Estruturar e resolver utilizando a Programação Linear. Indique de maneira clara a função objetivo, as variáveis de decisão e as restrições. Desenhe o espaço das soluções viáveis (região factível das variáveis de decisão) e calcule (ou obtenha graficamente) a solução ótima. Identifique os recursos totalmente utilizados e calcule os preços sombra correspondentes. Exercício 1 - Uma metalúrgica deseja maximizar sua receita bruta. A Tabela 1 abaixo apresenta a proporção de cada material na mistura para obtenção das ligas passíveis de fabricação. O preço está cotado em Reais por tonelada da liga fabricada. Também em toneladas estão expressas as restrições de disponibilidade de matéria-prima. Tabela 1 - Restrições/Custos de cada liga Liga Especial de Baixa Resistência (*) Liga Especial de Alta Resistência (*) Disponibilidade de Matéria Prima Cobre 0,5 0,2 16 ton Zinco 0,25 0,3 11 ton Chumbo 0,25 0,5 15 ton Preço de Venda (R$/ton) R$ 3.000 R$ 5.000 (*) ton de minério por ton de liga Exercício 2 Uma grande fábrica de móveis dispõe em estoque de 250 metros de tábuas, 600 metros de pranchas e 500 metros de painéis de conglomerado. A fábrica normalmente oferece uma linha de móveis composta por um modelo de escrivaninha, uma mesa de reunião, um armário e uma prateleira. Cada tipo de móvel consome uma certa quantidade de matéria prima, conforme a Tabela 2 abaixo. A escrivaninha é vendida por unidades monetárias (UM), a mesa por 80 UM, o armário por 120 UM e a prateleira por 20 UM. Montar um modelo de PL para maximizar a receita com a venda dos móveis. Tabela 2 - Restrições/Custos Escrivaninha Mesa Armário Prateleira Disponibilidade (m) Tábua 1 1 1 4 250 Prancha 0 1 1 2 600 Painéis 3 2 4 0 500 Valor de Revenda (UM) 80 120 20 1
Exercício 3 Um jovem atleta sente-se atraído pela prática de dois esportes: natação e ciclismo. Sabe-se por experiência que: a natação exige um gasto em mensalidade do clube e deslocamento até a piscina que pode ser expresso em custo médio de 03 reais por seção de treinamento de duas horas; o ciclismo, mais simples, acaba custando cerca de 02 reais pelo mesmo tempo de prática; o orçamento do rapaz dispõe de 70 reais para seu treinamento. Seus afazeres de aluno de graduação na Poli lhe dão liberdade de empregar no máximo 18 horas mensais e 80.000 calorias para os esforços físicos. Cada seção de natação consome 1500 calorias, enquanto cada etapa ciclística consome 0 calorias. Considerando que o rapaz goste igualmente de ambos os esportes o problema consiste em planejar seu treinamento de forma a maximizar o número de seções de treinamento. Exercício 4 Considere a situação de decidir sobre o número de unidades a serem produzidas por certo fabricante de dois diferentes tipos de produto. Os lucros por unidade do produto 1 e do produto 2 são respectivamente 2 e 5 UM. Cada unidade do produto 1 requer 3 horas de máquina e 9 unidades de matéria prima, enquanto que o produto 2 requer 4 horas de máquina e 7 unidades de matéria prima. Os tempos máximos disponíveis de horas de máquina e de matéria prima são 200 horas e 300 unidades, respectivamente. Formule o problema de forma a otimizar o lucro total. Exercício 5 Uma companhia produz dois tipos de camisas: manga longa e manga curta. Na companhia, o único ponto crítico é a mão de obra disponível. A camisa de manga longa consome 50% a mais de mão de obra do que a de manga curta. Sabe-se também que se toda a produção fosse concentrada na disponibilização de camisas manga curta a companhia poderia entregar 400 camisas de manga curta por dia. O mercado limita a produção diária das camisas em 150 mangas longas e 300 mangas curtas. O lucro bruto por camisa de maga longa é de 5 UM e por camisa de manga curta é 3,5 UM. Formular o problema de modo a permitir a determinação das quantidades de camisas a produzir de modo a otimizar o lucro. Exercício 6 Suponha que por motivos justificáveis, uma certa dieta alimentar esteja restrita a leite desnatado, carne magra de boi, carne de peixe e um salada de composição bem conhecida. Sabe-se ainda que os requisitos nutricionais serão expressos em termos de vitaminas A, C e D e controlados por suas 2
quantidades mínimas (em mg), uma vez que são indispensáveis à preservação da saúde da pessoa quês estará se submetendo à dieta. A Tabela 3 resume a quantidade de cada vitamina em disponibilidade nos alimentos e a sua necessidade diária para a boa saúde de uma pessoa. Formular o programa para otimização dos recursos envolvidos. Tabela 3 - Restrições de Nutrientes na Dieta Alimentar Vitamina Leite (litro) Carne (kg) Peixe (kg) Salada ( g) Requisito Nutricional Mínimo (mg) A 2 mg 2 mg 10 mg 20 mg 11 mg C 50 mg 20 mg 10 mg 30 mg 70 mg D 80 mg 70 mg 10 mg 80 mg 250 mg Custo 2 reais 4 reais 1,5 reais 1 real Exercício 7 Um sitiante está planejando sua estratégia de plantio para o próximo ano. Por informações obtidas nos órgãos governamentais sabe que as culturas de trigo, arroz e milho serão as mais rentáveis na próxima safra. Por experiência, sabe que a produtividade de sua terra para as culturas desejadas é a constante na Tabela 4. Por falta de um local de armazenamento próprio, a produção máxima, em toneladas, está limitada a 60. A área cultivável do sítio é de 200.000 m². Para atender as demandas de seu próprio sítio, é imperativo que se plante 400 m² de trigo, 800 m² de arroz e 10.000 m² de milho. Quanto plantar de cada cultura? Tabela 4 - Restrições do Problema Cultura Produtividade (kg/m²) (empírico) Lucro por kg de produção (informação de mercado) Trigo 0,2 10,8 centavos Arroz 0,3 4,2 centavos Milho 0,4 2,03 centavos Exercício 8 Uma cooperativa agrícola opera 3 fazendas que possuem produtividades aproximadamente iguais entre si. A produção total por fazenda depende fundamentalmente da área disponível para o plantio e da água de irrigação. A cooperativa procura diversificar sua produção de modo que vai plantar este ano três tipos de cultura em cada fazenda, a saber: milho, arroz e feijão. Cada tipo de cultura 3
demanda por uma certa quantidade de água. Para reduzir o conflito no uso das colheitadeiras, que são alugadas pela cooperativa, estabeleceram-se limites de área de produção dentro de cada tipo de cultura. Para evitar a concorrência entre os cooperados, acordou-se que a proporção de área cultivada seja a mesma para cada uma das fazendas. As Tabelas 5 e 6 resumem os dados tecnológicos. Pede-se a elaboração de um programa de produção que defina a área de cada cultura que será plantada em cada fazenda, de modo a otimizar o lucro total da produção da cooperativa. Tabela 5 - Água Disponível e Área de Cultivo por Fazenda Fazenda Área Total para Cultivo (acres) Água Disponível (L) 1 400 1.800 2 650 2.200 3 350 950 Tabela 6 - Consumo de Água, Área de Cultivo e Lucro por Cultura Cultura Área Máxima de Consumo de Água Lucro (R$/Acre) Cultivo (Acres) (L/Acre) Milho 660 5,5 5.000 Arroz 880 4,0 4.000 Feijão 400 3,5 1.800 Exercício 9 Uma refinaria processa vários tipos de petróleo. Cada tipo de petróleo possui uma planilha de custos diferente, expressando condições de transporte e preços na origem. Por outro lado, cada tipo de petróleo representa uma configuração diferente de subprodutos para a gasolina. Na medida em que um certo tipo de petróleo é utilizado na produção de gasolina, é possível a programação das condições de octanagem e outros requisitos. Esses requisitos implicam na classificação do tipo da gasolina obtida. Supondo que a refinaria trabalhe com uma linha de quatro tipos diferentes de petróleo e deseje produzir as gasolinas amarela, azul e super azul, programar a mistura dos tipos de petróleo atendendo às condições que se seguem nas tabelas: 4
Tabela 7 - Quantidade Disponível de Petróleo Tipo de Petróleo Quantidade Máxima Custo por Barril/dia (R$) Disponível (barril/dia) 1 3.500 19 2 2.200 24 3 4.200 20 4 1.800 27 Tabela 8 - Percentuais para Limites de Qualidade das Gasolinas Tipo de Gasolina Especificação Preço de Venda (R$/Barril) Super-Azul Não mais que 30% de 1 35 Não menos que 40% de 2 Não mais que 50% de 3 Azul Não mais que 30% de 1 28 Não menos que 10% de 2 Amarela Não mais que 70% de 1 22 Exercício 10 Uma refinaria produz dois tipos de óleo, I e II, que passam por refino em quatro centros de processamento, conforme figura abaixo. As linhas cheias do gráfico indicam o fluxo normal de refino para os óleos do tipo I e II. Havendo capacidade ociosa, é possível processar o tipo de óleo I através do esquema alternativo representado pelas linhas tracejadas. Figura 1 - Fluxo de Produção de Óleo na Refinaria 5
No esquema de produção sabe-se que a distribuição custo x capacidade de produção é dada por: Tabela 9 - Fabricação dos Óleos Produto Centro Capacidade (l/h) % de Recuperação Custo ($/hora) Óleo I 1 300 90 150 Óleo I 2 450 95 200 Óleo I 4 250 85 180 Óleo I 2 400 80 220 Óleo I 3 350 75 250 Óleo II 1 500 90 300 Óleo II 3 480 85 250 Óleo II 4 400 80 240 Atenção: na medida em que o petróleo vai sendo refinado em cada centro, existe uma perda percentual na matéria-prima. Essa perda é acumulada em cada circuito. As relações econômicas que regem a função lucro são: Produto Custo da matériaprima ($/litro) Preço de Venda ($/litro) Venda Diária Máxima (litro) I 5 20 1.700 II 6 18 1.500 Os centros 1 e 4 operam 16 horas por dia. Os centros 2 e 3 operam 12 horas por dia. A refinaria possui a capacidade de transportar somente 2500 litros por dia pois seu oleoduto está em manutenção. Formule matematicamente o problema de otimização dos dois tipos de óleo. Dica: quando o problema PL aumenta é melhor trabalhar com a notação matricial! Exercício 11 Uma determinada fábrica produz panelas de metal médias e grandes a partir de elementos circulares de diâmetros de 0,25 e 0,40 metros, respectivamente. A primeira operação para obter as panelas é um corte desses elementos circulares sobre chapas de dimensão de 1,40 x 0,50 metros. Os elementos planos circulares são transformados em panelas em uma segunda operação de estamparia. Para o corte existem quatro tipos de matrizes, conforme mostra a figura abaixo. A fábrica deseja uma produção mínima de 500 panelas médias (obtidas do elemento circular de 6
diâmetro 0,25) e 350 grandes (obtidas do elemento circular de diâmetro de 0,40). Os custos em reais por chapa pelo uso de cada matriz de corte são respectivamente 1, 2, 3, 2. Elaborar o modelo de PL que planeje a produção de modo a minimizar o custo com o uso das chapas. Figura 2 Padrões de Corte do Problema das Panelas Exercício 12 Uma fábrica necessita cortar uma fita de aço de 12 cm de largura em tiras de 2,4 cm, 3,4 cm e 4,5 cm de largura. As necessidades globais das tiras são: Tipo de Tira Largura (cm) Comprimento Mínimo (m) Tira 1 2,4 2.500 Tira 2 3,4 4.500 Tira 3 4,5 8.000 Formule o problema que permite otimizar o consumo da fita a ser cortada minimizando a perda de material Exercício 13 Uma clínica de repouso recebe cerca de 50 pacientes em um fim de semana para exercícios e desintoxicação alimentar. Um dos pontos fundamentais do planejamento da clínica é a escolha das dietas e a preparação das refeições Devido ao grande consumo de alimentos, a clínica compra normalmente os gêneros no atacado. A Tabela abaixo descreve a constituição nutritiva das refeições que poderão ser preparadas dentro das dietas escolhidas para os próximos grupos de visitantes. 7
Tabela 10 - Constituição Nutritiva Grupos Refeições Proteínas Carboidratos Minerais Vitaminas Fibras (mg) Unidades I Dieta 1 60 300 10 A; 20 C 150 Dieta 2 80 50 350 20 A; 10 C Dieta 3 80 20 40 A; 20 C 90 Dieta 4 25 25 A; 10 C II Dieta 5 40 30 300 10 A; 20 C 150 Dieta 6 50 35 350 20 A; 10 C 200 Dieta 7-50 40 A; 20 C 90 III Dieta 8 40 25 25 A; 10 C 80 Dieta 9 80 10 250 40 A; 50 C Cada dieta é composta pelos seguintes ingredientes ou alimentos: Tabela 11 Consumo de Ingredientes Grupos Refeições Carne Cereais Massas Verduras Leite Frutas I Dieta 1 60 50 80 60 50 Dieta 2 30 60 30 40 150 Dieta 3 20 60 20 60 60 120 Dieta 4 20 40 30 60 30 80 II Dieta 5 40 80-80 - 150 Dieta 6 50 50 - - Dieta 7 - - - III Dieta 8-50 20 120 50 50 Dieta 9-40 10 150 40 Preço por 4,00 6,00 1,50 0,90 1,00 0,70 kg Para a execução do programa de treinamento, a clínica deve escolher uma dieta dentro de cada grupo (desjejum, almoço e jantar), para dar condições ao cozinheiro de preparar as refeições. Questões: 1) Sabendo-se que existem dois programas de treinamento e que para cada programa as necessidades em nutrientes diárias por pessoa está relacionada a seguir, programar a compra de ingredientes de forma a minimizar os gastos com alimentação. 8
Tabela 12 Demanda dos Programas de Treinamento Programa de Treinamento Proteínas Carboidratos Minerais (mg) Vitaminas Unidades Programa 1 150 400 30 A 40 C Programa 2 180 120 500 20 A 60 C Fibras Pessoas Inscritas 250 20 300 30 2) Por um problema logístico, sabe-se que não é desejável preparar menos de 30 refeições com base na dieta no tipo 4 caso ela seja escolhida. Reformule o problema anterior levando-se isso em conta 3) Após uma rápida análise do nutricionista, descobriu-se que a dieta 1 e a dieta 9 eram incompatíveis, e a dieta 2 deveria vir sempre acompanhada da dieta 8. Reformular o pedido levando em conta a nova informação. 9