Postulado da complementação
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- Tomás Freire Valente
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1 Postulado da complementação ҧ ҧ ҧ Chamaremos A de o complemento de A 1) Se A = 0 A = 1 2) Se A = 1 A = 0 LOGO ഥA = A 1) Se A = 0, temos ҧ A = 1 ҧ ҧ A = 0 2) Se A = 1 temos ҧ A = 0 ҧ ҧ A = 1
2 Regras da adição Postulado da adição 1) = 0 2) = 1 3) = 1 4) = 1 LOGO A + 0 = A 1) Se A = 0, temos = 0 2) Se A = 1 temos = 1 Notamos que o resultado será sempre igual à variável A
3 Postulado da adição LOGO A + 1 = 1 1) Se A = 0, temos = 1 2) Se A = 1 temos = 1 Notamos que se somamos 1 a variável, o resultado será sempre 1
4 Postulado da adição LOGO A + A = A 1) Se A = 0, temos = 0 2) Se A = 1 temos = 1 Notamos que se somarmos a mesma variável, o resultado será ela mesma.
5 Postulado da adição LOGO A + ഥA = 1 1) Se A = 0, temos = 1 2) Se A = 1 temos = 1 Notamos que somamos a uma variável o seu complemento, teremos como resultado 1
6 Postulado da multiplicação Regras da multiplicação 1) 0. 0 = 0 2) 0. 1 = 0 3) 1. 0 = 0 4) 1. 1 = 1 LOGO A. 0 = 0 1) Se A = 0, temos 0. 0 = 0 2) Se A = 1 temos 1. 0 = 0 Notamos que o todo número multiplicado por 0 é 0
7 Postulado da multiplicação LOGO A. 1 = A 1) Se A = 0, temos 0. 1 = 0 2) Se A = 1 temos 1. 1 = 1 Notamos que o resultado destas expressões numéricas será sempre igual a A.
8 Postulado da multiplicação LOGO A. A = A 1) Se A = 0, temos 0. 0 = 0 2) Se A = 1 temos 1. 1 = 1 Notamos que os resultados serão sempre iguais a A
9 Postulado da multiplicação LOGO A. ഥA = 0 1) Se A = 0, temos 0. 1 = 0 2) Se A = 1 temos 1. 0 = 0 Notamos que para ambos os valores possíveis que a variável pode assumir, o resultado da expressão será sempre 0
10 Propriedade comutativa Esta propriedade é valida tanto na adição, bem como na multiplicação: Adição A + B = B + A Multiplicação A. B = B. A
11 Propriedade associativa Esta propriedade é valida tanto na adição, bem como na multiplicação: Adição A + B + C = A + B + C = A + B + C Multiplicação A. B. C = A. B. C = A. B. C
12 Propriedade distributiva Vamos verificar esta propriedade através da tabela verdade, analisando todas as possibilidades: A. B + C = A. B + (A. C)
13 Propriedade distributiva A. B + C = A. B + (A. C) A B C A(B+C) A.B A.C A.B+A.C Notamos que pela tabela, as expressões se equivalem
14 Teoremas de Morgan Muito empregados na prática, em simplificações booleanas e, ainda, no desenvolvimento de circuitos digitais. Augustus De Morgan, nascido em Madura, Índia, 27 de junho de 1806
15 1º Teoremas de Morgan O complemento do produto é igual a soma dos complementos: A. B = ഥA + ഥB A B ഥA + ഥB A. B Notamos a igualdade de ambas as colunas
16 1º Teoremas de Morgan O teorema pode ser estendido para mais de duas variáveis: A. B. C N = ഥA + ഥB + ഥC + + ഥN
17 1º Teoremas de Morgan O complemento da soma é igual ao produto dos complementos: A + B = ഥA. ഥB A B ഥA. ഥB A + B Notamos a igualdade de ambas as colunas
18 1º Teoremas de Morgan O teorema pode ser estendido para mais de duas variáveis: A + B + C + + N = ഥA. ഥB. ഥC.. ഥN
19 Identidades auxiliares 1) A + A. B = A Propriedade distributiva A(1 + B) Do postulado da soma temos 1 + B = 1 Logo A 1 + B = A. 1 = A
20 Identidades auxiliares 2) A + B. A + C = A + (B. C) Propriedade distributiva A. A + A. C + B. A + B. C Identidade A. A = A Logo A. 1 + B + C + B. C Identidade 1 + B = C = 1 Logo A. 1 + B. C = A + (B. C)
21 Identidades auxiliares 3) A + ഥA. B = A + B Identidade A + ഥA. B = A + ഥA. B 2º teorema de Morgan ഥA. (ഥA. B) 1º teorema de Morgan ഥA. (A + ഥB) distributiva ഥA. A + ഥA. ഥB) Identidade ഥA. A = 0
22 3) A + ഥA. B = A + B Identidades auxiliares CONTINUANDO 0 + ഥA. ഥB = ഥA. ഥB Primeiro teorema de Morgan ഥA + ഥB A + B
23 Simplificação de expressões booleanas Utilizando o conceito da álgebra de boole, podemos simplificar expressões e consequentemente circuitos. Vamos simplificar o circuito a seguir: S = A. B. C + A. ഥC + A. ഥB S = A. B. C + ഥC + ഥB S = A. B. C + (C + ഥB) S = A. B. C + (C. B)
24 Simplificação de expressões booleanas Chamando B.C de Y S = A. Y + ഥY Como: Y + ഥY = 1 S = A LOGO S = A. B. C + A. ഥC + A. ഥB = A Esta expressão mostra a importância da simplificação e consequentemente a minimização do circuito.
25 Simplificação de expressões booleanas Outro exemplo S = ഥA. ഥB. ഥC + ഥA. B. ഥC + A. ഥB. C Sabendo: LOGO S = ഥA. ഥC ഥB + B + A. ഥB. C ഥB + B = 1 S = ഥA. ഥC + A. ഥB. C
26 S = C. (A + ഥB) = ഥC + ഥA. B EXEMPLO 1 S = ഥA. ഥB. ഥC + ഥA. B. C + ഥA. B. ഥC + A. ഥB. ഥC + A. B. ഥC S = ഥC. (ഥA. ഥB + ഥA. B + A. B + A. ഥB) + ഥA. B. C S = ഥC. (ഥA. (ഥB + B) + A. (ഥB + B)) + ഥA. B. C S = ഥC. (ഥA + A) + ഥA. B. C S = ഥC + ഥA. B. C = C. (A + ഥB + ഥC)
27 EXEMPLO 2 S = A + B + C. (ഥA + ഥB + C) S = A. ഥA + A. ഥB + A. C + +B. ഥA + B. ഥB + B. C + +C. ഥA + C. ഥB + C. C S = A. ഥB + A. C + B. ഥA + B. C + C. ഥA + C. ഥB + C S = A. ഥB + B. ഥA + C. (A + B + ഥA + ഥB + 1) S = A. ഥB + B. ഥA + C
28 EXEMPLO 3 S = (A. C + B + D) + C. A. C. D S = (ഥA + ഥC + B + D) + C. ഥA + ഥC + ഥD S = (A. C. ഥB. ഥD) + C. ഥA + C. ഥC + C. ഥD S = (A. C. ഥB. ഥD) + C. ഥA + C. ഥD S = C. ഥD(A. ഥB + 1) + C. ഥA S = C. ഥD + C. ഥA
29 EXEMPLO 4 A partir da expressão (A B) obtenha A B S = (A B) = (ഥA. ഥB + AB) S = (ഥA. ഥB). (A. B) S = (A + B). (ഥA + ഥB) S = A. ഥA + A. ഥB + B. ഥA + B. ഥB S = A. ഥB + B. ഥA = A B
30 EXEMPLO 5 Obtenha o circuito simplificado que executa a expressão: S = (A B) (B. (A + ഥC) + ഥD(ഥA + B + ഥC) S = A B B. A + B. ഥC + ഥD. A. ഥB. C) S = (A B) ഥB + ഥA. ഥB + C. (D + ഥA + B + ഥC) S = (ഥA. B + A. ഥB) ഥB + ഥA. ഥB + C. (D + ഥA + B + ഥC) S = ഥA. B. ഥB + A. ഥB. ഥB + ഥA. B. ഥA + A. ഥB. ഥA. ഥB + C. (D + ഥA + B + ഥC) S = A. ഥB + ഥA. B. ഥB + C. (D + ഥA + B + ഥC)
31 EXEMPLO 5 S = A. ഥB + ഥA. B. ഥB + C. (D + ഥA + B + ഥC) S = A. ഥB + ഥA. B. ഥB. D + ഥB. ഥA + ഥB. B + ഥB. ഥC + C. D + C. ഥA + C. B + CഥC S = A. ഥB + ഥA. B. ഥB. D + ഥB. ഥA + ഥB. ഥC + C. D + C. ഥA + C. B S = A. ഥB. ഥB. D + A. ഥB. ഥB. ഥA + A. ഥB. ഥB. ഥC + A. ഥB. C. D +A. ഥB. C. ഥA + A. ഥB. C. B + ഥA. B. ഥB. D + ഥA. B. ഥB. ഥA + ഥA. B. ഥB. ഥC + ഥA. B. C. D + ഥA. B. C. ഥA + ഥA. B. C. B
32 EXEMPLO 5 S = A. ഥB. D + A. ഥB. ഥC + A. ഥB. C. D +ഥA. B. C. D + ഥA. B. C + ഥA. B. C S = A. ഥB. D + A. ഥB. ഥC + A. ഥB. C. D +ഥA. B. C. (D ) S = A. ഥB. (D + ഥC + C. D) + ഥA. B. C S = A. ഥB. (ഥC + D. (1 + C)) + ഥA. B. C S = A. ഥB. (ഥC + D) + ഥA. B. C S = A. ഥB. ഥC + A. ഥB. D + ഥA. B. C
33 EXEMPLO 5 Obtenha o circuito simplificado que executa a expressão: S = (A B) (B. (A + ഥC) + ഥD(ഥA + B + ഥC) S = A. ഥB. ഥC + A. ഥB. D + ഥA. B. C
34 Exercício Simplifique as expressões utilizando a álgebra de boole a) S = A. B. ഥC + ഥA. ഥB. C + A. B. C + ഥA. B. C + ഥA. B. ഥC b) S = A. B. ഥC. D + ഥA. ഥB. C. ഥD + A. B. ഥC. ഥD +ഥA. B. C. ഥD + A. B. C. ഥD + A. ഥB. C. ഥD + A. B. C. D Não precisa ENTREGAR, mas precisa estudar
35 Exercício Simplifique as expressões utilizando a álgebra de boole ) S = ഥB + ഥC + ഥD. ഥA + B + C + C + ഥA. ഥB. C + ഥB. A + C Não precisa ENTREGAR, mas precisa estudar
36 Exercício Simplifique as expressões utilizando a álgebra de boole ) S = A. ഥB. C + D + ഥA. B + C + C. ഥD + A. ഥB. C + A. B Não precisa ENTREGAR, mas precisa estudar
37 Exercício Simplifique as expressões utilizando a álgebra de boole ) S = A B + ഥB. C. ഥD. ഥD + ഥB. C + D. (ഥA + B) + ഥA. ഥD Não precisa ENTREGAR, mas precisa estudar
38 Exercício Simplifique as expressões utilizando a álgebra de boole ) S = B. +C. ഥD + ഥD + A. C. A + ഥB + ഥC + ഥB(C + ഥA. B. C + A. C). A + B Não precisa ENTREGAR, mas precisa estudar
39 Exercício Simplifique as expressões utilizando a álgebra de boole E desenhe o circuito simplificado ) S = ഥB + ഥD. ഥB + C D + ഥA(B. ഥC + ഥB. C + A + ഥB(ഥC + ഥD)) ENTREGAR
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