UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MONOGRAFIA DE GRADUAÇÃO O PROBLEMA DE FORÇA CENTRAL: ESTUDO DO MOVIMENTO DE UM SATÉLITE ARTIFICIAL EDJANE OLIVEIRA DOS SANTOS Sob orientação da Prof a. Dr a Maité Kulesza Recife, 2008.
O PROBLEMA DE FORÇA CENTRAL: ESTUDO DO MOVIMENTO DE UM SATÉLITE ARTIFICIAL Monografia de Graduação apresentada ao Departamento de Matemática da Universidade Federal Rural de Pernambuco, para conclusão do curso de Licenciatura em Matemática. EDJANE OLIVEIRA DOS SANTOS Sob orientação da Prof a. Dr a Maité Kulesza Recife, 2008.
FOLHA DE APROVAÇÃO
As leis da natureza nada mais são que pensamentos matemáticos de Deus. Kepler. A verdade não é monopólio de ninguém; é patrimônio comum das inteligências. Leonel França, S.J.
Agradecimentos À minha orientadora Prof a. Dr a Maité Kulesza, principalmente, pela amizade, paciência e confiança dedicada a mim. Ao Prof. Dr. Antônio Carlos Miranda pela atenção oferecida no esclarecimento de algumas dúvidas. Ao Prof. Carlos e ao meu amigo Adenilton pela ajuda no uso do LATEX. Ao Prof. Nivaldo Andrade, responsável pela minha incursão na carreira de professora e paixão que tenho pela matemática. Aos meus pais que me fazem almejar cada dia mais ser uma pessoa melhor e também ao meu irmão Edmilson, pelas risadas, brigas e incentivo. Aos meus colegas e amigos que contribuíram para o desenvolvimento deste trabalho e aos bons momentos na graduação. Ao CNPq pelo apoio financeiro. E a Deus sempre, por iluminar meus passos nesta caminhada. 1
Resumo Este trabalho trata do estudo do Problema de Força Central, cuja aplicação é feita no estudo do movimento de um satélite artificial ao redor da Terra. A princípio é enunciado o Problema de Dois Corpos e logo seu estudo é reduzido a um Problema de Força Central ou Problema de Kepler. Em seguida é vista uma outra formulação deste problema que é a formulação Hamiltoniana e através dela é garantido que para este problema existe uma única solução no espaço. No estudo do Problema de Kepler as integrais primeiras garantem um primeiro resultado acerca da dinâmica deste problema. De posse deste resultado são obtidas as Leis de Kepler. Além disso, é obtida a classificação da órbita conforme a energia seja negativa, nula ou positiva. Continuando o estudo do Problema de Força Central, são definidos os seis elementos orbitais. Além disso, obtém-se a posição da partícula na órbita elíptica, em coordenadas polares. Esta monografia é encerrada com o estudo da órbita de um satélite artificial e com o estudo do movimento de queda do mesmo.
Sumário 1 Apresentação 8 1.1 Introdução............................. 8 1.1.1 Justificativa........................ 9 1.1.2 Conteúdo Apresentado.................. 9 2 O Problema de Dois Corpos 11 2.1 Formulação do Problema..................... 11 2.1.1 Movimento Relativo................... 14 2.1.2 Formulação Hamiltoniana................ 18 3 Estudo do Problema de Força Central 20 3.1 Movimento do Problema..................... 20 3.1.1 Leis de Kepler...................... 24 3.1.2 Classificação das Órbitas................. 27 4 Os Elementos Orbitais 29 4.1 Definição.............................. 29 5 Posição da Partícula na Órbita Elíptica 33 6 Estudo do Movimento de um Satélite Artificial 38 6.1 Movimento de um Satélite Artificial............... 38 1
6.2 Movimento de Queda para a Terra............... 42 6.2.1 Aproximações....................... 45 6.2.2 Energia Perdida...................... 48 7 Conclusão 49 2
Lista de Figuras FIGURA 2.1 - O Problema de Dois Corpos..................... 12 FIGURA 2.2 - O centro de massa.............................. 13 FIGURA 2.3 - O movimento relativo........................... 14 FIGURA 2.4 - O centro de massa na origem do sistema......... 15 FIGURA 2.5 - O Problema de Força Central..................... 17 FIGURA 3.1 - A cônica em coordenadas polares.................. 23 FIGURA 3.2 - A Primeira Lei de Kepler........................ 24 FIGURA 3.3 - Sistemas de coordenadas polares.................. 25 FIGURA 4.1 - Elementos da órbita.............................. 30 FIGURA 5.1 - O problema elíptico.............................. 34 3
FIGURA 6.1 - O problema da órbita de um satélite artificial... 37 FIGURA 6.2 - A órbita elíptica de um satélite.................. 40 FIGURA 6.3 - A órbita circular de um satélite artificial......... 43 FIGURA 6.4 - A direção tangencial e a direção normal......... 44 FIGURA 6.4 - Componentes da velocidade..................... 45 FIGURA 6.5 - Trajetória em espiral........................... 47 4
Lista de Símbolos S Sol P Partícula r Vetor posição m Massa de uma partícula r Vetor posição em relação ao centro de massa r Vetor velocidade r Vetor aceleração H Função Hamiltoniana h Energia C Momento angular 5
e Vetor de Laplace ε excentricidade Ω Longitude do nodo ascendente ι Inclinação da órbita ω Pericentro a Semi-eixo maior da órbita b Semi-eixo menor da órbita eliptica T Instante em que a partícula passa pelo pericentro E Anomalia excêntrica v 0 Velocidade inicial r 0 Posição inicial β Ângulo formado pela velocidade inicial com o raio vetor que une o foguete com o centro da Terra. v H Componente da velocidade ao longo da horizontal local 6
v R Componente radial da velocidade 7
Capítulo 1 Apresentação 1.1 Introdução A Mecânica Celeste é uma área da Matemática que estuda o movimento dos corpos celestes a partir das leis da Mecânica. O problema fundamental da Mecânica Celeste é o Problema de n-corpos, porém o único problema totalmente resolvido é o Problema de Dois Corpos, cujo estudo é reduzido ao estudo de um Problema de Força Central. Estudaremos, neste trabalho, o Problema de Força Central, o qual é aplicado no estudo do movimento de um satélite artificial ao redor da Terra. O objetivo desta monografia é obter resultados sobre o movimento dos satélites artificiais. O primeiro passo é reduzir o estudo do Problema de Dois Corpos ao estudo do Problema de Força Central ou Problema de Kepler. Em seguida, garantir que para o Problema de Força Central, existe e é unica a sua solução. 8
Feito isto, inicia-se o estudo do Problema de Kepler. Neste estudo são obtidos resultados acerca da dinâmica deste problema. Este trabalho é encerrado com o estudo da órbita de um satélite artificial e com o estudo do movimento de queda do mesmo. 1.1.1 Justificativa O estudo do movimento de um satélite artificial sob influência de uma Força Central é de grande importância na definição da rota espacial, para que estes possam desempenhar com sucesso as missões as quais estão destinados. 1.1.2 Conteúdo Apresentado No capítulo 2 é estudado a dinâmica do Problema de Dois Corpos e mostra-se que seu estudo é reduzido a um Problema de Força Central. Neste capítulo, também é feita uma outra formulação deste problema, que é a formulação Hamiltoniana e através dela é garantido que para este problema existe uma única solução no espaço, definida em um intervalo máximo de tempo. No capítulo 3 é feito um estudo do Problema de Força Central de modo a obter um primeiro resultado que forneça informações sobre o movimento deste problema. De posse deste resultado, são obtidas todas as Leis de Kepler. Além disso, obtém-se a classificação da órbita conforme a energia seja nula, positiva ou negativa. No capítulo 4 foram definidos os elementos orbitais com suas respectivas funções. 9
No capítulo seguinte é determinada a posição da partícula na órbita elíptica, em coordenadas polares. O capítulo 6 é dedicado a investigar a órbita de um satélite artificial ao redor da Terra e estudar o movimento de queda do mesmo devido o atrito com a atmosfera. 10
Capítulo 2 O Problema de Dois Corpos Neste capítulo, vamos enunciar o Problema de Dois Corpos e reduzir seu estudo a um Problema de Força Central ou Problema de Kepler. Em seguida, veremos uma outra formulação do Problema de Força Central que é a formulação Hamiltoniana. 2.1 Formulação do Problema O Problema de Dois Corpos consiste em estudar o movimento de duas partículas materiais, sujeitas unicamente a ação mútua de suas atrações gravitacionais. Suponhamos que a primeira partícula seja S com massa m 1 e a segunda partícula seja P com massa m 2, com vetores posição r 1 e r 2 respectivamente num sistema em R 3 (Fig. 2.1). 11
Figura 2.1: O problema de dois corpos Isto é, pela Segunda Lei de Newton: m 1 r 1 = Gm 1m 2 r 1 r 2 2 r 1 r 2 r 1 r 2 (2.1) m 2 r 2 = Gm 1m 2 r 1 r 2 2 r 2 r 1 r 1 r 2. De (2.1), temos que: m 1 r 1 + m 2 r 2 = 0. Integrando a equação acima duas vezes com respeito à variável tempo t: m 1 r 1 + m 2 r 2 = At + B, (2.2) 12
onde A e B são vetores constantes. Agora, seja R o vetor-posição do centro de massa de m 1 e m 2 (Fig. 2.2) Isto é: Figura 2.2: O centro de massa onde M = m 1 + m 2. R def = m 1r 1 + m 2 r 2, M Perceba que utilizando à equação (2.2), temos que: R = At M + B M, (2.3) de onde resulta que o centro de massa das partículas materiais move-se uniformente (R = A ), sobre uma reta no espaço. M 13
2.1.1 Movimento Relativo Foi visto anteriomente como é o movimento do centro de massa das partículas materiais. Agora vamos ver como é o movimento destas partículas em relação ao centro de massa. Os movimentos de m 1 e m 2 relativos ao centro de massa são da seguinte forma. Figura 2.3: O movimento relativo Sejam r 1 = R + r 1 e r 2 = R + r 2, (2.4) logo, r 1 e r 2 denotam respectivamente os vetores-posição de m 1 e m 2, em relação ao centro de massa dos dois corpos (Fig. 2.3). 14
Decorre da equação (2.3) que R = 0, logo: r 1 = r 1 e r 2 = r 2 Portanto, podemos reescrever o sistema (2.1) como: m 1 r 1 = Gm 1m 2 r 3 (r 1 r 2 ) (2.5) m 2 r 2 = Gm 1m 2 r 3 (r 2 r 1 ), onde r = r 2 r 1. Observe que o sistema (2.5) é muito semelhante ao sistema (2.1), assim podemos pensar, de agora em diante, que o centro de massa das partículas materiais encontra-se na origem do sistema (Fig. 2.4). Figura 2.4: Centro de massa na origem do sistema 15
Da afirmação anterior segue que, m 1 r 1 + m 2 r 2 M = R = 0 = m 1 r 1 + m 2 r 2 = 0 de onde, temos as seguintes relações: r 1 = m 2 m 1 r 2, r 2 = m 1 m 2 r 1 (2.6) r = M m 2 r 1, r = M m 1 r 2. Usando estas relações temos que o sistema (2.5) é equivalente ao sistema: r 1 = Gλ 1 r 1 3 r 1 (2.7) r 2 = Gλ 2 r 2 3 r 2, onde λ 1 = m3 2 M 2 e λ 2 = m3 1 M 2. A primeira destas equações descreve o movimento de r 1 e a segunda descreve o movimento de r 2, ambos em torno do centro de massa do sistema. Note que no sistema (2.7), ambas as equações são independentes, portanto basta determinar a solução de uma delas que teremos a outra solução por (2.6). Uma outra maneira de estudar o sistema (2.7) é usar o vetor r definido anteriormente, logo o sistema (2.7) é equivalente a: 16
r = Gλ r, (2.8) r 3 Assim, somos levados a estudar o movimento de uma partícula P de massa m 2 que é atraída pela partícula S de massa m 1, segundo a equação (2.8). Figura 2.5: O problema de força central A partícula S (geralmente a mais massiva), supõem-se estar situada num ponto fixo do espaço, o qual pode ser tomado como a origem do sistema de coordenadas inercial. Este problema na Mecânica é conhecido como Problema de Força Central ou Problema de Kepler (Fig. 2.5). Portanto, o estudo do Problema de Dois Corpos reduz-se ao estudo do Problema de Força Central. 17
2.1.2 Formulação Hamiltoniana Agora vamos ver a formulação Hamiltoniana do Problema de Kepler e enunciar um importante resultado de equações diferenciais ordinárias que afirma que a equação (2.8) sempre tem solução desde que a posição inicial não seja a origem. Tomando µ = Gλ, então podemos reescrever a equação (2.8) na equação abaixo: r = µr r 3. (2.9) O espaço das possíveis posições do Problema de Kepler é R 3 {0}. introduzirmos a variável v = r R 3, podemos escrever (2.9) como o seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem: Definamos a seguinte função: r = v (2.10) v = µ r 3 r, Se H = H(r, v) = 1 2 v 2 µ r, que corresponde a energia total do sistema. Então, o sistema (2.10) pode ser escrito como: r = H v v = H r, (2.11) 18
o qual é chamado de sistema Hamiltoniano com função Hamiltoniana H. Pelo teorema da existência e unicidade das equações diferenciais de segunda ordem 1, fica garantido que: Teorema 1 Dado (r 0, r 0) (R 3 {0}) R 3, existe e é única a solução r(t) de (2.11) definida em um intervalo máximo de tempo, contendo t = 0, com condições iniciais r(0) = r 0, r (0) = r 0. 1 Seja: r + pr + qr = g r(t 0 ) = r 0 r (t 0 ) = v 0, onde t 0 (a, b) e r 0, v 0 são dados. Se p, q, g : (a, b) R são contínuas em (a, b) então o problema de valor inicial tem uma, e somente uma solução defenida em todo (a, b). 19
Capítulo 3 Estudo do Problema de Força Central Neste capítulo, vamos estudar o Problema de Força Central e obter resultados acerca da dinâmica deste problema. 3.1 Movimento do Problema No estudo do Problema de Força Central existem funções diferenciáveis que permanecem constantes ao longo do movimento, chamadas integrais primeiras ou constantes de integração. Neste caso, o Problema de Kepler admite as seguintes integrais primeiras: A energia: h = 1 2 r 2 µ r O momento angular: C = r r ( O vetor de Laplace: µ e + r ) = r C r 20
A partir dessas integrais primeiras, obtém-se um primeiro resultado acerca dos diferentes movimentos do Problema de Kepler: a) Se C = 0, então o movimento é retilíneo. b) Se C 0, então o movimento ocorre em um plano, que passa pelo centro de atração S, ortogonal a C e que contém o vetor e. b i ) Se e = 0, então o movimento é circular e uniforme. b ii ) Se e 0, então o movimento descreve uma cônica com um foco em S, eixo e e excentricidade ε = e. Demonstração: a) Se C = 0, segue da equação de e, que r r = e, ou r(t) = e. r(t). Logo o movimento é retilíneo e o vetor posição tem a mesma direção de vetor de Laplace e. b) Se C 0, temos por definição que C é ortogonal a r, logo r pertence ao plano determinado pelo vetor C e que passa pela origem. Por outro lado, fazendo o produto escalar da equação de e pelo vetor C, teremos: e C = 0. Logo e é ortogonal ao vetor C. 21
b i ) Se e = 0, temos que a equação de e será: µ r r = r C. Fazendo o produto escalar da expressão acima com o vetor r e usando a identidade vetorial a (b c) = c (a b) = b (c a), temos: µ r r r = r (r C) µ r 2 r = C (r r ) r = C 2 µ, ou seja, r é constante, logo o movimento é circular. Da expressão da energia, temos: ( r = 2 h + µ ), r então r é constante (M.U.), pois h, µ, e r são constantes. b ii ) Se e 0. Denote por (r, θ) as coordenadas no plano do movimento com origem em S e eixo polar e (Fig. 3.1). 22
Figura 3.1: A cônica em coordenadas polares Fazendo o produto escalar da equação de e por r, teremos: ( µ e r + r r ) = (r C) r r µ(e r + r ) = C 2 (3.1) µ( r cos θ e + r ) = C 2 r = C 2 /µ (ε cos θ + 1), a qual é a equação de uma cônica com excentricidade ε = e, eixo e e parâmetro p = C 2 µ. 23
De posse deste resultado, são obtidas as Leis de Kepler, como veremos a seguir. 3.1.1 Leis de Kepler Quando do item b ii ) a cônica descrita é uma elipse, temos que essa afirmação corresponde à primeira lei de Kepler, que expressa: as órbitas dos planetas em torno do Sol são elipses com o Sol em um dos focos (Fig. 3.2). Figura 3.2: A primeira Lei de Kepler Comentário 1 O valor θ = 0 corresponde ao ponto chamado pericentro da órbita, que nós dá a menor distância da partícula ao centro atrator, dada por r = p. Já θ = π, corresponde ao ponto chamado 1+ε apocentro da órbita, que nos dá a maior distância da partícula ao centro atrator, dado por r = p. Quando o centro atrator é o Sol os pon- 1 ε tos de menor e maior distância são chamados de: perihélio e afélio, e quando o centro atrator é a Terra são chamados de perigeu e apogeu, respectivamente. 24
No caso C 0, outra consequência importante pode ser deduzida da expressão do momento angular. Vamos introduzir no plano de movimento um sistema de coordenadas polares centrado em O que forma um sistema em R 3 com o vetor C. Figura 3.3: Sistema de coordenadas polares Então, r = (r cos θ, r sin θ, 0) e C = (0, 0, c). Como r = ( r sin θθ, r cos θθ, 0), obtemos que: r r = r 2 θ. Daí, r 2 θ = C (3.2) Sabemos que a equação da área descrita pelo raio vetor de t 0 a t, é 25
dada por: De (3.2) resulta que: A(t) = t t 0 1 2 r 2 θ dt A(t) = t t 0 1 2 r 2 θ dt = C 2 (t t 0), (3.3) de onde temos a Segunda Lei de Kepler, da dt variação da área descrita pelo raio vetor é constante. = c, isto é a taxa de 2 Considere uma elipse de semi-eixos a e b, então a sua área é πab. Tomando P como período do movimento, temos: πab P = A(t, t 0) t t 0 Pela equação (3.3) temos que a equação acima, torna-se: πab P = C 2, quadrando a expressão acima e usando b 2 = a 2 (1 ε 2 ), temos que: a 3 P = µ 2 4π. 2 Esta equação corresponde à Terceira Lei de Kepler que expressa: os 26
cubos dos semi eixos maiores das órbitas elípticas dos planetas, estão entre si, como os quadrados dos período de seus movimentos em torno do Sol. 3.1.2 Classificação das Órbitas Além disso, a partir das integrais primeiras podemos obter a classificação da órbita conforme a energia seja negativa, nula ou positiva. Propriedade 1 As constantes h, C e e satisfazem a seguinte relação: µ 2 (ε 2 1) = 2h C 2. (3.4) Demonstração: De fato, quadrando a expressão de e, teremos: [ ] µ 2 e 2 (e r) + 2 r + 1 = r C 2 = r 2 C 2 Usando as equações de h e (3.1) na expressão acima, temos: [ µ 2 e 2 + 2 ( ) ] ( C 2 r µ r + 1 = 2 C 2 h + µ ) r ( ) µ 2 ε 2 + 2.µ2 C 2 r r µ µ µ 2 ε 2 + 2 C 2 µ r + µ 2 = 2 C 2 h + 2 C 2 µ r 2 r µ3 µ r + µ2 = 2 C 2 h + 2 C 2 µ r 27
µ 2 ε 2 2µ 2 + µ 2 = 2h C 2 µ 2 (ε 2 1) = 2h C 2 Decorre da equação (3.4) que: h < 0 = 0 < ε < 1 = órbita elíptica. h = 0 = ε = 1 = órbita parabólica. h > 0 = ε > 1 = órbita hiperbólica. Continuando nosso estudo do Problema de Kepler, no próximo capítulo vamos definir os elementos orbitais 28
Capítulo 4 Os Elementos Orbitais Neste capítulo, vamos definir os seis elementos orbitais e suas respectivas funções. 4.1 Definição Considere {e 1, e 2, e 3 } um referencial inercial canônico no espaço. De modo que este sistema tenha: i) A sua origem localizada no centro do Sol; ii) O plano da eclíptica (plano da órbita da Terra) seja o plano fundamental de referência (plano xy); iii) O eixo das abscissas seja dirigido para o ponto da órbita da Terra que cruza o equador celeste em seu movimento ascendente, chamado Equinócio de Março. Este sistema é chamado de sistema heliocêntrico eclíptico. Neste sistema, quando o momento angular não é ortogonal ao plano fundamental de referência, o plano da órbita intersecta-o ao longo de uma reta, chamada a 29
linha dos nodos. No movimento da partícula ao longo da órbita, ela intercepta a linha dos nodos duas vezes, em seu movimento ascendente e em seu movimento descendente. No primeiro caso, o ponto de intersecção e dito nodo ascendente e no segundo caso é dito nodo descendente. Figura 4.1: Elementos da órbita Posto isto, determina-se os seis elementos orbitais: A longitude do nodo ascendente, que é o ângulo Ω que a linha dos nodos faz com o eixo das abscissas. Este ângulo varia entre 0 e 2π. A inclinação da órbita, que é o ângulo ι que o plano da órbita faz com o plano fundamental de referência. Este ângulo varia entre 0 e π. 30
A excentricidade que é ε = e. O pericentro, que é o ângulo ω entre o vetor de Laplace e e a linha dos nodos, medido no sentido positivo do movimento da partícula. A quinta constante é o tamanho da órbita, que depende do tipo da mesma. No caso da elipse, ele é dado pelo semi-eixo maior. Já na órbita hiperbólica, é usado o semi-eixo transverso e na órbita parabólica, a distância do foco ao vértice. A última constante é de caráter cinemático e é tomada como sendo o instante T em que a partícula passa pelo pericentro. As primeiras cinco constantes (Ω, ι, ε, ω, a) definem a geometria do problema (Fig. 4.1), isto é, o plano da órbita no espaço e neste plano caracterizam a forma, a posição e o tamanho da órbita Mais precisamente: A longitude do nodo ascendente e a inclinação da órbita definem o plano da órbita no espaço. A excentricidade e o pericentro definem a forma e a posição da órbita em seu plano. 31
A quinta constante define o tamanho da órbita. No capítulo a seguir, vamos obter a posição da partícula na órbita elíptica, em coordenadas polares. 32
Capítulo 5 Posição da Partícula na Órbita Elíptica Teorema 2 As coordenadas polares (r, θ), (r = r ) da partícula são dadas pelas seguintes equações: r = a(1 ε cos E) ( ) θ tg = 2 1 + ε 1 ε tg ( E 2 ), onde o ângulo E (anomalia excêntrica) é definido pela equação de Kepler E sene = 2π (t T ), P onde P é o período do movimento e T o tempo de passagem pelo pericentro Demonstração: 33
Façamos a seguinte mudança de coordenadas ξ = x e η = a y. Logo: b a elipse x2 a 2 + y2 b 2 = 1 é transformada na circunferência ξ 2 + η 2 = a 2 (Fig. 5.1). Feito isso, temos as seguintes relações: i) d(s, B) = r cos θ = a cos E d(o, S) = a(cos E ε), onde ε = d(o,s) a. ii) Como sene = η, temos que: a rsenθ = d(b, P ) = b a η = b a asene = bsene = a 2 1 ε 2 sene Figura 5.1: O problema elíptico 34
Quadrando as expressões em i) e ii) e somando, obtemos: r = a(1 ε cos E), (5.1) que é a coordenada r da partícula. Substituindo a equação (5.1) em (i), podemos escrever que: cos θ = cos E ε 1 ε cos E (5.2) Da trigonometria sabe-se que: tg 2 ( θ 2 ) = 1 cos θ 1 + cos θ. (5.3) Substituindo (5.2) em (5.3), obtemos: ( ) θ tg 2 = 1 + ε (1 cos E) 2 1 ε (1 + cos E). Note que, de (5.3) podemos escrever a expressão acima como: tg 2 ( θ 2 ) = 1 + ε 1 ε.tg2 ( E 2 ), assim, ( ) θ tg = 2 1 + ε 1 ε tg ( E 2 ), 35
que é a coordenada θ da partícula. Para verificar a equação de Kepler, lembremos a Segunda Lei de Kepler: Area(SCP ) t T = πab P = πa2 1 ε2, P por outro lado, Area(BCP ) Area(BCQ) = c b ydx c b ηdx = b a = 1 ε 2, de onde resulta que: Area(SCP 1 ε2 = ) Area(SBP ) Area(OCQ) Area(OBQ) = π a2 1 ε P 2 (t T ) ( 1 2 r2 cos θsenθ) 1 2 a2 E ( 1 2 a2 cos EsenE) Substituindo r cos θ e rsenθ pelas relações em i) e ii) na equação acima, temos: 1 ε2 = π a2 1 ε P 2 (t T ) 1a2 1 ε 2 2 sene(cos E ε) 1 2 a2 E 1 2 a2 cos EsenE 1 2 (E cos EsenE) = π P (t T ) 1 sene(cos E ε) 2 E = 2π (t T ) + εsene P 36
E εsene = 2π P (t T ) que é a equação de Kepler. No próximo capítulo, vamos aplicar o estudo do Problema de Kepler no estudo do movimento de um satélite artificial. 37
Capítulo 6 Estudo do Movimento de um Satélite Artificial Neste capítulo, vamos estudar a órbita de um satélite artificial ao redor da Terra e estudar o movimento de queda do mesmo devido ao atrito com a atmosfera. 6.1 Movimento de um Satélite Artificial Considere o seguinte problema: um satélite artificial é lançado de um foguete a uma distância r 0 do centro da Terra e com velocidade v 0 fazendo um ângulo β com o raio vetor que une o foguete com o centro da Terra. Vamos supor que o problema é um movimento central, cujo centro é a Terra e a Força Central sobre o satélite é dada pela Lei da Gravitação de Newton. 38
Figura 6.1: O problema da órbita de um satélite artificial A partir dos dados iniciais, (r 0, v 0 e β), e µ = gr 2 podemos escrever a expressão da energia (h = 1 2 r 2 µ r ) como: h = 1 2 v2 0 gr2 r 0, (6.1) Note que: GmM R 2 = mg = µ = GmM = mgr 2, onde R é o raio da Terra. Usando os dados iniciais e a propriedade r r = r r senβ, podemos escrever a expressão para o momento angular (C = r r ) da seguinte forma: C = r 0 v θ, (6.2) onde v θ = v 0 sin β. 39
Usando as equações (6.1) e (6.2) podemos tirar algumas conclusões sobre a órbita do satélite: i) De acordo com a equação (6.1), temos que: Se r 0 v 2 0 < 2gR 2 = h < 0 = órbita elíptica. Se r 0 v 2 0 = 2gR 2 = h = 0 = órbita parabólica. Se r 0 v 2 0 > 2gR 2 = h > 0 = órbita hiperbólica. No primeiro caso, ela pode sê-lo por pouco tempo, uma vez que a Terra não é um ponto e por conseqüência, o satélite pode colidir com a mesma. Para que esta colisão não acontecesse seria necessário que o raio do satélite fosse maior que o raio da Terra (r > R). Figura 6.2: A órbita elíptica de um satélite artificial 40
ii) Da equação µ 2 (ε 2 1) = 2hc 2 e das expressões (6.1) e (6.2), obtemos: onde v r = v 0 cos β. ε 2 = [ ] r0 vθ 2 2 gr 1 + 2 [ ] 2 r0 v θ v r, (6.3) gr 2 Segue de (6.3) que a órbita do satélite será circular (ε = 0) se: r 0 v 2 θ = gr 2 e v r = 0, ou seja, um satélite terá órbita circular se ele for lançado perpendicularmente ao raio vetor que liga o foguete ao centro da Terra (β = π) e 2 se a velocidade inicial v 0 satisfazer à relação: r 0 v0 2 = gr 2 iii) Da equação da cônica, teremos: r 0 = p = cos θ 0 = 1 [ ] v 2 θ r 0 1 + ε. cos θ 0 ε gr 1 2 (6.4) Derivando a equação da cônica em relação a θ e utilizando d dt r θ r 2 = r C, obtemos: ( 1 r ) = senθ 0 = r 0v θ v r εgr 2 (6.5) Decorre de (6.4) e (6.5), que caso β = π 2, 41
cos θ 0 = 1, senθ 0 = 0, se r 0 v 2 0 > gr 2, = θ 0 = 0 (6.6) cos θ 0 = 1, senθ 0 = 0, se r 0 v 2 0 > gr 2, = θ 0 = π (6.7) A expressão (6.6) implica que no caso de órbitas parabólicas (ε = 1) e hiperbólicas (ε > 1), o ponto de lançamento é o perigeu. De (6.6) e (6.7) têm-se que no caso de órbitas elípticas (0 < ε < 1) o ponto de lançamento e um ápside 1, podendo ser o perigeu ou o apogeu. 6.2 Movimento de Queda para a Terra Agora, vamos estudar o movimento de queda de um satélite artificial. Assim, consideremos um satélite artificial descrevendo uma órbita circular ao redor da Terra de raio R. Vamos supor que a Terra está rodeada por uma atmosfera formada por uma capa de gás de densidade uniforme, cujo raio externo é maior que o da órbita do satélite, de modo que, a força de atrito 2 que excerce sobre o satélite é constante. 1 É um ponto de máximo ou de mínimo da função posição r. 2 É a força de contato, entre duas superfícies, que se opõem ao movimento de cada uma. 42
Figura 6.3: A órbita circular de um satélite artificial Aplicando a equação da dinâmica do movimento circular uniforme: G Mm R 2 = m v2 R = v = GM R = constante, onde G é a constante gravitacional, M a massa da Terra e m a massa do satélite. Quando o satélite cai para a Terra: Seu movimento descreve uma espiral. O ângulo que a velocidade forma com a direção radial já não é 90, e sim 90 ϕ. A direção normal (que é perpendicular a direção da velocidade), não coincide com a direção radial. Note que o ângulo que a direção normal faz com a direção radial é ϕ. 43
Figura 6.4: A direção tangencial e a direção normal Decompondo a força da atração F na direção tangencial e na direção normal, as equações do movimento nestas direções são respectivamente: ma t = F senϕ F r ma n = F cos ϕ, onde F r é a força de atrito. A primeira equação indica o módulo da velocidade v do satélite. A segunda equação indica a direção da velocidade. A equação do movimento ma t = F senϕ F r, é bastante complicada, pois a força de atrito sobre o satélite dependerá em geral, de sua forma, da densidade do ar e da velocidade do satélite. 44
Porém, nesta monografia vamos fazer algumas aproximações que nos permitem descrever de forma mais simples o movimento do satélite. 6.2.1 Aproximações Se supormos que o ângulo ϕ é pequeno e que portanto: A componente da velocidade ao longo da horizontal local é: v H = v cos ϕ v. A componente radial v R é pequena, pois: senϕ tan ϕ = v R v H Figura 6.5: As componentes da velocidade 45
A equação que descreve o movimento de um satélite artificial ao longo de uma órbita circular de raio r e com velocidade v H = v cos ϕ é: m v2 H r = F = GMm r 2. (6.8) Simplificando e derivando (6.8) em relação a r, obtemos: dv H 2v H dr = GM = F r 2 m = dv H dr = F. (6.9) 2mv H A aceleração tangencial vale, empregando a regra da cadeia: a t = dv dt = dr dv dt dr = v dv R dr v dv H R dr. (6.10) De (6.9) e senϕ tan ϕ = v R vh, temos que: a t 1 F v R 1 F 2 m v H 2 m senϕ. Com a aproximação acima, a equação do movimento do satélite (ma t = F senϕ F r ), é escrita: 1 2 F senϕ = F senϕ F r. (6.11) 46
Note que, de (6.11) o ângulo que faz o vetor velocidade com a horizontal local é: senϕ = 2F r F. (6.12) Usando (6.12) na equação ma t = F senϕ F r, chegamos a seguinte conclusão: ma t = F r, a força de atrito incrementa o módulo v da velocidade do satélite. Logo a aceleração centrípeta varia de um ponto para o outro, o que comprova a trajetória em espiral quando o satélite cai para a Terra. Figura 6.6: trajetória em espiral Em suma o satélite artificial cai devido a força de atrito. 47
6.2.2 Energia Perdida Por ser a força de atração conservativa 3, a energia do satélite artificial é constante em todos os pontos da circunferência que descreve. Assim, a energia perdida por causa do atrito do satélite com atmosfera é calculada da seguinte maneira: Supondo que o satélite artificial descreve uma órbita circular de raio R com velocidade v, a energia inicial é: E i = 1 2 mv2 + ( GMm ) = 1 GMm R 2 R, Supondo mais uma vez que o satélite descreve um órbita quase circular de raio r e velocidade v, a energia final é: E f = 1 2 mv2 + ( GMm ) = 1 r 2 GMm, r Logo a energia perdida é: E = E f E i = GMm ( 1 2 R 1 ) < 0 r 3 Uma força é conservativa se for nulo o trabalho realizado por ela sobre uma partícula que descreve qualquer percurso fechado. 48
Capítulo 7 Conclusão Em virtude do estudo realizado do Problema de Força Central, foi possível obter resultados acerca do movimento deste problema, que por sua vez foram aplicados no estudo do movimento dos satélites artificiais. Por meio do último estudo, foi possível atingir o objetivo desta monografia. Inicialmente pretendíamos obter novos resultados acerca do movimento dos satélites artificiais, no entanto, decidimos por fazer uma nova abordagem dos resutaldos já obtidos em [4] e [7] da bibliografia. Muitos outros resultados poderiam ser acrescentados a este trabalho, porém é esperado que este assunto, motive outros estudantes a pesquisar novos resultados. 49
Referências Bibliográficas [1] H. Pollard, celestial Mechanics. The Mathematical Association of America. 1976. [2] N. de Luca, Mecânica Celeste. EDUFPR, 1982. [3] D.L. Maranhão, Dinâmica do Satélite Artificial. Maceió, EDUFAL, 1997. [4] D. G. de Figueiredo & A. F. Neves, Equações Diferenciais Aplicadas. Rio de Janeiro, Coleção Matemática, 1997. [5] C. Vidal & H. Cabral, A aurora da mecânica celeste. Cubo Matemática Educacional. Vol. 1., 1999. [6] C. Vidal & H. Cabral, Introdução a Mecânica Celeste. 1999. [7] E. G. de Santana, Movimento de queda de um satélite artificial devido ao atrito com a atmosfera. www.sc.ehu.es/sbweb/fisica. 50