Álgbra Linar Gomtria Analítica 0ª ala
Vctors no plano Vctors no spaço Vctors m R n
( +, + ) (, ) (, )
(k,k ) k (, )
Prodto intrno (, ); (, ). +
Prodto intrno norma (, ); (, ). + +.
Prodto intrno m R n (,,, 4..., n ); (,,, 4..., n );. + + + 4 4 +...+ n n n. i i i
Propridads do prodto intrno...( + w). +. w α(. ) (α).. (α). 0. 0 0
Prodto intrno norma m R n (,,, 4..., n ); + + + +. n + + + + L
EXEMPLOS (, 6, 0, -, 0, ) (-, 0,,, 0, -). (-) + 6 0 + 0 + (-) + 0 0 + (-) - + 0 + 0 - + 0-4 -6
EXEMPLOS (, 6, 0, -, 0, ) (-, 0,,, 0, -). (-) + 6 0 + 0 + (-) + 0 0 + (-) - + 0 + 0 - + 0-4 -6 ( ) 0 + 6 + 0 + + +
EXEMPLOS (, 6, 0, -, 0, ) (-, 0,,, 0, -). (-) + 6 0 + 0 + (-) + 0 0 + (-) - + 0 + 0 - + 0-4 -6 + 6 + 0 + ( ) + 0 + + 6 + + 4 4
Propridads da norma 0 > 0 0 0 α α + + Dsigaldad trianglar. + Dsigaldad Cachy-Schwartz
+ Dsigaldad trianglar
+
+ S os ctors são prpndiclars, plo torma d Pitágoras:
+ S os ctors são prpndiclars, plo torma d Pitágoras: + +
+ ( + )(. + ). +. +. +.. +. + (. ) + + (. )
Ortogonalidad: Dfinição: Dois ctors são ortogonais s o s prodto intrno for nlo
Ortogonalidad: Dfinição: Dois ctors são ortogonais s o s prodto intrno for nlo Exmplo: (,,, 4) ; (-4, -,, ). -4-6 + 6 + 4 0
α
α α é a projcção do ctor sobr
w α
C A tb+ C tb B
w α + w α. (α+ w). α. + w. α.
w α+ w α. (α+ w). α. + w. α. α...
w α+ w θ α
w α+ w θ α α α cosθ
w α+ w θ α α α. cos θ
Dfinição d projcção d m ctor sobr otro: Sjam ctors d R n A projcção d sobr é o ctor αsndo α...
Dfinição d ânglo d dois ctors: Sjam ctors não nlos d R n O ânglo ntr os ctors é θtal q cos θ.
Dfinição d ânglo d dois ctors: Sjam ctors não nlos d R n O ânglo ntr os ctors é θtal q cos θ. θ arccos.
Limits do alor d cosθ cos θ....
Exmplo: (,,,0, ) (,,, 6,0). 4 9
Exmplo: (,,,0, ) (,,, 6,0). 4 9 cosθ
Exmplo: (,,,0, ) (,,, 6,0). 4 9 cosθ θ π
Prodto xtrno Só s dfin prodto xtrno m R (,, ) (, ),, sn θ (, )
Prodto xtrno Só s dfin prodto xtrno m R ( ) ( ) ( ),,,,,, ( ),, ( ) ( ) ( ) 0,0, 0,,0,0,0
Rgra prática: ( ) ( ) ( ) "dt" 0,0, 0,,0,0,0
Rgra prática: (,0,0 ) ( 0,,0 ) ( 0,0, ) (,, ) ( 4,5,6) "dt" 4 5 6
Rgra prática: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) "dt" 4,5,6,, 0,0, 0,,0,0,0 5 4 dt 6 4 dt 6 5 dt 6 5 4 "dt" +
Rgra prática: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) "dt" 4,5,6,, 0,0, 0,,0,0,0 ( ) ( ) ( ) 0,0, 0,,0 6) (,0,0 5 4 dt 6 4 dt 6 5 dt 6 5 4 +
Rgra prática: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) "dt" 4,5,6,, 0,0, 0,,0,0,0 ( ) ( ) ( ) ( ),6, 0,0, 0,,0 6) (,0,0 5 4 dt 6 4 dt 6 5 dt 6 5 4 "dt" +
Propridads do prodto xtrno: -( ) ( + w) + w α( ) (α).( ) 0.( ) 0 (. ) 0 linarmnt dpndnts
Propridads do prodto xtrno: O prodto xtrno não é associatio! Exmplo: ( )
Propridads do prodto xtrno: O prodto xtrno não é associatio! Exmplo: ( ) ( ) ( ) 0 0
Propridads do prodto xtrno: linarmnt indpndnts {,, } linarmnt indpndnt Qalqr ctor ortogonal a a é múltiplo d
Propridads do prodto xtrno: linarmnt indpndnts {,, } formam bas d R
Propridads do prodto xtrno: (. )
Propridads do prodto xtrno: (. ). cosθ
Propridads do prodto xtrno: (. ). cosθ (. ) cos θ
Propridads do prodto xtrno: (. ). cosθ (. ) cos θ cos θ
Propridads do prodto xtrno: (. ). cosθ (. ) cos θ cos θ ( cos θ)
Propridads do prodto xtrno: (. ). cosθ (. ) cos θ cos θ ( cos θ) sn θ
snθ θ
snθ θ Ára do parallogramo: : snθ
Prodto misto O prodto misto só s dfin m R,, w R O prodto misto d, w é:.( w)
Rgra prática para calclar o prodto misto,, w R dt ).( w dt ).( w w w w
Propridads do prodto misto,, w R. ( w) 0 {,, w} linarmnt dpndnt.( w) ( ). w. ( w). (w ). ( w) -. (w ) -. ( w)
Intrprtação gométrica: ( ). w dá o olm do parallpípdo dtrminado por, w.
Intrprtação gométrica: ( ). w dá o olm do parallpípdo dtrminado por, w. S dfinm a bas, é a ára da bas
Intrprtação gométrica: ( ). w dá o olm do parallpípdo dtrminado por, w. S dfinm a bas, é a ára da bas w cosϕ dá a altra, sndo ϕo ânglo ntr w
Intrprtação gométrica: ( ). w dá o olm do parallpípdo dtrminado por, w. S dfinm a bas, é a ára da bas w cosϕ dá a altra, sndo ϕo ânglo ntr w Volm w cosϕ ( ). w
w
w
w
altra w
Altra w cosϕ w ϕ
Altra w cosϕ w ϕ Ára da bas
Bass ortonormadas Um conjnto d ctors diz-s ortogonal s os ctors form ortogonaisdoisadois. Um conjnto d ctors diz-s ortonormado s for ortogonal todos os ctors tirm norma nitária
Bass ortonormadas Um ctor q tir norma igal a mdiz-snitário. Dadomqalqrctornãonlo, é possíl constrir m ctor nitárioapartirdfazndo:
Como obtr ma bas ortogonal? Sja {,,..., n } ma bas d m spaço ctorial d dimnsão n. Obtém-s a partir daqi ma bas ortogonal {,,..., n } aplicando o chamado procsso d ortogonalizaçãod Gram-Schmidtq consist m:
Ortogonalizaçãod Gram-Schmidt
Ortogonalizaçãod Gram-Schmidt.
Ortogonalizaçãod Gram-Schmidt.....
Ortogonalizaçãod Gram-Schmidt. j n j j j n n n... M