Função Trigonométrica Determinar a função dado o gráfico 1. (G1 - cftmg 201) O esboço do gráfico da função f(x) a bcos(x) é mostrado na figura seguinte. Nessa situação, o valor de a b é a) 2 b) 3 c) d) 2. (Insper 2014) A figura mostra o gráfico da função f, dada pela lei 4 4 f(x) (sen x cos x) (sen x cos x) O valor de a, indicado no eixo das abscissas, é igual a a). b) 4. c) 3. d). 12 9 8 e) 2. 3 www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 10
3. (Ufpe 2013) Seja f uma função que tem como domínio o conjunto dos números reais e é dada por f x a senω x b, com a, ω e b constantes reais. A figura abaixo ilustra o gráfico de f, restrito ao intervalo fechado imagem é o intervalo fechado,.,. A função f tem período e seu conjunto Determine as constantes a e ω e o menor valor positivo de b. Indique 2 2 a ω 3b. 4. (Pucrs 2013) A figura a seguir representa um esboço do gráfico de uma função x y A Bsen, 4 que é muito útil quando se estudam fenômenos periódicos, como, por exemplo, o movimento de uma mola vibrante. Então, o produto das constantes A e B é a) b) 10 c) 12 d) 18 e) 0. (Ufpb 2012) Um especialista, ao estudar a influência da variação da altura das marés na vida de várias espécies em certo manguezal, concluiu que a altura A das marés, dada em metros, em um espaço de tempo não muito grande, poderia ser modelada de acordo com a função: A(t) 1, 1,4 sen t Nessa função, a variável t representa o tempo decorrido, em horas, a partir da meia-noite de certo dia. Nesse contexto, conclui-se que a função A, no intervalo [0,12], está representada pelo gráfico: www.nsaulasparticulares.com.br Página 2 de 10
a) b) c) d) e). (Espcex (Aman) 2012) A função real f(x) está representada no gráfico abaixo. A expressão algébrica de f(x) é - senx, se x < 0 a) fx cos x, se x 0 b) fx c) fx d) fx e) fx cos x, se x < 0 senx, se x 0 - cos x, se x < 0 senx, se x 0 senx, se x < 0 cos x, se x 0 senx, se x < 0 cos x, se x 0 www.nsaulasparticulares.com.br Página 3 de 10
7. (Ufpe 2011) Considere a função f, com domínio e contradomínio o conjunto dos números reais, dada por f x 3 cos x sen x, que tem parte de seu gráfico esboçado a seguir. Analise a veracidade das afirmações seguintes acerca de f: ( ) f x 2 senx, para todo x real. ( ) f é periódica com período 2. ( ) As raízes de f(x) são 2k, com k inteiro. ( ) f x 3, para todo x real. ( ) f x 2, para todo x real. 8. (Ufsm 2011) O gráfico mostra a quantidade de animais que uma certa área de pastagem pode sustentar ao longo de 12 meses. Propõe-se a função Q (t) = a sen (b + ct) + d para descrever essa situação. De acordo com os dados, Q (0) é igual a a) 100. b) 97. c) 9. d) 92. e) 90. www.nsaulasparticulares.com.br Página 4 de 10
9. (Unesp 2010) Em situação normal, observa-se que os sucessivos períodos de aspiração e expiração de ar dos pulmões em um indivíduo são iguais em tempo, bem como na quantidade de ar inalada e expelida. A velocidade de aspiração e expiração de ar dos pulmões de um indivíduo está representada pela curva do gráfico, considerando apenas um ciclo do processo. Sabendo-se que, em uma pessoa em estado de repouso, um ciclo de aspiração e expiração completo ocorre a cada segundos e que a taxa máxima de inalação e exalação, em módulo, é 0, 1/s, a expressão da função cujo gráfico mais se aproxima da curva representada na figura é: 2 3 a) V t sen t. 3 b) V t sen t. 2 2 c) V t 0,cos t. 2 d) V t 0,sen t. e) V t cos0,t. 2 10. (Ufsm 200) Sobre a função representada no gráfico, é correto afirmar: a) O período da função é 2ð. b) O domínio é o intervalo [-3, 3]. c) A imagem é o conjunto IR. d) A função é par. x e) A função é y = 3 sen 2. www.nsaulasparticulares.com.br Página de 10
11. (Pucsp 200) Na figura a seguir tem-se o gráfico função f, de IR em IR, definida por f(x) = k.sen mx, em que k e m são reais, e cujo período é 8 3. O valor de f a) - 3 b) - 2 c) - 1 d) 2 e) 3 29 3 é TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: O subir e descer das marés é regulado por vários fatores, sendo o principal deles a atração gravitacional entre Terra e Lua. Se desprezássemos os demais fatores, teríamos sempre o intervalo de 12,4 horas entre duas marés altas consecutivas, e também sempre a mesma altura máxima de maré, por exemplo, 1, metros. Nessa situação, o gráfico da função que relacionaria tempo (t) e altura de maré (A) seria semelhante a este: 12. (Puccamp 200) O fenômeno das marés pode ser descrito por uma função da forma f(t) = a.sen (b.t), em que a é medido em metros e t em horas. Se o intervalo entre duas marés altas sucessivas é 12,4 horas, tendo sempre a mesma altura máxima de 1, metros, então a) b = ( ) 31 (4 ) b) a + b = 13,9 c) a - b =, d) a. b = 0,12 e) b = 1 3 www.nsaulasparticulares.com.br Página de 10
13. (G1 - cftmg 2004) O gráfico a seguir representa o esboço, no intervalo [0,2 ], da função a) y cosx b) y sen( x) c) y sen2x d) y 2senx 14. (Unesp 2003) Observe o gráfico. Sabendo-se que ele representa uma função trigonométrica, a função y(x) é a) -2 cos (3x). b) -2 sen (3x). c) 2 cos (3x). d) 3 sen (2x). e) 3 cos (2x). 1. (Uel 2001) O gráfico a seguir corresponde à função: a) y = 2 sen x b) y = sen (2x) c) y = sen x + 2 x d) y = sen 2 e) y = sen (4x) www.nsaulasparticulares.com.br Página 7 de 10
Gabarito: Resposta da questão 1: [D] f(0) a bcos0 a b f( ) 1 a bcos 1 a b 1 Resolvendo o sistema temos a = 3 e b = 2. Portanto, ab. Resposta da questão 2: Lembrando que 2 2 sen α cos α 1 e sen2α 2senα cos α, temos 4 4 f(x) (sen x cos x) (sen x cos x) 2 2 2 2 [(sen x cos x) (sen x cos x) ][(sen x cos x) (sen x cos x) ] (1 2sen xcos x 1 2sen xcos x)(1 2sen xcos x 1 2sen xcos x) 4 2sen xcos x 4sen2x. Logo, como o período de f é 2, segue-se que a é o maior número real pertencente ao 2 intervalo 0,, 2 tal que f(a) 2 4 sen2a 2 sen2a sen a ou a. 12 12 Portanto, a. 12 Resposta da questão 3: Sabendo que o período fundamental da função seno é 2, e que o período de f é, temos 2 ω 2. ω Além disso, como a imagem da função seno é o intervalo [ 1,1], e a imagem de f é o intervalo [, ], temos [, ] a [ 1,1] a (supondo senb 0). Finalmente, como f 0, temos: 0 sen 2 b sen b sen0, 3 donde concluímos que o menor valor positivo de b que satisfaz a igualdade é b. 3 2 2 3b 2 2 3 Portanto, a ω 2 30. 3 www.nsaulasparticulares.com.br Página 8 de 10
Resposta da questão 4: Lembrando que uma função está bem definida apenas quando são fornecidos o domínio, o contradomínio e a lei de associação, vamos supor que o domínio seja o conjunto dos números reais, e que o contradomínio seja o intervalo [ 1, ]. Desse modo, como a imagem da função seno é o intervalo [ 1,1], deve-se ter A B[ 1,1] [ 1, ] [AB, A B] [ 1, ]. Os únicos valores de A e de B que satisfazem a igualdade são A 2 e B 3. Por conseguinte, A B 23. Resposta da questão : Se t = 0, temos A(0) = 1, 1,4.sen0 = 1,; Se t = 3, temos A(3) = 1, 1,4.sen 2 = 0,2; Se t =, temos A() = 1, 1,4.sen = 1,; Se t = 9 temos, A(9) = 1, 1,4.sen 3. 2 = 3,0. Portanto, o gráfico da alternativa é o correto. Resposta da questão : Como f 1, 2 a lei de f só pode ser a lei apresentada na alternativa. Resposta da questão 7: F V F F V. Reescrevendo a lei de f obtemos f(x) 3 cos x sen x 3 1 2 cos x sen x 2 2 2 sen cos x sen xcos 3 3 2 senx 2 senx. 3 Conforme mostrado acima, a lei de f pode ser escrita sob a forma Logo, f é periódica com período igual a 2. f(x) 2 sen x 3. Fazendo f(x) 0, segue que www.nsaulasparticulares.com.br Página 9 de 10
2 sen x 0 sen x sen0 3 3 x 2k 3 4 x 2k 3 x k 2k, k. 3 A imagem de f é o intervalo [ 2, 2]. Logo, f(x) 2 e f(x) 2, para todo x real. Resposta da questão 8: [C] De acordo com o gráfico, temos a = 120 20 0 2 D = 120 0 = 70 2 12 c c Logo, Q(t) =0. sen(b +.t ) + 70, substituindo o ponto ( 2,120) na função, temos:.2 120 0.sen(b ) 70 b. Resposta da questão 9: [D] O período da função é 2 2. Como as taxas de inalação e exalação são, temos a função : 2 2 y 0, sen.x. A função não poderia ser y 0, cos.x, pois, se x for zero, o y deveria ser 0,. Resposta da questão 10: [E] Resposta da questão 11: [B] Resposta da questão 12: Resposta da questão 13: [B] Resposta da questão 14: [B] Resposta da questão 1: www.nsaulasparticulares.com.br Página 10 de 10