SISTEMAS DIGITAIS (SD)

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1 SISTEMS DIGITIS (SD) MEEC cetatos das ulas Teóricas Versão 2. - Português ula N o 7: Título: Sumário: Minimização de Funções Booleanas - II Minimização de Karnaugh (agrupamentos de uns e zeros, eixos de simetria, implicantes e implicados, implicantes e implicados primos, implicantes e implicados primos essenciais); Método de minimização de Karnaugh (algoritmo de minimização, forma normal/mínima disjuntiva, forma normal/mínima conjuntiva, funções incompletamente especificadas). 23/24 [email protected]

2 Sistemas Digitais (SD) Minimização de Funções Booleanas ula nterior Na aula anterior: Minimização algébrica Minimização de Karnaugh: Representação de funções de n variáveis: o Quadros de 3 e 4 variáveis; o Quadros de n variáveis; grupamentos de uns e zeros: o Eixos de simetria; o Implicantes e implicados; o Implicantes e implicados primos; o Implicantes e implicados primos essenciais. Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 23/4 2

3 Plano SEMN TEÓRIC TEÓRIC 2 PROBLEMS/LORTÓRIO 6/Set a 2/Set Introdução Sistemas de Numeração e Códigos 23/Set a 28/Set Álgebra de Boole Elementos de Tecnologia P 3/Set a 5/Out Funções Lógicas Minimização de Funções Booleanas (I) L 7/Out a 2/Out Minimização de Funções Booleanas (II) Def. Circuito Combinatório; nálise Temporal P 4/Out a 9/Out Circuitos Combinatórios (I) Codif., MUXs, etc. Circuitos Combinatórios (II) Som., Comp., etc. L 2/Out a 26/Out Circuitos Combinatórios (III) - LUs Circuitos Sequenciais: Latches P2 28/Out a 2/Nov Circuitos Sequenciais: Flip-Flops Ling. de Descrição e Simulação de HW (ferramentas disponíveis no laboratório) 4/Nov a 9/Nov Caracterização Temporal Registos P3 /Nov a 6/Nov Revisões Teste Contadores L3 8/Nov a 23/Nov 25/Nov a 3/Nov 2/Dez a 7/Dez 9/Dez a 4/Dez Síntese de Circuitos Sequenciais: Definições Síntese de Circuitos Sequenciais: Síntese com Contadores Máq. Estado Microprogramadas: Circuito de Dados e Circuito de Controlo Circuitos de Controlo, Transferência e Processamento de Dados de um Processador Síntese de Circuitos Sequenciais: Minimização do número de estados Memórias Máq. Estado Microprogramadas: Microprograma Lógica Programável L2 P4 L4 P5 L5 (ª Parte) 6/Dez a 2/Dez P6 P6 L5 (2ª Parte) Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 23/4 3 Sumário Tema da aula de hoje: Minimização de Karnaugh: grupamentos de uns e zeros: o Eixos de simetria; o Implicantes e implicados; o Implicantes e implicados primos; o Implicantes e implicados primos essenciais. Método de minimização de Karnaugh: o lgoritmo de minimização; o Forma normal/mínima disjuntiva; o Forma normal/mínima conjuntiva; o Funções incompletamente especificadas. Bibliografia: M. Mano, C. Kime: Secções 2.4 e 2.5 G. rroz, J. Monteiro,. Oliveira: Secção 2.3 Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 23/4 4

4 grupamento de Mintermos e GRUPMENTO DE MINTERMOS E MXTERMOS Eixos de Simetria: x 2 x x 3 x 2 x 2 quadrados dizem-se adjacentes em termos lógicos quando apenas uma variável lógica altera o seu valor na representação desses quadrados. x 2 x x 4 x 3 x 3 x 2 x x 5 x 4 Num quadro de N variáveis, para cada quadrado existem sempre N outros adjacentes Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 23/4 5 grupamento de Mintermos e GRUPMENTO DE MINTERMOS E MXTERMOS (cont.) Um termo de produto diz-se um implicante da função sse essa função assume para todos os mintermos que o constituem. f(,b,c) = m(,,4,6) BC 3 2 C BC 3 2 C C C C+C = BC C grupamentos de 2 n quadrados correspondem à eliminação de n literais Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 23/4 6

5 grupamento de Mintermos e GRUPMENTO DE MINTERMOS E MXTERMOS (cont.) Exemplos da representação de : BC 3 2 BC BC + + B BC C Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 23/4 7 grupamento de Mintermos e GRUPMENTO DE MINTERMOS E MXTERMOS (cont.) Um termo de soma diz-se um implicado da função sse essa função assume para todos os maxtermos que o constituem. f(,b,c) = M(2,3,5,7) BC 3 2 BC 3 2 +C B+C +B grupamentos de 2 n quadrados correspondem à eliminação de n literais Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 23/4 8

6 grupamento de Mintermos e GRUPMENTO DE MINTERMOS E MXTERMOS (cont.) Um termo de produto diz-se um implicante primo se a remoção de um qualquer literal, desse termo de produto, resulta num termo de produto que não é um implicante da função. C BD C C B BD D C D C Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 23/4 9 grupamento de Mintermos e GRUPMENTO DE MINTERMOS E MXTERMOS (cont.) Um termo de soma diz-se um implicado primo se a remoção de um qualquer literal, desse termo de produto, resulta num termo de soma que não é um implicado da função. +C+D +C+D B+D +C+D +B+D +C+D +C B+C+D +B+D B+C+D B+D +B+D +C C+D Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 23/4

7 grupamento de Mintermos e GRUPMENTO DE MINTERMOS E MXTERMOS (cont.) Um implicante primo de uma função diz-se implicante primo essencial se contém pelo menos um mintermo não contido em nenhum outro implicante primo. Implicantes Primos C BD Implicantes Primos Essenciais Implicantes Primos Implicantes Primos Essenciais C Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 23/4 grupamento de Mintermos e GRUPMENTO DE MINTERMOS E MXTERMOS (cont.) Um implicado primo de uma função diz-se implicado primo essencial se contém pelo menos um maxtermo não contido em nenhum outro implicado primo. Implicados Primos Implicados Primos Essenciais +C+D +C+D Implicados Primos Implicados Primos Essenciais B+D Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 23/4 2

8 Minimização de Karnaugh MÉTODO DE MINIMIZÇÃO DE KRNUGH lgoritmo de Minimização: O procedimento sistemático para a obtenção da expressão simplificada de uma função representada num quadro de Karnaugh corresponde à execução dos seguintes passos: Passo : Identificação de todos os implicantes/implicados primos essenciais. Passo 2: Determinação do menor conjunto de implicantes/implicados primos que contenham os mintermos/maxtermos não incluídos nos implicantes/implicados primos essenciais identificados no passo anterior. Passo 3: Escrita da expressão simplificada como soma/produto de todos os termos de produto/soma seleccionados nos passos e 2. Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 23/4 3 Minimização de Karnaugh MÉTODO DE MINIMIZÇÃO DE KRNUGH (cont.) Forma Normal/Mínima Disjuntiva: funções cuja simplificação utiliza apenas implicantes primos essenciais. BC 3 2 C C f(,b,c) = C + C + C + C 8 9 C f(,b,c,d) = f(,b,c) = + C f(,b,c,d) = C + + C + Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 23/4 4

9 Minimização de Karnaugh MÉTODO DE MINIMIZÇÃO DE KRNUGH (cont.) f(,b,c,d) = m(,,5,7,,4,5) = Soluções alternativas 3 2 f(,b,c,d) = C + D + C + O conjunto de implicantes primos não essenciais que completam a expressão simplificada oferece várias alternativas. O conjunto de implicantes primos essenciais é único f(,b,c,d) = C + + B Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 23/4 5 Minimização de Karnaugh MÉTODO DE MINIMIZÇÃO DE KRNUGH (cont.) Expressão Original: - 5 Termos de Produto de 5 Literais Expressão Simplificada: - 6 Termos de Produto de 4 Literais - Termo de Produto de 3 Literais Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 23/4 6

10 Minimização de Karnaugh MÉTODO DE MINIMIZÇÃO DE KRNUGH (cont.) Forma Normal/Mínima Conjuntiva: f(,b,c,d) = M(2,3,4,6,8,9,,2,3) = (+D). (+D). (+D). (+D). (+D). (+D). (+D). (+D). (+D) Soluções alternativas 3 2 f(,b,c,d) = (+C).().(+B+D).(+B+D) O conjunto de implicados primos não essenciais que completam a expressão simplificada oferece várias alternativas. O conjunto de implicados primos essenciais é único f(,b,c,d) = (+C).(B+C+D).(B+C+D).(+C+D) 8 9 Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 23/4 7 Minimização de Karnaugh MÉTODO DE MINIMIZÇÃO DE KRNUGH (cont.) lgoritmo de Minimização (Funções Incompletamente Especificadas): O procedimento sistemático para a obtenção da expressão simplificada de uma função representada num quadro de Karnaugh corresponde execução dos seguintes passos: Passo : Identificação de todos os implicantes/implicados primos essenciais.* Passo 2: Determinação do menor conjunto de implicantes/implicados primos que contenham os mintermos/maxtermos não incluídos nos implicantes/implicados primos essenciais identificados no passo anterior.* Passo 3: Escrita da expressão simplificada como soma/produto de todos os termos de produto/soma seleccionados nos passos e 2. * Incluindo as indeterminações sempre que isso permita reduzir o número de literais presentes nesse implicante/implicado. Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 23/4 8

11 Minimização de Karnaugh MÉTODO DE MINIMIZÇÃO DE KRNUGH (cont.) Funções Incompletamente Especificadas: f(,b,c,d) = m(,,5,7,,4,5)+m d (8,3) =M(2,3,4,6,9,,2).M d (8,3) x 8 9 x x 8 9 x x 8 9 x x x 8 9 x 8 9 x Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 23/4 9 Minimização de Karnaugh MÉTODO DE MINIMIZÇÃO DE KRNUGH (cont.) E x E x x x x x x x x x x x x x x x x x E x x x x x x ou E x x x x x x x x x x x x Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 23/4 2

12 Próxima ula Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 23/4 2 Próxima ula Tema da Próxima ula: Noção de circuito combinatório; Tempo de propagação num circuito; Dispositivos lógicos especiais: Buffer de três estados (tri-state); Portas de passagem (transmission gates). Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 23/4 22

13 gradecimentos lgumas páginas desta apresentação resultam da compilação de várias contribuições produzidas por: Guilherme rroz Horácio Neto Nuno Horta Pedro Tomás Prof. Nuno Roma Sistemas Digitais 23/4 23