Arquitectura de Computadores I Engenharia Informática (11537) Tecnologias e Sistemas de Informação (6616) Álgebra Booleana: Axiomas, Teoremas e Leis de De Morgan Nuno Pombo / Miguel Neto Arquitectura Computadores I 2014/2015 1
Axiomas: É uma sentença que não é provada ou demonstrada e é considerada como óbvia ou como um consenso inicial necessário para a construção ou aceitação de uma teoria Axioma 1: Seja A uma variável lógica. A=0 ou A=1. Axioma 2: 0.0=0; 1.1=1; 0.1=0; 1.0=0 Axioma 3: 0+0=0; 1+1=1; 0+1=1; 1+0=1 Axioma 4: 0 = 1; 1 = 0 Nuno Pombo / Miguel Neto Arquitectura Computadores I 2014/2015 2
Teorema 1: A soma lógica de uma variável lógica com 0 é igual ao valor da variável: A + 0 = A Teorema 2 (dual do Teorema 1): O produto lógico de uma variável lógica por 1 é igual ao valor da variável. A.1 = A Teorema 3: A soma lógica de uma variável lógica com 1 é igual a 1. A + 1 = 1 Nuno Pombo / Miguel Neto Arquitectura Computadores I 2014/2015 3
Teorema 4 (dual do Teorema 3): O produto lógico de uma variável lógica por 0 é igual a 0. A.0 = 0 Teorema 5: A soma lógica de duas variáveis lógicas iguais é igual ao valor dessa variável. A + A = A Teorema 6 (dual do Teorema 5): O produto lógico de duas variáveis lógicas iguais é igual ao valor dessa variável. A. A = A Nuno Pombo / Miguel Neto Arquitectura Computadores I 2014/2015 4
Teorema 7: A soma lógica de uma variável lógica com a negação dessa variável é igual a 1. A + A = 1 Teorema 8 (dual do Teorema 7): O produto lógico de uma variável lógica com a negação dessa variável é igual a 0. A. A = 0 Teorema 9: A dupla negação de uma variável lógica é equivalente a essa variável lógica. A = A Nuno Pombo / Miguel Neto Arquitectura Computadores I 2014/2015 5
Teorema 10: Propriedade Comutativa A + B = B + A A. B = B. A Teorema 11: Propriedade Associativa A + B + C = A + ( B + C) = ( A + B) + C A. B. C = A.( B. C) = ( A. B). C Nuno Pombo / Miguel Neto Arquitectura Computadores I 2014/2015 6
Teorema 12: Propriedade Distributiva A. B + AC. = A.( B + C) ( A + B).( A + C) = A + B. C Teorema 13: Teorema de De Morgan A. B = A + B A + B = A. B Nuno Pombo / Miguel Neto Arquitectura Computadores I 2014/2015 7
Teorema da Absorção Total: A + A. B = A A.( A + B) = A Teorema da Absorção Parcial: A + AB. = A + B A.( A + B) = A. B Nuno Pombo / Miguel Neto Arquitectura Computadores I 2014/2015 8
Teorema da Adjacência Lógica: A. B + A. B = A ( A + B).( A + B) = A Teorema do Consenso: A. B + AC. + B. C = A. B + AC. ( A + B).( A + C).( B + C) = ( A + B).( A + C) Nuno Pombo / Miguel Neto Arquitectura Computadores I 2014/2015 9
Exercício 1: Demonstre os seguintes teoremas: Absorção parcial: A + AB. = A + B Propriedade distributiva: ( A + B).( A + C) = A + B. C Nuno Pombo / Miguel Neto Arquitectura Computadores I 2014/2015 10
Exercício 2: Simplifique as seguintes funções lógicas por aplicação dos teoremas da Álgebra de Boole: F( A, B, C, D) = B. C. D + C. D + A. B. C Aplicando-se o teorema da absorção vem: F( A, B, C, D) = C. D + A. B. C F( A, B, C, D) = A. B + B. D + AC.. D + B. C. D 1ª propriedade distributiva F( A, B, C, D) = A. B + B. D + C. D.( A + B) 2ª Teorema de De Morgan F( A, B, C, D) = A. B + B. D + C. D. A. B 3ª Teorema da Absorção Parcial F( A, B, C, D) = A. B + B. D + C. D Nuno Pombo / Miguel Neto Arquitectura Computadores I 2014/2015 11
Bibliografia: 1. Thomas L. Floyd, Digital Fundamentals, Prentice Hall, 2006; 2. M. Morris Mano and Charles R. Kime, Logic and Computer Design Fundamentals, Prentice Hall, 2001. Nuno Pombo / Miguel Neto Arquitectura Computadores I 2014/2015 34