a (a (a 3 b+ c ( ( ( + ( ( + ( ( ( + ( ( ( 3 4 Se aplicamo limite [, n] temo ( ( ( + (n + (n( n. ( ( + Eemplo 4 (Olimpíada Canadene de matemática 974-Problema parte.. Motrar que Pelo último reultado temo ( k+ k ( k k ( k multiplicando por temo k ( k+ k. k (n + (n( n (n + (n( n(n + e abendo que k. Podemo demontrar de outro jeito, uando a propriedade que f(n g(n e f(n g(n e g(a f(a, para a inteiro e funçõe k de Z. Temo aplicando ( n (n + ( k+ k k
CAPÍTULO. SOMATÓRIOS 8 ( k ( n k + ( n k k temo então que a diferença ão iguai e k ( n (n + (n + ( n (n + ( k+ k ( ( k logo a epreõe ão iguai. k ( n (n + + ( n (n + (n k k..4 A oma 3 a Eemplo 5. Calcular Temo 3 a ( 3 a (a tomando a diferença tem-e cao a temo 3 a. 3 ( k 3 a k ( k a (a k+ ( 3 aa (a + ( 3 a a ( 3 3 a 3 a (a 3 (a 4 3 a (3 a (a (3 + 3 + aa + (6 + 6a a (6a3 a (a (a 3 (a 4 3 ( ( 43 + 6 ( 8 3 ( 8 ( + ( n ( + 6n + 4n 3. Corolário 4. Aplicando o omatório com limite definido, temo d g(a k g(a k ( k a d+ (a k+ c em epecial e a < e fizermo o limite uperior tender ao infinito temo g(a k g(a k ( k a k g(a k ( k+ a c (a k+ (a k+ c c c
CAPÍTULO. SOMATÓRIOS 9 colocando a em evidência em (a, temo a( /a, elevando a k + temo (a k a k+ ( /a k+ ubtituindo no omatório temo k g(a k+ ( k+ a c a k+ ( a k+ k g(( k+ a c ( a k+ tomando b /a e fazendo b ( (b elevando a k + temo ( b k+ ( k+ (b k+ ficamo com então e c temo k g(( k+ a c ( k+ (b k+ g(a a c c k g(a c (b k+ k g( c (b k+ g(a c g(a k g( (b k+ com g( aplicado c no cao geral e c no último cao. Corolário 5 (Série geométrica. g(a a c c k g( c (b k+ Tomando c e g( temo b a, b a a a k a a ( a a k+ a a a. Eemplo 6. Motre que p a a. e p e
CAPÍTULO. SOMATÓRIOS para >. Tomamo g( logo de grau n temo a e, logo b e, aplicando a fórmula temo e p p k (e k+ (e e Eemplo 7 (Soma geométrica. Seja g(, ele é um polinômio de grau, então a e aplicamo limite temo k a k ( k a (a k+ a ( a (a a a a a a a a a podemo reolver de outra maneira, temo que a a (a, aim a a a (a, logo e a podemo dividir de ambo lado por a ficando com a a a Eemplo 8. Se g( temo um polinômio de grau então a k a k ( k a (a k+ a ( a (a + a ( a (a + a a (a aa (a a (a (a aa a Aplicando limite [, n] ( a a (a a (a a (a ( (a a (a. ( a (a (n + a + (a a ((a (n + a + a a (a n a ((a n (n a + a a (a ( a (a
CAPÍTULO. SOMATÓRIOS Eemplo 9. Uando a epreão anterior tem-e Eemplo. Calcular + ( + (. k. 3 n + n k k. Eemplo. Eprear o omatório em fórmula fechada Temo no cao o omatório indefinido k k. k k k k k+ k (k aplicando limite [, n] temo k k k k k+ k (k k k (n + n k k n (n +. Eemplo. Calcular a oma (n + k k. (n +. ( k k ( k k k (( (n n+ n 3.
CAPÍTULO. SOMATÓRIOS Eemplo 3. Calcular a oma k( k+. Vamo achar a fórmula geral e dela reolver o problema k( k+ ( k( k k( k ( k+ 4 k( k + ( k+ 4 aplicando limite k( k+ ( k (k. 4 k( k+ ( k 4 Eemplo 4. Calcular (k k( k+ ( ( + 4 k k kk 9 k+ 8 ( (n + +. 4 4 5. (9n +. 8 Eemplo 5 (IME 7-8 modificada [continuar a ecrever depoi. ] Determine a epreão da oma a eguir, onde n é um inteiro múltiplo de 4. (k + i k. (k + i k ki k + i k (i kik (i i.ik i + ik Eemplo 6 (IME 8-9 modificada. Dada a função F : N R com q, r R, definida como Determine uma epreão fechada para f(,. f(n, m + qf(n, m. f(n +, r + f(n,. 9 f(k, k.
CAPÍTULO. SOMATÓRIOS 3 Seja n fiado, conidere então h(m f(n, m pela recorrência egue que h(k + qh(k Qh(k q aplicando o produtório em ambo lado com k variando de até m m Qh(k h(m h( qm h(m q m.h( f(n, m f(n,.q m. Agora temo que chegar numa epreão para f(n,, tome l(n f(n, egue então da recorrência que l(k + r + l(k l(k r aplicando o omatório em ambo termo com k variando de até n aim n n l(k l(n l( r r.n l(n l( + r.n f(n, f(, + r.n + r.n então temo a fórmula geral para a recorrência f(n, m ( + r.nq n em epecial f(k, k ( + r.kq k. Temo doi cao a analiar agora, o primeiro com q f(k, k ( + r.k
CAPÍTULO. SOMATÓRIOS 4 aplicando o omatório 9 9 9 ( + r.k ( + r. (k + r((9. Agora o cao de q 9 9 ( + r.kq k 9 q k + r k.q k qk q ( kq k + r (q qqk. (q ( Eemplo 7. e g( (n,, temo um polinômio de grau n e k (n, ( n! n n! n (k, (n k, (n k, n! (n k! poi n(k, n k n! (n k! aim ou ainda (n, n!..5 A érie a ( a n t ( n (n, a n! a t (n k, a k ( k a ( a k (n k! (a ( k a k+ n k (a k+ ( a a k ( k a n k (a k+ ( a k ( k a n k (a. k+ Corolário 6. Do último eemplo temo um corolário a a t k ( k a t k (a k+ t t e a < com limite [, ( a a t k ( k a a k (a k+ (a tomando b a a egue a (a ( a k ( k k (a k ( b k a k (a ( + b a (a ( a a a (a (a a a a (a ( a a ( a +.
CAPÍTULO. SOMATÓRIOS 5 Logo. t a t a ( a +. Outra maneira de demontrar a identidade é uando oma por parte e indução obre Para vale t a t t logo etá provado. Supondo validade para vamo provar para + Na érie t+ t t+ a t a a ( a + a t a t + a t, tomando g(t + at at a a ( a + a + ( a +. + egue g(t implica f(t a, f(t, uando a oma por parte egue a ( t a t + + a + a a t a+ a a + a a t+ + uamo agora a hipótee da indução t a ( a + a ( a + a, logo a érie t+ t+ a t e f(t a t t+ a ( a que implica + a+ + a + a + a+ ( a + a t+ Eemplo 8 (Série e diviibilidade. kc + g( c a + ( a +. k g( c t+ a t ( t a t
CAPÍTULO. SOMATÓRIOS 6 poi b, b. Se g( é um polinômio de coeficiente inteiro, temo que k g( é inteiro para todo k, aim temo o omatório de número inteiro e temo c c c e c, c temo que c é inteiro e podemo garantir que g( kc é múltiplo de c, no cao de c temo, no cao de c,, c, + 4. Corolário 7. Segue que e de a a c c k c c ac (b k+ (b ac b. ( a c a c a c g(a a c c a c b k+ (b k+ k g( c (b k+ Eemplo 9. Calcule g(a a c c k ( a c a c k (k + (k + (k + 3. k+ g( k. c Vamo reolver por parte, tomando g(k k temo g(k e f(k (k ( 3,, (k + (, f(k + logo k (k + (k + (k + 3 k (k + (k + + (k + (,
CAPÍTULO. SOMATÓRIOS 7 k (k + (k + (k + k (, (k + (k + (k + ( k (k + k + + k + (k + (k + aplicando limite temo k (k + (k + (k + 3 k + (k + (k + k aim o limite é k k (k + (k + (k + 3 4. n + 3 (n + 3(n + + 4 Eemplo. Seja g( um polinômio de grau vamo calcular o omatório indefinido g(( + a (p, para p inteiro, tomando f( ( + a (p, egue f( por omatório por parte temo ( + a(p+, p + g(( + a (p, k g(( k k E k f( temo E k f( h( ( + a + k(p+, p + e k (k, ( + a + k(p+ k, h( (p + p + (p (k, ( + a + k (p+ k, então k E k f( (p ( k, ( + a + k (p++k, a oma fica g(( + a (p, k g(( k (p ( k, ( + a + k (p++k,.
CAPÍTULO. SOMATÓRIOS 8.3 Soma envolvendo número harmônico Eemplo (Somatório de número harmônico. Hk. Uaremo omatório por parte, tomando f(k temo f(k k e g(k H k temo H k egue que k + aplicando limite Hk k.h k k + k + k.h k k.h k k. n H k k.h k k Temo então a propriedade n Hk k.h k k. n.h n n. obtida atravé de omatório por parte. Eemplo (Olimpíada Canadene de matemática 973-Problema 5. Provar que n n + H k nh n. Do reultado anterior temo logo k n H k n.h n n n n + H k nh n. k Eemplo 3 (Somatório de número harmônico multiplicado por potência fatoriai. (n, H. Tomando g( H e f( (n, temo g( + e f( (, n + (n, H (, n + H ( + (, n + + egue que
CAPÍTULO. SOMATÓRIOS 9 ma como ( + (, ( + ( (n, ficamo com (n, H (, n + H (+( (n, n + + (, n + H ( (n, n + Então temo e aplicarmo limite [, ] (n, H Da epreão (, n + H ( (, (n + (n +. (n, H (, n + H ( (, (n + (n +. ( (, n + H e dividirmo por n! temo então (n, n! (n + ( (, (, (n + n + H (n, H (, n + H ( (, (n + (n + H ( H (, n (n + n! H (, (n +! H ( (, (n + (n +! e tomando limite Corolário 8. De n m ( (, (n + (n + n! ( (, (n + (n +. ( ( H n + (n + n + ( ( ( H H n n + (n + ( ( H H n n + ( H m ( ( ( H H m m + n m ( ( H m + (. (n + n + tem-e (m + n ( ( n H n (m + m m + ( ( ( n H H n m m +. (m + (m +