GEOPLANO ISOMÉTRICO Descrição. Os geoplanos isométricos ou geoplano de malha triangular são tabuleiros de madeira de forma quadrada com pinos de madeira, de plástico ou pregos, colocados parcialmente pregados configurando uma malha triangular. As ligas de borracha, fios ou elásticos enlaçadas nos pinos, representam figuras poligonais com vértices nesses pontos da malha. Existe variedade entre os geoplanos isométricos, por exemplo, pode variar o tamanho do tabuleiro, o número de pinos e os tipos de pinos segundo o material utilizado, podem ser diferentes na inclusão ou não da representação dos segmentos da malha na montagem do geoplano, etc. Também é possível colocar juntos, unidos pelo lado, dois ou mais geoplanos isométricos para trabalhar em um geoplano maior. 1
Os geoplanos são importantes ferramentas para o ensino-aprendizagem da Matemática pela ampla variedade de temas que permitem abordar, inclusive formas distintas de trabalhar os mesmos assuntos, combinando o estímulo da intuição, da criatividade, da reflexão, da inovação, do desenvolvimento do raciocínio geométrico espacial com a indagação, a experimentação, a verificação, a comprovação e a interiorização dos conceitos. Por ser muito simples de manufaturar e com enorme potencial de aplicações no ensino, este recurso didático apresenta muitas possibilidades de renovar as estratégias e metodologias aplicadas na sala de aula. Construção do geoplano isométrico Material: madeira de 30 cm x 30 cm e de 2cm de espessura, de preferência colorida, 70 pinos de madeira ou pinos de plástico ou pregos. No caso de escolher pregos, também são usados canudos de plástico (palitos de pirulitos), estes são opcionais. Construção: O tabuleiro de madeira pode ser laminado com fórmica branca ou colorida, pode ser pintado com tinta para madeira de cor branca ou outras cores. Resultados excelentes são obtidos com tintas automotivas. Para certas aplicações dos geoplanos isométricos, por exemplo com alunos do ensino fundamental, pode ser necessário o desenho das linhas da malha no geoplanos. Com essa finalidade, traçamos a malha em cartão colorido e o colamos no tabuleiro antes da colocação dos pinos. Para um geoplano isométrico, no desenho da malha triangular marcam-se os pinos em cada linha horizontal e vertical como na figura ao lado. A distância entre dois pinos consecutivos, vértices de um mesmo triângulo equilátero é de 4cm. É importante deixar uma faixa de 2cm entre a malha e os lados do tabuleiro. Se os pinos são de madeira ou plástico, são feitas perfurações no tabuleiro de tamanho adequado e colocam-se pinos nos orifícios, usando cola para uma melhor fixação. Se os pinos são pregos então se pode cortar porções de canudo de plástico (palito de pirulito) branco ou colorido, para revestir o prego. Para acabamento, coloca-se tinta para metal ou esmalte na cabeça do prego. 2
Área de figuras planas representadas no geoplano isométrico O geoplano isométrico apresenta um contexto diferente do habitual para a abordagem de áreas de figuras planas utilizando um sistema de medição de áreas em unidades triangulares de área. O triângulo unitário é o menor triângulo no geoplano isométrico e tem uma unidade triangular de área, que notamos com 1u 2, vide o triângulo A na figura. A área em unidades triangulares de triângulos equiláteros com vértices nos pontos do geoplano isométrico é calculada pela contagem dos triângulos unitários que eles contém, assim na figura ao lado, área(b) = 9u 2, área(c) = 4u 2. Também são determinadas por contagem as áreas das regiões poligonais, não triangulares, logo, na figura ao lado, área(d) = 6u 2, área(e) = 5u 2 e área(f) = 13u 2. Outras figuras planas não podem ter sua área calculada pela contagem direta dos triângulos unitários que elas contém, por exemplo os triângulos G e H na figura. Observar que o triângulo G tem o ângulo em P de 60º. Logo, pode ser construído o rombóide OPQR e o cálculo da área desse polígono segue da contagem direta das unidades triangulares de área, área(opqr) = 12u 2. A diagonal OG determina em OPQR dois triângulos congruentes, portanto, área(δopq) = 6u 2. Isso resulta também do produto OP.PQ = 6u 2. O triângulo H tem o ângulo em O de 120º, e esse triângulo é metade da superfície do rombóide OPQR onde PR é uma diagonal. Resulta assim, área(δrop) = 6u 2. Esse valor também resulta do produto OP.OR = 6u 2. Então, a área de triângulos na malha triangular com um ângulo interno de 60º ou de 120º é igual ao produto dos comprimentos dos lados do ângulo de 60º ou de 120º, respectivamente. Esse resultado conduz a uma fórmula geral para o cálculo de áreas de triângulos no geoplano isométrico. Consideramos o triângulo ΔSTU e traçamos o segmento UV que determina no ΔSTU os dois triângulos: ΔSVU, que tem o ângulo SVU com med(svu ) = 120, e o triângulo ΔUVT, que tem o ângulo UVT com med(uvt ) = 60º. Logo, área(δstu) = área(δsvu) + área(δuvt) = SV. VU + VU. TU = (SV + VT ) VU = ST. VU 3
Nos casos onde não é possível traçar um segmento interior ao triângulo tal que forme ângulos de 60º e de 120º com a base, como no exemplo anterior, é produzido um novo polígono externo ao triângulo com as características que nos permitem calcular a área usando propriedades conhecidas. No caso do triângulo ΔWXY traçamos o segmento com origem no vértice oposto à base e com extremidade no ponto Z da reta pela base XY. Logo, XZ e YZ são os lados do ângulo XZW = YZW, tal que med(xzw ) = 60º. Logo, área(δwxy) = área(δwxy) área(δwxy) = = XZ. ZW - YZ. ZW = (XZ - YZ ) ZW = XY. ZW Então, em ambos casos considerados, a área do triângulo é igual ao produto do comprimento da base com o segmento que une o vértice oposto à base com a reta pela base formando um ângulo de 60º. Esta é uma regra geral para o cálculo de áreas de regiões triangulares no geoplano isométrico. Enunciamos uma generalização do teorema de Pick para regiões poligonais representadas no geoplano isométrico. Teorema de Pick para polígonos em malha triangular. Se P é um polígono com vértices em pontos da malha triangular, P i são pontos interiores a P e P b são pontos no bordo de P, então área(p) = P b + 2(P i 1). 4
APLICAÇÕES DIDÁTICAS DO GEOPLANO ISOMÉTRICO Retas. Semirretas. Posições relativas. Segmentos de reta. Posições relativas. Comparações de segmentos. Poligonais. Classificação. Comparação de comprimento. Ângulos. Classificação de ângulos. Posições relativas de ângulos. Comparações de medidas de ângulos Elementos dos polígonos: lados, vértices, ângulos, diagonais. Elementos dos triângulos: alturas, bissectrizes, medianas, mediatrizes. Relações entre os elementos dos triângulos Classificações dos polígonos. Convexidade das figuras poligonais. Construção de padrões geométricos. Perímetro de figuras planas. Conceito de área. Trabalho com unidade de área triangular. Área de figuras planas. Equivalência de áreas. Relações perímetro-área. Teorema de Pick. Polígonos isoperimétricos. Polígonos equivalentes. Congruência de polígonos. Simetrias das figuras poligonais. Disecções de polígonos. Polígonos equidecomponíveis. Verificação do Teorema de Pitágoras. Semelhança de polígonos. Relações entre os perímetros e entre as áreas de figuras planas semelhantes. Visualização espacial. Construção de mosaicos. Limitações do geoplano isométrico As restrições inerentes à estrutura do geoplano isométrico fazem que não seja possível: Construção de segmentos de comprimento 3, 4, 6, 7,... Construção de ângulos de certa amplitude. Construção de polígonos regulares, exceto triângulo equilátero, hexágono regular convexo e hexágono regular não convexo. 5