Cônicas e Equações Quadráticas Jorge M. V. Capela, Marisa V. Capela Instituto de Química - UNESP Araraquara, SP capela@iq.unesp.br Araraquara, SP - 2017
1 Parábolas 2 3 4 5
Introdução Parábolas
Parábolas Conjunto de todos os pontos equidistantes de um ponto fixo (Foco) e de uma reta (reta diretriz) fixa no plano.
Parábolas com vértices na origem: forma padrão d(p, F ) = x 2 + (y p) 2 d(p, Q) = (y + p) 2 Igualando d(p, F ) = d(p, Q): y = x 2 4p x 2 = 4py
Parábolas com vértices na origem: forma padrão Equação Foco Diretriz Eixo Concavidade x 2 = 4py (0, p) y = p y para cima x 2 = 4py (0, p) y = p y para baixo y 2 = 4px (p, 0) x = p x para a direita y 2 = 4px ( p, 0) x = p x para a esquerda
Exemplo 1: Determinar o foco e a diretriz da parábola y 2 = 10x Forma padrão: y 2 = 4px. Então 4p = 10 p = 5 2 F = ( 5 2, 0) e x = 5 2
Parábolas Distância a dois pontos fixos (Focos) do plano têm soma constante.
de centro na origem (0, 0) É o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias a dois pontos fixos (Focos) do plano têm soma constante. x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 Focos sobre o eixo x: a > b, focos em (±c, 0), c = a 2 b 2 e vértices em (±a, 0). Tem-se que a é o semi-eixo maior e b o semi-eixo menor. Focos sobre o eixo y: b > a, focos em (0, ±c), c = a 2 b 2 e vértices em (0, ±b). Tem-se que a é o semi-eixo menor e b o semi-eixo maior.
Exemplo 2 Parábolas Elipse com focos no eixo x x 2 16 + y 2 9 = 1
Exemplo 3 Parábolas Elipse com focos no eixo y x 2 9 + y 2 16 = 1
Hipérbole de centro na origem
Exemplo 4 Parábolas Hipérbole com focos no eixo x x 2 4 y 2 5 = 1
Exemplo 5 Parábolas Hipérbole com focos no eixo y y 2 4 x 2 5 = 1
Rotação dos eixos coordenados x = OM = OP cos(θ + α) y = MP = OP sen(θ + α) x = OM = OP cos θ y = M P = OP senθ
Rotação dos eixos coordenados ou x = OP }{{ cos θ} cos α OP }{{ senθ} senα = x cos α y senα x y y = OP cos θ }{{} x x y senα + OP }{{ senθ} cos α = x senα + y cos α y = cos α senα senα x cos α y
Exemplo 6: hipérbole 2xy = 9 Rotação dos eixos coordenados por um ângulo π/4 radianos: 2 2 x = 2 x 2 y 2 2 y = 2 x + 2 y 2 2 2 2 (x y ) 2 (x + y ) = 9 x 2 3 2 y 2 3 2 = 1
Ângulo de rotação para eliminar o termo misto Quando aplicamos as equações de rotação x = x cos α y senα e y = x senα + y cos α à equação quadrática Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 obtemos uma nova equação A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0, onde o termo misto tem coeficiente dado por B = B cos 2α + (C A) sen2α. B = 0 tg2α = B A C, sendo α o ângulo de rotação para eliminar o termo misto.
Exemplo 7 Parábolas Determinar o ângulo de rotação α para eliminar o termo misto da equação quadrática 2x 2 + 3xy + y 2 10 = 0. Solução: A = 2, B = 3 e C = 1 tg2α = 3 2 1 = 3 x y 2α = π 3 α = π 6 = x 3 2 1 2 1 3 2 2 y
Continuação do Exemplo 7 Substituindo x = 3 2 x 1 2 y e y = 1 3 2 x + 2 y na equação quadrática dada obtém-se 5 2 x 2 + 1 2 y 2 10 = 0 x 2 4 + y 2 20 = 1
Resumindo... Parábolas Quando aplicamos as equações de rotação x = x cos α y senα e y = x senα + y cos α, à equação quadrática Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 obtemos uma nova equação A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 Se tg2α = B = 0. B A C, então o termo misto tem coeficiente dado por
Análise da equação quadrática Obtida a nova equação A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0 tem-se: Parábola: A = 0 ou C = 0, isto é A C = 0 Elipse: A e C têm o mesmo sinal, isto é A C > 0 Hipérbole: A e C têm o sinais opostos, isto é A C < 0
Teste do discriminante Pode ser verificado que para toda a rotação de eixos tem-se B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C Portanto: Parábola: B 2 4AC = 0 Elipse: B 2 4AC < 0 Hipérbole: B 2 4AC > 0
Exemplo 8 Parábolas Determinar o tipo de cônica representado pelas seguintes equações: a) 3x 2 6xy + 3y 2 + 2x 7 = 0 b) x 2 + xy + y 2 1 = 0 c) xy y 2 5y + 1 = 0 a) B 2 4AC = ( 6) 2 4 3 3 = 36 36 (parábola) b) B 2 4AC = 1 4 1 1 = 3 < 0 (elipse) c) B 2 4AC = 1 4(0)( 1) = 1 > 0 (hipérbole)
Exemplo 8: continuação
Exemplo 9 Parábolas Identifique a curva dada pela equação paramétrica x = t, y = t 2, < t <. Solução: Identificamos a curva eliminando t: Tem-se uma parábola. t = x y = t 2 = x 2
Exemplo 10 Parábolas Identifique a curva dada por x = sec t, y = tgt, π/2 < t < π/2. Solução: Eliminando t: sec 2 t tg 2 t = 1 x 2 y 2 = 1 Tem-se o ramo direito de uma hipérbole. Observe que x = sec t > 0 no intervalo π/2 < t < π/2.
Exercícios Parábolas 1) A parábola y 2 = 8x é transladada de 2 unidades para baixo e 1 unidade para a direita. Determine a equação, o foco, o vértice e a diretriz da nova parábola. Esboce as parábolas. 2) A elipse x 2 16 + y 2 = 1 é transladada de 4 unidades para a direita 9 e 3 unidades para cima. Determine a equação, os focos, o vértice e o centro da nova elipse. Esboce as elipses. 3) A hipérbole x 2 16 y 2 = 1 é transladada de 2 unidades para a 9 direita. Determine a equação, o centro, os focos e as assíntotas da nova hipérbole. Esboce as hipérboles.
Exercícios Parábolas 4) Esboce a região do plano xy cujas coordenadas satisfazem a desigualdade 9x 2 + 16y 2 144 5) Esboce a região do plano xy cujas coordenadas satisfazem a desigualdade x 2 + y 2 1 e 4x 2 + 9y 2 36 6) Aplique uma rotação nos eixos coordenados para mudar a equação x 2 + xy + y 2 = 1 para uma equação sem o termo misto xy. 7) Decida se a equação x 2 +4xy +4y 2 +6x +12y +9 = 0 representa uma parábola, uma elipse ou uma hipérbole. Fatore a equação em (x + 2y)(x + 2y + 6) = 9 para mostrar que o gráfico é uma reta (Sugestão: faça z = x + 2y para obter a equação da reta)