MATRIZES E DETERMINANTES

PET-FÍSICA MATRIZES E DETERMINANTES Aula 7 TATIANA MIRANDA DE SOUZA ANA CAROLINA DOS SANTOS LUCENA VANESSA CRISTINA DA SILVA FERREIRA FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ

AGRADECIMENTOS Esse material foi produzido com apoio do Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação e do Programa de Educação Tutorial PET, do MEC - Ministério da Educação Brasil. 2

DOS AUTORES Essa apostila foi construída para ser um material de apoio às atividades de tutoria, realizadas pelos bolsistas do Programa de Educação Tutorial Física/UFRRJ, e não tem como pretensão a substituição de materiais tradicionais e mais completos. O conteúdo aqui poderá ser compartilhado e reproduzido, desde que sejam dados os devidos créditos as pessoas responsáveis por compilar os temas aqui presentes. Uma boa leitura! 3

SUMÁRIO 1. Definição... 05 2. Representação de uma matriz... 05 3. Tipos de matrizes... 05 3.1 Matriz quadrada... 05 3.2 Matriz linha... 05 3.3 Matriz coluna... 06 3.4 Matriz triangular... 06 3.5 Matriz diagonal e identidade... 06 3.6 Matriz nula ou zero... 06 3.7 Matriz oposta... 07 3.8 Matriz transposta... 07 4. Igualdade de matrizes... 07 5. Operações com matrizes... 08 5.1 Adição de matrizes... 08 5.2 Subtração de matrizes... 08 5.3 Multiplicação de um número real por uma matriz... 08 5.4 Multiplicação de matrizes... 08 6. Determinantes... 08 6.1 Ordem 1... 08 6.2 Ordem 2... 09 6.3 Ordem 3 (Regra de Sarrus)... 09 6.4 Propriedades dos Determinantes... 09 7. Exercícios de fixação... 09 8. Referências... 10 9. Respostas dos exercícios de fixação... 10 4

1. Definição Dizemos que uma matriz (A) é um grupo ordenado de números que se apresentam dispostos em linhas e colunas numa tabela, onde ela pode ser representada por (LANG, 1971): Podemos abreviar a notação dessa matriz, escrevendo matriz m n ou de ordem m n. e dizer que ela é uma 2. Representação de uma matriz As matrizes podem ser representadas das seguintes formas: Com parênteses ; Com colchetes ; Com barras duplas. Em relação aos elementos: São representados por letras minúsculas; São acompanhados por dois índices i e j. De maneira abreviada, podemos escrever a matriz A na forma: A = (a ij )m n, com 1 i m, 1 j n e i, j. Que nos diz que se trata de uma matriz, dos elementos, do tipo m n. 3. Tipos de Matrizes 3.1 Matriz quadrada Quando o número de linhas (m) é igual ao número de colunas (n) diz-se que a matriz é quadrada de ordem. Nessas matrizes a diagonal principal é formada pelos elementos, enquanto que a outra diagonal da matriz denomina-se secundária sendo formada pelo elementos onde i + j = n + 1 (ATON & RORRES, 2012). 3.2 Matriz linha Quando como (LANG, 1971):, ou seja, a matriz possui apenas uma linha e ela pode ser escrita A = (a 11 a 12 a 13 a 1n ) 5

3.3 Matriz Coluna Quando, ou seja, a matriz possui apenas uma coluna, como mostrado abaixo (LANG, 1971): - O campo elétrico, quantidade física importante nos estudos de eletromagnetismo, tem como característica ser uma matriz coluna (vetor) de três posições. 3.4 Matriz triangular Quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, dizemos que a matriz é triangular. Como por exemplo, a matriz A mostrada abaixo (ALEJANDRO et al, 1997): Uma informação importante é que toda matriz triangular é quadrada, visto que apenas nas matrizes quadradas existiram elementos onde i = j, mas nem toda matriz quadrada é triangular. 3.5 Matriz diagonal e identidade A matriz quadrada é aquela onde todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são nulos, isto é (DANTE, 2009): Se a 11 = a 22 = a 33 = Onde: = a nn = 1 então essa matriz passará a ser denominada identidade. 3.6 Matriz nula ou zero No conjunto de matrizes, a matriz que possui todos os elementos iguais à zero denomina-se matriz nula, isto é (OLIVEIRA, 2014): 6

3.7 Matriz Oposta Denomina-se matriz oposta de uma matriz aquela que somada com fornece como resultado uma matriz nula, sendo representada por (ATON & RORRES, 2012). 3.8 Matriz inversa Dizemos que uma matriz (B) é inversa de outra matriz (A), quando o produto dela pela matriz analisada fornece a matriz identidade, tal que (DANTE, 2009): dessa forma podemos dizer que B = A -1. 3.9 Matriz Transposta B A = Denomina-se matriz transposta de a matriz onde as linhas da nova matriz são as colulas da matriz original e as colunas da nova matriz são as linhas da antiga, sendo representada por A t (STEINBRUCH & WINTERLE, 1995). Para compreender melhor, vamos considerar duas matrizes A e B: Note que as linhas da coluna B são as linhas de A, sendo suas linhas as colunas de A, sendo assim podemos dizer que B é transposta de A, tal que: 4. Igualdade de matrizes B = A t Considerar duas matrizes e, de mesma ordem m n,como mostrado abaixo: 7

Podemos dizer que essas matrizes são iguais se, e somente se, todos os elementos correspondentes são iguais (a ij = b ij ). 5. Operações com matrizes 5.1 Adição de matrizes A soma de duas matrizes A e B deverá resultar numa matriz C, onde os termos dessa nova matriz serão dados por (ALEJANDRO et al, 1997): 5.2 Subtração de matrizes c ij = a ij + b ij A subtração entre duas matrizes A e B deverá resultar numa matriz C, onde os termos dessa nova matriz serão dados por (ALEJANDRO et al, 1997): c ij = a ij - b ij 5.3 Multiplicação de um número real por uma matriz A multiplicação de um número real (k) por uma matriz A, fornecera uma nova matriz (B) onde seus termos serão escritos como (ALEJANDRO et al, 1997): 5.4 Multiplicação de matrizes b ij = ka ij O produto entre duas matrizes A e B somente será possível se o número de colunas de A deverá ser igual ao número de linhas de B, onde os componentes da nova matriz serão dados pela seguinte regra (STEINBRUCH & WINTERLE, 1995): 6. Determinantes 6.1 Ordem 1 A m k B n k = AB m k = C m k O determinante de uma matriz de ordem um é dado pelo próprio valor do elemento presente na matriz, isto é, se temos uma matriz A com elemento a 11, então: det A = a 11 8

6.2 Ordem 2 O determinante de matrizes de ordem 2 será dado pela diferença entre os produtos dos elementos da diagonal principal pelo produtos dos elementos da diagonal secundária (LANG, 1971). 6.3. Ordem 3 (Regra de Sarrus) Det[A] = D p - D s Nessa regra, utilizada para matrizes quadradas de ordem 3 o procedimento é os seguintes (STEINBRUCH & WINTERLE, 1995): Escreve a matriz que tem como objetivo obter o determinante da seguinte forma: Após isso as duas primeiras colunas da matriz devem ser escritas do lado direito; O passo seguinte é multiplicar os termos da diagonal principal e das diagonais superior e inferior a ela somando esses termos (D p ). O mesmo deve ser feito com a diagonal secundária e das diagonais superior e inferior a ela (D s ), para em seguida subtrair os valores obtidos obtendo assim o determinante. Det[A] = D p - D s Para matrizes de ordem superior a três o método mais indicado é denominado pelo método de Laplace, no entanto esse tema não será discutido nesse material por estar além das considerações iniciais das aulas propostas dentro da atividade de aula do PET. 7. Exercícios de fixação Considere as matrizes abaixo: B = Determine: a) A + B b) A B c) A B 9

d) A t e B t e) det A e det B f) A -1 e B -1 8. Referências ALEJANDRO, R. A. et al. Help! Sistema de consulta interativa Matemática. São Paulo: Klick Editora, 1997. ATON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. Porto Alegre: Editora Bookman, 2012. DANTE, L. R. Matemática. São Paulo: Ática, 2009 LANG, S. Álgebra linear. São Paulo: Edgard Blucher, 1971. OLIVEIRA, G. A. Matriz Nula. Disponível em: http://goo.gl/5odzpm. Acesso em: 20 de ago. 2014. STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Álgebra Linear. Rio de Janeiro: Pearson, 1995. 9. Respostas dos exercícios de fixação a) b) c) d), e) 0, 0 f) 10