PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA Prof. Francisco Leal Moreira /

. OS CONJUNTOS R SUMÁRIO E R..... O CONJUNTO R..... O CONJUNTO R.... SISTEMAS LINEARES..... INTRODUÇÃO..... EQUAÇÃO LINEAR..... SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES..... SISTEMAS EQUIVALENTES....5. SISTEMA LINEAR ESCALONADO....6. RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR TRIANGULAÇÃO OU ESCALONAMENTO....7. MÉTODO DE CASTILHOS...5.8. RESPOSTAS...7. ESPAÇOS VETORIAIS...8.. ESPAÇO VETORIALREAL...8.. REPRESENTAÇÕES DE UM VETOR..... VETOR NULO..... VETORES IGUAIS....5. VETORES OPOSTOS....6. OPERAÇÕES GEOMÉTRICAS E ALGÉBRICAS COM VETORES....7. COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES...5.8. VETORES COLINEARES...5.9. PARALELISMO DE DOIS VETORES...6.. RESPOSTAS...7.. PRODUTO ESCALAR...8.. MÓDULO DE UM VETOR...8.. VETOR UNITÁRIO...9.. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS...9.5. VERSOR DE UM VETOR...9.6. ÂNGULO DE DOIS VETORES...9.7. VETORES ORTOGONAIS....8. PROJEÇÃO DE UM VETOR....9. RESPOSTAS..... PRODUTO VETORIAL..... INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO P. V...... RESPOSTAS..... PRODUTO MISTO..... INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO MISTO...5.5. RESPOSTAS...5. ESTUDA DA RETA NO ESPAÇO R...6.. EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA...6.. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA...6.. EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA...7.. EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA...7.5. RETAS PARALELAS AOS EIXOS COORDENADOS...8.6. RETAS PARALELAS AOS PLANOS COORDENADOS...8.7. ÂNGULO DE DUAS RETAS...8.8. RETAS PARALELAS...9

.9. RETAS ORTOGONAIS...9.. RETA ORTOGONAL A DUAS RETAS...9.. INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS..... RETAS COPLANARES..... RESPOSTAS... 5. ESTUDO DO PLANO NO ESPAÇO R... 5.. EQUAÇÃO GERAL DO PLANO... 5.. EQUAÇÃO VETORIAL DO PLANO... 5.. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO... 5.. PLANOS PARALELOS AOS EIXOS COORDENADOS... 5.5. PLANOS PARALELOS AOS PLANOS COORDENADOS...5 5.6. ÂNGULO DE DOIS PLANOS...5 5.7. INTERSECÇÃO DE DOIS PLANOS...6 5.8. ÂNGULO DE UMA RETA COM UM PLANO...6 5.9. INTERSECÇÃO DE RETA COM PLANO...7 5..RESPOSTAS...8 6. DISTÂNCIAS...9 6.. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS...9 6.. DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA...9 6.. DISTÂNCIA DE UM PONTO A UM PLANO...9 6.. DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS PARALELAS... 6.5. DISTÂNCIA ENTRE UMA RETA E UM PLANO... 6.6. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS... 6.7. RESPOSTAS... 7. SUBESPAÇO VETORIAL... 7.. INTRODUÇÃO... 7.. RESPOSTAS... 8. SUBESPAÇO VETORIAL GERADO... 8.. RESPOSTAS... 9. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR... 9.. INTRODUÇÃO... 9.. PROPRIEDADES... 9.. RESPOSTAS...5. BASE E DIMENSÃO...6.. INTRODUÇÃO...6.. BASE...6.. PROPRIEDADES...6.. DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL...7.5. RESPOSTAS...7. ORTOGONALIDADE...8.. VETORES ORTOGONAIS...8.. BASE ORTOGONAL E BASE ORTONORMAL...8.. RESPOSTAS...8. TRANSFORMAÇÕES LINEARES...9.. INTRODUÇÃO...9.. TRANSFORMAÇÃO LINEA R...9.. MATRIZ NATURAL OU MATRIZ CANÔNICA...5

.. T L DEFINIDA PELAS IMAGENS DOS VETORES DA BASE CANÔNICA...5.5. COMPOSTA DE DUAS TL...5.6. RESPOSTAS...5. TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS...5.. INTRODUÇÃO...5.. REFLEXÕES...5.. DILATAÇÕES E CONTRAÇÕES...55.. CISALHAMENTOS...56.5. ROTAÇÕES...57.6. RESPOSTAS...59. VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS...6.. INTRODUÇÃO...6.. DETERMINAÇÃO DOS VALORES E VETORES PRÓPRIOS...6.. RESPOSTAS...6 5. APÊNDICE...65 5.. MATRIZES...65 5... PROPRIEDADES...66 5... RESPOSTAS...68 5.. INVERSÃO DE MATRIZES...69 5... MATRIZ INVERSA...69 5... PROPRIEDADES...7 5... OPERAÇÕES ELEMENTARES DE UMA MATRIZ...7 5... INVERSÃO DE MATRIZ POR OPERAÇÕES ELEMENTARES...7 5..5. RESPOSTAS...7 6. BIBLIOGRAFIA...7

. OS CONJUNTOS R E R.. O CONJUNTO R R R R {(, ) /, R} P(, ) O : origem O : eio das abscissas O : eio das ordenadas P(,) O P(,) O E) Represente graficamente os conjuntos: ) {(,) R / } ) {(,) R / } ) {(,) R / < } ) {(,) R / } 5) {(,) R / } 6) {(,) R / < } 7) {(,) R / < e < } 8) {(,) R / } 9) {(,) R / }.. O CONJUNTO R R R R R {(,, ) /,, R} O O : origem O P(,, O O O : eio das abscissas O : eio das ordenadas O : eio das cotas O : plano que contém os eios e O : plano que contém os eios e O : plano que contém os eios e P(,,) O P(,,) O P(,,) O P(,,) O P(,,) O P(,,) O E) Represente graficamente os pontos: ) (,,) ) (-,,) ) (,,) ) (,,) 5)(-,,) 6) (,-,) 7) (,,) 8) (,-,-) 9) (-,-,) ) (,,) ) (,,-) ) (-,-,-)

. SISTEMAS LINEARES.. INTRODUÇÃO O estudo de sistemas de equações lineares é de fundamental importância na Álgebra Linear. Resolvendo sistemas de equações lineares podemos determinar: a dependência ou independência linear de vetores, o subespaço vetorial gerado por um conjunto de vetores, a matri que representa uma transformação linear em bases dadas e vetores próprios de um operador linear. No final dessa secção, apresentaremos o método de Castilhos que pode ser utiliado na resolução de sistemas de equações lineares... EQUAÇÃO LINEAR a a L a n n b, com a, a, L a n, b R Eemplos a) No R, b) No R, c) As seguintes equações não são lineares:,, cos, e - e ln. Solução de uma equação linear é uma seqüência de números que satisfa a equação. Conjunto-solução de uma equação é o conjunto de todas as soluções da equção. Eemplos a) No R, o conjunto-solução da equação é {(,) / R } e (,5) é uma solução particular. b) No R, o conjunto-solução da equação é {(,,) /, R } e (,7,9) é uma solução particular... SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Sistema linear de m equações com n incógnitas a a a m a a a L a m L a n n L a n b b M M M M mn n n b m Solução de um sistema linear é uma seqüência de números que é solução de toda equação do sistema.

E) A terna ( -,,-) é solução do sistema 6? 6 E) Resolva, se possível, os sistemas escrevendo os conjuntos soluções em U. a), U R b), U R c), U R d), U R e), U R f), U R CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR QUANTO ÀS SOLUÇÕES: determinado (solução única) compatível Sistema Linear (possui solução) indeterminado (várias soluções) incompatível (não possui solução) REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE UM SISTEMA LINEAR. A equação AXB é a representação matricial de qualquer sistema de equações lineares. Se a matri B é nula, o sistema é chamado de homogêneo. Um sistema homogêneo é sempre compatível: - Determinado se tiver apenas a solução trivial ou imprópria que apresenta todas as variáveis assumindo valor ero. - Indeterminado se tiver a solução trivial e outras denominadas soluções próprias. E) Escreva um sistema linear homogêneo de duas equações com duas variáveis que seja: a) compatível e determinado b) compatível e indeterminado c) incompatível.. SISTEMAS EQUIVALENTES. Dois sistemas que apresentam o mesmo conjunto solução são chamados sistemas equivalentes. E) Resolva, se possível, o sistema:.5. SISTEMA LINEAR ESCALONADO. Um sistema linear está na forma escalonada se o número de eros que precede o primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação. Todo sistema escalonado pode ser facilmente resolvido como no eercício E.

Eemplo: O sistema do eercício E, cuja matri ampliada é E5) Resolva o sistema: t t.6. RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR TRIANGULAÇÃO OU ESCALONAMENTO. Um sistema linear pode ser transformado em outro, equivalente e escalonado, com as seguintes operações: a) Permutação de duas equações; b) Multiplicação de uma equação por um número real diferente de ero; c) Substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamente multiplicada por um número real diferente de ero. Eemplo: Resolva o sistema por triangulação: O sistema resultante está na forma escalonada e é equivalente ao sistema dado. Logo, o sistema dado é determinado e seu conjunto solução é S { }, ), (. A seguir, resolva o mesmo sistema, a partir da matri ampliada. L L (-)L L (-)L E6) Resolva, se possível, os sistemas por escalonamento: Permutando as duas primeiras equações Substituindo a o eq. pela sua soma com a o multipli- cada por - Substituindo a o equação pela sua soma com a o multiplicada por -

a) b) CLASSIFICAÇÃO DE SIS TEMAS LINEARES POR TRIANGULAÇÃO OU ESCALONAMENTO. Se ao escalonar o sistema é erada uma linha da matri dos coeficientes sem erar o correspondente termo independente, o sistema é incompatível, eemplo o eercício E b. Caso contrário o sistema é compatível: - determinado, quando após escalonar obtém-se tantas linhas significativas (não totalmente nulas) quantas são as colunas da matri dos coeficientes. - Indeterminado, quanto após escalonar obtém-se menos linhas significativas do que o número de colunas da matri dos coeficientes, eemplo o eercício E a. Todo sistema homogêneo que apresentar mais incógnitas que equações é indeterminado. E7) Determine o valor de m para que o sistema m m seja: a) Determinado; b) Indeterminado; c) incompatível. E8) Resolva, se possível, o sistema 5.7. MÉTODO DE CASTILHOS. O método de Castilhos é uma simplificação do método do escalonamento, onde as operações aplicadas sobre as equações são representadas por determinantes de º ordem. A seguir, a aplicação do método de Castilhos na resolução do eercício E8. º. Quadro do º. quadro: - 5 do º. quadro com em qualquer equação: - º. Quadro -5-7 - - -7 do º. quadro com - e em qualquer equação: º. Quadro - - S {(,,)} 5

6 E9) Resolva, se possível, os sistemas: a) 5 b) c) 5 5 5 d) e) f) 7 5 E) Resolva o sistema para k -, k - e k. k k k E) Se A e X, resolva: a) A.X X b) A.X.X c) ( A.I ).X E) Determine para que valores de a, b e c o sistema é determinado, indeterminado ou impossível: a) c 6 b a 5 b) c t b t a t c) c b a 5 d) c b a e) c b a

.8. RESPOSTAS E) Não E) a) S{(,-)} b) S{ (, ) / R } c) S{ } d) S{ (,, ) / R } e) S{ (,, ) / R} f) S{ (,,) / R} E) S{(,-,)} E5) S{ (,,t,t) /, t R } E6) a) S{ (,, ) / R } b) S{ } E7) a) m e m b) m c) m E8) S{(,-,)} E9) a) S{ } b) S{ (,, ) / R } c) S{ } d) S{ (,, ) / R } e) S{(,,)} f) S{ } E) k-, SCI, S{ (,,) / R } ; k-, SCI, S{ (,,)/ R } ; k, S{(,,)} E) a) S{(,,)} 5 b) S{ (,, ) / R } c) S{ (,, ) / R } E) a) SI se c b e SCI se cb b) SCI, a,b, c R c) SCD, a,b, c R d) SI, se a-b-c e SCD se a-b-c e)scd, a,b, c R 7

.. ESPAÇO VETORIAL REAL. ESPAÇOS VETORIAIS Seja um conjunto V φ no qual estão definidas duas operações: adição e multiplicação por escalar, tais que u,v V, uv V e α R, u V, αu V. O conjunto V com as operações acima é chamado espaço vetorial real se forem verificadas as seguintes propriedades: Em relação à adição: A u v v u, u,v A (u v) w u (v w), u,v,w V (a adição deve ser comutatividade ) V (a adição deve ser associativa ) A V, u V, u u ( deve eistir em V o elemento neutro da adição) A u V, (-u) V, u (-u) (deve eistir em V o simétrico de cada elemento de V) Em relação à multiplicação por escalar: M (α β)u αu βu, α,β R e u V (a multiplicação deve ser distributiva em relação a adição de escalares) Μ α(u v) αu αv, α R e u,v V (a multiplicação deve ser distributiva em relação a adição de vetores) M (αβ)u α(βu), α,β R e u V(a multiplicação deve ser associativa em relação a multiplicação de escalares) M u u, u V (o (um) deve ser o elemento neutro da multiplicação por escalar) Os elementos de um espaço vetorial são chamados vetores independente de sua naturea. Eemplos de espaços vetoriais: n. O conjunto R das n-uplas de números reais com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.. O conjunto Mmn das matries mn com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.. O conjunto P n {a n a n... a n ; a i R} dos polinômios de grau menor ou igual a n, incluindo o polinômio identicamente nulo, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.. O conjunto das funções definidas no intervalo [a;b] em relação às operações definidas por (f g)() f() g() e (αf)() αf(), α R. 8

Nesta disciplina, estamos interessados somente no estudo dos espaços vetoriais R e R. Como os elementos do R e R são representados, respectivamente, por pares (,) e ternas (,,), estes elementos podem ser interpretados como pontos ou vetores do respectivo espaço. Então, (,) e (,,) são as as coordenadas de um ponto que marca uma posição no espaço ou de um vetor que define um deslocamento no espaço. Observe, no sistema de coordenadas abaio, os significados de (5,) R. P(5,) v 5 Na figura acima temos: o ponto P de coordenadas (5,) e o vetor v de coordenadas (5,). Como v é o deslocamento de O até P, é representado geometricamente pelo segmento orientado OP. Observe que v tem direção, sentido e comprimento definidos, podendo ser aplicado sobre qualquer ponto do plano. Na figura abaio, temos a aplicação do vetor v (,) sobre alguns pontos do espaço R. Neste caso, diemos que os segmentos orientados são representantes do mesmo vetor, pois epressam o mesmo deslocamento aplicado em pontos distintos. E) Na figura acima, encontre as coordenadas de cada ponto onde foi aplicado o vetor (origem do segmento). E) Na figura acima, encontre as coordenadas de cada ponto obtido após a aplicação do vetor (etremidade do segmento). E) Encontre as diferenças entre as coordenadas dos pontos etremidade e origem em cada segmento. 9

Indicaremos o vetor aplicado no ponto A com etremidade em B por ABou B A ou por qualquer letra latina minúscula. No No R, se A(, ) e B(, ) então v AB B A (, ). R, se A(,,) e B(,, ) então v AB B A (,, ). E) Sejam os pontos A(-,), B(,5), C(-,-), D(,,), E(,-,-) e F(-,6,-6). Encontre AB, BC, DE e EF. Observações: a) No sistema de eios adotado adotado no R, temos dois deslocamentos padrão i(,) e j(,). j(,) i(,) b) No sistema de eios adotado adotado no R, temos três deslocamentos padrão i(,,), j(,,) e k(,,). k(,,) j(,,) i(,,) c) Os vetores i(,) e j(,) formam a denominada base canônica do R e os vetores i(,,), j(,,) e k(,,) formam a denominada base canônica do R. As bases serão objeto de estudo posteriormente. d) Os vetores i, j e k também são representados, respectivamente, por e, e e e.

Eemplo: Usando os vetores padrão i(,) e j(,), queremos encontrar o caminho mais curto para ir do ponto (-,) até o ponto (,). Solução: O deslocamento total: passos para direita mais p assos para cima ou i j. Note que: (,) (,) (,). A resolução do eemplo acima, que não é única, foi feita mediante a decomposição do vetor (,) segundo as direções dos vetores i e j, isto é, (,) i j. Importante: a) Todo vetor do R pode ser decomposto segundo as direções dos vetores i(,) e j(,). v(a,b) v ai bj b) Todo vetor do R pode ser decomposto segundo as direções dos vetores i(,,), j(,,) e k(,,). v(a,b,c) v ai bj ck.. REPRESENTAÇÕES DE UM VETOR Geométrica Algébrica Matricial R v (,) v R v (,,) v

.. VETOR NULO Vetor nulo é o vetor representado por um segmento nulo. Indica-se o vetor nulo por. No R, (,) e no R, (,,)... VETORES IGUAIS Dois vetores são iguais se tiverem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. No R, se u (, ) e v (, ) então u v e. No R, se u (,, ) e v (,, ) então u v, e. E5) Encontre e para que os vetores u e v sejam iguais. a) u (, -) e v (, ) b) u (,, 5) e v (, 5, 5).5. VETORES OPOSTOS Dois vetores são opostos se tiverem a mesma direção, o mesmo comprimento e sentidos opostos. Indica-se o vetor oposto de v por -v. No R, se v (,), -v (-,-) e no R, se v (,,), -v ( -,-,-)..6. OPERAÇÕES GEOMÉTRICAS E ALGÉBRICAS COM VETORES. ADIÇÃO GEOMÉTRICA u v Regra do Paralelogramo Regra da Poligonal B D B v C u u v u u v A v C A

. ADIÇÃO ALGÉBRICA No No R, se u(, ) e v(, ) então u v (, ). R, se u(,, ) e v(,, ) então u v (,, ) PROPRIEDADES: a) Comutativa : u v v u b) Associativa : u ( v w ) ( u v) w c) Elemento neutro : u u d) Elementos Oposto : u (- u ). SUBTRAÇÃO GEOMÉTRICA A diferença dos vetores u e v é a soma do vetor u com o oposto de v, isto é u - v u (- v ).. SUBTRAÇÃO ALGÉBRICA No No R, se u(, ) e v(, ) então u v (, ). R, se u(,, ) e v(,, ) então u v (,, ) E6) Determine o vetor nas figuras abaio : a) b) u v u v w E7)Sejam os pontos A (,,), B (, -, ) e C (,, - ). a)determine as componentes dos vetores AB, AC e BC. b) Determine o vetor v, tal que v AB BC. c)determine o ponto P, tal que AP PB.

5. MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR. - Se α ou v, então α v - Se α e v, então α v é tal que a) α v e v tem a mesma direção b) α v e v tem o mesmo sentido se α > e sentido contrário se α < c) o comprimento de α v é igual ao comprimento de v multiplicado pelo módulo de α. Eemplo: v v - v 6. MULTIPLICAÇÃO ALGÉBRICA DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR. No No R, se u(, ) e R, se u(,, ) e α R então a u ( a, a ). α R então a u ( a, a, a ). PROPRIEDADES: a) α ( u v ) α u α v b) (α β ) u α u β. u c). v v d) α ( β. v ) (αβ) v β ( α v ) E8) Dados os vetores abaio, obtenha : u v w a) u v w b) u - v c) u - w v d) u - w e) v - w - u E9) Dados os vetores u (,-,), v (,-,-5) e w (,,), calcular: a) u v b) u - v c) u v - w d) t, tal que u v 5 w - t e), tal que w - v u

.7. COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES Sejam os vetores v, v,..., de um espaço vetorial V. Um vetor v V é combinação linear (CL) dos vn vetores v, v,..., v n se eistem os reais a,a,..., an, tais que a v a v... a n v n v. E) Verifique se o vetor v (, 8, 7) é combinação linear dos vetores v (,,) e v (,,5). Em caso afirmativo, escreva o vetor v como combinação linear de v e v. Importante: A combinação linear a v a v... a v v pode ser representada matricialmente por n n MAV, onde: M é a matri cujas colunas são os vetores v, v,..., v n formada pelos coeficientes a,a,..., e V é a representação matricial do vetor v. an E) Escreva o vetor v (-,) como combinação linear dos vetores i(,) e j(,)., A é a matri coluna E) Escreva o vetor v (,,-) como combinação linear dos vetores i(,,), j(,,) e k(,,). E) Sejam os vetores (,,), (,, ) e v (,,). v v a) Escreva, se possível, o vetor v (,5, ) como CL dos vetores v e v. b) Escreva, se possível, o vetor v como CL dos vetores v e v. c) Determine o valor de m para que o vetor u (6,, m) seja CL dos vetores v e v..8. VETORES COLINEARES Vetores colineares são vetores que possuem representantes numa mesma reta. E) Quais vetores abaio são colineares? r Importante: As epressões vetores colineares, vetores múltiplos e vetores paralelos tem o mesmo significado. 5

.9. PARALELISMO DE DOIS VETORES Se dois vetores u e v são paralelos, então eiste um número α, tal que u α v. No R, se u (, ) e v (, ) então (, ) α (, ) e portanto α e α. Logo a, isto é u // v No R, u // v Observações: a) O vetor nulo é paralelo a qualquer vetor do espaço(convenção). b) Se uma das componentes de um vetor v é nula, a componente correspondente de qualquer vetor paralelo a v tamb ém é nula. c) Três pontos são colineares se dois vetores formados por eles são paralelos. E5) Encontre o valor de para que os vetores v e u,sejam paralelos : a) u ( -,, ), v (,, ) b) u (, 5, ), v (,, ) c) u ( 5, ), v (, ) E6) Determinar m e n de modo que os vetores u (,-,m) e v (,n,-5) sejam paralelos. E7) Calcular a e b de modo que os pontos A(,-,), B(,-,-) e C(a,b,) sejam colineares. E8) Os pontos (,), (,) e (5,6) são colineares? 6

.. RESPOSTAS E) (-,-); (-,); (,-); (,) E) (-,); (,); (,); (,) E) (,) E) (5,); (-7,-7); (-,-5,-7); ( -,9,-) E5) a) e b) e E6) a) u v b) w u v E7) a) AB (,-,), AC (,,-), BC (,5,-) b) (-,-7,6) c) (,,) E9) a) (5,-,-) b) (-,-,8) c) (,-9,-) 7 7 5 5 d) (,, ) e) (,, ) E) v v - v E) v -i j E) v i j k E) a) vv v b) Impossível c) m E) TODOS E5) a) 7 b) c) NÃO EXISTE E6) n -8 e m 5 E7) a 5 e b E8) SIM 7

.. PRODUTO ESCALAR Chama-se produto escalar(ou produto interno usual) de dois vetores u e v o número real representado por u. v ou < u, v > e calculado pela soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores. Se u (, ) R e v (, ) R então u.v... Se u (,, ) R e v (,, ) R então u.v.... E) Determinar u. v,sabendo que u (,-) e v (,). E) Dados os pontos A(,-,), B(,-,-) e C(,,), calcular AB. BC PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR a) u. v v. u b) u.( v w ) u. v u. w c) α ( u. v ) (α u ). v u.( α v ), comα R d) u.u u.. MÓDULO DE UM VETOR Chama -se módulo(ou comprimento) do vetor v o número real não negativo calculado por v. v. No R, se v (, ) então v No R, se v (,, ) então v E) Dados os vetores u (,-,) e v (,), calcular u e v. E) Dados os pontos A(,,) e B(-,m,-), calcular m para que AB 7. PROPRIEDADES DO MÓDULO: a) u e u u b) -u u c) α u α. u d) u v u v 8

.. VETOR UNITÁRIO Chama -se vetor unitário qualquer vetor v de comprimento igual a (um), isto é v. E5) Determinar o valor de n para que o vetor w (n, ) seja unitário. 5.. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS A distância d entre dois pontos A e B é o comprimento do vetor AB. No R, se A(, ) e B(, ) então AB ( -, - ) e d AB ( ) (. No R, se A(,, ) e B(,, ) então AB ( -, -, - ) e d AB ( ) ( ) (. ) ) E6) Determinar no eio das ordenadas um ponto eqüidistante dos pontos A(,-,7) e B(5,7,-5). E7) Determine o ponto do plano eqüidistante dos pontos (-,-), (,) e (,-)..5. VERSOR DE UM VETOR Versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de v. v versor de v v E8) Determinar os versores dos vetores u (,-,) e v (-,)..6. ÂNGULO DE DOIS VETORES Se u, v e θ é o ângulo dos vetores u e v, com θ 8. V v u Da lei dos co-senos: u v u v u. v cosθ () θ u Mas u v (u v).(u v) u.u u.v v.v u u.v v () u.v Comparando () e (): u.v u. v cosθ ou cos θ. u. v E9) O que se pode afirmar sobre u.v, se < θ < 9. E) O que se pode afirmar sobre u.v, se 9 < θ < 8. 9

E) O que se pode afirmar sobre u.v, se θ 9. E) O que se pode afirmar sobre u e v, se θ. E) O que se pode afirmar sobre u e v, se θ 8. E) Calcular os ângulos entre os vetores u e v, sendo: a) u (,) e v (-,) b) u (,-) e v(,) c) u (,) e v (,) d) u (,,) e v (-,,) e) u (,-,) e v (-,,) f) u (,,) e v (,,) E5) Sabendo que o ângulo entre os vetores u (,, -) e v (,-,m) é π, calcular m..7. VETORES ORTOGONAIS Se u é ortogonal a v, o ângulo θ entre os vetores u e v é 9 o e portanto, u.v. u v u. v E6) Dados os vetores u (,-,) e v (,m,-5), calcular m para que u e v sejam ortogonais. E7) O triângulo de vértices A(5,,5), B(,,) e C(-,-,) é retângulo? E8) Determinar um vetor ortogonal ao vetor w (,,). E9) Dados os pontos A(5,-,), B(6,,) e C(7,,), determinar: a) as componentes de AB BC 5CA b) o módulo de BC c) o versor de CA E) Dados os vetores u i j, v i j k e w i j 5k, determinar: a) u. w b) u.(v w ) c)o ângulo entre u e v d) o versor de u e) o valor de m para que o vetor p mi 5j k seja ortogonal a u - v.8. PROJEÇÃO DE UM VETOR v w é a projeção de u sobre v. Como ( u - w ). v () e w α. v (), u u - w u. v substituindo a () em () e isolando α,vem: α v. v w u.v Substituindo o α encontrado em (), conclui-se que w proj v u. v v.v E) Encontre a projeção do vetor u sobre o vetor v, sendo: a) u (,) e v (,) b) u (,,) e v (,,)

.9. RESPOSTAS E) E) - E) e 5 E) m - ou m 9 E5) n 5 ± E6) (,,) E7) (,-) E8) (,, ) ; (, ) 5 5 E9) u.v > E) u.v < E) u.v E) Paralelos de mesma direção e mesmo sentido. E) Paralelos de mesma direção e sentidos contrários. E) a) θ arc cos (/5) b) 9 o c) o d) 5 o e) 9 o f) o E5) m - E6) m - E7) SIM E8) qualquer v (a,b,c), tal que b a c E9) a) (-9,,) b) c) (,, ) E) a) b) c) 5 o d) (,,) e) m -8 E) a) (,) b) (,,)

.. PRODUTO VETORIAL Dados os vetores u (,, ) e v (,, ), chama-se produto vetorial de u por v, nesta ordem, ao vetor representado por u v e calculado por: O produto vetorial não está definido no R. u v i j k E) Determinar u v,sabendo que u (, -,) e v (,,-5). E) Dados os pontos A(,-,), B(,-,-) e C(,,), calcular AB BC PROPRIEDADES DO PRODUTO VETORIAL a) u u b) u v - v u c) u ( v w ) u v u w d) α ( u v ) ( α u ) v u ( α v ), comα R e) u v se e somente se, um dos vetores é nulo ou os dois são colineares. f) u v é simultaneamente ortogonal aos vetores u e ve o sentido de u v é dado pela regra da mão direita ou pela regra do saca rolhas. g) u v u. v.senθ u v v π θ u Importante: Da propriedade e, u // v u v E)Dados os vetores u i j k e v i j k, determinar: a) u v b) v u c) um vetor unitário simultaneamente ortogonal a u - v e v u d) o valor de m para que o vetor w (9 m)i j (m 5) k seja paralelo a u v

.. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO P. V. O módulo do produto vetorial de dois vetores u e v é igual a área do paralelogramo cujos lados são determinado pelos vetores u e v. Importante: A ABC C D A ABCD u. h u. v. sen θ v da propriedade g, u. v. sen θ u v θ h A B Logo A ABCD u v u u v E) Dados os pontos A(,,), B(6,,) e C(-6,-,6), determinar: a) a área do paralelogramo determinado pelos vetores AB e AC ; b) a altura do paralelogramo determinado pelos vetores AB e AC relativa ao lado AB ; c) a área do triângulo de vértices A, B e C... RESPOSTAS E) (,,) E) (9,-7,) E) a) (,,-5) b) (-,-,5) c) ( ±, ±, ± ) 5 6 d) m -5 E) a) b) 9 9 c)

.. PRODUTO MISTO Dados os vetores u (,, ), v (,, ) e w (,, ), chama -se produto misto dos vetores u, v e w, nesta ordem, ao número real representado por ( u, v, w ) e calculado por u.( v w ) ou (u,v,w) O produto misto não está definido no R. E) Dados os vetores u (-,,), v (,-,) e w (,,), calcular: a) ( u,v,w) b) (v,u,w) c) (v,w,u) PROPRIEDADES DO PRODUTO MISTO a) (u,v,w) se um dos vetores é nulo, se dois deles são colineares, ou se os três são coplanares. b) Na permutação de dois dos três vetores, o produto misto ( u,v,w) muda de sinal. c)α (u,v,w) (α u,v,w) (u,α v,w) (u,v,α w),comα R. Importante: Vetores coplanares são vetores que possuem representantes num mesmo plano. a) Dois vetores são sempre coplanares. b) Três vetores u, v e w do R são coplanares se (u,v,w). c) Três vetores u, v e w do R são coplanares se u av bw. d) Quatro pontos do R são coplanares se três vetores formados por eles são coplanares. E)Verificar se são coplanares os vetores: a) u (,-,), v (,,) e w (,,) b) u (,-,-), v(,-,5) e w (5,-,) E)Qual deve ser o valor de n para que os vetores u (,n,), v(,,) e w (,-,-) para que os vetores sejam coplanares? E)Verificar se os pontos A(,,), B(-,,-), C(,,) e D(-,, -) estão num mesmo plano.

.. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO M ISTO O módulo do produto misto (u,v,w) é igual ao volume do paralelepípedo cujas arestas são determinadas pelos vetores u, v e w. vw V S b.h, S b vw e h u. cos θ V v w. u. cos θ V v w. u.cos θ u h θ V u.( v w ) w V ( u, v, w ) v E5) Dados os pontos A(,,-), B(,,-), C(,,-) e D(,,), determinar: a) o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores AB, AC e AD. b) a altura do paralelepípedo determinado pelos vetores AB, AC e AD relativa a face determinada por AB e AC. c) o volume do tetraedro cujos vértices são: A, B, C e D(o volume do tetraedro de vértices A, B e C é a seta parte do volume do paralelepípedo determinado pelos vetores AB, AC e AD ). E6) Dados os vetores u (,5,), v (,-,) e w (,,-), calcular o valor de para que o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w seja u.v. E7) Determinar o valor de α para que: a) ( α,,-7)(,,) (7,-87,-) b)(, α,).[(,,)(,5,6)] 6 E8) Dados os vetores u i j k e v i j k, determinar ( u v ).( u - v ). E9) Dados os pontos A(,,-), B(,,-), C(,,-) e D(,,), determinar: a) o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores AB, AC e AD. b) a área do paralelogramo determinado pelos vetores AB E)Determine o valor de p e q para que:. e AC a)(p,5,q).(,,6) b)(p,q,-7)(,,) (7,-87,-) c)(,q,).[(,,)(,5,6)] 6.5. RESPOSTAS E) a) 8 b) 8 c) 8 E) a) NÃO b) SIM E) n E) SIM E5) a) b) c) E6) ou - E7) a) α b) α 6 E8) E9) a) b) E) a) p 5 q b) p e q c) q 6 5

. ESTUDA DA RETA NO ESPAÇO R.. EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA Seja A um ponto de uma reta r que tem a direção de um vetor v. Se um ponto P pertence a r então os vetores APe v são colineares, isto é, eiste um real t, tal que AP t v ou P A tv. A(,, ) P(,,) r (,,) (,, ) t(a,b,c ) v (a,b,c) v: vetor diretor da reta t: parâmetro E)Determine a equação vetorial da reta que passa: a) pelo ponto A(,,5) e tem a direção do vetor v (,-,) b) pelos pontos A(,,) e B(-,-,).. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA Da equação vetorial da reta r, vem: at bt ct E)Determine as equações paramétricas da reta: a) que passa pelo ponto A(,-,) e tem a direção do vetor v (,-,-) b) que passa pelos pontos A(,,) e B(-,-,) c)cuja equação vetorial é (,,) (,,5) t(,,) t E)Dadas as retas r: (,,) (,,) t(,,-) e s: t determine: a)um vetor diretor de r b)um vetor diretor de s c)dois pontos da reta r d) dois pontos da reta s e)a equação vetorial da reta s f)as equações paramétricas da reta r 6

.. EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA Admitindo-se a, b e c não nulos nas equações paramétricas e isolando o parâmetro t, vem: a b c E)Determine as equações simétricas da reta: a)que passa pelo ponto A(5,-,-) e tem a direção do vetor v (,-,) b)que passa pelos pontos A(,,) e B(,-,6) c)cuja equação vetorial é (,,) (,,) t(,7,) t d)cujas equações paramétricas são t 5t E5)Dada a reta r:, determine: a)um vetor diretor de r b)dois pontos da reta r c)a equação vetorial da reta r d)as equações paramétricas da reta r.. EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA Nas equações simétricas, escrevendo-se como função de e como função de, vem: m n p q E6)Determine as equações reduidas da reta: a)que passa pelo ponto A(,-,-) e tem a direção do vetor v (,-,7) b)que passa pelos pontos A(-,,) e B(,-,6) c)cuja equação vetorial é (,,) (,,) t(-,,) t d)cujas equações paramétricas são t t e)cujas equações simétricas são 6 E7)Dada a reta r:, determine: a)um vetor diretor de r b)dois pontos da reta r c)a equação vetorial da reta r d)as equações paramétricas da reta r e)as equações simétricas da reta r 7

.5. RETAS PARALELAS AOS EIXOS COORDENADOS r //O v // i r : r //O v// j r : r //O v // k r : E8) Determine as equações da reta que passa pelo ponto A(,,) e é paralela ao eio: a)o b)o c)o E9) Represente graficamente as retas do E8. Importante: Se duas componentes do vetor diretor forem nulas, a reta é paralela ao eio correspondente a componente não nula..6. RETAS PARALELAS AOS PLANOS COORDENADOS r // O v k v (a,b,) r : at bt r // O v j v (a,,c) at r : ct r // O v i v (,b,c) r : bt ct E) Determine as equações da reta que passa pelo ponto A(,,5) e tem a direção do vetor: a) v (,,) b) v (,,) c) v (-,,-) E) Represente graficamente as retas do E. Importante: Se uma das componentes do vetor diretor é nula, a reta é paralela ao plano correspondente as componentes não nulas..7. ÂNGULO DE DUAS RETAS O ângulo entre duas retas é o menor ângulo formado por dois vetores diretores das retas. r v θ r v.v cosθ v. v π, θ v 8

E)Calcule o ângulo entre as retas r e r : t a) r : t t b) r : e r : e r : t t t c) r : (,,) (,,) t(,-,) e r : 5 t t.8. RETAS PARALELAS r // r v // v.9. RETAS ORTOGONAIS r r v v.. RETA ORTOGONAL A DUAS RETAS Seja r é uma reta ortogonal à duas retas nâo paralelas r e r com vetores diretores v e v. r v v v r v v r Vetor diretor de r é qualquer vetor com a direção de v v v. E)Encontre as equações da reta r que passa pelo ponto A(-,,) e é simultaneamente ortogonal às retas: r : e e r : t t t 9

.. INTERSECÇÃO DE DUAS RETAS Sejam r e r duas retas concorrentes. r r I(,, ) I é a solução do sistema formado pelas equações das retas r e r. E)Verifique se as retas r e r são concorrentes e, em caso afirmativo, determine o ponto de intersecção: a) r : t t t e r : t 7 t 6 t b) r : e r : t t t c) r : 5 e r : 6 E5)Sejam os pontos A(-,,) e B(,-,). a) Encontre as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduidas da reta r que passa por A e B. b) Escreva as equações de uma reta paralela à reta r. c) Escreva as equações de uma reta ortogonal à reta r. d) Determine o ângulo entre a reta r e a reta s: t e) A reta r e a reta r : são concorrentes? Em caso afirmativo determine o ponto de intersecção das retas r e r.

.. RETAS COPLANARES Duas retas são coplanares se são paralelas ou concorrentes. π v r A v u A r r ( v, v, u ) Observação: Duas retas não-coplanares são chamadas reversas E6) As retas r : 5 e r : 5 t t 7 t são coplanares? m E7) Determine o valor de m para que as retas r: e r: t t t sejam coplanares. t E8)Determine m para que as retas r : (,,) (,,) t(,,) e s : mt sejam coplanares, e t nesse caso estude sua posição relativa(paralelas, ortogonais ou concorrentes). Importante: Retas perpendiculares são retas ortogonais e coplanares.

.. RESPOSTAS E) a) (,,) (,,5) t(,-,) b) (,,) (,,) t(-,-,) E) a) t t t b) t t t c) t 5 t E) e) (,,) (,,) t(,-,) b) t t t E) a) 5 b) c) 7 d) 5 E5) c) (,,) (-,,) t(,,-) d) t t t E6) a) 7 b) c) 7 d) e) 8 5 E7) c) (,,) (,-,) t(,6,-) d) t 6t t e) - - 6 E8) a) b) c) E) a) 5 b) 5 c) 5 E) a) 6 o b) 9 o c) o E) 6 8 - - E) a) I(,-5,5) b) NÃO c) NÃO E5) a) (,,) ( -,,) t(,-,-), t t t, - - -, 7 d) arc cos e) I(,-,) E6) SIM E7) m - E8) m, concorrentes

5. ESTUDO DO PLANO NO ESPAÇO R 5.. EQUAÇÃO GERAL DO PLANO Seja A um ponto de um plano π e n um vetor não nulo ortogonal a π. Um ponto P pertence a π se os vetores n e AP são ortogonais, isto é, n. AP n (a,b,c) A(,, ) P(,,) π π : a b c d n: vetor normal ao plano. E) Determine a equação geral do plano π que : a)passa pelo ponto A(,,5), sendo n (,-,) um vetor normal a π b) passa pelo ponto A(,-,) e é paralelo aos vetores v (,,) e v (,-,) c) passa pelos pontos A(,,), B(,,) e C(,,) d) passa pelos pontos A(,,), B(,,) e é paralelo ao vetor v (,-,-) e)contém as retas r : e r : t f)contém as retas r : t e r : t g) passa pelo ponto A(,,) e é perpendicular à reta t t 5.. EQUAÇÃO VETORIAL DO PLANO Sejam A um ponto de um plano π e, u e v são dois vetores não colineares paralelos a π. Se o ponto P pertence ao plano π então eistem dois números reais h e t, tais que AP h.u t.v ou P A h.u t.v. tv π v A P (,,) (,, ) h(a,b,c ) t(a,b,c ) u hu

E) Determine a equação vetorial do plano π que : a) passa pelo ponto A(,,-) e é paralelo aos vetores v (,,) e v (-,,) b) passa pelos pontos A(,-,), B(,,-) e C(,,) 5.. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO Da equacão vetorial do plano, vem: a h a t b h b t c h c t E) Determine as equações paramétricas dos planos do eercício anterior. 5.. PLANOS PARALELOS AOS EIXOS COORDENADOS a) Se um plano π é paralelo ao eio O, o seu vetor normal n é ortogonal ao vetor i, e portanto, n (,b,c). Neste caso, a equação de π tem a forma b c d. b) Se um plano π é paralelo ao eio O, o seu vetor normal n é ortogonal ao vetor j, e portanto, n (a,,c). Neste caso, a equação de π tem a forma a c d. c) Se um plano π é paralelo ao eio O, o seu vetor normal n é ortogonal ao vetor k, e portanto, n (a,b,). Neste caso, a equação de π tem a forma a b d. Importante: Se uma das componentes do vetor normal é nula, o plano é paralelo ao eio correspondente a componente nula(a variável ausente na equação, indica o eio ao qual o plano é paralelo). E) Determine a equação do plano que passa pelos pontos A e B e é paralelo ao eio: a) O, sendo A(,,) e B(,,) b) O, sendo A(,,) e B(,,) c) O, sendo A(,5,) e B(-,,) E5) Represente graficamente os planos de E.

5.5. PLANOS PARALELOS AOS PLANOS COORDENADOS a) Se um plano π é paralelo ao plano O, qualquer vetor normal n tem a direção do vetor k, e portanto, n (,,c). Neste caso, a equação de π tem a forma c d. b) Se um plano π é paralelo ao plano O, qualquer vetor normal n tem a direção do vetor j, e portanto, n (,b,). Neste caso, a equação de π tem a forma b d. a) Se um plano π é paralelo ao plano O, qualquer vetor normal n tem a direção do vetor i, e portanto, n (a,,). Neste caso, a equação de π tem a forma a d. Importante: Se duas componentes do vetor normal forem nulas, o plano é paralelo ao plano correspondente as componentes nulas(as variáveis ausentes na equação, indicam o plano coordenado ao qual o plano é paralelo). E6)Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto A(,,-) e é paralelo ao plano: a)o b)o c)o E7) Represente graficamente os planos de E6. E8)Determine a equação geral do plano: a)o b)o c)o d) que passa pelo ponto A(,-,) e é paralelo aos vetores i j e v i j v 5.6. ÂNGULO DE DOIS PLANOS O ângulo entre dois planos π e π é a medida do ângulo entre duas retas r e r, respectivamente, perpendiculares a π e π. r π n r π θ θ n n.n cosθ n. n π, θ Importante: π // π n // n e π π n / n 5

E9) Determine a medida do ângulo entre os planos π : e π : E) Determine o valor de p de modo que os planos π : p - e π : p sejam: a)paralelos b)perpendiculares 5.7. INTERSECÇÃO DE DOIS PLANOS r π A intersecção dos planos π e π é a reta r cujas equações são obtidas resolvendo-se o sistema formado pelas equações de π e π π π π :a b c : a b c d d () Observação: Sejam m n p q as equações reduidas da reta r, intersecção dos planos π e π. Cada equação de r pode ser obtida através da eliminação no sistema () da variável ausente na equação. E)Determine as equações da reta intersecção dos planos: a) π : e π : b) π : e π : 5.8. ÂNGULO DE UMA RETA COM UM PLANO O ângulo φ (fi), da reta r com o plano é o complementar do ângulo entre a reta r e uma reta s perpendicular a π, com π n s θ v φ r p φ. v.n cos θ e φ 9 o -θ v. n 6

E) Determine o ângulo da reta r com o plano π : t a) r : t e π : 5 b) r:, e π : c) r: e π : 5 5.9. INTERSECÇÃO DE RETA COM PLANO I(,, ) r I é a solução do sistema formado pelas equações da reta r e do plano π. π E)Determine o ponto de intersecção da reta r com o plano π : t a) r: t e π : b) r: e π : 5 E)Represente graficamente os planos: a) 6 b) c) d) E5) Sejam o plano π : e a reta r:,. a)determine o ponto do plano π que tem abscissa ero e ordenada igual ao triplo da cota b)a reta r está contida no plano? Justifique. c)escreva as equações de uma reta que é perpendicular ao plano π d)encontre a intersecção do plano de equação com o plano π e)encontrar o ângulo entre o plano de equação e o plano π f)achar a intersecção da reta s : com o plano π g)achar a medida do ângulo da reta com o plano π h)quais as posições dos planos π : e π : em relação aos eios coordenados? E6)Calcule o ponto de intersecção da reta que passa pelos pontos A(,,) e B(,8,-) com o plano π : 7. 7

5..RESPOSTAS E) a) 9 b) c) d) 5 e) f) 6 g) E) a) 6 b) 6 c) 5 E6) a) b) c) E8) a) b) c) d) E9) 6 o E) a) p b) 5 E) a) 7 p b) E) a) 5 o b) o c) 9 o E) a) I,,5 b) I(-,-7,-) 6 E5) a),, b) NÃO d) 7 7 7 7 f) (,,) g) o h) π O e π // O e) 6 o E6),, 8

6. DISTÂNCIAS 6.. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS A distância entre dois pontos A(,, ) e B(,, ) é d(a,b) ( ) ( ) ( ) E) Determine no eio das cotas um ponto eqüidistante dos pontos A(,-,) e B(,,-). 6.. DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA A distância de um ponto P a uma reta r é d(p,r) P v AP v d A v r E) Determine a distância do ponto P(,-,) à reta r: 6.. DISTÂNCIA DE UM PONTO A UM PLANO P n d(p, π ) AP e AP é a projeção de BP sobre n. d π B A d(p, π ) BP. n n.n r.n BP. n. n n BP.n n Para P( o, o, o ), n (a,b.c) e B(,,) : d(p,π ) a o b a o b c o c d E)Determine a distância do ponto P(,-,) ao plano π : 9

6.. DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS PARALELAS A distância entre duas retas paralelas é a distância de qualquer ponto de uma das retas à outra. E) Determine a distância entre as retas r: e s: 6.5. DISTÂNCIA ENTRE UMA RETA E UM PLANO Dada uma reta r paralela a um plano π, a distância entre uma reta r e o plano π é a distância de qualquer ponto da reta r ao plano π. E5) Determine a distância entre a reta r: e o plano π : 6.6. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS outro. Dados dois planos paralelos, a distância entre eles é a distância de qualquer ponto de um dos planos ao E6)Determine a distância entre os planos π : e π : 6.7. RESPOSTAS E) (,, ) E) 5 E) E) 5 E5) 7 6 6 E6) 7

7. SUBESPAÇO VETORIAL 7.. INTRODUÇÃO Às vees, é importante identificar, dentro de um espaço vetorial, subconjuntos que sejam também, espaços vetoriais.. SUBESPAÇO VETORIAL Seja S um subconjunto não vaio de um espaço vetorial V. S é um subespaço vetorial de V se S é também espaço vetorial com as mesmas operações definidas em V. Como S V, os aiomas A, A, M, M, M e M, da definição, são verificados pois todos os vetores de S são também de V. Portanto, para que S seja um subespaço vetorial de V, basta que os aiomas A e A também se verifiquem. Todas estas condições estão reunidas na definição abaio.. SUBESPAÇO VETORIAL Seja S um subconjunto não-vaio de um espaço vetorial V. S é um subespaço vetorial de V sse: i) u, v S, u v S ii) α R, u S, α u S E) Verifique se S com as operações usuais é um subespaço vetorial de V. a) S {(,) R / } b) S {, ) / R} ; V R ( ; V R c) S {(,, ) R / e } ; V R d) S {(,,) R / } ; V R e) S {(,, ) R / } ; V R Importante: a) O conjunto formado apenas pelo vetor nulo de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V. O subespaço {} é chamado de subespaço nulo. b) Qualquer reta do R que passa pela origem é um subespaço vetorial do R e qualquer reta do R que passa pela origem é um subespaço vetorial do R. c) Qualquer plano do R que passa pela origem é um subespaço vetorial do R.

SUBESPAÇOS VETORIAIS DO R a) Triviais: R e {(,)} b) Não triviais: S {(, ) R / A B } (retas que passam pela origem) SUBESPAÇOS VETORIAIS DO R a) Triviais: R e {(,,)} b) Não triviais: S {(,, ) R / m e p} ou S {(,, ) R / a b c } que passam pela origem) ( retas e planos E)Verifique se S com as operações usuais é um subespaço vetorial de V. a) S {(, )/ R} ; V R b) S é o conjunto solução do sistema c) S {, )/ R} ( ; V R ; V R d) S {,, ) /, R} ( ; V e) S {,, ) / R} ( ; V R f) S {,, ) /, R} R ( ; V R. g) S {(,) R / e } ; V R 7.. RESPOSTAS E) a) Sim b) Não c) Sim d)não e) Sim E) a) Não b) Não c) Não d) Sim e)sim f) Sim g) Não

8. SUBESPAÇO VETORIAL GERADO E) Sejam os vetores (,,), (,, ) e v (,,). v v a) Determine os vetores do R que podem ser escritos como CL dos vetores v, v e v. b) Determine os vetores do R que podem ser escritos como CL dos vetores v e v (,, ). Sejam A {,v,.., } v um conjunto de vetores de um espaço vetorial V, e v n S { v V/ v a v a v... a v, R} n n ai. O conjunto S também representado por G(A) ou [ v,v,..., v ] é denominado subespaço vetorial gerado por A ou pelos vetores n v,v,..., v. n E) Se V R, determine o subespaço gerado por: (Quais são os subespaços do R? Veja página ) a) v (,) b) (, ) e (,) c) v (,) e v (,) v d) v (,), v (, ) e (, ) e) v (, ) e (, ) v v v E) Se V R, determine o subespaço gerado por: (Quais são os subespaços do R? Veja página ) a) v (,,) b) v (,,) e (, 6, ) c) (,,) e v (,, ) v d) (,, ), (,, ) e v (,, ) e) v (,,), v (,,) e v (,,) v v f) v (,,), v (,, ), v (,, ) e (,, ) v v 8.. RESPOSTAS E) a) v R b) v(,,), R E) a) {(, ) R / } b) {(, ) R / } c) R d) R e) R E) a) {(,, ) R / e } b) {(,, ) R / e } c) {(,, ) R / } d) {(,, ) R / } e) R f) R

9. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 9.. INTRODUÇÃO Em nosso estudo, temos grande interesse na determinação do menor conjunto de vetores que gera um espaço vetorial, para isto, precisamos das noção de dependência e independência linear. Sejam os vetores v de um espaço vetorial V e a equação a v a v... a v ()., v,..., v n n n Os vetores v são linearmente independentes (LI) caso a equação () admita apenas a, v,..., v n solução trivial a a... a. n Se a equação () admitir soluções distintas da trivial, isto é, a, então os vetores v, v,..., v n são linearmente dependentes (LD). E) Verifique se os vetores são LI ou LD. a) v (,,) e (,, 6) b) v (,,), v (,,) e v (,,) v c) (,,), v (,,) e (,,) v v 9.. PROPRIEDADES a) Um conjunto com dois ou mais vetores é LD sse pelo menos um dos vetores é CL dos demais. b) Se um dos vetores de um conjunto é o vetor nulo então este conjunto é LD. E) Observe a figura abaio e justifique cada afirmação R v v v v a) é LD b) v é LI c) v e v são LD d) v e v são LI e) v, v e v são LD f) v, v, v e v são LD

E) Observe a figura abaio e justifique cada afirmação. v 5 v v v v o a) é LD b) v é LI c) v e v são LD d) 5 v e v são LI e) v, v e v são LD f) v, v e v são LI g) v, v, v e v são LD h) v, v, v, v e v 5 são LD. E) Complete a tabela abaio: número de vetores LD LI R ou mais R ou mais 9.. RESPOSTAS E) a) LD b)li c) LD 5

. BASE E DIMENSÃO.. INTRODUÇÃO Nesta secção, estamos interessados em encontrar, dentro de um espaço vetorial V, os menores conjuntos finitos de vetores, tais que qualquer vetor de V seja combinação linear de um deles, isto é, queremos determinar os conjuntos com um número mínimo de vetores que gere V. Um conjunto com estas propriedades será denominado base do espaço vetorial V e o número de vetores desses conjuntos de dimensão de V... BASE Seja B { v, v,... } a) B é LI; b) B gera V. v n um subconjunto de um espaço vetorial V. B é uma base de V, se: E) Sejam os vetores v (,), v (-,) e v (,). Verifique se B é uma base do R. a) B { v } b) B { v, v } c) B { v, v, v } d) B { v, v } E) Sejam os vetores v (,,), v (,, ), (,,) e (,, ).Verifique se B é uma base do R. v a) B { v } b) B { v, v } c) B { v, v, v } d) B { v, v, v } e) B { v, v, v, v } E) Seja o conjunto B {(,-,-),(,-,)}. B é LI ou LD? B é uma base do R? Qual é o subespaço S do R gerado por B? B é uma base de S? v.. PROPRIEDADES. Todo conjunto LI de vetores de um espaço vetorial é uma base do subespaço por ele gerado. E) Seja o conjunto B do eercício E anterior. Se for acrescentado ao mesmo, um ou mais vetores de S, o o conjunto resultante será LI ou LD?. Se B { v, v,..., v n } é uma base de um espaço vetorial V, então todo subconjunto de V com mais de n vetores é LD. 6

. Se B { v, v,..., v } é uma base de um espaço vetorial V, qualquer vetor de V se escreve de modo n único como combinação linear dos vetores de B, isto é, eiste uma única n -upla ( a a v a v... a v v. n n,a,..., an ), tal que. Todas as bases de um espaço vetorial V, têm o mesmo número de vetores. Eemplo: Qualquer base do R tem vetores e qualquer base do R tem vetores... DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL A dimensão de um espaço vetorial V é o número de vetores de qualquer base de V. Eemplo: dim R e dim R A dimensão de um espaço vetorial V é igual ao número de variáveis livres do vetor genérico de V. Se a dimensão de um espaço vetorial V é n, então qualquer conjunto LI de n vetores de V é uma base de V. E5) Determine a dimensão e apresentar uma base para cada um dos subespaços: a) S {(, ) R / } b) S {(, ) R / } c) S {(,, ) R / } E6) Determine um vetor u, tal que B {u,(,,),(,,)} seja uma base do R. E7)Encontre uma base para o R que inclua: a) (-,,) b) (-,,) e (,,).5. RESPOSTAS E) a) Não b) Não c) Não d) Sim E) a) Não b) Não c) Sim d) Não e) Não E) LI, Não, S { (,,) R / }, Sim E) LD E5) a) b) c) 7

.. VETORES ORTOGONAIS. ORTOGONALIDADE Dois vetores u e v de V são ortogonais se e somente se u.v. u v u.v E) Verifique se os vetores do espaço vetorial V são ortogonais a) u (-,), v (,), V R b) u ( -,,-), v (,-,), V R.. BASE ORTOGONAL E BASE ORTONORMAL Uma base B de um espaço vetorial V é ortogonal se os seus vetores são dois a dois ortogonais, isto é vi.vj para i j. Uma base B de um espaço vetorial é ortonormal se B é ortogonal e todos os seus vetores são unitários, isto é vi.vj para i j e vi.vj para ij. E)Construa uma base ortogonal do R. E)Construa uma base ortonormal a partir da base considerada no eercício E. E)Repita os eercícios E e E para o R. Nos eercícios E5 a E8, considere V R. E5)De termine o vetor v de modo que B{v (,-,), v (,,),v } seja uma base ortogonal. E6)Construa uma base ortonormal a partir da base B do eercício E5. E7)Determine os vetores v e v de modo que B{v (,,-),v,v } seja uma base ortogonal. E8)Construa uma base ortonormal a partir da base B do eercício E7. E9)Determine uma base ortogonal para cada um dos seguintes subespaços: a) S{(,,) R / - } b) S{(,,) R / } E)Construa bases ortonormais para os subespaços do eercício E9... RESPOSTAS E) a) SIM b) NÃO 8

. TRANSFORMAÇÕES LINEARES.. INTRODUÇÃO As transformações lineares são funções onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais, isto é, tanto a variável independente como a variável dependentes são vetores. Este tipo de função possui uma propriedade importante: preserva a soma e a multiplicação por escalar. As transformações lineares apresentam aplicações na Física, Engenharia, Ciências Sociais e em vários ramos da Matemática... TRANSFORMAÇÃO LINEAR Sejam V e W espaços vetoriais. Uma função f de V em W é chamada transformação linear (TL), se i) f(uv) f(u) f(v), u, v V ii) f( α u) α f(u), α Re u V No caso de V W, f é chamada operador linear sobre V. E) Mostre que as transformações abaio são lineares.. a) f: R R, dada por f() b) f: R R, dada por f(,) (,). E) Quais das seguintes transformações são lineares? a) f() b)f(,) c)f(,,) (,, ) d)f(,) E) Numa TL. f: V W, f (u) u e f(v)v, calcule : a) f(uv) b) f(u) c) f(u -v) d) f(u5v) PROPRIEDADES a) Se f: V W é uma TL então f( V ) W. b) Em qualquer TL, a imagem de uma combinação linear de vetores é igual a combinação linear das imagens com os mesmos coeficientes, isto é, f(a v a v... a n v n ) a f(v ) a f(v )... a n f(v n ). E) Seja f: R w a projeção ortogonal do R sobre o plano, indicado por w. a)encontre a f(,,) b)determine f (,-,) E5) Se f: R R é linear e u(,), v( -,), f(u) (,-,-) e f(v)(-,-,-) calcule: a) f(uv) b) f(u) c) f(,) d) f(u-v) 9

.. MATRIZ NATURAL OU MATRIZ CANÔNICA Seja a matri A. Se pensarmos na matri A como um objeto que atua sobre um vetor v, 5 por multiplicação, o resultado será o vetor u Av. Logo, a matri A define uma transformação 5 f: R R, onde f(v) A.v ou f(,) (-,,5-). Pode-se mostrar que essa transformação é linear. Toda matri A mn define uma TL f: R n R m, com f(v) A.v. Neste caso, A é chamada matri natural ou matri canônica de f e A pode ser representada também por [f]. As linhas de A são, respectivamente, os coeficientes das componentes da imagem de f. E6) Seja a matri A, determine : 5 a) a lei da TL definida por A. b) a imagem de v(, -,), usando a matri A. c) a imagem de v(,-,), usando a lei. d) o vetor u, tal que f(u) E7) Escreva a matri natural associada a transformação linear f (,)(,-,-5) E8) Escreva a matri natural associada a transformação linear : a)f(,,)(-,) b)f()(,,-) c)f(,) d)f() E9) Um operador linear no R é definida pela matri [ f ]. Determine u e v, tal que : a) f(u)u b) f(v)-v E)Um operador linear no R é definido pela matri A. Determine v e w tal que: a) f(v) b) f(w) (,-,-) E)Um operador linear é definido pela matri A a) Av 5v b) Au -u. Determine v e u tal que:.. T L DEFINIDA PELAS IMAGENS DOS VETORES DA BASE CANÔNICA Uma TL f está perfeitamente defin ida quando são conhecidas as imagens dos vetores da base canônica do domínio de f e, nesse caso, as imagens dos vetores da base canônica são, respectivamente, as colunas da matri canônica de f. 5

E) Seja f: R R a TL definida por f(,) (,,) e f(,) (-,,-). Determine: a) f(5,) b) f(,) c) f(5,) pela lei E) Seja f: R R a TL definida por f(,,) (,), f (,,) (-,) e f(,,) (-,-). Encontre f(,,) e [f]. E) Seja f a TL definida por f(,) (, -,) e f(,) (,,). Encontre f(,) e [f]. E5) Seja f a TL definida por f(,,) (,), f (,,) (,-) e f(,,) (,). Encontre f(,,) e [f]..5. COMPOSTA DE DUAS TL Sejam f : V W e f : W U transformações lineares. A composta de f com f é a TL f of : V U definida por (f of )(v) f (f (v)). W wf (v) [f ].v f f [f ] [f ] V v f of [f of ] [f ]. [f ] U u f (w) [f ].[f ].v Importante: A matri que representa uma seqüência de TL é o produto das matries das TL na ordem inversa. E6) Sejam os operadores lineares definidos por f (,) (, -) e f (,) (-, ). a) as matries das compostas f of e f of. b) as leis das compostas f of e f of. E7) Sejam as TL dadas por f (,) (,, ) e f (,,) ( -, -). Determine: a) as matries das compostas f of e f of. b) as leis das compostas f of e f of. 5