Tranformada de Laplace Câmpu Francico Beltrão Diciplina: Prof. Dr. Jona Joacir Radtke
Tranformada de Laplace Se f (t) for uma função definida para todo t 0, ua tranformada de Laplace é a integral de f (t) de t = 0 a, multiplicada por e t. Ela é uma função de, digamo F (), endo denotada por L (f ); portanto F () = L (f ) = 0 e t f (t) dt Além dio, a função dada por f (t) é chamada de tranformada invera de F (), endo denotada por L (F ), ou eja, ecreveremo f (t) = L (F ) Notação: A funçõe originai dependem de t e ão ecrita em letra minúcula, ao pao que ua tranformada dependem de e ão ecrita em letra maiúcula.
Exemplo Conidere f (t) = para t 0. Obtenha F (). Exemplo Conidere f (t) = e at para t 0, onde a é uma contante. Obtenha L (f ). Teorema : Linearidade da Tranformada de Laplace A tranformada de Laplace é uma operação linear, ou eja, para funçõe f (t) e g(t) quaiquer cuja tranformada exitem, e para contante a e b quaiquer, a tranformada de a f (t) + b g(t) exite, e Exemplo L {a f (t) + b g(t)} = a L {f (t)} + b L {g(t)} Encontre a tranformada de coh at e enh at.
f (t) L (f ) 2 t 2 3 t 2 2! 3 4 t n n! n+ 5 t a a+ 6 e at a 0 e x x a dx f (t) L (f ) 7 co ωt 2 + ω 2 8 en ωt 9 coh at 0 enh at e at co ωt 2 e at en ωt ω 2 + ω 2 2 a 2 a 2 a 2 a ( a) 2 + ω 2 ω ( a) 2 + ω 2
Teorema 2: Primeiro Teorema do Devio Se f (t) tiver a tranformada F () (onde > k para algum k), então e at f (t) tem a tranformada F ( a) (onde a > k). Em fórmula, L {e at f (t)} = F ( a) ou, e invertermo ambo o lado, Exemplo L {F ( a)} = e at f (t) Determine a tranformada ou a tranformada invera a) f (t) = t 2 e 5t b) F () = 3 37 2 + 2 + 40
Exitência e Unicidade Uma função f (t) poui uma tranformada de Laplace e ela não crecer muito deprea, digamo, e para todo t 0 e para alguma contante M e k, ela atifazer a retrição de crecimento f (t) Me kt () Teorema 3: Exitência para a Tranformada de Laplace Se f (t) for definida e contínua por intervalo em cada intervalo finito do emi-eixo t 0 e atifazer () para todo t 0 e para alguma contante M e k, então a tranformada de Laplace L (f ) exite para todo > k. Unicidade: Se a tranformada de Laplace de uma determinada função exitir, ela é determinada de maneira única. Inveramente, podemo motrar que, e dua funçõe (amba definida no eixo real poitivo) tiverem a mema tranformada, então ea funçõe não podem e diferir num intervalo de largura poitiva, embora poam diferir em ponto iolado.
Exercício Encontre a tranformada de Laplace da eguinte funçõe (a, b, k, ω, θ ão contante).. f (t) = t 2 2t 2. f (t) = (t 2 3) 2 3. f (t) = co 2πt 4. f (t) = en 2 4t 5. f (t) = e 2t coh t 6. f (t) = e t enh 5t 7. f (t) = co(ωt + θ) 8. f (t) = en (3t 0,5) 9. f (t) = e 3a 2bt 0. f (t) = 8 en 0,2t. f (t) = en t co t 2. f (t) = (t + ) 3 4. 3.
5. 8. 6. 9. 7. 20.
Exercício Dada F () = L (f ), obtenha f (t) (L, m, k, a e b ão contante). 4 3π 29. F () = 2 + π 2 2 + 6 30. F () = 2 6 3. F () = 4 3 2 + 2 5 0 32. F () = 2 + 2 nπl 33. F () = L 2 2 + n 2 π 2 20 34. F () = ( )( + 4) 8 35. F () = 2 + 4 4 (k + ) 2 36. F () = + k 2 k= 37. F () = ( 3)( + 5) 8 2 38. F () = 9 2 39. F () = 2 + 5 + 5 40. F () = ( + a)( + b)
Exercício Encontre a tranformada ou a tranformada invera. 42. f (t) = 3t 4 e 0,5t 43. f (t) = 5e at en ωt 44. f (t) = e 3t co πt 45. f (t) = e kt (a co t + b en t) 46. f (t) = e t (a 0 + a t +... + a n t n ) 7 47. F () = ( ) 3 π 48. F () = ( + π) 2 8 49. F () = ( + 2) 3 6 50. F () = ( ) 2 + 4 5 5. F () = 2 + 4 + 29 4 2 52. F () = 2 6 + 8 π 53. F () = 2 + 0π + 24π 2 2 56 54. F () = 2 4 2
Repota:. 2. 3. 4. 2 3 2 2 24 5 2 3 + 9 2 + 4π 2 2 2( 2 + 64) = 32 ( 2 + 64) 2 5. ( 2) 2 ( 6. 2 4 ) = + 6 5 ( + ) 2 25 7. co θ ω en θ 2 + ω 2 8. 9. 0.. 2. 3. 4. 5. 3 co 0,5 en 0,5 2 + 9 e 3a + 2b,6 2 + 0,04 2 + 4 6 4 + 6 3 + 3 2 + k ( e b ) k (e a e b ) ( + 2)e 2 2 2
Repota: 6. 7. 8. 9. k b 2 (b + e b ) e b k b 2 ( e b 2 ( e ) 2 be b + be b ( e ) 2 20. 2 29. 4 co πt 3 en πt 30. 3e 4t e 4t ) 3. 3 2 t2 + 2 t4 32. 5e t/ 2 33. en nπt L 34. 4(e t e 4t ) 35. 2 2e 4t 36. 4e t + 9e 4t + 6e 9t + 25e 6t 37. e 3t e 5t 3 + 5 38. 2 coh 3 t 4 inh 3 t
Repota: 39. 5 en 5t e 5t e at e bt 40. Se a b: b a Senão: te bt 3,8 4. ( 2,4) 2 42. 43. 44. 45. 72 ( + 0,5) 5 5ω ( + a) 2 + ω 2 + 3 ( + 3) 2 + π 2 a( + k) + b ( + k) 2 + 46. a 0 + + a ( + ) 2 +... + n!a n ( + ) n+ 47. 3,5t 2 e t 48. πte πt 49. 2t 2 e 2t 50. e t (co 2t 5 2 en 2t) 5. 3e 2t en 5t 52. e 3t (4 co 3t + 0 3 53. e 5πt enh πt en 3t) 54. e 2t (2 coh 4t 3 enh 4t)