Universidade Federal do Espírito Santo Centro de Ciências Agrárias CCA UFES Departamento de Computação Operações Lógicas sobre Proposições Lógica Computacional 1 Site: http://jeiks.net E-mail: jacsonrcsilva@gmail.com
Operações Lógicas As operações realizadas sobre preposições são chamadas de operações lógicas. As operações lógicas obedecem regras de cálculo, denominado cálculo proposicional. 2
Negação Símbolos que podem ser utilizados:, ~, ' A negação de uma proposição define-se pelo seu complemento, seu valor contrário. Assim, se: V(p) = V, então não p é Falso: V( p) = F; V(p) = F, então não p é Verdadeiro: V( p) = V; Outras considerações: V = F, F = V; V( p) = V(p).. p V F p F V 3
Exercícios Qual a negação das seguintes proposições: Luis é professor; O mar é salgado; O pudim é gostoso; Não é verdade que Vitória pertence ao Espírito Santo. Escreva as proposições anteriores com a notação correta da negação. 4
Conjunção Símbolo: Define-se como conjunção a interseção de duas proposições, onde: o valor lógico da proposição composta somente será verdadeiro quando todos seus átomos forem verdadeiros. Indicação: p q Lê-se: p e q Obtém-se:. V V = V F V = F V F = F F F = F p q p q V V V V F F F V F F F F 5
Exercícios Utilizando a conjunção, crie três proposições compostas com dois átomos cada uma. Crie duas proposições compostas utilizando conjunções e negações. Escreva as proposições criadas com a notação lógica. Exemplo: { p : A neve é branca. (V ) q :2<5 (V ) p q : Aneve é branca e 2<5 V ( p q)=v ( p) V (q)=v V =V Qual o valor lógico de cada proposição criada? 6
Disjunção Símbolo: Define-se como disjunção a união de duas proposições, onde: o valor lógico da proposição composta somente será falso quando todos seus átomos forem falsos. Indicação: p q Lê-se: p ou q Obtém-se: V V = V F V = V V F = V F F = F p q p q V V V V F V F V V F F F 7
Exercícios Utilizando a disjunção, crie três proposições compostas com dois átomos cada uma. Crie duas proposições compostas utilizando conjunções, negações e disjunções. Escreva as proposições criadas com a notação lógica. Exemplo: { p : Paris é a capital da França. (V ) q :10 7=5 (F ) p q : Parisé a capital da França ou 10 7=5 V ( p q)=v ( p) V (q)=v F=V Qual o valor lógico de cada proposição criada? 8
Disjunção Exclusiva Símbolos:, Define-se como disjunção exclusiva a união de duas proposições, onde: O ou define a exclusividade de uma das duas proposições. Ou seja: um ou outro, mas não ambos. Indicação: p q Lê-se: ou p ou q p ou q, mas não ambos. Obtém-se: V V = F V F = V F F = F F V = V p q p q V V F V F V F V V F F F 9
Disjunção Exclusiva Diferença entre a disjunção inclusiva e a exclusiva: P: Carlos é médico ou professor. (inclusiva) se qualquer uma dos átomos for verdadeiro, o valor lógico de P será verdadeiro. Q: Mário é alagoano ou gaúcho. (exclusiva) somente se um dos átomos for verdadeiro que o valor lógico de Q será verdadeiro. A proposição P é uma disjunção inclusiva: Um dos dois valores pode ser verdadeiro, ou os dois podem ser verdadeiros ao mesmo tempo; A proposição Q é uma disjunção exclusiva: Somente um dos dois valores que pode ser verdadeiro, não sendo possível os dois serem verdadeiros ao mesmo tempo. 10
Exercícios Crie duas disjunções exclusivas. Crie uma sentença com: uma disjunção exclusiva e uma negação. Classifique cada uma das disjunções abaixo como inclusiva ou exclusiva: O colchão é macio ou não é macio; O homem é rico ou pobre; O carro é vermelho ou azul; O jogo é bom ou divertido; O homem é inteligente ou bonito;. 11
Exercícios Escreva as proposições do exercício anterior com a notação adequada. Exemplo: { p:o Brasil é na América do Sul. (V ) q :O Brasil é na América do Norte (F ) p q: ou O Brasil é na América do Sul ou O Brasil é na América do Norte outra forma de dizer : O Brasil é na América do Sul p q: ou O Brasil é na América do Norte, mas não ambos V ( p q)=v ( p) V (q)=v F=V 12
Condicional Símbolo: (chamado de símbolo de implicação) Chama-se condicional uma proposição representada por se p então q, onde o valor lógico somente é falsidade se p for verdadeira e q for falsa. Indicação: p q Lê-se: Se p, então q; p é condição suficiente para q; q é condição necessária de p; q é consequência de p. 13
Condicional Em p q: p é o antecedente e q é o consequente. Valores lógicos: V V = V V F = F p q p q V V V V F F F V V F F V F F = V F V = V Exemplo da utilização da condicional: Fogo é uma condição necessária para fumaça Pode ser reformulada como: Se há fumaça, então há fogo Antecedente: há fumaça Consequente: há fogo. 14
Exemplo condicional Neste exemplo, suponha que seu amigo disse: Se eu me formar na primavera, vou tirar férias na Flórida Condições: Se ele realmente se formar na primavera (V) e tirar suas férias na Flórida (V), a sentença foi VERDADEIRA; Porém, se ele se formar na primavera (V) e não tirar suas férias na Flórida (F), seu comentário foi uma sentença FALSA; Agora, supondo que ele não se formou (F), Independentemente de ele tirar ou não as férias na Flórida, a sentença não tornou-se falsa, pois demos-lhe o benefício da dúvida. 15
Exercícios Crie três proposições compostas utilizando condicionais. Indique qual é o antecedente e qual é o consequente de cada proposição criada. Escreva as proposições criadas com a notação adequada. Exemplo:. { p:o mês de Maiotem31 dias. (V ) q: ATerra é plana (F ) p q : Se O mês de Maiotem31 dias, então a Terra é plana V ( p q)=v ( p) V (q)=v F =F 16
Bicondicional Símbolo: Chama-se bicondicional uma proposição representada por p se e somente se q, onde o valor lógico é verdade quando p e q são ambos verdadeiros e falsidade quando são diferentes. Indicação: p q Lê-se: p se e somente se q; p é condição necessária e suficiente para q; q é condição necessária e suficiente para p;. p q p q V V V V F F F V F F F V 17
Bicondicional Outra forma de entender o bicondicional: Consideremos a bi-implicação: p q p q q p (p q) (q p) V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V O Bicondicional é equivalente a: (p q) (q p) 18
Exercícios Crie duas proposições utilizando bicondicionais. Crie uma tabela verdade apresentando sua bi-implicação. Escreva as proposições criadas com a notação adequada: Exemplo:. { p: Roma fica na Europa. (V ) q : A neve é branca (V ) p q: Roma fica na Europa se e somente se Aneve é branca V ( p q)=v ( p) V (q)=v V =V 19