Problemas Capítulo 4: Solução e Dicas José Fernando de Jesus & Rodrigo Fernandes Lira de Holanda 6 de junho de 2007 4. - Se estamos nos movimentando na direção do grande atrator, podemos dizer que nossa galáxia está em órbita em torno dele, o que dá uma estimativa da velocidade orbital por: Assim: Temos: v 2 = GM R M = v2 R G R = 45 Mpc = 45, 09 0 24 cm =, 9 0 26 cm () (2) Logo: G = 6, 67 0 8 din cm 2 g 2 v = 600kms = 6 0 7 cm s M = (6 07 ) 2, 9 0 26 6, 67 0 8 = 7, 50 0 48 g () Como M =, 989 0 g, temos: M GA 4 0 5 M 4.2 - Como a densidade de radiação por comprimento de onda é dada por ρ λ = 4π c B λ, temos: ρ λ = 8πhc λ 5 exp(hc/λkt ) (4)
A densidade de radiação é dada pela integral de (4) no comprimento de onda: ρ γ = ρ λ dλ (5) O intervalo de comprimentos de onda da faixa óptica do espectro eletromagnética é dada por 4 0 5 cm < λ < 7 0 5 cm, portanto: ρ γ,opt = λ2 λ ρ λ dλ (6) onde λ = 4 0 5 cm e λ 2 = 7 0 5 cm. Como esta faixa é muito estreita, podemos aproximar a integral (6) por: ρ γ,opt = 8πhc λ 5 λ exp(hc/λ kt ) (7) onde λ = λ 2 λ e λ = 5, 5 0 5 cm é o ponto médio do intervalo. Além disso, calculando o argumento da exponencial com as constantes: h = 6, 6260755 0 27 erg s c = 2, 99792458 0 0 cm s k =, 80658 0 6 erg K e a temperatura da radiação cósmica de fundo T = 2, 725 K e λ como dado acima, temos: exp(hc/λ kt ) = e 9596 >> Assim, podemos usar a aproximação de Wien, e escrever: Assim, temos: ρ γ,opt = 8πhc λe hc/λ kt (8) λ 5 ρ opt = 297, 60 e 9596 297, 6 0 467 = 2, 976 0 465 erg cm Transformando para ev m, temos: ρ opt =, 8574 0 447 ev m 2
o que é muito pequeno comparado com o valor da tabela 4.2, de 2 0 ev m. Já a densidade númérica de fótons é dada por: Portanto: n γ = n γ = ρλ dλ hc/λ 8πdλ λ 4 (exp(hc/λkt ) ) Novamente, fazendo as mesmas aproximações, temos, para o óptico: o que resulta em: n opt (9) (0) 8π λ λ 4 (e hc/λ kt ) 8π λ e hc/λ kt () λ 4 n 0 454 cm = 0 448 m o que também é bem menor que o valor dado pela tabela 4.2 de n opt 0 m. Concluímos que os fótons da faixa óptica da radiação cósmica de fundo dicilmente serão observados e os valores da tabela 4.2 são dados provavelmente por alguma outra contribuição de foreground. 4. - Como as galáxias estão muito afastadas umas das outras, podem ser consideradas como partículas de um gás ideal e, portanto, obedecem: P = nkt (2) onde P é a pressão das galáxias, n é sua densidade numérica, k é a constante de Boltzmann e T é a temperatura de agitação das partículas (galáxias). Além disso, podemos denir a velocidade quadrática média: < v 2 >= kt 2m () onde m é a massa das partículas. Isolando kt em () e substituindo em (2), temos: P = nm < v2 > = ρ < v2 > (4) onde ρ é a densidade e usamos a igualdade ρ = nm. Temos, para as galáxias hoje: ρ gal 4 0 2 g cm
< v 2 >= (00 Km s ) 2 = 0 4 cm 2 s 2 Assim: P = 4 0 2 0 4 =, 0 8 din cm 2 (5) Enquanto que a pressão de radiação é dada por: P r = ρ rc 2 como ρ r0 4, 65 0 4 g cm e c 0 0 cm s, temos: (6) P r = 4, 65 0 4 9 0 20 =, 9 0 din cm 2 (7) Portanto, P r 0 5 P gal, ou seja, P r >> P gal. 4.4 - Uma possível maneira de obter o redshift de equipartição é a seguinte: ρ r ρ m = ρ r0 ρ m0 R Na equipartição ρr ρ m, 490 0 5 h 2 Ω 0m R 2, 42 0 4 ( + z) =, então, + z eq = R eq =, 756 0 4 h 2 Ω 0m 4668, Utilizamos o fato de que ρ m0 = Ω 0 ρ 0c =, 8788 0 29 Ω 0m h 2 g.cm e h = 0, 7 e Ω 0m = 0,. A temperatura pode ser obtida por T eq = T 0 ( + z eq ) = 8, 6567 0 4 h 2 Ω 0m K 2, 725K. Para obter a densidade de partículas, lembramos que: ρ meq = ρ mo R eq = 6, 067 0 6 h 8 Ω 4 0m g cm 2, 80696.0 9 g cm 4.5 - Temos, da equação de Friedmann: Ṙ 2 = 8πG ( ρm0 R2 R + ρ ) r0 kc2 (8) R 4 R 0 4
Se ρ r >> ρ m, (8) ca: Ṙ 2 = 8πG R2 ρ r kc2 R 0 (9) Nessa época, o parâmetro de densidade é dado por: Ω = ρ r ρ c = 8πGρ r H 2 (20) Dividindo (9) por Ṙ2 e usando a denição de H Ṙ R, temos: Portanto: = 8πGρ r H 2 kc2 R 0 Ṙ 2 (2) Ω = + Agora, calculando (22) em t 0, temos: kc2 R 0 Ṙ 2 (22) Ω 0 = + kc2 R 0 H0 2 kc2 R 0 = H 2 0(Ω 0 ) (2) Substituindo em (22), temos: Ω = + H2 0(Ω 0 ) Ṙ 2 (24) Vamos agora estimar o parâmetro de densidade no nal da era de Planck. Para isso, vamos usar a equação (24) e a seguinte aproximação, válida para a era da radiação: ( ) t /2 R = (25) onde t r = 2π. Derivando esta equação, chegamos a: Gρ r0 Ṙ = t r 2(t r t) /2 (26) 5
Calculando (26) no tempo de Planck, t pl (24), temos: De onde, com os valores: Ω = + H 2 0(Ω 0 ) Chegamos ao seguinte resultado: H 0 = 9, 7776 0 9 h anos h = 0, 72 ρ r0 = 4, 6486 0 4 g cm h =, 0546 0 27 erg s c = 2, 9979 0 0 cm s Ω = + 7, 287 0 6. = ( G h c 5 ) /2, e inserindo em h 2πc 5 ρ r0 (27) 4.6 - Conforme visto nos capítulos anteriores a maior contribuição para a densidade de energia da radiação vem dos fótons da radiação de fundo, entretanto, durante a era da inação é gerado um fundo de neutrinos que, por terem massa muito pequena, têm praticamente a velocidade da luz e portanto contribuem, tanto quanto os fótons, para elevar a contribuição dinâmica da matéria na forma relativística alterando o valor de Ω 0 na equação acima. 4.7 - A energia total relativística de uma partícula com massa m é dada por: E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 (28) onde c é a velocidade da luz e p é o momento da partícula. O limite não-relativístico é dado por p << mc e a energia térmica é dada por: kt = E mc 2 (29) onde k é a constante de Boltzmann. A energia total de uma partícula no limite não-relativístico é encontrado expandindo-se a energia relativística (28) para pequenos p, de onde tem-se: E mc 2 + p2 2m (0) 6
A energia térmica ca, então: kt = p2 2m que é a energia cinética não-relativística. Portanto: () e: p mc p = 2mkT (2) p mc = 2kT c m () Se <<, a partícula é não-relativística. Vamos conferir se isso é válido para o próton e o nêutron. Temos: m p =, 67262 0 24 g m n =, 6749 0 24 g c = 2, 99792458 0 0 cm s Vamos utilizar como temperatura da nucleossíntese a temperatura inicial, que é dada por kt MeV. Se as partículas forem não-relativísticas a essa temperatura, obviamente elas serão não-relativísticas em toda a nucleossíntese, uma vez que essa é a maior temperatura dessa fase. Inserindo os valores acima, temos: p p mc p n = 4, 62% = 4, 6% mc o que pode ser considerado não-relativístico. Chegaríamos à mesma conclusão se utilizássemos a fórmula relativística completa (28). 4.8 - A taxa de interação por partícula é Γ = nσv, onde n é a densidade espacial de partículas, σ é a seção de choque e v a velocidade quadrática média. A escala de tempo é o inverso da taxa de reação, ou seja, t = /Γ, portanto, t = (n p σv). Vamos tomar a idade do Universo igual a 2 s, pois foi em torno desta idade que a reação em questão pôde se iniciar. Então, temos que obter a densidade de prótons, a temperatura e a velocidade quadrática média 7
dos prótons naquela época, para isso vamos obter iniciamente o fator de escala utilizando a relação da época da radiação R = (t/ 0 9 ) /2, então R = 2, 8 0 9, de forma que /R =, 6 0 8. A temperatura,08 MeV é obtida por T = t = 0, 086 MeV. A densidade de bárions naquele instante é dado por η = η 0 (/R) 0 9 cm. A velocidade quadrática média é dada por v = kt/m =, 6 0 8 cm/s. Portanto, t 6s. Bem menor que o tempo de vida médio dos nêutrons. 4.9 - A abundância do 4 He é dada por: ( ) η 0,056 Y 0, 22 (4) 0 0 onde η é a razão bárion-fóton. A abundância de deutério é dada por: ( ) D η,4 H 4 0 4 (5) 0 0 Se a abundância de bárions fosse 0 vezes maior que as estimativas atuais, teríamos uma razão bárion-fóton dez vezes maior, η + = 0η e as abundâncias dos elementos leves seriam: Y + Y = [D/H] + [D/H] = ( η+ η ( η+ η ) 0,056 = 0 0,056 =, 4 ),4 = 0,4 = 0, 072 Por outro lado, se a a abundância de bárions fosse dez vezes menor teríamos uma razão bárion-fóton η = η 0 e: Y Y = ( η η ) 0,056 = 0 0,056 = 0, 879 [D/H] [D/H] = ( η η ),4 = 0,4 = 26, 92 8
4.0 - A entropia por bárion é denida por s = 4aT n b e n γ = 0, 70 at, onde k n é a densidade de partículas de cada componente. Podemos obter então s =, 6 nγ n b ou s =, 6/η, com η = n b n γ = 2, 7 0 8 Ω 0b h 2. Se Ω 0b = 0, 04, teríamos s = 6, 6 0 9, se Ω 0b =, teríamos s = 2, 8 0 8, ou seja, a entropia por bárion diminuiria em uma ordem de grandeza. Como η = 2, 7 0 8 Ω 0b h 2, se Ω 0b = 0, 04, teríamos η = 5, 5 0 0, mas se Ω 0b =, teríamos η 0 8, o que não está de acordo com o intervalo permitido para η via nucleossíntese primordial, que restringe, 2 0 0 < η < 0 0. 4. - O fato de o Universo ser dominado pela matéria hoje e ter sido dominado pela radiação no passado é explicado pela dependência temporal das densidades de matéria e radiação. Enquanto a densidade de matéria escala com ρ m R, a densidade de radiação escala com ρ r R 4. Assim, em tempos primitivos (R 0) o que prevalece é a radiação e, em tempos atuais (R ), o que prevalece é a matéria. 4.2 - Sabemos que N n = N n0 e 0,69t/τ /2, se Nn0 = 200, depois de 228 segundos teríamos apenas 42 nêutrons para cada volume com 000 prótons, assim, o número de prótons aumentaria para 58. Como consequência disto, N n /N p = 0, 06. Então apenas 2 átomos de He 4 seriam formados com os deutérios disponíveis e teríamos Y = 4 2/(890 + 4 2) = 0, 086, em total desacordo com as observações astronômicas, 0, 2 < Y < 0, 25. 9