Introdução à Otimização. Aula 1 Prof. Gustavo Peixoto Silva Decom-UFOP

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1 Introdução à Otimização Aula 1 Prof. Gustavo Peixoto Silva Decom-UFOP

2 Modelo de PL com duas variáveis M1.1 - Produção das Ligas Metálicas Liga tipo A Liga tipo B Disponibilidade Cobre Zinco Chumbo Preço de $30,00 $50,00 venda A tabela nos fornece as quantidades, em toneladas, de cada recurso necessário para produzir uma tonelada de cada tipo de liga. Os preços de venda também estão dados por tonelada das ligas. FORMULAR o modelo de Programação Matemática que maximize a receita da empresa.

3 Modelo de PL com duas variáveis M1.2 - Produção das Ligas Metálicas Liga tipo A Liga tipo B Disp. max Cobre Zinco Chumbo Preço de venda $30,00 $50,00 Considere agora que a demanda máxima das ligas A e B são de 5 e 4 toneladas respectivamente. Complementar o modelo anterior para representar o problema.

4 O modelo de PL tem três etapas: 1. Variáveis de Decisão Expressa as diferentes opções do operador 2. Função Objetivo Meta desejada: maximizar (lucro) ou minimizar (custo) 3. Conjunto de Restrições Limitações que a solução deve satisfazer.

5 Modelo de PL M1.3 - O Problema da Fábrica de Móveis Escrivaninha Mesa Armário Prateleira Disponibili dade Tábua Prancha Painéis Valor de revenda $100,00 $80,00 $120,00 $20,00 Desenvolver um modelo de Programação Linear (PL) que maximize a receita com a venda dos móveis.

6 Solução viável ou factível: x = {x 1, x 2,..., x n } que satisfaz todas as restrições Caso contrário => Solução inviável Região de factibilidade: conjunto de todas as soluções viáveis Solução ótima x*: solução(ões) viável(eis) com o melhor (min/max) valor para a função objetivo. Valor ótimo f* = f(x*): função objetivo (sol. ótima)

7 M1.3.1 Uma empresa produz malas e mochilas. As malas são vendidas com um lucro por unidade de R$ 50,00 e as mochilas de R$ 40,00. A quantidade de horas necessárias para confeccionar cada produto assim como o número total de horas disponíveis em cada seção são apresentados abaixo. Seção Horas/mala Horas/mochila Disponibilidade (horas/dia) Corte Tingimento 1 2,5 540 Costura Embalagem 0,2 0,5 300 Sabendo que há demanda para qualquer quantidade produzida, faça um modelo de PL para determinar quantas unidades de cada produto deve ser fabricada para maximizar o lucro da empresa. Variáveis de decisão: X 1 = total de malas produzidas diariamente X 2 = total de mochilas produzidas diariamente Função Objetivo: Maximizar 50X X 2 Restrições: Corte: 2X 1 + X 2 <= 300 Tingimento: X 1 + 2,5X 2 <= 540 Costura: 2X 1 + 2X 2 <= 440 Embalagem: 0,2X 1 + 0,5X 2 <= 300 Não negatividade: X 1 >= 0, X 2 >= 0 Integralidade: X 1 e X 2 inteiros

8 Introdução à Otimização Aula 1.2 Prof. Gustavo Peixoto Silva Decom-UFOP

9 Modelo de Programação Linear Análise de Atividades Max Z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n Sujeito a a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m x 1 0, x 2 0,..., x n 0

10 Modelo de Programação Linear Análise de Atividades Forma compacta Max Z Sujeito a x n j 1 j a ij x j n c j 1 b j x 0, j 1,, n i j, i 1,, m Temos uma matriz A m n retangular. Normalmente n >m, ou seja, A tem mais colunas do que linhas.

11 Forma Compacta - Problema das Ligas Liga A Liga B Disp. max Cobre Zinco Chumbo Preço de venda Max $30,00 $50,00 Z Sujeito a c j Ligas j x j Ligas = {Liga A, Liga B} Materias_Primas={Cobre, Zinco, Chumbo} c[j]= preço venda de j, j Ligas disp[i]=disponibilidade de i, i Materias_Primas a[i, j]= consumo da matéria prima i na liga j, i Materia_Prima, j Ligas x[j] = ton da liga j produzida, j Ligas a ij j Ligas x j disp i, i Materias_Primas x j 0, j Ligas

12 Forma Compacta - Problema das Ligas Liga A Liga B Disp. max Cobre Zinco Chumbo Preço de venda Max $30,00 $50,00 Z Sujeito a c j Ligas j x j Ligas = {Liga A, Liga B} Matérias_Primas={Cobre, Zinco, Chumbo} c[j]= preço venda de j, j Ligas disp[i]=disponibilidade de i, i Materias_Primas a[i, j]= consumo da matéria prima i na liga j, i Materia_Prima, j Ligas x[j] = ton da liga j produzida, j Ligas a ij j Ligas x j disp i, i Materias_Primas x j 0, j Ligas

13 Forma Compacta - Problema das Ligas Liga A Liga B Disp. max Cobre Zinco Chumbo Preço de venda Max Z Sujeito a $30,00 $50,00 j Ligas c[ j]* x[ j] Ligas = {Liga A, Liga B} // colunas Matérias_Primas={Cobre, Zinco, Chumbo} // linhas c[j], j Ligas // preço venda de j, disp[i], i Materias_Primas // disponibilidade de i a[i, j], i Materia_Prima, j Ligas // consumo da matéria prima i na liga j var x[j], j Ligas // ton produzida da liga j j Ligas a[ i, j] x[ j] disp[ i], i Materias_Primas x[ j] 0, j Ligas

14 Modelo de Programação Linear Exemplo de um modelo 3X5 Max Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + c 5 x 5 Sujeito a a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 + a 15 x 5 b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 24 x 4 + a 25 x 5 b 2 a 31 x 1 + a 3 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 + a 35 x 5 b 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0

15 Modelo de Programação Linear Exemplo de um modelo 3X5 Max Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + c 5 x 5 Sujeito a a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 + a 15 x 5 b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 24 x 4 + a 25 x 5 b 2 a 31 x 1 + a 3 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 + a 35 x 5 b 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0

16 Modelo de Programação Linear Exemplo de um modelo 3X5 Max Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + c 5 x 5 Sujeito a a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 + a 15 x 5 b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 24 x 4 + a 25 x 5 b 2 a 31 x 1 + a 3 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 + a 35 x 5 b 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0

17 Modelo de Programação Linear Exemplo de um modelo 3X5 Max Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + c 5 x 5 Sujeito a a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 + a 15 x 5 b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 24 x 4 + a 25 x 5 b 2 a 31 x 1 + a 3 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 + a 35 x 5 b 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0

18 M2.2 - Alocação de recursos Giapetto Comp. Fabrica 2 tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado é vendido por $27 e usa $10 de matéria prima. Cada soldado produzido aumenta o custo de produção com energia em $14. Um trem é vendido por $21 e usa $9 de matéria prima. Cada trem montado aumenta o custo de produção com energia em $10. A produção dos brinquedos requer dois tipos de mão de obra: carpinteiro e acabador. Um soldado requer 1 hora de carpintaria e 2 horas de acabamento. E um trem requer 1 hora de carpintaria e 1 hora de acabamento. Giapetto tem disponível 80 horas de carpintaria e 100 horas de acabamento por semana. A demanda por soldados é ilimitada, mas no máximo 40 trens são vendidos por semana. Monte um modelo de PL para ajudar Giapetto a melhorar seus resultados semanais. Variáveis de decisão: x1 quant. de soldados produzidos/semana x2 quant. de trens produzidos/semana Função objetivo: Max L = 27x1 + 21x2 (10x1 + 9x2) (14x1 + 10x2) Max L = 3x1 + 2x2 Sujeito a: x1 + x2 <= 80 (1) restrição de carpintaria 2x1 + x2 <= 100 (2) restrição de acabamento x2 <= 40 (3) restrição de demanda x1 >= 0 e Inteiro, x2 >= 0 e Inteiro

19 M2.2 - Alocação de recursos Para o problema anterior, considere agora o acréscimo da seguinte restrição: Para cada trem, pelo menos 4 soldados devem ser produzidos. Acrescente esta restrição ao modelo de PL anterior para ajudar Giapetto a melhor seus resultados semanais. Variáveis de decisão: x1 quant. de soldados produzidos/semana x2 quant. de trens produzidos/semana Função objetivo: Max L = 27x1 + 21x2 (10x1 + 9x2) (14x1 + 10x2) Max L = 3x1 + 2x2 Sujeito a: x1 + x2 <= 80 (1) restrição de carpintaria 2x1 + x2 <= 100 (2) restrição de acabamento x2 <= 40 (3) restrição de demanda x1 >= 4x2 => x1 4x2 >= 0 x1 >= 0 e Inteiro, x2 >= 0 e Inteiro

20 M1.4 - Uma empresa manufatura 4 produtos I, II, III e IV que passam por 3 tipos de máquina M1, M2 e M3 e utilizam dois tipos de mão de obra: MO1 e MO2. Considerando os dados a seguir, formular o problema para maximizar o lucro mensal da empresa respeitando suas restrições. Máq. tempo disp. h/mês M1 80 M2 20 M3 40 número de máq-hora por unidade de cada produto Máq Produtos I II III IV M M M Mão de obra tempo disp. homens-h/mês MO1 120 MO2 160 número de homens-hora por unidade de cada produto MDO Produtos I II III IV MO MO Potencial max. de venda (unid/mês) Produtos I II III IV Lucro ($/unid) 10,0 8,00 9,00 7,00

21 O setor comercial da empresa fornece as seguintes informações: Potencial máximo de venda (unid/mês) Produtos I II III IV Lucro ($/unid) 10,0 8,00 9,00 7,00 Formular um modelo de Programação Linear para determinar a produção mensal que leva ao lucro máximo proveniente destes 4 produtos.

22 Uma empresa de laticínios fabrica os seguintes produtos: iogurte, queijo minas, queijo mussarela, queijo parmesão e queijo provolone. Para a fabricação de cada um dos 5 produtos, são necessários 3 tipos de matérias-primas: leite, soro e gordura. A tabela a seguir apresenta as quantidades de matérias-primas necessárias para produzir 1 Kg de cada produto. A quantidade de matéria-prima diária disponível é limitada: l de leite, 460 l de soro e 650 Kg de gordura. A disponibilidade diária de mão de obra especializada também é limitada (170 horashomem(hh)/dia) A empresa necessita de 0,05 hh/kg de iogurte, 0,12 hh/kg de queijo minas, 0,09 hh/kg de queijo mussarela, 0,04 hh/kg de queijo parmesão e 0,16 hh/kg de queijo provolone. Por razões contratuais, a empresa precisa produzir uma quantidade mínima de 320Kg de iogurte, 380Kg de queijo minas, 450Kg de queijo mussarela, 240Kg de queijo parmesão e 180Kg de queijo provolone. A quantidade de queijo mussarela produzida não pode ultrapassar o dobro da quantidade de Iogurte produzida no período. O mercado é capaz de absorver qualquer quantidade que for produzida dos produtos. Formular um modelo de PL para determinar a quantidade diária a ser produzida de cada produto de tal forma a gerar o maior lucro possível.

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24 Introdução à Otimização Aula 1.3 Forma compacta

25 Modelo de Programação Linear Análise de Atividades Forma compacta Max Z Sujeito a x n j 1 j a ij x n j 1 j b c j x 0, j 1,, n i j, i 1,, m Temos uma matriz A mxn retangular. Normalmente n >m, ou seja, A tem mais colunas do que linhas.

26 Modelo Compacto Melhorado Liga tipo A Liga tipo B Disp. max Cobre Zinco Chumbo P. de venda $30,00 $50,00 Conjuntos de índices: Ligas:= {A, B}, MP:= {Cobre, Zinco, Chumbo} Declaração dos parâmetros de entrada: PV[j], j Ligas; // preço de venda/unid. da liga j; PV[j] := (30; 50); Matriz[i,j], i MP, j Ligas; // cons. da MP i por unid. da liga j Matriz[i,j] := (2, 1, 1, 2, 1, 3); Disp[i], i MP; //disponibilidade do material i; Disp[i] := (16, 11, 15);

27 Modelo Compacto Melhorado Conjuntos: Ligas:= {A, B}, MP:= {Cobre, Zinco, Chumbo} Parâmetros: PV[j], j Ligas; Matriz[i,j], i MP, j Ligas; Disp[i], i MP; Variáveis de decisão: X[j], j Ligas, >= 0; Função objetivo: Max Z = sum{j Ligas} PV[j]*X[j]; Restrições: Restr{i MP}: sum{j Ligas} Matriz[i,j]*X[j] <= Disp[i];

28 Modelo Compacto do GUSEK set MP := {1..3}; # conjunto das matérias primas set Ligas := {1..2}; # conjunto das ligas param PV{j in Ligas};# preço de venda de cada liga param disp{i in MP}; # disponibilidade de cada matéria prima param matriz{i in MP, j in Ligas}; # matriz de consumo var x{j in Ligas}, >=0; # quantidade de liga a ser produzida maximize lucro: sum{j in Ligas} x[j] * PV[j]; s.t. Disp_Mat_Prima{i in MP}: sum{j in Ligas} x[j] * matriz[i, j] <= disp[i]; solve;

29 Modelo Compacto do GUSEK (cont.) data; param PV := ; param disp := ; param matriz : 1 2:= ; end; Ativar a opção de geração do arquivo com o resumo da solução

30 Modelo Compacto do GUSEK (cont.) Selecione a opção Tools -> Generate Output File on Go para que seja gerado o arquivo com o resumo do resultado, ou seja, o arquivo.out

31 Fazer o Modelo no Gusek M1.3 - O Problema da Fábrica de Móveis Escrivaninha Mesa Armário Prateleira Disp. Max. Tábua Prancha Painéis Valor de revenda $100,00 $80,00 $120,00 $20,00 Para Casa: Desenvolver um modelo no Gusek que maximize a receita com a venda dos móveis utilizando o modelo compacto.

32 Potencial máximo de venda (unid/mês) Produtos I II III IV Lucro ($/unid) 10,0 8,00 9,00 7,00 Máq. M1 80 M2 20 M3 40 tempo disp. h/mês Mão de obra MO1 120 MO2 160 tempo disp. homens-h/mês número de máq-hora por unidade de cada produto Máq Produtos I II III IV M M M número de homens-hora por unidade de cada produto MDO Produtos I II III IV MO MO

33 MODELO Conjuntos de índices: Prods := {P1, P2, P3, P4}; Maq := {M1, M2, M3}; Mdo := {MO1, MO2}; Parâmetros: L[j], j Prods; //lucro por unidade do produto j L := (10, 8, 9, 7); Vd[j], j Prods; //potencial de venda do produto j Vd := (70, 60, 40, 20); Disp_Mq[i], i Maq;//disp. da maquina i Disp_Mq := (80, 20, 40); Disp_Md[i], i Mdo;//disp. da mão de obra i Disp_Md := (120, 160); Matriz1[i,j], i Maq, j Prods;//consumo da maq. i por produto j Matriz2[i,j], i Mdo, j Prods;//consumo da mdo. i por produto j Matriz1 = (5, 4, 8, 9, Matriz2 = (2, 4, 2, 8, 2, 6, 0, 8, 7, 3, 0, 7); 3, 4, 6, 2); Variáveis de decisão: X[j], j Prods, inteiro, >=0; //quantidade produzida do produto j

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35 set P := {1..4}; set Maq := {1..3}; set Mdo := {1..2}; Modelo Compacto do GUSEK param disp_maq{i in Maq}; param disp_mdo{i in Mdo}; param lucro{j in P}; param pot_vendas{j in P}; param matriz1{i in Maq, j in P}; param matriz2{i in Mdo, j in P}; var x{p in P}, >= 0, integer; maximize lucro: sum{p in P} x[p] * lucro[p]; restmaq{m in Maq}: sum{p in P} matriz1[m, p] * x[p] <= disp_maq[m]; restmdo{i in Mdo}: sum{j in P} matriz2[i, j] * x[j] <= disp_mdo[i]; restprods{j in P}: x[j] <= pot_vendas[j];

36 data; param disp_maq := ; param disp_mdo := ; param lucro := ; param pot_vendas := ; param matriz1: := ; param matriz2: := ;

37 Introdução à Otimização Aula modelos

38 M2.1 - Alocação de recursos (Wayne L. Winston) Uma fábrica de carros produz carros de luxo e jeeps 4x4. A direção acredita que seus clientes são homens e mulheres de alta renda. Em sua campanha publicitária, foi decidido adquirir uma quantidade de entradas de 1 minuto ou fração de comercial dividido em dois tipos de programas: 1. programa de comédia e 2. partidas de futebol. Cada minuto de comercial em comédia é visto por aproximadamente 7 milhões de mulheres e 2 milhões de homem de alta renda. E cada minuto de comercial em horário de futebol é visto por 1 milhão de mulheres e 12 milhões de homens desta classe. Uma entrada de um minuto em programa de comédia custa $ e um minuto em horário de futebol custa $ , podendo ser adquirida uma fração de minuto. A fábrica gostaria que seus comerciais fossem vistos por pelo menos 28 milhões de mulheres de alta renda e por 24 milhões de homens de alta renda. Apresente um modelo de programação linear para determinar como a fábrica pode alcançar seus objetivos com o menor custo possível.

39 M2.2 - Análise de atividades Planejamento da produção Uma empresa que monta PCs deve entregar para o próximo trimestre exatamente unidades. O computador é montado a partir de teclado, monitor e gabinete. Devido às suas limitações, a empresa subcontrata parte do serviço. Os custos de produção própria e aquisição externa são: Itens Custo próprio Custo externo Teclado 6 9 Monitor Gabinete Os componentes produzidos passam por quatro seções. O consumo de tempo por unidades obedece à tabela, sendo que cada seção dispõe de horas/mês. Itens Inspeção Montagem Ajuste Cont. qualidade Teclado 0,15 0, ,01 Monitor 0,10 0,20 0,25 0,02 gabinete 0,20 0,40 0,40 0,05 Posteriormente, os itens são montados para formar o PC. Formular um modelo de PL para um plano de produção e aquisição externa trimestral com custo mínimo.

40 Um fazendeiro pretende plantar feijão e milho. Os lucros são de $ por alqueire de feijão e $ por alqueire de milho. Suas limitações são: terra disponível = 10 alqueires água disponível para irrigação litros plantar no máximo 4 alqueires de feijão cada alqueire de feijão requer litros de água cada alqueire de milho requer litros de água Formule o problema como um modelo de programação linear que Formule o problema como um modelo de programação linear que maximize o lucro do fazendeiro.

41 É preciso programar a produção agrícola alocando as atividades de plantio em 3 fazendas. Os dados técnicas são: Fazenda Área total em alqueires Disp. de água (m 3 ) A B C Produtos Área máxima de Consumo de Lucro por área plantio alq água -m 3 /alq - $/alq Trigo Algodão Soja 325 1,5 100 Formule o problema para a alocação das atividades nas respectivas fazenda que maximize o lucro total. Apresentar a forma explícita do modelo.

42 #conjuntos de índices set RG; # conjunto das regiões em literais, lidas na seção data set CT; # conjunto das culturas em literais, lidas na seção data #parâmetros do problema param area{j in RG}; # áreas das regiões param disp_h2o{j in RG}; # disponibilidade de h20 das RGs param area_max{i in CT}; # áreas máximas plantada de cada cultura param cons_h2o{i in CT}; # consumo de h20 de cada cultura param lucro{i in CT}; # lucro de cada cultura #variáveis de decisão var x{i in CT, j in RG}, >=0; # alqs da cultura i na área j #função objetivo maximize fo: sum{i in CT, j in RG} x[i, j] * lucro[i]; #restrições area_rg{j in RG}: sum {i in CT} x[i, j] <= area[j]; h2o_rg{j in RG}: sum {i in CT} cons_h2o[i]*x[i, j] <= disp_h2o[j]; area_cult{i in CT}: sum {j in RG} x[i, j] <= area_max[i]; solve;

43 #entrada de dados data; set RG := A B C; set CT := trigo algodao soja; param lucro := trigo 400 algodao 300 soja 100; param area := A 400 B 600 C 300; param cons_h2o:= trigo 3 algodao 2 soja 1.5; param area_max:= trigo 600 algodao 500 soja 325; param disp_h2o:= A 600 B 800 C 380; end;

44 Para visualizar o modelo de PL que está sendo resolvido, faça: 1. Posicione o foco no arquivo modelo.mod 2. Entre em Tools 3. Escolha a opção Build Cplex LP O Gusek vai gerar o modelo e apresenta-lo no arquivo.lp para onde o foco será jogado. Para resolver o modelo, aplicar F5 ou no icone

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46 Introdução à Otimização Aula 1.5 Planejamento da Produção

47 Planejamento da produção com múltiplos períodos Nos exemplos anteriores tratamos de modelos estáticos ou monoperíodo. Neste exemplo veremos um modelo de PL para determinar a melhor decisão para vários períodos de produção. Modelos dinâmicos surgem quando são tomadas decisões para mais de um período e as decisões de um período influenciam as decisões dos períodos posteriores. Por exemplo, considere uma empresa que deve determinar quanto produzir em cada mês. Se ela produz uma grande quantidade de produtos em um mês, ela pode reduzir sua produção no mês seguinte. Eventualmente, pode ser mais interessante produzir antes e guardar o excedente em estoque do que produzir toda a demanda no período demandado. Sazonalidade!!!

48 M2.3 - Planejamento da produção com múltiplos períodos (Wayne L. Winston) Uma fábrica deve determinar quantos botes produzir nos próximos 4 trimestres. A demanda mínima durante cada um dos próximos trimestres é de 40, 60, 75 e 25 botes. A fábrica deve atender à demanda sem atrasos. No início de cada trimestre, a fábrica deve definir quantos botes produzir no trimestre. Vamos considerar que os botes produzidos em um trimestre podem ser usados para atender à demanda daquele trimestre ou de qualquer trimestre posterior. Em cada trimestre a fábrica pode produzir até 55 botes com um custo de $400,00 por bote. Ao final de cada trimestre, depois que ocorreu a produção e satisfeita a demanda do trimestre, incorre um custo por estocagem de $45,00 por unidade. Faça um modelo de PL para planejar a produção minimizando o custo de produção e de estocagem nos próximos 4 trimestres. Considere que o estoque inicial é de 10 botes e o final de 5.

49 Planejamento da produção com múltiplos períodos (Wayne L. Winston) X i = num de botes produzidos no trimestre i Variável auxiliar E i = num de botes no estoque no final do trimestre i Custo = 400(X 1 + X 2 + X 3 + X 4 )+ 45(E 1 + E 2 + E 3 + E 4 ) Equação de transição de estoque: Estoque no final do trimestre i = estoque final do trimestre i -1 + produção no trimestre i - demanda no trimestre i Se a demanda no trimestre i for D i, a equação de transição de estoque fica da seguinte forma: E i = E i-1 + X i D i A demanda no trimestre i será atendida se E i >= 0 pois E i-1 + X i >= D i ou seja, E i = E i-1 + X i D i >= 0 Portanto o modelo fica da seguinte forma:

50 Planejamento da produção com múltiplos períodos (Wayne L. Winston) X i = num de botes produzidos no trimestre i E i = num de botes no estoque no final do trimestre i Min = 400(X 1 + X 2 + X 3 + X 4 ) + 45(E 1 + E 2 + E 3 + E 4 ) X 1 <= 55; X 2 <= 55; X 3 <= 55; X 4 <= 55; E 1 = 10 + X 1 40; E 2 = E 1 + X 2 60; E 3 = E 2 + X 3 75; E 4 = E 3 + X 4 25; E 1 >= 0; E 2 >= 0; E 3 >= 0; E 4 = 5; X 1 >= 0; X 2 >= 0; X 3 >= 0; X 4 >= 0; e inteiros

51 M2.4 - Planejamento da produção com múltiplos períodos (Wayne L. Winston) Uma fábrica deve determinar quantos botes produzir nos próximos 4 trimestres. A demanda durante cada um dos próximos trimestres é de 40, 60, 75 e 25 botes. A fábrica deve atender à demanda sem atrasos. No início de cada trimestre, a fábrica deve definir quantos botes produzir no trimestre. Vamos considerar que os botes produzidos em um trimestre podem ser usados para atender à demanda daquele trimestre ou de qualquer trimestre posterior. Em cada trimestre a fábrica pode produzir até 55 botes com um custo de $400,00 por bote. Com a contratação de empregados extras, eles podem produzir até 30 botes adicionais por trimestre a um custo total de $450,00 por bote. Ao final de cada trimestre, depois que ocorreu a produção e satisfeita a demanda do trimestre, incorre um custo por estocagem de $45,00 por unidade. Faça um modelo de PL para planejar a produção minimizando o custo de produção e de estocagem nos próximos 4 trimestres. Considere que o estoque inicial é de 10 botes e o final igual a 20.

52 Planejamento da produção com múltiplos períodos (Wayne L. Winston) X i = num de botes produzidos por trabalhadores regulares no trimestre i Y i = num de botes produzidos por trabalhadores extras no trimestre i E i = num de botes no estoque no final do trimestre i Custo = 400(X 1 + X 2 + X 3 + X 4 )+ 450(Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y 4 ) + 45(E 1 + E 2 + E 3 + E 4 ) Equação de transição de estoque: Estoque no final do trimestre i = estoque final do trimestre i -1 + produção no trimestre i - demanda no trimestre i Esta equação é a chave para a maioria dos modelos de planejamento da produção com múltiplos períodos. Se a demanda no trimestre i for D i, a equação de transição de estoque fica da seguinte forma: E i = E i-1 + X i + Y i D i A demanda no trimestre i será atendida se E i >= 0 pois E i-1 + X i + Y i >= D i ou seja, E i = E i-1 + X i + Y i D i >= 0 Portanto o modelo fica da seguinte forma:

53 Planejamento da produção com múltiplos períodos (Wayne L. Winston) X i = num de botes produzidos por trabalhadores regulares no trimestre i Y i = num de botes produzidos por trabalhadores extras no trimestre i E i = num de botes no estoque no final do trimestre i Min = 400(X 1 + X 2 + X 3 + X 4 )+ 450(Y 1 + Y 2 + Y 3 + Y 4 ) + 45(E 1 + E 2 + E 3 + E 4 ) X 1 <= 55; X 2 <= 55; X 3 <= 55; X 4 <= 55; Y 1 <= 30; Y 2 <= 30; Y 3 <= 30 ; Y 4 <= 30; E 1 = 10 + X 1 + Y 1 40; E 2 = E 1 + X 2 + Y 2 60; E 3 = E 2 + X 3 + Y 3 75; E 4 = E 3 + X 4 + Y 4 25; E 1 >= 0; E 2 >= 0; E 3 >= 0; E 4 = 20; X 1 >= 0; X 2 >= 0; X 3 >= 0; X 4 >= 0; Y 1 >= 0; Y 2 >= 0; Y 3 >= 0; Y 4 >= 0;

54 M2.5 - Programação da produção Exerc. 4 pag 23 ver Winston 99 A demanda de sorvete durante os meses de dezembro janeiro e fevereiro de uma sorveteria é de no mínimo 500, 600 e 400 caixas respectivamente. Dois atacadistas, 1 e 2 fornecem o sorvete. O número máximo de caixas que cada fornecedor pode entregar são 400 por mês e os preços são dados na tabela. A sorveteria pode comprar o necessário para um mês e armazenar para usar nos meses seguintes. O custo de estocagem de cada caixa é de $5 por mês e deve ser calculado pelo número de caixas em estoque no final o mês. Faça um modelo de PL para a compra ótima de sorvete dos fornecedores. Considere o estoque inicial igual a zero e final igual a 10. Preço ($) por caixa no mês Dezembro Janeiro Fevereiro Fornecedor Fornecedor

55 Planejamento da produção com múltiplos períodos (Wayne L. Winston) F1 j = cxs de sorvete adquiridas do fornecedor 1 no mês j, j = dez, jan, fev F2 j = cxs de sorvete adquiridas do fornecedor 2 no mês j, j = dez, jan, fev E j = cxs de sorvete em estoque no final do mês j, j = dez, jan, fev Min = 100F1 dez +110F1 jan +120F1 fev +115F2 dez +108F2 jan +125F2 fev + 5(E dez + E jan + E fev ) F1j <= 400, j = dez, jan, fev; F2 j <= 400, j = dez, jan, fev; F1 dez + F2 dez >= 500; E dez = F1 dez + F2 dez - 500; F1 jan + F2 jan + E dez >= 600; E jan = F1 jan + F2 jan + E dez 600; F1 fev + F2 fev + E jan >= 400; E fev = F1 fev + F2 fev + E jan 400; E fev = 10; F1 j >= 0 e inteiro para j = dez, jan, fev; F2 j >= 0 e inteiro para j = dez, jan, fev E j >= 0 e inteiro para j = dez, jan, fev

56 M2.6 - Análise de atividades Planejamento da produção Uma fábrica de panelas tem 5 produtos (p1,..., p5) pode ser obtidos por 2 processos de produção, o normal (N) e o acelerado (A). Dependendo do processo em que o produto for produzido, será consumido um certo número de horas de trabalho dentro de cada processo, segundo a tabela. Panelas p1 p2 p3 p4 p5 Processo N nc 17 8 Processo A nc nc Lucro ($/unidade) nc = não se aplica este processo para o respectivo tipo de panela Após passar pelo processo de produção, cada produto tem uma montagem final que requer 2 horas de mão-de-obra por unidade. A fábrica tem 3 máquinas para o processo normal e 2 para o processo acelerado. As máquinas trabalham em 2 turnos de 8 horas, 6 dias por semana e uma equipe de 7 pessoas trabalham em um turno de 8 horas, 6 dias por semana na montagem dos produtos. Faça um modelo de PL para determinar o esquema de produção semanal que maximize o lucro da fábrica.

57 Após passar pelo processo de produção, cada produto tem uma montagem final que requer 2 horas de mão-de-obra por unidade. A fábrica tem 3 máquinas processo normal e 2 processo acelerado. As máquinas trabalham em 2 turnos de 8 horas, 6 dias por semana e uma equipe de 7 pessoas em um turno de 8 horas, 6 dias por semana na montagem dos produtos. Faça um modelo de PL para determinar o esquema de produção semanal que maximize o lucro da fábrica. Variáveis de decisão Panelas p1 p2 p3 p4 p5 Processo N nc 17 8 Processo A nc Nc Lucro ($/unidade) N i = panelas do tipo i produzidas por semana no processo Normal, i =1,..., 5. A i = panelas do tipo i produzidas por semana no processo Acelerado, i =1,..., 5. Função Objetivo Max Lucro = 57(N 1 + A 1 ) + 55(N 2 + A 2 ) + 63A 3 +50N 4 +60N 5 Restrições Máquina Normal: 12N N N 4 + 8N 5 <= 288 Máq Acelerada: 10A A 2 + 5A 3 <= 192 Acabamento: 2(N 1 + A 1 + N 2 + A 2 + A 3 + N 4 + N 5 ) <= 336 N i e A i >= 0 e inteiro (3x2x8x6) (2x2x8x7) (7x8x6)

58 M2.7 - Problema da Dieta - Puccini 72 Uma pessoa deve fazer uma dieta alimentar que fornece, diariamente, pelo menos as seguintes quantidades, em mg, de vitaminas: 80 de A, 70 de B, 100 de C e 60 de D. Vitaminas em excesso são prejudiciais, assim, as quantidades máximas das vitaminas são 100 de A, 90 de B, 130 de C e 90 de D. A dieta poderá incluir leite, arroz, feijão e carne, que contém os seguintes miligramas de vitaminas em cada uma de suas unidades de medida: Vitaminas Leite (l) Arroz (kg) Feijão (kg) Carne (kg) A B C D Custo unitário 1,85 2,00 3,40 12,00 Deseja-se saber o consumo diário de cada alimento de tal maneira que a dieta seja satisfeita com o menor custo possível.

59 EXERCÍCIOS PARA CASA Resolver os problemas acima pelo pacote Gusek na forma compacta