Denições Preliminares

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1 Programação Linear Inteira O lgoritmo Simplex Haroldo Gambini Santos Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP 30 de agosto de / 32 enições Preliminares Conjunto Convexo Um conjunto de pontos S é um Conjunto Convexo se o segmento de linha juntando qualquer par de pontos em S é completamente contido em S. Convexo ou Não? C a b c d 2 / 32 Ponto xtremo enições Preliminares m um conjunto convexo S um ponto P é um Ponto xtremo se cada segmento de linha que ca completamente em S e contém P tem P como nal da linha. Um Poliedro - Quais são Ps? F H C S 3 / 32

2 Forma Padrão izemos que um PL (Programa Linear) está na forma padrão se: todas as restrições são de igualdade todas as variáveis são não negativas ( 0) conversão de um PL qualquer para a forma padrão é feita com os seguintes passos: para restrições de e transformamos em igualdade através da introdução de variáveis de folga signicado: falta ou excesso na igualdade variáveis que podem ser negativas são substituídas por duas variáveis, representando a parte positiva e negativa da mesma 4 / 32 xemplo 3 + 2x x 2 s 1 = x x 3 + s 3 = 80 5 / 32 Forma Padrão xercício Coloque na forma padrão: min : s.a. : 3 + x x x 2 = 3, x / 32

3 Forma Padrão max(ou min) : s.a. z = c 1 + c 2 x c n x n a 11 1 a a 1n n = b 1 a 21 x 21 a 22 x a 2n x 2n = b a m1 x m1 a m2 x m2... a mn x mn = b m x i 0 i 1,..., n 7 / 32 Considere: Forma Padrão a 11 a a 1n a 21 a a 2n =... a m1 a m2... a mn b 1 x 2 x =.., b = b 2... x n b m ntão o sistema de equações de qualquer PL pode ser escrito como: x = b 8 / 32 enição m um sistema de equações com n variáveis e m restrições denimos como solução básica uma solução onde temos: xemplo m variáveis para as quais o sistema é resolvido, essas são chamadas, as quais denotaremos por V m n o restante das variáveis permanece xada em zero - as Não- - V N + x 2 x 2 = 3 + x 3 = 1 Verique as soluções para V = {, x 2 } e V = {x 2, x 3 } 9 / 32

4 Todo conjunto de V permite a obtenção de uma solução básica? Tente V = {, x 2 } = x 2 = 3 / 32 Pontos xtremos e Soluções Factíveis enição Qualquer solução básica onde todas as variáveis são não negativas é uma Solução ásica Factível - SF. Teorema Um ponto na região factível de um PL é um Ponto xtremo se e somente se é uma Solução ásica Factível para o PL. 11 / 32 Pontos xtremos x 2 max : 4 +3x 2 s.a. : +x x 2 60, x max : 4 +3x 2 s.a. : +x 2 = x 2 = 60, x 2, x 3, x F C x.: V = {, x 3 } corresponde a qual ponto? Qual o valor de x 3, x 2 e x 4 na SF desse ponto? 12 / 32

5 x 2 Pontos xtremos x 2 = x 2 = 60, x 2, x 3, x 4 0 F C V SF Ponto xtremo, x 2 x 3 = x 4 = 0, = x 2 = 20, x 3 x 2 = x 4 = 0, = 30, x 3 = C, x = x 3 = 0, = 40, x 3 = 20 x 2, x 3 = x 4 = 0, x 3 = 20, x 2 = 60 x 2, x 4 = x 3 = 0, x 2 = 40, x 4 = 20 x 3, x 4 = x 2 = 0, x 3 = 40, x 4 = 60 F 13 / 32 PLs egenerados egeneração ventualmente, mais de um Conjunto de pode corresponder a um mesmo Ponto xtremo. Nesse caso dizemos que o Programa Linear é egenerado. O impacto de soluções degeneradas na resolução dos PLs será discutido posteriormente. 14 / 32 ireção Ilimitada enição m um PL com região factível S e restrições x = b, x 0 dizemos que d é uma ireção Ilimitada se para qualquer solução x S e qualquer c 0: x + cd S 15 / 32

6 ireção Ilimitada x 2 min : 50 +0x 2 s.a. : 7 x 3 = x 2 x 4 = 24 d = () 8 6 (4, 4) 4 z= 320 z= (11) C d / 32 Pontos xtremos e Soluções Factíveis Teorema Considere um PL na forma padrão com Soluções Factíveis b 1, b 2,..., b k Qualquer ponto x na região factível do PL pode ser escrito no formato: x = d + k σ i b i i=1 sendo que d = 0 ou é a direção ilimitada e k i=1 σ i = / 32 Combinações Convexas de SFs xemplo PL Limitado max : 4 +3x 2 s.a. : +x x 2 60, x 2 0 Ponto H (24,12) não é SF Pode ser escrito como a combinação convexa de e C: H = 0,6 + 0,4 C Ponto G também não é FS. Pode ser escrito como : G = 1 F H 6 G = 1 F (0, 6 + 0, 4C) 6 F H G C / 32

7 Combinações Convexas de SFs xemplo PL Ilimitado 7 x 3 = x 2 x 4 = 24 escrevendo F em termos de SFs. ireção Ilimitada: 4 0 Inclinação para ir de C a F : d = b1 = esse modo obtemos: x = x = d + b x () 8 6 (4, 4) 4 z= 320 F z= (11) C / 32 O lgoritmo Simplex Passo 1 Converta o PL para a Forma Padrão. Passo 2 Obtenha uma Solução ásica Factível (se possível) da Forma Padrão. Passo 3 Teste de Otimalidade: etermine se a Solução ásica é Ótima. Se Ótima Pare. Passo 4 Caso não seja ótima - Mudança de ase: determine: qual variável não básica irá entrar na base, com o intuito de melhorar a função objetivo; qual variável básica irá sair da base. Passo 5 Utilize as operações elementares para computar a Nova Solução ásica e volte para o Passo / 32 xemplo - Móveis akota empresa akota fabrica Mesas, rmários e Cadeiras. manufatura de cada um desses móveis utiliza madeira e dois tipos de trabalho: acabamento e carpintaria. necessidade de cada recurso é dada abaixo: Recurso Mesa rmário Cadeira Madeira (m 2 ) cabamento (horas) 4 2 1,5 Carpintaria (horas) 2 1,5 0,5 Tem-se disponível 48 m 2 de madeira, 20 horas de acabamento e 8 horas de carpintaria. s mesas são vendidas por $ 60, armários por $ 30 e cadeira por $ 20. empresa acredita que a demanda por mesas e cadeiras é ilimitada, enquanto que no máximo 5 armários serão vendidos. 21 / 32

8 Móveis akota max z = x x 3 s.t. : 8 + 6x 2 + x x + 2x 2 + 1, 5x , 5x 2 + 0, 5x 3 8 x 2 5, x 2, x / 32 Forma Padrão 0 z 60 30x 2 20x 3 = x 3 = x 5 = x 6 = 8 = 5 23 / 32 Primeira Solução ásica Factível 0 z 60 30x 2 20x 3 = 0 z= x 3 = 48 x 4 = x 5 = 20 x 5 = x 6 = 8 x 6 =8 VN =, x 2, x 3 z = x x 3 Quem entra? possibilita maior ganho por unidade e será aumentado. té qual limite? 24 / 32

9 Limite para umento de 0 z 60 30x 2 20x 3 = 0 z= x 3 = 48 x 4 = x 5 = 20 x 5 = x 6 = 8 x 6 =8 Limites Restrição Máx 1 x 4 = 48 8 x x 5 = 20 4 x / 8 20 / 4 3 x 6 = 8 2 x / 2 4 não aparece x 7 0 limite mais apertado 25 / 32 Calculando a Nova ase 0 z 60 30x 2 20x 3 = 0 z= x 3 = 48 x 4 = x 5 = 20 x 5 = x 6 = 8 x 6 Na linha 3 a variável x 6 sairá da base e entrará a variável. Pivoteamento: xecutam-se as operações elementares para que apareça com coeciente 1 nessa linha e com coeciente 0 em todas as outras. linha 3 é dita linha pivô. 26 / 32 Nova SF 0 z +15x 2 5x 3 +30x 6 = 240 z=240 1 x 3 4x 6 = 16 x 4 =16 2 x 2 +x 5 2x 6 = 4 x 5 =4 3 +0,75x 2 +0,25x 3 +0,5x 6 = 4 =4 É ótima? Se não, quem entra e quem sai da base? 27 / 32

10 Pivoteamento 0 z +15x 2 5x 3 +30x 6 = 240 z=240 1 x 3 4x 6 = 16 x 4 =16 2 x 2 +x 5 2x 6 = 4 x 5 x ,75x 2 +0,25x 3 +0,5x 6 = 4 =4 28 / 32 Nova SF 0 z +5x 2 +x 5 +x 6 = 280 z= x 2 8x 6 = 24 x 4 =24 2 2x 2 4x 6 = 8 x 3 =8 3 +1,25x 2 0,5x 5 +1,5x 6 = 2 =2 função objetivo: max z = 5x 2 x 5 x 6 sem variáveis atrativas Solução Ótima (,..., x 3 ): (2, 0, 8) ase Ótima (,..., x 7 ): (2, 0, 8, 24, 0, 0, 5) 29 / 32 ase Ótima - Informações 0 z +5x 2 +x 5 +x 6 = 280 z= x 2 8x 6 = 24 x 4 =24 2 2x 2 4x 6 = 8 x 3 =8 3 +1,25x 2 0,5x 5 +1,5x 6 = 2 =2 Custo Reduzido (CR) Indicado na linha 0 signica: quanto o aumento de uma unidade em cada variável pode reduzir a f.o. z V tem CR 0 na base ótima VN (ex. x 2) na base ótima com 5 indica que aumentar x 2 em 1 pode diminuir em 5 unidades a f.o. 30 / 32

11 ase Ótima - Informações Restrições tivas - inding Constraints Restrições com variável de folga igual a zero. Var. Folga Restrição Original 1 2x 2 8x 6 = 24 x 4 =24 x 4 = x 2 4x 6 = 8 x 3 =8 x 5 = ,25x 2 0,5x 5 +1,5x 6 = 2 =2 x 6 = x 7 x 2 5 s restrições 2 e 3, (horas de acabamento e carpintaria) são as únicas que estão limitando o aumento do lucro. 31 / 32 ase Ótima - Informações Restrições Inativas - Non-binding Constraints Restrições com variável de folga > 0. Var. Folga Restrição Original 1 2x 2 8x 6 = 24 x 4 =24 x 4 = x 2 4x 6 = 8 x 3 =8 x 5 = ,25x 2 0,5x 5 +1,5x 6 = 2 =2 x 6 = x 7 x 2 5 s restrições 1 e 4, (qtd. de madeira e demanda de armários) são restrições com folga. Ter mais madeira, por exemplo, não vai permitir uma produção maior. 32 / 32