Testes e Sebentas Exercícios resolvidos de Álgebra Linear (Matrizes e Determinantes)
Índice: 1. Matrizes 1.1. Igualdade de matrizes 3 1.2. Transposta de uma matriz 3 1.3. Multiplicação por um escalar 3 1.4. Produto entre matrizes 4 1.5. Propriedades do produto entre matrizes 5 1.6. Matrizes invertíveis 6 1.7. Operações elementares sobre uma matriz 7 1.8. Forma escalonada de uma matriz 7 1.9. Algoritmo para a inversão de matrizes 8 2. Determinantes 2.1. Cálculo de determinates 9 2.2. Propriedades dos determinantes 10 2.3. Resolução de sistemas 10 2.4. Sistemas de Cramer 12 2.5. Sistemas Homogéneos 12 2.6. Característica da matriz 13 2.7. Discussão de sistemas 14 http://www.testesesebentas.weebly.com 2
1. Matrizes 1.1. Igualdade de matrizes: Para que valores de e de as matrizes A e B são iguais? A = B = A = B = 1.2. Transposta de uma matriz: Considere as matrizes A, B e C. Calcule se possível: 1. A T + B 2. ( C A T ) T A = B = C = 1. A T + B Não é possível porque as matrizes têm ordens diferentes. Ordem: A T (3 2) B (3 2) 2. ( C A T ) T = C T A = = 1.3. Multiplicação por um escalar: Considere as matrizes A e C. Calcule: 3A ½ C T A = B = 3A ½ C T = = http://www.testesesebentas.weebly.com 3
1.4. Produto entre matrizes: 1. Considere as matrizes A e B. Calcule o produto: a. AB b. BA A = B = T a. AB = [1 5 + 0 3 + ( 2) 4] = [ 3] b. BA = = 2. Calcule todos os produtos possíveis (com 2 factores) com as seguintes matrizes: A = B = C = 3 D = E = I = CD = = IB = = CA = = = BC = = = DE = = http://www.testesesebentas.weebly.com 4
EA = = = BI = = = 1.5. Propriedades do produto entre matrizes: 1. Simplifique: A(BC 2CB) + A(2C B)C + (BA AB)C A(BC 2CB) + A(2C B)C + (BA AB)C = ABC 2ACB + (2AC AB)C + BAC ABC = ABC 2ACB + 2ACC ABC + BAC ABC = 2ACB + 2ACC ABC + BAC 2. Sendo A = e AB =, determine a 1ª e 2ª colunas de B = 3. Considere A = e B = ; resolva a seguinte equação matricial: BA + 5X = A BA + 5X = A 5X = A BA X = 1/5(A BA) http://www.testesesebentas.weebly.com 5
BA = = A BA = = X = 1/5(A BA) = 1/5 4. Dizemos que uma matriz M é simétrica se M = M. Supondo que A e B são matrizes simétricas tais que AB = BA, prove que AB também é simétrica. Hipótese: A é simétrica: A T = A B é simétrica B T = B AB = BA Tese: AB é simétrica: (AB) T = AB (AB) T = B T A T = BA = AB AB é simétrica, c.q.d. 1.6. Matrizes Invertíveis 1. Simplifique C T B(AB) 1 (C A T ) T Resolução : C T B(AB) 1 (C A T ) T = C T BB 1 A 1 (A T ) T (C 1 ) T = C T IA 1 A(C 1 ) T = C T II(C 1 ) T = C T (C 1 ) T = C T (C T ) 1 = I 2. Sejam A e B matrizes invertíveis; resolva as seguintes equações matriciais: a. AX + A 2 = B b. B 1 X 1 = AB 2 http://www.testesesebentas.weebly.com 6
a. AX + A 2 = B A 1 AX = A 1 (B+A 2 ) X = A 1 B A 1 AA X = A 1 B A b. B 1 X 1 = AB 2 BB 1 X 1 = BAB 2 (X 1 ) 1 = (BAB 2 ) 1 X = (B 2 ) 1 A 1 X = B 2 A 1 B 1 3. Determine X tal que: (X 1 3I) T = 2 (X 1 3I) T = 2 [(X 1 3I) T ] T = T X 1 3I = X 1 = + 3 X 1 = + (X 1 ) 1 = 1 X = 1 1.7. Operações elementares sobre uma matriz : Efectue operações elementares sobre a matriz A = de modo a obter uma matriz do tipo triangular superior. http://www.testesesebentas.weebly.com 7
1.8. Forma escalonada de uma matriz: Calcule a forma escalonada da seguinte matriz: A = A = forma escalonada reduzida de A forma escalonada de A 1.9. Algoritmo para a inversão de matrizes: Calcule a inversa da matriz A = e da matriz B = [ A I ] = = [ I A 1 ] A 1 = [ B I ] = http://www.testesesebentas.weebly.com 8
= [ I B 1 ] B 1 = 1/2 2. Determinantes 2.1. Cálculo de determinantes: 1. Calcule os seguintes determinantes: a) A = b) B = c) C = a. = 3 ( 2) 4 1 = 6 4 = 10 b. Pela Regra de Sarrus: = 1 0 6+4 8 3+2 0 ( 1) 3 0 2 ( 1) 8 1 6 0 4 = 104 c. det B = 0 C11 + 1 C21 + 0 C31 + 0 C41 = M21 = http://www.testesesebentas.weebly.com 9
= = ( 1 C11 + 0 C21 + 1 C31) = = C11 C31 = M11 M31 = = = (0 24) (3 9) = 24 + 6 = 18 2.2. Propriedades dos determinantes: Sejam A, B M3 3 (R) tais que det A = 2 e det B = ¼ Calcule: 1. det (2A) 2. det (A 4 B T ) 3. det ( B) 4. det (5A T B) 5. det (AB 1 A T ) 6. det (B 1 A 2 B) 7. det [1/2 (B 1 ) T ] 1. det (2A) = 23 det A = 8 det A = 8 ( 2) = 16 2. det (A 4 B T ) = det (A 4 ) det (B T ) = det(a 4 ) det B = = det A det A det A det A det B = (det A) 4 det B = ( 2) 4 1/4 = = 4 3. det ( B) = 1 3 det B = det B = 1/4 4. det (5A T B) = 5 3 det (A T B) = 5 3 det(a T ) det B = = 5 3 det A det B = 125 ( 2) (1/4) = 125/2 5. det (AB 1 A T ) = det A det (B 1 ) det (A T ) = det A (1/det B) det A = = 2 4 ( 2) = 16 6. det (B 1 A 2 B) = det (B 1 ) det (A 2 ) det (B) = = (1/det B) (det A) 2 det B = ( 2) 2 = 4 7. det [1/2 (B 1 ) T ] = (1/2) 3 det[(b 1 ) T ] = (1/8) det (B 1 ) = = (1/8) (1/det B) = ½ 2.3. Resolução de sistemas : Resolve os seguintes sistemas: 1. http://www.testesesebentas.weebly.com 10
2. 3. 1. C.S. = 2. SIST. IMP. C.S. = 3. http://www.testesesebentas.weebly.com 11
C.S. = 2.4. Sistemas de Cramer: Verifique se os seguintes sistemas são de Cramer: 1. 2. 1. A = det A = 2 ( 2) 3 1 = 4 3 = 7 0 É sistema de Cramer. 2. A = det A = 1 C11 = M11 = = 2 2 = 0 Não é sistema de Cramer. 2.5. Sistemas homogéneos: Considere o sistema 1. Mostre que (-2, 1, 0) é a solução do sistema dado. 2. Determine o conjunto solução desse sistema. http://www.testesesebentas.weebly.com 12
1. AX = B onde A =, X = e B = X1 = AX1 = B AX1 = = = = B 2. Pela alínea anterior, X1 = Sistema homogéneo associado: AX = 0 SIST. POSS. E INDET. (grau de ind. = 1) C.S.M = C.S. = = 2.6. Característica da matriz: Diga qual a característica das seguintes matrizes: A = B = C = SIST. IMP. SIST. POSS. E IND. SIST. POSS. E DET. A) car A = 2 Car (A B) = 3 B) car A = 2 car (A B)=2 n.º inc. = 3 C) car A = 3 car(a B) = 3 n.º inc. = 3 http://www.testesesebentas.weebly.com 13
2.7. Discussão de Sistemas: Discute os sistemas em função dos parâmetros: 1. 2. 3. 1. Caso 1: se (3 5k)/2 = 0 k = 3/5 car A = 2 car(a A) = 2 n.º inc. = 3 Se k = 3/5 então SIST. POSS. E IND. (grau de ind. = 3 2 = 1) Caso 2: se (3 5k)/2 0 k 3/5 car A = 3 car (A B) = 3 n.º inc. = 3 Se k R\ então SIST. POSS. E DET. 2. = http://www.testesesebentas.weebly.com 14
Caso 1: se a 1 = 0 a = 1 então = car A = 1 car(a B) = 1 n.º inc. = 3 Se a = 1 então SIST. POSS. E IND. (grau de ind. = 3 1 = 2) Caso 2: se a 1 0 a 1 então Caso 2.1: se 2 a = 0 a = 1 a = 2 = car A = 2 car(a B) = 3 Se a = 2 (a 1) então SIST. IMP. Caso 2.2: se 2 a 0 a 1 a 2 car A = 3 car(a B) = 3 n.º inc. = 3 Se a 1 e a 2 então SIST. POSS. E DET. 3. = Caso 1: se c = 0 então: = Caso 1.1: se 1 + (d/2) = 0 d = 2 então car A = 2 car(a B) = 2 n.º inc. = 3 Se c = 0 e d = 2 então SIST. POSS. E IND. (grau de ind. = 3 2 = 1) http://www.testesesebentas.weebly.com 15