Técnicas Digitais para Computação

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1 INF 8 Técnicas Digitais para Computação Minimização de Funções Booleanas Aula

2 Técnicas Digitais. Mapas de Karnaugh com 2 variáveis Diagrama onde cada célula corresponde a um mintermo Exemplo com 2 variáveis Y Y Y m m Y Y m2 m3 Representação de uma função como soma de mintermos Cada célula recebe valor ou, conforme valor da função para aquele mintermo Exemplo: F = Σm(,2,3) = Y + Y + Y Y F m m m2 m3 Y

3 Células => mintermos Regiões retangulares => termos-produto Y m m Técnicas Digitais m2 m3 região onde = Exemplo: região onde Y = F = Σm (,2,3) lei distributiva F = Y + Y + Y = Y + (Y + Y) = Y + = ( + ) ( + Y) = + Y Y Portanto: F = soma de mintermos ou F = soma de termos-produto que cobrem a região cada mintermo tem que ser coberto por pelo menos termo

4 2. Mapas de Karnaugh com 3 variáveis Técnicas Digitais m m m3 m4 m5 m7 m2 m6 Concatenar bit da linha com bits da coluna para identificar mintermo Mintermos não seguem a ordem crescente => útil para simplificação 2 células vizinhas (adjacentes): mintermos diferem por uma variável m5 e m7 única diferença é Y

5 Atenção: vizinhança através das bordas m m4 m2 m6 Soma de 2 mintermos adjacentes pode ser simplificada eliminando-se a variável que difere nos mintermos Técnicas Digitais m m m3 m4 m5 m7 m2 m6 m5 + m7 = + = Z(Y + Y) = Z É o que há de comum entre os mintermos = região do mapa Portanto: região com 2 células adjacentes célula isolada => termo com 2 literais => mintermo com 3 literais Exemplo de simplificação F = Σm(2,3,4,5) F = Y + Y

6 Técnicas Digitais Exemplo de simplificação F = Σm(3,4,6,7) F = + Z Soma de 4 mintermos adjacentes também pode ser simplificada m m m3 m2 m4 m5 m7 m6 m2 + m3 + m6 + m7 É o que há de comum entre os 4 mintermos Y Y = ( + ) Y = Y

7 Portanto: região com 4 células adjacentes => termo com literal Exemplo de simplificação F = Σm(,2,4,5,6) Técnicas Digitais Solução : F = Z + (não otimizada) Solução 2 (com redundância) : F = Z + Y ou seja, mintermo m4 coberto pelos 2 termos quando =, Y=, Z= Situações onde existem 2 soluções mínimas possíveis F = Σm(,3,4,5,6) Solução : F = Z + Z + Y Solução 2: F = Z + Z + 2 alternativas para cobrir o mintermo

8 3. Mapas de Karnaugh com 4 variáveis W m m m3 m2 Técnicas Digitais m4 m2 m5 m3 m7 m5 m6 m4 Concatenar bits da linha com bits da coluna para identificar mintermos m8 m9 m m Notar adjacências através das bordas m m8 m m2 m m9 m4 m6

9 Técnicas Digitais célula isolada região com 2 células região com 4 células região com 8 células termo com 4 literais termo com 3 literais termo com 2 literais termo com literal Exemplo de simplificação W WZ Z F = Σm (,, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 2, 3, 4) F = Y + WZ + Z Y

10 Técnicas Digitais Exemplo de simplificação partindo de uma soma-de-produtos qualquer (não de uma soma de mintermos) CD AB ACD BD F = ABC + BCD + ABCD + ABC mintermo 3 literais: regiões com 2 células F = BC + BD + ACD BC

11 4. Implicantes Primos Implicante Primo = termo-produto obtido considerando-se o maior número possível de células adjacentes Técnicas Digitais Se mintermo é coberto por um único implicante primo => IMPLICANTE PRIMO ESSENCIAL Exemplo Implicantes Primos Z Y Implicantes Primos Essenciais Z Z Z Obtenção dos implicantes primos se não for contido numa região Mintermo isolado com 2 mintermos adjacentes Região com 2 termos adjacentes se não for contida numa região com 4 mintermos adjacentes

12 Obtenção dos implicantes primos essenciais Verificar cada mintermo com Técnicas Digitais se for coberto só por implicante primo, então este é implicante primo essencial Algoritmo para obtenção da expressão simplificada para a função. Obter implicantes primos 2. Obter implicantes primos essenciais 3. Expressão = soma lógica dos implicantes primos essenciais + outros implicantes primos necessários para cobrir outros mintermos Exemplo CD AB AD AB BD 3 implicantes primos AD essencial AB BD essencial Não é essencial - todos seus mintermos são cobertos por mais de implicante primo F = AD + BD

13 Exemplo 2 CD AB ABCD ABC Tabela de Cobertura p p2 p3 p4 p5 p6 ABC m m5 m m m2 m3 m5 BCD F = Σ m (,5,,,2,3,5) p p2 p3 p4 p5 p6 essencial essencial essencial essencial falta cobrir só m5 - pode-se escolher p4 ou p5 F = ABCD + BCD + ABC + ABC + ABD ou ACD 6 implicantes primos ABCD BCD ABC ABD ACD ABC escolher entre destes Técnicas Digitais essencial essencial essencial essencial m m5 m2 escolher entre destes m

14 Técnicas Digitais Exercicio : Simplifique o mapa de karnaugh, indique os implicates primos essenciais e extraia a função por soma de produtos. AB CD

15 Técnicas Digitais Exercicio : Simplifique o mapa de karnaugh, indique os implicates primos essenciais e extraia a função por soma de produtos. AB CD F(A,B,C,D)= BD + BD + ABC B xor D

16 Técnicas Digitais Exercício 2: Vamos tentar agora fazer uma extração por produto de somas. Isso que dizer que teremos que simplificar os maxitermos (valem ). AB CD

17 Técnicas Digitais Exercício 2: Vamos tentar agora fazer uma extração por produto de somas. Isso que dizer que teremos que simplificar os maxitermos (valem ). AB CD F(A,B,C,D) = (B+C). (B+D). (A+C). (B+C)

18 Técnicas Digitais Exercício 2: E se tivessemos extraido os mintermos para a soma de produto. AB CD F(A,B,C,D) = (A.B.C) + (B.C.D) Logo ela é equivalente a, F(A,B,C,D) = (B+C). (B+D). (A+C). (B+C)