Introdução à Otimização. Aula 1 Prof. Gustavo Peixoto Silva Decom-UFOP

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1 Introdução à Otimização Aula 1 Prof. Gustavo Peixoto Silva Decom-UFOP

2 Modelo de PL com duas variáveis M1.1 - Produção das Ligas Metálicas Liga tipo A Liga tipo B Disponibilidade Cobre Zinco Chumbo Preço de venda $30,00 $50,00 A tabela nos fornece as quantidades, em toneladas, de cada recurso necessário para produzir uma tonelada de cada tipo de liga. Os preços de venda também estão dados por tonelada das ligas. FORMULAR o modelo de Programação Matemática que maximize a receita da empresa.

3 Modelo de PL com duas variáveis M1.2 - Produção das Ligas Metálicas Liga tipo A Liga tipo B Disp. max Cobre Zinco Chumbo Preço de venda $30,00 $50,00 Considere agora que a demanda máxima das ligas A e B são de 5 e 4 toneladas respectivamente. Complementar o modelo anterior para representar o problema.

4 O modelo de PL tem três etapas: 1. Variáveis de Decisão Expressa as diferentes opções do operador 2. Função Objetivo Meta desejada: maximizar (lucro) ou minimizar (custo) 3. Conjunto de Restrições Limitações que a solução deve satisfazer.

5 Modelo de PL M1.3 -O Problema da Fábrica de Móveis Escrivaninha Mesa Armário Prateleira Disponibili dade Tábua Prancha Painéis Valor de revenda $100,00 $80,00 $120,00 $20,00 Desenvolver um modelo de Programação Linear (PL) que maximize a receita com a venda dos móveis.

6 Solução viável ou factível: x = {x 1, x 2,..., x n } que satisfaz todas as restrições Caso contrário => Solução inviável Região de factibilidade: conjunto de todas as soluções viáveis Solução ótima x*: solução(ões) viável(eis) com o melhor (min/max) valor para a função objetivo. Valor ótimo f* = f(x*): função objetivo (sol. ótima)

7 M1.3.1 Uma empresa produz malas e mochilas. As malas são vendidas com um lucro por unidade de R$ 50,00 e as mochilas de R$ 40,00. A quantidade de horas necessárias para confeccionar cada produto assim como o número total de horas disponíveis em cada seção são apresentados abaixo. Seção Horas/mala Horas/mochila Disponibilidade (horas/dia) Corte Tingimento 1 2,5 540 Costura Embalagem 0,2 0,5 300 Sabendo que há demanda para qualquer quantidade produzida, determinar quantas unidades de cada produto deve ser fabricada para maximizar o lucro da empresa. Variáveis de decisão: X 1 = total de malas produzidas diariamente X 2 = total de mochilas produzidas diariamente Função Objetivo: Maximizar 50X X 2 Restrições: Corte: 2X 1 + X 2 <= 300 Tingimento: X 1 + 2,5X 2 <= 540 Costura: 2X 1 + 2X 2 <= 440 Embalagem: 0,2X 1 + 0,5X 2 <= 300 Não negatividade: X 1 >= 0, X 2 >= 0 Integralidade: X 1 e X 2 inteiros

8 Introdução à Otimização Aula 1.2 Prof. Gustavo Peixoto Silva Decom-UFOP

9 Modelo de Programação Linear Análise de Atividades Max Z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Sujeito a a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m x 1 0, x 2 0,..., x n 0

10 Modelo de Programação Linear Análise de Atividades Forma compacta MaxZ = Sujeito a x n j= 1 j a ij x j n j= 1 b c x, i= 1, L, m 0, j= 1, L, n i j j Temos uma matriz A m n retangular. Normalmenten >m, ouseja, A tem mais colunas do que linhas.

11 Forma Compacta - Problema das Ligas Max Sujeito a Liga A Liga B Disp. max Cobre Zinco Chumbo Preço de venda $30,00 $50,00 Z = c j Ligas j x j Ligas = {Liga A, Liga B} Materias_Primas={Cobre, Zinco, Chumbo} c[j]= preço venda de j, j Ligas disp[i]=disponibilidade de i, i Materias_Primas a[i, j]= consumo da matéria prima i na liga j, i Materia_Prima, j Ligas x[j] = tonda liga j produzida, j Ligas a ij j Ligas x j disp i, i Materias_Primas x j 0, j Ligas

12 Forma Compacta - Problema das Ligas Max Sujeito a Liga A Liga B Disp. max Cobre Zinco Chumbo Preço de venda $30,00 $50,00 Z = c j Ligas j x j Ligas = {Liga A, Liga B} Matérias_Primas={Cobre, Zinco, Chumbo} c[j]= preço venda de j, j Ligas disp[i]=disponibilidade de i, i Materias_Primas a[i, j]= consumo da matéria prima i na liga j, i Materia_Prima, j Ligas x[j] = tonda liga j produzida, j Ligas a ij j Ligas x j disp i, i Materias_Primas x j 0, j Ligas

13 Forma Compacta - Problema das Ligas Liga A Liga B Disp. max Cobre Zinco Chumbo Preço de venda $30,00 $50,00 Ligas = {Liga A, Liga B} Matérias_Primas={Cobre, Zinco, Chumbo} c[j]= preço venda de j, j Ligas disp[i]=disponibilidade de i, i Materias_Primas a[i, j]= consumo da matéria prima i na liga j, i Materia_Prima, j Ligas x[j] = tonda liga j produzida, j Ligas Max Z = c[ j Ligas j]* x[ j] Sujeito a j Ligas a[ i, j] x[ j] disp[ i], i Materias_Primas x[ j] 0, j Ligas

14 Modelo de Programação Linear Exemplo de um modelo 3X5 Max Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + c 5 x 5 Sujeito a a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 + a 15 x 5 b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 24 x 4 + a 25 x 5 b 2 a 31 x 1 + a 3 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 + a 35 x 5 b 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0

15 Modelo de Programação Linear Exemplo de um modelo 3X5 Max Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + c 5 x 5 Sujeito a a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 + a 15 x 5 b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 24 x 4 + a 25 x 5 b 2 a 31 x 1 + a 3 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 + a 35 x 5 b 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0

16 Modelo de Programação Linear Exemplo de um modelo 3X5 Max Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + c 5 x 5 Sujeito a a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 + a 15 x 5 b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 24 x 4 + a 25 x 5 b 2 a 31 x 1 + a 3 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 + a 35 x 5 b 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0

17 Modelo de Programação Linear Exemplo de um modelo 3X5 Max Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + c 5 x 5 Sujeito a a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 + a 15 x 5 b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 24 x 4 + a 25 x 5 b 2 a 31 x 1 + a 3 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 + a 35 x 5 b 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0

18 M2.2- Alocação de recursos Giapetto Comp. Fabrica 2 tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado évendidopor$27eusa$10dematériaprima.cadasoldadoproduzidoaumenta ocusto de produção com energia em $14. Um trem é vendido por $21 e usa $9 de matéria prima.cadatremmontadoaumentaocustodeproduçãocomenergiaem $10. A produção dos brinquedos requer dois tipos de mão de obra: carpinteiro e acabador. Um soldadorequer1hora de carpintaria e 2 horas de acabamento. Eum trem requer 1 hora de carpintaria e 1 hora de acabamento. Giapetto tem disponível 80 horas de carpintaria e 100 horas de acabamento por semana. A demanda por soldados é ilimitada, mas no máximo 40 trens são vendidos por semana. Monte um modelo de PL para ajudar Giapetto a melhorar seus resultados semanais. Variáveis de decisão: x1 quant. de soldados produzidos/semana x2 quant. de trens produzidos/semana Função objetivo: Max L = 27x1 + 21x2 (10x1 + 9x2) (14x1 + 10x2) Max L = 3x1 + 2x2 Sujeito a: x1 + x2 <= 80 (1) restrição de carpintaria 2x1 + x2 <= 100 (2) restrição de acabamento x2 <= 40 (3) restrição de demanda x1 >= 0 e Inteiro, x2 >= 0 e Inteiro

19 M2.2- Alocação de recursos Para o problema anterior, considere agora o acréscimo da seguinte restrição: Para cada trem, pelo menos 4 soldados devem ser produzidos. Acrescente esta restrição ao modelo de PL anterior para ajudar Giapetto a melhor seus resultados semanais. Variáveis de decisão: x1 quant. de soldados produzidos/semana x2 quant. de trens produzidos/semana Função objetivo: Max L = 27x1 + 21x2 (10x1 + 9x2) (14x1 + 10x2) Max L = 3x1 + 2x2 Sujeito a: x1 + x2 <= 80 (1) restrição de carpintaria 2x1 + x2 <= 100 (2) restrição de acabamento x2 <= 40 (3) restrição de demanda x1 >= 4x2 => x1 4x2 >= 0 x1 >= 0 e Inteiro, x2 >= 0 e Inteiro

20 Uma empresa de laticínios fabrica os seguintes produtos: iogurte, queijo minas, queijo mussarela, queijo parmesão e queijo provolone. Para a fabricação de cada um dos 5 produtos, são necessários 3 tipos de matérias-primas: leite, soro e gordura. A tabela a seguir apresenta as quantidades de matérias-primas necessárias para produzir 1 Kg de cada produto. A quantidade de matéria-prima diária disponível é limitada: l de leite, 460ldesoroe650Kgdegordura. Iogurte Q. Minas Mussarela Parmesão Provolone Leite(l) 0,70 0,40 0,40 0,60 0,60 Soro(l) 0,16 0,22 0,32 0,19 0,23 Gordura(Kg) 0,25 0,33 0,45 0,40 0,47 Lucro R$/Kg 0,80 0,70 1,15 1,30 0,70 A disponibilidade diária de mão de obra especializada também é limitada (170 horashomem(hh)/dia) A empresa necessita de 0,05 hh/kg de iogurte, 0,12 hh/kg de queijo minas,0,09hh/kgdequeijomussarela,0,04hh/kgdequeijoparmesãoe0,16hh/kgde queijo provolone. Por razões contratuais, a empresa precisa produzir uma quantidade mínima de 320Kg de iogurte, 380Kg de queijo minas, 450Kg de queijo mussarela, 240Kg de queijo parmesão e 180Kg de queijo provolone. O mercado é capaz de absorver qualquer quantidade que for produzida dos produtos. FormularummodelodePLparadeterminaraquantidadeaserproduzidadecadatipo dequeijodetalformaageraromaiorlucropossível.

21 M1.4 -Uma empresa manufatura 4 produtos I, II, III e IV que passam por 3 tipos de máquina M1, M2 e M3 e utilizam dois tipos de mão de obra: MO1 e MO2. Considerando os dados a seguir, formular o problema para maximizar o lucro mensal da empresa respeitando suas restrições. Máq. tempo disp. h/mês M1 80 M2 20 M3 40 número de máq-hora por unidade de cada produto Máq Produtos I II III IV M M M Mão de obra tempo disp. homens-h/mês MO1 120 MO2 160 número de homens-hora por unidade de cada produto MDO Produtos I II III IV MO MO Potencialmax. de venda (unid/mês) Produtos I II III IV Lucro($/unid) 10,0 8,00 9,00 7,00

22 O setor comercial da empresa fornece as seguintes informações: Potencialmáximo de venda (unid/mês) Produtos I II III IV Lucro($/unid) 10,0 8,00 9,00 7,00 Formular um modelo de Programação Linear para determinar a produção mensal que leva ao lucro máximo proveniente destes 4 produtos.

23 Introdução à Otimização Aula 1.3 Forma compacta

24 Modelo de Programação Linear Análise de Atividades Forma compacta MaxZ = Sujeito a x n j= 1 j a ij x j n j= 1 b c x 0, j= 1, L, n i j j, i= 1, L, m Temos uma matriz A mxn retangular. Normalmente n >m, ou seja, A tem mais colunas do que linhas.

25 Modelo Compacto Melhorado Liga tipo A Liga tipo B Disp. max Cobre Zinco Chumbo P. de venda $30,00 $50,00 Conjuntos de índices: Ligas:= {A, B}, MP:= {Cobre, Zinco, Chumbo} Declaração dos parâmetros de entrada: PV[j], j Ligas; // preço de venda/unid. da liga j; PV[j] := (30; 50); Matriz[i,j], i MP, j Ligas; // cons. da MP i por unid. da liga j Matriz[i,j] := (2, 1, 1, 2, 1, 3); Disp[i], i MP; //disponibilidade do material i; Disp[i] := (16, 11, 15);

26 Modelo Compacto Melhorado Conjuntos: Ligas:= {A, B}, MP:= {Cobre, Zinco, Chumbo} Parâmetros: PV[j], j Ligas; Matriz[i,j], i MP, j Ligas; Disp[i], i MP; Variáveis de decisão: X[j], j Ligas, >= 0; Função objetivo: Max Z = sum{j Ligas} PV[j]*X[j]; Restrições: Restr{i MP}: sum{j Ligas} Matriz[i,j]*X[j] <= Disp[i];

27 Modelo Compacto do GUSEK set MP := {1..3}; # conjunto das matérias primas set Ligas := {1..2}; # conjunto das ligas param PV{j in Ligas};# preço de venda de cada liga param disp{i in MP}; # disponibilidade de cada matéria prima param matriz{i in MP, j in Ligas}; # matriz de consumo var x{j in Ligas}, >=0; # quantidade de liga a ser produzida maximize lucro: sum{j in Ligas} x[j] * PV[j]; s.t. Disp_Mat_Prima{i in MP}: sum{j in Ligas} x[j] * matriz[i, j] <= disp[i]; solve;

28 Modelo Compacto do GUSEK (cont.) data; param PV := ; param disp := ; param matriz : 1 2:= ; end; Ativar a opção de geração do arquivo com o resumo da solução

29 Modelo Compacto do GUSEK (cont.) Selecione a opção Tools-> GenerateOutput File ongopara que seja gerado o arquivo com o resumo do resultado, ou seja, o arquivo.out

30 Fazer o Modelo no Gusek M1.3 -O Problema da Fábrica de Móveis Escrivaninha Mesa Armário Prateleira Disp. Max. Tábua Prancha Painéis Valor de revenda $100,00 $80,00 $120,00 $20,00 Para Casa: Desenvolver um modelo no Gusekque maximize a receita com a venda dos móveis utilizando o modelo compacto.

31 Potencialde venda (unid/mês) Produtos I II III IV Lucro($/unid) 10,0 8,00 9,00 7,00 Máq. M1 80 M2 20 M3 40 tempo disp. h/mês Mão de obra tempo disp. homens-h/mês MO1 120 MO2 160 número de máq-hora por unidade de cada produto Máq Produtos I II III IV M M M número de homens-hora por unidade de cada produto MDO Produtos I II III IV MO MO

32 MODELO Conjuntos de índices: Prods := {P1, P2, P3, P4}; Maq := {M1, M2, M3}; Mdo := {MO1, MO2}; Parâmetros: L[j], j Prods; //lucro por unidade do produto j L := (10, 8, 9, 7); Vd[j], j Prods; //potencial de venda do produto j Vd := (70, 60, 40, 20); Disp_Mq[i], i Maq;//disp. da maquina i Disp_Mq := (80, 20, 40); Disp_Md[i], i Mdo;//disp. da mão de obra i Disp_Md := (120, 160); Matriz1[i,j], i Maq, j Prods;//consumo da maq. i por produto j Matriz2[i,j], i Mdo, j Prods;//consumo da mdo. i por produto j Matriz1 = (5, 4, 8, 9, Matriz2 = (2, 4, 2, 8, 2, 6, 0, 8, 7, 3, 0, 7); 3, 4, 6, 2); Variáveis de decisão: X[j], j Prods, inteiro, >=0; //quantidade produzida do produto j

33 Variáveis de decisão: X[j], j Prods, inteiro, >=0;//quant. produzida do prod. j Função objetivo: Restrições: MAX Z = [ ] ; Mqs: 1, _, ; Mds: 2, _, ; Vendas: ; A partir de agora, você deve fazer o modelo compacto para todos os problemas apresentados.

34 set P := {1..4}; set Maq := {1..3}; set Mdo := {1..2}; Modelo Compacto do GUSEK param disp_maq{i in Maq}; param disp_mdo{i in Mdo}; param lucro{j in P}; param pot_vendas{j in P}; param matriz1{i in Maq, j in P}; param matriz2{i in Mdo, j in P}; var x{p in P}, >= 0, integer; maximize lucro: sum{p in P} x[p] * lucro[p]; restmaq{m in Maq}: sum{p in P} matriz1[m, p] * x[p] <= disp_maq[m]; restmdo{i in Mdo}: sum{j in P} matriz2[i, j] * x[j] <= disp_mdo[i]; restprods{j in P}: x[j] <= pot_vendas[j];

35 Modelo Compacto do GUSEK data; param disp_maq := ; param disp_mdo := ; param lucro := ; param pot_vendas := ; param matriz1: := ; param matriz2: := ; param;

36 Introdução à Otimização Aula modelos

37 M2.1- Alocação de recursos (Wayne L. Winston) Umafábricadecarrosproduzcarrosdeluxoe jeeps4x4.adireçãoacredita que seus clientes são homens e mulheres de alta renda. Em sua campanha publicitária, foi decidido adquirir uma quantidade de entradas de 1 minuto de comercial dividido em dois tipos de programas: 1. programadecomédiae 2. partidas de futebol. Cada minuto de comercial em comédia é visto por aproximadamente 7 milhões demulherese2milhõesdehomemdealtarenda.ecadaminutodecomercial em horário de futebol é visto por 1 milhão de mulheres e 12 milhões de homens desta classe. Uma entrada de um minuto em programa de comédia custa $ e um minuto em horário de futebol custa $ , podendo ser adquirida uma fração de minuto. A fábrica gostaria que seus comerciais fossem vistos por pelo menos 28 milhõesdemulheresdealtarendaepor24milhõesdehomensdealtarenda. Apresente um modelo de programação linear para determinar como a fábrica pode alcançar seus objetivos com o menor custo possível.

38 M2.1- Análise de atividades Planejamento da produção Uma empresa que monta PCs deve entregar para o próximo trimestre exatamente unidades. O computador é montado a partir de teclado, monitor e gabinete. Devido às suas limitações, a empresa subcontrata parte do serviço. Os custos de produção própria e aquisição externa são: Itens Custo próprio Custo externo Teclado 6 9 Monitor Gabinete Os componentes produzidos passam por quatro seções. O consumo de tempo por unidades obedece à tabela, sendo que cada seção dispõe de horas/mês. Itens Inspeção Montagem Ajuste Cont. qualidade Teclado 0,15 0, ,01 Monitor 0,10 0,20 0,25 0,02 gabinete 0,20 0,40 0,40 0,05 Posteriormente, os itens são montados para formar o PC. Formular um modelo de PL para um plano de produção e aquisição externa trimestral com custo mínimo.

39 Um fazendeiro pretende plantar feijão e milho. Os lucros são de $ por alqueire de feijão e $ por alqueire de milho. Suas limitações são: terra disponível = 10 alqueires água disponível para irrigação litros plantarnomáximo4alqueiresdefeijão cadaalqueiredefeijãorequer5.000litrosdeágua cadaalqueiredemilhorequer10.000litrosdeágua Formule o problema como um modelo de programação linear

40 É preciso programar a produção agrícola alocando as atividades para 3 regiões(fazendas). Os dados técnicas são: Regiões Área total em alqueires A B C Disp. de água (m 3 ) Produtos Área máxima alq Consumo de água -m 3 /alq Trigo Algodão Soja 325 1,5 100 Lucro por área - $/alq Formule o problema para a alocação das atividades nas respectivas áreas. Apresentar apenas na forma explícita.

41 #conjuntos de índices set RG; # conjunto das regiões em literais, lidas na seção data set CT; # conjunto das culturas em literais, lidas na seção data #parâmetros do problema param area{j in RG}; # áreas das regiões param disp_h2o{j in RG}; # disponibilidade de h20 das RGs param area_max{i in CT}; # áreas máximas plantada de cada cultura param cons_h2o{i in CT}; # consumo de h20 de cada cultura param lucro{i in CT}; # lucro de cada cultura #variáveis de decisão var x{i in CT, j in RG}, >=0; # alqs da cultura i na área j #função objetivo maximize fo: sum{i in CT, j in RG} x[i, j] * lucro[i]; #restrições area_rg{j in RG}: sum {i in CT} x[i, j] <= area[j]; h2o_rg{j in RG}: sum {i in CT} cons_h2o[i]*x[i, j] <= disp_h2o[j]; area_cult{i in CT}: sum {j in RG} x[i, j] <= area_max[i]; solve;

42 #entrada de dados data; set RG := A B C; set CT := trigo algodao soja; param lucro := trigo 400 algodao 300 soja 100; param area := A 400 B 600 C 300; param cons_h2o:= trigo 3 algodao 2 soja 1.5; param area_max:= trigo 600 algodao 500 soja 325; param disp_h2o:= A 600 B 800 C 380; end;

43 Para visualizar o modelo de PL que está sendo resolvido, faça: 1. Posicione o foco no arquivo modelo.mod 2. Entre em Tools 3. Escolha a opção Build Cplex LP O Gusek vai gerar o modelo e apresenta-lo no arquivo.lp para onde o foco será jogado. Para resolver o modelo, aplicar F5 ou no icone

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45 Introdução à Otimização Aula 1.5 Planejamento da Produção

46 Planejamento da produção com múltiplos períodos Nos exemplos anteriores tratamos de modelos estáticos ou monoperíodo. Neste exemplo veremos um modelo de PL para determinar a melhor decisão para vários períodos de produção. Modelos dinâmicos surgemquandosãotomadasdecisõesparamaisdeumperíodoeas decisões de um período influenciam as decisões dos períodos posteriores. Por exemplo, considere uma empresa que deve determinar quanto produzir em cada mês. Se ela produz uma grande quantidade de produtosemummês,elapodereduzirsuaproduçãonomêsseguinte. Eventualmente, pode ser mais interessante produzir antes e guardar o excedente em estoque do que produzir toda a demanda no período demandado. Sazonalidade!!!

47 M2.3- Planejamento da produção com múltiplos períodos(wayne L. Winston) Uma fábrica deve determinar quantos botes produzir nos próximos 4 trimestres. A demanda mínima durante cada um dos próximos trimestres é de 40, 60, 75 e 25 botes. A fábrica deve atender à demanda sem atrasos. No início de cada trimestre, a fábrica deve definir quantos botes produzir no trimestre. Vamos considerar que os botes produzidos em um trimestre podem ser usados para atender à demanda daquele trimestre ou de qualquer trimestre posterior. Em cada trimestre a fábrica pode produzir até 55 botescomumcustode$400,00porbote. Aofinaldecadatrimestre,depoisqueocorreuaproduçãoesatisfeitaa demanda do trimestre, incorre um custo por estocagem de $45,00 por unidade. Faça um modelo de PL para planejar a produção minimizando o custo de produção e de estocagem nos próximos 4 trimestres.considerequeoestoqueinicialéde10boteseofinalde5.

48 Planejamento da produção com múltiplos períodos(wayne L. Winston) X i =numdebotesproduzidosnotrimestrei VariávelauxiliarE i =numdebotesnoestoquenofinaldotrimestrei Custo=400(X 1 +X 2 +X 3 +X 4 )+45(E 1 +E 2 +E 3 +E 4 ) Equação de transição de estoque: Estoquenofinaldotrimestrei= estoquefinaldotrimestrei-1 +produçãonotrimestrei - demandanotrimestrei SeademandanotrimestreiforD i,aequaçãodetransiçãodeestoqueficada seguinte forma: E i =E i-1 +X i D i AdemandanotrimestreiseráatendidaseE i >=0pois E i-1 +X i >= D i ouseja,e i =E i-1 +X i D i >=0 Portanto o modelo fica da seguinte forma:

49 Planejamento da produção com múltiplos períodos(wayne L. Winston) X i =numdebotesproduzidosnotrimestrei E i =numdebotesnoestoquenofinaldotrimestrei Min=400(X 1 +X 2 +X 3 +X 4 )+45(E 1 +E 2 +E 3 +E 4 ) X 1 <=55; X 2 <=55; X 3 <=55; X 4 <=55; E 1 =10+X 1 40; E 2 =E 1 +X 2 60; E 3 =E 2 +X 3 75; E 4 =E 3 +X 4 25; E 1 >=0; E 2 >=0; E 3 >=0; E 4 =5; X 1 >=0; X 2 >=0; X 3 >=0; X 4 >=0;einteiros

50 M2.4- Planejamento da produção com múltiplos períodos(wayne L. Winston) Uma fábrica deve determinar quantos botes produzir nos próximos 4 trimestres. A demanda durante cada um dos próximos trimestres é de 40,60,75e25botes.Afábricadeveatenderàdemandasematrasos. No início de cada trimestre, a fábrica deve definir quantos botes produzir no trimestre. Vamos considerar que os botes produzidos em um trimestre podem ser usados para atender à demanda daquele trimestre ou de qualquer trimestre posterior. Em cada trimestre a fábrica pode produzir até 55 botes com um custo de $400,00 por bote. Com a contratação de empregados extras, eles podem produzir até 30 botes adicionais por trimestreaumcustototalde$450,00porbote. Aofinaldecadatrimestre,depoisqueocorreuaproduçãoesatisfeitaa demanda do trimestre, incorre um custo por estocagem de $45,00 por unidade. Faça um modelo de PL para planejar a produção minimizando o custo de produção e de estocagem nos próximos 4 trimestres.considerequeoestoqueinicialéde10boteseofinaligual a20.

51 Planejamento da produção com múltiplos períodos(wayne L. Winston) X i =numdebotesproduzidosportrabalhadoresregularesnotrimestrei Y i =numdebotesproduzidosportrabalhadoresextrasnotrimestrei E i =numdebotesnoestoquenofinaldotrimestrei Custo=400(X 1 +X 2 +X 3 +X 4 )+450(Y 1 +Y 2 +Y 3 +Y 4 )+45(E 1 +E 2 +E 3 +E 4 ) Equação de transição de estoque: Estoquenofinaldotrimestrei= estoquefinaldotrimestrei-1 +produçãonotrimestrei - demandanotrimestrei Esta equação é a chave para a maioria dos modelos de planejamento da produção com múltiplos períodos. Se a demanda no trimestre i for D i, a equação de transição de estoque fica da seguinte forma: E i =E i-1 +X i +Y i D i AdemandanotrimestreiseráatendidaseE i >=0pois E i-1 +X i +Y i >= D i ouseja,e i =E i-1 +X i +Y i D i >=0 Portanto o modelo fica da seguinte forma:

52 Planejamento da produção com múltiplos períodos(wayne L. Winston) X i =numdebotesproduzidosportrabalhadoresregularesnotrimestrei Y i =numdebotesproduzidosportrabalhadoresextrasnotrimestrei E i =numdebotesnoestoquenofinaldotrimestrei Min=400(X 1 +X 2 +X 3 +X 4 )+450(Y 1 +Y 2 +Y 3 +Y 4 )+45(E 1 +E 2 +E 3 +E 4 ) X 1 <=55; X 2 <=55; X 3 <=55; X 4 <=55; Y 1 <=30; Y 2 <=30; Y 3 <=30; Y 4 <=30; E 1 =10+X 1 +Y 1 40; E 2 =E 1 +X 2 +Y 2 60; E 3 =E 2 +X 3 +Y 3 75; E 4 =E 3 +X 4 +Y 4 25; E 1 >=0; E 2 >=0; E 3 >=0; E 4 =20; X 1 >=0; X 2 >=0; X 3 >=0; X 4 >=0; Y 1 >=0; Y 2 >=0; Y 3 >=0; Y 4 >=0;

53 M2.5 -Programação da produção Exerc. 4 pag23 ver Winston 99 Ademandadesorveteduranteosmesesdedezembrojaneiroefevereirodeuma sorveteria é de no mínimo 500, 600 e 400 caixas respectivamente. Dois atacadistas, 1 e 2 fornecem o sorvete. O número máximo de caixas que cada fornecedor pode entregar são 400 por mês e os preços são dados na tabela. A sorveteria pode comprar o necessário para um mês e armazenar para usar nos mesesseguintes.ocustodeestocagemdecadacaixaéde$5pormêsedeveser calculadopelonúmerodecaixasemestoquenofinalomês.façaummodelode PL para a compra ótima de sorvete dos fornecedores. Considere o estoque inicial igualazeroefinaliguala10. Preço ($) por caixa no mês Dezembro Janeiro Fevereiro Fornecedor Fornecedor

54 Planejamento da produção com múltiplos períodos(wayne L. Winston) F1 j =cxsdesorveteadquiridasdofornecedor1nomêsj,j=dez,jan,fev F2 j =cxsdesorveteadquiridasdofornecedor2nomêsj,j=dez,jan,fev E j =cxsdesorveteemestoquenofinaldomêsj,j=dez,jan,fev Min=100F1 dez +110F1 jan +120F1 fev +115F2 dez +108F2 jan +125F2 fev +5(E dez +E jan +E fev ) F1j<=400,j=dez,jan,fev; F2 j <=400,j=dez,jan,fev; F1 dez +F2 dez >=500; E dez =F1 dez +F2 dez -500; F1 jan +F2 jan +E dez >=600; E jan =F1 jan +F2 jan +E dez 600; F1 fev +F2 fev +E jan >=400; E fev =F1 fev +F2 fev +E jan 400; E fev =10; F1 j >=0einteiroparaj=dez,jan,fev; F2 j >=0einteiroparaj=dez,jan,fev E j >=0einteiroparaj=dez,jan,fev

55 M2.6- Análise de atividades Planejamento da produção Uma fábrica de panelas tem 5 produtos (p1,..., p5) pode ser obtidos por 2 processos de produção, o normal (N) e o acelerado (A). Dependendo do processo em que o produto for produzido, será consumido um certo número de horas de trabalho dentro de cada processo, segundo a tabela. Panelas p1 p2 p3 p4 p5 Processo N nc 17 8 Processo A nc nc Lucro($/unidade) nc= nãose aplicaesteprocessoparao respectivotipode panela Após passar pelo processo de produção, cada produto tem uma montagem final que requer 2 horas de mão-de-obra por unidade. A fábrica tem 3 máquinas para o processo normal e 2 para o processo acelerado. As máquinastrabalhamem2turnosde8horas,6diasporsemanaeumaequipe de 7 pessoas trabalham em um turno de 8 horas, 6 dias por semana na montagem dos produtos. Faça um modelo de PL para determinar o esquema de produção semanal que maximize o lucro da fábrica.

56 Após passar pelo processo de produção, cada produto tem uma montagem final que requer 2 horas de mão-de-obra por unidade. A fábrica tem 3 máquinas processo normal e 2 processo acelerado. As máquinastrabalhamem2turnosde8horas,6diasporsemanaeumaequipede7pessoasemum turno de 8 horas, 6 dias por semana na montagem dos produtos. Faça um modelo de PL para determinar o esquema de produção semanal que maximize o lucro da fábrica. Variáveis de decisão Panelas p1 p2 p3 p4 p5 Processo N nc 17 8 Processo A nc Nc Lucro($/unidade) N i =panelasdotipoiproduzidasporsemananoprocessonormal,i=1,...,5. A i =panelasdotipoiproduzidasporsemananoprocessoacelerado,i=1,...,5. Função Objetivo Max Lucro = 57(N 1 + A 1 ) + 55(N 2 + A 2 ) + 63A 3 +50N 4 +60N 5 Restrições Máquina Normal: 12N N N 4 + 8N 5 <= 288 (3x2x8x6) MáqAcelerada: 10A A 2 + 5A 3 <= 192 (2x2x8x7) Acabamento: 2(N 1 + A 1 + N 2 + A 2 + A 3 + N 4 + N 5 ) <= 336 (7x8x6)

57 M2.7 -Problema da Dieta - Puccini 72 Uma pessoa deve fazer uma dieta alimentar que fornece, diariamente, pelo menos asseguintesquantidades,emmg,devitaminas:80dea,70deb,100dece60 de D. Vitaminas em excesso são prejudiciais, assim, as quantidades máximas das vitaminassão100dea,90deb,130dece90ded. A dieta poderá incluir leite, arroz, feijão e carne, que contém os seguintes miligramas de vitaminas em cada uma de suas unidades de medida: Vitaminas Leite (l) Arroz (kg) Feijão (kg) Carne (kg) A B C D Custo unitário 1,85 2,00 3,40 12,00 Deseja-se saber o consumo diário de cada alimento de tal maneira que a dieta seja satisfeita com o menor custo possível.

58 EXERCÍCIOS PARA CASA Resolver os problemas acima pelo pacote Gusekna forma compacta