MB-244 - PRINCÍPIOS DA PESQUISA OPERACIONAL PO-201 - INTRODUÇÃO A PESQUISA OPERACIONAL LISTA DE EXERCÍCIOS - PROGRAMAÇÃO LINEAR 1. Considere o seguinte problema de programação linear: Maximizar Z = x 1 x 2 S.A. - x 1 + 2x 2 0-3x 1 + x 2-3 a. Desenhe a região viável no espaço (x 1,x 2 ). b. Resolva o problema enumerando os pontos extremos. c. Resolva o problema graficamente. R: x 1 =1, x 2 =0 2. Mostre que o conjunto de soluções viáveis de um PPL é convexo e discuta suas implicações. 3. Mostre que se há uma única solução ótima em um PPL esta é um ponto extremo do conjunto de soluções viáveis. 4. Considere o seguinte problema de programação linear: Maximizar Z = 3x 1 + 2x 2 S.A. 3x 1 + 3x 2 300 6x 1 + 3x 2 480 3x 1 + 3x 2 480 a. Desenhe a região viável no espaço (x 1,x 2 ). b. Identifique se há alguma restrição redundante. R: 3x 1 + 3x 2 480 c. Resolva o problema enumerando os pontos extremos. d. Resolva o problema graficamente. R: x 1 =60, x 2 =40, Z=260 e. Como você mudaria a formulação para tornar o problema inviável? 5. A PC-Express é uma loja de computadores que vende dois tipos de microcomputadores: desktops e laptops. A empresa ganha R$600,00 por cada desktop vendido e R$900,00 por cada laptop vendido. Os computadores que a PC-Express vende são montados por outra empresa. Esta outra empresa tem outro pedido para atender, de forma que não poderá montar mais do que 80 desktops e 75 laptops no próximo mês. Os funcionários da PC-Express gastam 2 horas instalando softwares e testando os desktops. No caso dos laptops eles gastam 3 horas. No próximo mês os empregados da PC- Express trabalharão 300 horas nessas atividades. A PC-Express quer saber quantos desktops e laptops serão solicitados a empresa que faz a montagem, de forma a maximizar seu lucro. a. Formule o problema como um modelo de programação linear. b. Desenhe a região viável no espaço (x 1,x 2 ). c. Resolva o problema enumerando os pontos extremos.
d. Resolva o problema graficamente. R: Há múltiplas soluções ótimas com F.O. = R$90.000,00 e. Resolva o problema utilizando o método simplex. Como é possível identificar as múltiplas soluções ótimas no tableau? e. Qual o efeito na função objetivo e nas variáveis de decisão se os empregados da PC-Express trabalharem, no próximo mês, 350 horas instalando softwares e testando os desktops. f. Determine quanto pode variar o número de horas mensal, que os empregados da PC-Express podem trabalhar instalando softwares e testando os desktops, para que não haja alternação na base da solução ótima. 6. Considere o problema: Maximizar Z = 1 x 1 + 2 x 2 ( 1 >0, 2 >0) S.A. 2x 1 + 4x 2 8 6x 1 + 4x 2 12 Encontre a solução ótima para todos valores de 1 e 2. 7. Considere o seguinte problema de programação linear: Maximizar 2x 1 + x 2 + 4x 3 + 5x 5 + x 6 S.A. 3x 1 + 6x 2 + 3x 3 + 2x 4 + 3x 5 + 4x 6 60 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 Esse problema tem 1 restrição, além das restrições de não-negatividade e é conhecido como o problema da mochila. Encontre todas as soluções básicas viáveis do problema e encontre a solução ótima comparando essas soluções básicas viáveis. R: São 7 soluções básicas viáveis e a solução ótima é x 5 =20, x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 6 = f 1 =0 8. Considere o seguinte problema de programação linear: Maximizar 5x 1 + 4x 2 S.A. x 1 + 2x 2 6-2x 1 + x 2 4 5x 1 + 3x 2 15 a. Resolva o problema graficamente. R: x 1 =12/7, x 2 =15/7, Z=120/7 b. Encontre todas as soluções básicas do problema e indique quais destas são viáveis. c. Resolva o problema pelo método simplex. 9. Considere o seguinte problema de programação linear: Maximizar x 1 + 3x 2 S.A. x 1-3x 2 3-2x 1 + x 2 2-3x 1 + 4x 2 12 3x 1 + x 2 9
a. Desenhe a região viável no espaço (x 1,x 2 ) e ache a solução ótima. R: x 1 =1,6, x 2 =4,2, Z=14,2 b. Resolva o problema pelo método simplex (identificando a cada iteração B, B -1 e w). c. Suponha que a quarta restrição seja removida. Resolva o problema pelo método simplex e interprete a solução. R: A solução é ilimitada. 10. Considere o problema de programação linear: Maximizar 2x 1 + x 2 + 5x 3-3x 4 S.A. x 1 + 2x 2 + 4x 3 - x 4 6 2x 1 + 3x 2 - x 3 + x 4 12 x 1 + x 3 + x 4 4 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Encontre a solução básica viável com as variáveis x 1, x 2 e x 4. Essa solução é ótima? Se não for, então inicie a resolução do método simplex por essa solução e encontre a solução ótima. R: Não é ótima (x 1 =7/2, x 2 =3/2, x 4 =1/2, Z=7). Solução ótima: x 1 =10/3, x 3 =2/3, x 6 =6, Z=10 11. Os tableaux inicial e corrente são mostrados abaixo. Encontre os valores das incógnitas a a l. Tableaux inicial x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHS Z a 1-3 0 0 0 x 4 b c d 1 0 6 x 5-1 2 e 0 1 1 Tableaux corrente x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHS Z 0-1/3 j k l -4 g 2/3 2/3 1/3 0 f h i -1/3 1/3 1 3 R: a=2, b=3, c=2, d=2, e=-1, f=2, g=1, h=0, i=8/3, j= -13/3, k= -2/3 e l=0. 12. Resolva o seguinte problema de programação linear pelo método simplex e a cada iteração identifique B, B -1 e w: Maximizar 3x 1 + 2x 2 + x 3 S.A. 2x 1-3x 2 + 2x 3 3 -x 1 + x 2 + x 3 5 13. Resolva o problema Maximizar 2x 1 - x 2 + x 3 S.A. 2x 1 + x 2-2x 3 8
4x 1 - x 2 + 2x 3 2 2x 1 + 3x 2 - x 3 4 pelo método das duas fases. R: Verifica-se na 2 a fase que a solução é ilimitada. 14. Resolva o problema Minimizar Z = 4x 1 + 4x 2 + x 3 S.A. x 1 + x 2 + x 3 2 2x 1 + x 2 3 2x 1 + x 2 + 3x 3 3 pelo método Big-M e indique em qual iteração as variáveis artificiais perderam utilidade. R: já na primeira iteração. 15. Resolva o problema Minimizar Z= x 1 + x 2 S.A. 2x 1 + x 2 + x 3 = 4 x 1 + x 2 + 2x 3 = 2 pelo método das duas fases. 16. Resolva o problema Maximizar Z= 3x 1 + x 2 S.A. x 1 + x 2 3 2x 1 + x 2 4 x 1 + x 2 = 3 pelo método Big-M e indique em qual iteração as variáveis artificiais perderam sua utilidade. 17. A partir do PPL: Maximizar 5x 1 + 3x 2 S.A. 4x 1 + 2x 2 12 4x 1 + x 2 10 x 1 + x 2 4 a) Resolva o problema pelo método gráfico b) Resolva o problema pelo método simplex. c) Mostre em quais pontos extremos (no gráfico e no tableau) pode haver mais de uma solução básica viável. 18. Mostre que se em todas as vezes que ocorrer empate na saída a variável substituída na base for a da 1 a restrição ocorrerá ciclismo, se aplicarmos o método simplex para resolver o seguinte PPL:
Maximizar Z = 2x 1 + 3x 2 - x 3-12x 4 S.A. -2x 1-9x 2 + x 3 + 9x 4 0 ⅓ x 1 + x 2 -⅓ x 3-2x 4 0 x 1, x 2, x 3, x 4 0 19. Mostre que se aplicarmos a regra lexicográfica ao problema anterior não ocorrerá ciclismo. O que ocorrerá, então? 20. Resolva o PPL Maximizar Z = 3x 1 + 5x 2 S.A. x 1 4 2x 2 12 3x 1 + 2x 2 12 utilizando o método simplex (aplicado a regra lexicográfica). Obs: para chegar em uma solução básica viável utilize o Big-M ou o método das duas fases. 21. Seja um PPL de maximização com o seguinte tableau corrente: x 1 x 2 x 3 x 4 RHS Z A 0 0 0 3 x 3 B 0 1 0 C x 2 2 1 0 0 3 x 4-1 0 0 1 5 Atribua um valor para A, B e C para que: a) A solução básica viável corrente seja ótima e única. R: A > 0, C 0 e B qualquer b) A solução básica viável corrente seja ótima, mas com múltiplas soluções ótimas. R: A = 0, C 0 e B qualquer c) A solução básica viável corrente seja degenerada. R: A qualquer, C = 0 e B qualquer d) A solução básica viável corrente não seja ótima e x 3 sairá da base na próxima iteração. R: A < 0, C 0 e C/B < 3/2 22. Uma empresa produz dois tipos de cadeira reclinável. Há duas etapas no processo de fabricação das cadeiras montagem e acabamento. Uma unidade da cadeira top de linha requer 3 / 2 horas na montagem, 1 hora no acabamento e é vendida gerando lucro de R$ 20,00. Uma unidade da cadeira mais simples requer ½ hora na montagem e ½ hora no acabamento e é vendida gerando lucro de R$ 12,00. A disponibilidade atual é de 100 horas para montagem e 80 horas para acabamento. A empresa está envolvida em negociações com o sindicato em relação a modificações salariais para o próximo ano e pediram que você determinasse (quantificasse) o valor da hora de montagem e de acabamento. R: Valor da hora de montagem = R$0,00 e Valor da hora de acabamento = R$24,00
23. O seguinte tableau é o de uma solução ótima (problema de maximização e todas as restrições são do tipo ). variáveis de folga Z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 RHS 1 0 0 0 2 0 5 x 1 1 1 0 2 0 1 2 x 3 0 0 1 1 0 4 3 / 2 x 5 0-2 0-1 1 6 1 a. Encontre Z/ b 1, Z/ b 2 e Z/ b 3. R: 2, 0 e 5, respectivamente b. Se você puder comprar uma unidade adicional do primeiro recurso pagando 5 / 2, você faria a compra? Porque? R: Não pois Z/ b 1 =2 c. Outra empresa gostaria de comprar uma unidade do terceiro recurso de você. Qual o valor dessa unidade? R: O valor do recurso é 5 d. Há soluções ótimas alternativas para o problema? Se há, encontre uma delas. R: Sim, se x 2 pode entrar na base (no lugar de x 1 ) 24. Considere o seguinte problema de programação linear e seu tableau final ótimo: Maximizar 2x 1 + x 2 - x 3 S.A. x 1 + 2x 2 + x 3 8 -x 1 + x 2-2x 3 4 Tableau final Z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 RHS 1 0 3 3 2 0 16 x 1 1 2 1 1 0 8 x 5 0 3-1 1 1 12 a. O que acontece na solução ótima se o coeficiente de x 2, na função objetivo, mudar de 1 para 6? Há mudança de base? Se há, encontre a nova solução ótima. R: Há mudança de base b. Se você pudesse escolher entre aumentar o RHS de um dos recursos, qual dos dois você escolheria? Porque? Qual é o efeito desse aumento no valor da solução ótima? R: Do primeiro recurso c. Suponha que uma nova atividade com retorno unitário de 4 e vetor de consumo = (1,2) t. Essa atividade entraria na base? R: Sim, entraria na base 25. Um fabricante de bebidas pretende lançar um novo refrigerante que é obtido misturando refrigerante sabor laranja e suco de laranja. Análises executadas pelo fabricante mostraram que cada ml de refrigerante sabor laranja tem 0,5 ml de açúcar e 1 mg de vitamina C e que cada 1 ml de suco de laranja tem 0,25 ml de açúcar e 3 mg de vitamina C. O custo de produção de 1 ml de refrigerante sabor laranja é de R$0,002 e de 1 ml de suco de laranja é de R$0,004. O departamento de marketing da empresa decidiu que o novo refrigerante será comercializado em embalagens de 300 ml por R$ 2,00 e
que cada unidade do produto deve conter no mínimo 600 mg de vitamina C e no máximo 120 ml de açúcar. A partir desses dados responda: a. Formule o problema como um PPL (problema de programação linear) sabendo que o objetivo da empresa é obter uma composição que minimize o custo de produção do novo produto (e que conseqüentemente maximizará o lucro do fabricante). b. Resolva o PPL formulado pelo método gráfico. c. Resolva o PPL formulado pelo método simplex. d. Qual será o efeito no valor da função objetivo e nas variáveis de decisão se a empresa decidir comercializar o produto em embalagens de 290 ml (e mostre graficamente)? e. Qual será o efeito no valor da função objetivo e nas variáveis de decisão se a empresa decidir que o produto deve ter no máximo 115 ml de açúcar(e mostre graficamente)? f. Existe a possibilidade de colocar no novo produto um aditivo que custa R$0,015 por ml, e que tem 0,1 ml de açúcar e 9 mg de vitamina C por ml de aditivo. Vale a pena incluir esse aditivo? g. Qual será o efeito no valor da função objetivo se o custo de produção de 1 ml de suco de laranja aumentar de R$0,004 para R$0,005(e mostre graficamente)? 26. O dono de uma loja de eletrodomésticos contratou no passado um consultor para determinar a quantidade mensal ótima de geladeiras das marcas W, X e Z que deveriam ser compradas. Na época que o serviço foi executado, a loja tinha uma disponibilidade de capital de giro de R$5.000,00 para a compra de geladeiras e, por restrições logísticas, o dono da loja queria comercializar no máximo 7 geladeiras por mês (soma das marcas W, X e Z). Em relação aos ganhos, uma geladeira da marca W era comprada pela loja por R$700,00 e vendida por R$1.000,00, uma geladeira da marca X era comprada pela loja por R$600,00 e vendida por R$850,00 e uma geladeira da marca Z era comprada pela loja por R$500,00 e vendida por R$650,00. O consultor fez as análises demandadas e recomendou ao dono da loja comprar 7 unidades da marca W, o que consumiria R$4.900,00 de capital de giro e geraria um lucro de R$2.100,00. Com o passar do tempo a demanda por geladeiras aumentou e a disponibilidade de capital de giro também. O dono da loja, por restrições logísticas, quer comercializar no máximo 10 geladeiras por mês e a há R$8.000,00 para capital de giro. Sem resolver o problema pelo método simplex (nem pelo método gráfico) determine a nova solução ótima (diga se houve mudança da base e explique como você chegou nesta conclusão, estime a quantidade de geladeiras das marcas W, X e Z que deverão ser compradas e o lucro resultante)? 27. Um fabricante de café solúvel pretende lançar um novo produto que é obtido misturando café arábica solúvel, café robusta solúvel e café conilon solúvel. Análises executadas pelo fabricante mostraram que o café arábica solúvel possui luminosidade (L) de 33 e ph de 5,1, o café robusta solúvel possui luminosidade (L) de 29 e ph de 6,2 e o café conilon solúvel possui luminosidade (L) de 26 e ph de 6,4. Sabe-se que os cafés mais escuros (menores valores de L) e menos ácidos (ph mais elevado) são preferidos. Assim, determinou-se que o novo produto deve ter L 30,4 e ph 5,5 (lembre-se também que a composição de café arábica solúvel, café robusta solúvel e café conilon solúvel no novo produto deve ser igual a 100%). Para um custo de produção de 100 g de café arábica solúvel de R$2,80, de 100g de café robusta solúvel de R$3,90 e de 100 g de café conilon solúvel de R$4,90, a composição de mínimo custo
de produção foi x=(café robusta;café arábica;café conilon) = (0,65;0,35;0). Qual será o efeito no valor das variáveis de decisão se a empresa decidir que L 31 e ph 5,6? 28. Uma empresa de manufatura produz dois tipos de cadeira reclinável. Há duas etapas no processo de fabricação das cadeiras montagem e acabamento. Uma unidade da cadeira top de linha requer 3 / 2 horas na montagem, 1 hora no acabamento e é vendida gerando lucro de R$ 20,00. Uma unidade da cadeira mais simples requer ½ hora na montagem e ½ hora no acabamento e é vendida gerando lucro de R$ 12,00. A disponibilidade atual é de 100 horas para montagem e 80 horas para acabamento. A empresa está envolvida em negociações com o sindicato em relação a modificações salariais para o próximo ano e pediram que você determinasse (quantificasse) o valor da hora de montagem e de acabamento. 29. Solucione o problema de programação linear que se segue com auxílio das relações expressas pela dualidade (dica: quando o problema tem apenas 2 variáveis de decisão é possível resolvê-lo pelo método gráfico). Min Z 2x x s. a. 2x x x 1 1 2x x 2 2 i 1 x x 3 3 2 1 1 4x 3 0, i 1,2,3 30. Solucione o problema de programação linear que se segue com auxílio das relações expressas pela dualidade (dica: quando o problema tem apenas 2 variáveis de decisão é possível resolvê-lo pelo método gráfico). Maximizar Z = 2x 1 + 3x 2 + 6x 3 + 8x 4 S.A. x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 3-2x 1 + x 2 - x 3 + 3x 4-4 x 1, x 2, x 3, x 4 0 31. Demonstre o teorema fraco da dualidade. 32. Demonstre o teorema das folgas complementares. 33. Considere a região de soluções da Figura abaixo, na qual desejamos encontrar o ponto extremo ótimo que o método dual simplex usa para Minimizar Z = 2x 1 + x 2. A solução ótima ocorre no ponto F = (0,5; 1,5) no gráfico.
(a) O dual simplex pode iniciar no ponto A? R: Não (b) Se a solução básica inicial (inviável, porém melhor do que a ótima) é dada pelo ponto G, seria possível que as iterações do método dual simplex percorressem o caminho G E F? Explique. R: Não (c) Se a solução básica inicial (inviável) começar no ponto L, indique um possível caminho do método dual simplex que leva ao ponto ótimo viável no ponto F. R: L I F 34. Gere as iterações do dual simplex ou do simplex (determine qual método utilizar) para os seguintes problemas e trace o caminho do algoritmo no gráfico da região de soluções. (a) Minimizar Z = 2x 1 + 3x 2 S.A. 2x 1 + 2x 2 30 x 1 + 2x 2 10 x 1, x 2 0 (b) Minimizar Z = 5x 1 + 6x 2 S.A. x 1 + x 2 2 4x 1 + x 2 4 x 1, x 2 0 35. Mostre que o método dual simplex é precisamente o método simplex (primal) aplicado ao problema dual. 36. Considere o problema Maximizar c x, S.A. Ax = b, x 0. Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas e discuta. a. Viabilidade do problema dual é o mesmo que otimalidade do problema primal. b. Adicionar variáveis artificiais ao problema primal serve para restringir variáveis que são realmente irrestritas no problema dual. c. Converter um problema de maximização em um problema de minimização muda o sinal das variáveis do problema dual. d. Se o problema primal tem solução finita o seu dual não é ilimitado. e. Se o problema primal tem múltiplas soluções ótimas então o seu dual é degenerado.