Summary. Espaços Vetoriais. Hector L.Carrion ECT-UFRN. fevereiro, 2012

Summary Espaços Vetoriais Hector L. Carrion ECT-UFRN fevereiro, 2012

Summary Dependencia Linear 1 Definição de E. V. 2 Subespaço 3 Dependencia Linear 4 Base e Dimensão 5 Produto interno 6 Espaço Vetorial Euclidiano 7 Ortonormalidade Ortonormalidade processo de ortonormalização 8 9 10 11 ortogonal 12

definição Dependencia Linear Um espaço vetorial é uma estrutura (E,+,.) formada por um conjunto E,cujos elementos são chamados vetores, no qual estão definidos duas operações A adição(+) e A multiplicação por um escalar (.). - A adição, que a cada par de vetores u,v E faz corresponder um novo elemento z = u +v, E, chamado a soma de u e v, - A multiplicação por um escalar, que a cada número(escalar) a R e a cada vetor v E faz corresponder um vetor av, chamado o produto de a por v

axiomas Dependencia Linear A 1 comutatividade: u + v = v + u; A 2 associatividade: ( u + v) + w = u + ( v + w), e (a. b).v = a.(b.v); A 3 vetor nulo: existe um vetor 0 E, chamado vetor nulo, ou vetor zero, /v + 0 = 0+v = v, v E; A 4 inverso aditivo: para cada vetor v E existe um vetor v E, chamado o inverso aditivo, ou o simétrico de v, tal que v +v = v +( v) = 0; A 5 distributividade: (a+b).v = a.v +b.v, e a.(u+v) = a.u+a.v; A 6 multiplicação por 1: 1.v = v.

Exemplo 1 Seja R 3 o espaço vetorial euclideano 3-dimensional. Um elemento de R 3 é o vetor u = (u 1,u 2,u 3 ), outro elemento pode ser o vetor w = (w 1,w 2,w 3 ). Os números u 1,u 2,u 3 são chamados de coordenadas do vetor u (ou componentes). Com as duas operações definidas no espaço vetorialr 3 u +w = (u 1 +w 1,u 2 +w 2,u 3 +w 3 ) αv = (αv 1,αv 2,αv 3 ), mostre que o espaço R 3 é um espaço vetorial. Exemplo 2 Seja P n o conjunto dos polinomios de grau menor ou igual a n. P n = {a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +..+a n 1 x n 1 +a n x n ; a i R} O conjunto P n junto com as operações usuais de adição de polinômios e multiplicação por um escalar, é um espaço vetorial. Analise o casso particular P 2

exercicios Dependencia Linear 1 Seja M n m (R) o conjunto de todas as matrizes de ordem n m. Se A = [a ij ],B = [b ij ],A,B M, mostre que ele se torna um espaço vetorial quando nele se define as seguinte operações A+B = [a ij +b ij], αa = [αa ij]. 2 Demonstre que o inverso aditivo u de u é único. 3 Seja V[ o primeiro ] quadrante do plano xy, x V = {, x 0,y 0}. y a) se u V,w V, u +w V?. b) αw V? para qualquer α real? V é espaço vetorial?.

exercicios Dependencia Linear Demonstre usando os axiomas do espaço vetorial V, que 0u = 0, u V, 0 é o escalar zero, 0 é o vetor nulo do espaço vetorial. Quaisquer que sejam v,w E, existe um único u E tal que v +u = w (dica: utilize a propriedade 3, da nota de aula). Verifique se o conjunto de pares ordenados (x,y) do plano R 2 (+, ), com as seguintes operações (x,y)+(x,y ) = (x +x,y +y ), k (x,y) = (k 2 x,k 2 y), é um espaço vetorial. ( ) a 0 Verifique se o conjunto de matrizes da forma munido das 0 b operações usuais de soma de matrizes e multiplicação de matrizes por um escalar, é um espaço vetorial. a,b R.

exercicios.. Dependencia Linear seja C o espaço dos números complexos. Um elemento deste espaço é z tal que z = a+bi; z C, a,b R. a é a parte real de z, e b é a parte imaginária de z,i 2 = 1. Então considerando as seguintes operações z 1 +z 2 = (a 1 +b 1)+i(a 2 +b 2) αz 1 = αa 1 +αb 1i mostre que o espaço dos números complexos C forma um espaço vetorial. Em R 2 mantenhamos a definição de produto av de um numero por um vetor mais modifiquemos a definição de soma u +v dos vetores u = (x,y),v = (x,y ). Em cada tentativa dizer quais axiomas do espaço vetorial continuam validos e quais são violados. u +v = (xx,yy ) u +v = (3x +3x,5y +5y )

Demonstrar que 0.u = 0, sendo u, 0, E, 0 R. demonstração. u +0.u = 1.v +0.u A 6 = (1+0)u A 5 = 1.u A 6 u +0.u = u A 3 0.u = 0, o.q.q.d. Demonstrar que, dado um vetor v E, o elemento neutro 0 é unico. Demonstrar que se w +u = w +v, então u = v.

Seja X o conjunto não-vazio qualquer, poderia ser por exemplo, os números reais R. Seja F(X,R) o conjunto de todas as funções reais f,g : X R. Ele se torna um espaço vetorial quando se definem a soma f +g de funções e o produto βf do número β pela função f de maneira natural, como segue: (f +g)(x) = f(x)+g(x), (βf)(x) = β.f(x) Seja E = R 2, e S = {(x,y),y > 0}, isto é sub-conjunto de vetores de E = R 2. Considere as operações usuais de soma de vetores u +v = (x 1,y 1 )+(x 2,y 2 ) = (x 1 +x 2,y 1 +y 2 ), e a multiplicação usual de um escalar real β por um vetor v = (x 1,y 1 ) como segue βu = (βx 1,βy 1 ). Prove que S com esas duas operações básicas não é um espaço vetorial.

Definição Dependencia Linear É possivel um espaço vetorial estar contido em outro espaço vetorial. Seja E um espaço vetorial, um subespaço vetorial de E ou simplesmente subespaço é um subconjunto F E com as seguintes propriedades: 1 0 F. 2 Se u,w F então, u +w F 3 Se v F então, α R,αv F Exemplo 1 Seja E = R 2, e v 0, v E, mostrar que F = {αv, α R} é um subespaço vetorial de E. definição. Uma matriz quadrada A = [A ij ] chama-se simetrica (anti-simetrica) quando A ij = A ji (A ij = A ji ).

Soma direta Dependencia Linear Exemplo 2 Prove que S = {conjuntodematrizessimétricas} é um subespaço vetorial do conjunto de matrizes quadradas gerais do tipo M n n. De forma similar, prove que S = {conjuntodematrizesanti simétricas} é um subespaço vetorial do conjunto de matrizes quadradas gerais do tipo M n n Propriedade Seja E um espaço vetorial, e E 1 E, E 2 E, onde E 1,E 2 são subespaços vetoriais de E. A interseção S = E 1 E 2 definido assim S = {v E /v E 1,v E 2 } (1) é um espaço vetorial. Definição Se E 1 E, E 2 E, e se S = E 1 E 2 = {0}, (tendo apenas 0 como elemento comun). w E,w = v 1 +v 2, de modo único. Onde v 1 E 1,v 2 E 2. Então se escreve assim E 1 E 2 = E, diz-se E é a soma direta de E 1 e E 2

Exercícios Dependencia Linear 1 Seja E = R 3 e F = {(x,y,z) R 3 ax +by +cz = 0;a,b,c escalares constantes.} Mostre que F é subespaço de E. 2 Seja E = R 4. Mostre que F = {(x,y,z,0);x,y,z R} é um subespaço de E. 3 Dado E = R 2, mostre que F = {(x,y),x > 0} não é subespaço de E. 4 Seja R 3 = {(a,b,c);a,b,c R}, considerando Mostre que R 3 = E 1 E 2. E 1 = {(a,b,0);a,b R}, E 2 = {(0,0,c);c R.}

1 Seja s 1 = {(0,x,y), x,y R};s 2 = {(x,0,y), x,y R}; então S = s 1 s 2 não é um espaço vetorial, falso verdadeiro?. 2 Determine se os seguintes subconjuntos são subespaços de R 3 a) todos os vetores da forma (a; 1; 1). b) todos os vetores da forma (a; b; c); b = a + c. 3 Seja M 2x2 o conjunto de matrizes com entradas todas reais de ordem 2 2. Determine se as matrizes quadradas com det(a) = 0, forman um subespaço de M 2x2. 4 Seja P 3 o conjunto de todos os polinomios da grau menos ou igual a 3. Dado a i R,i = 0,1,2,3. Verifique se a) o conjunto F = {a 1 x +a 2 x 2 +a 3 x 3 } ; é subespaço vetorial de P 3. b) o conjunto F = {1+a 1 x +a 2 x 2 +a 3 x 3 é subespaço vetorial de P 3.

seja E um espaço vetorial. Diz-se que um conjunto V E é linearmente independente abrevidamente L.I. quando nehum vetor v V écombinação linear dos outros elementos de V. Pode-se dizer também que tais vetores são linearmente independentes Quando um conjunto V é L.I. seus elementos são todos 0 pois o vetor nulo é combinação linear de quaisquer outros elementos de V Um conjunto V E é linearmente dependente, L.D. quando não é L.I. Teorema: Seja V um conjunto L.I. no espaço vetorial E. Se λ 1 v 1 +...+λ n v n = 0, com v 1,...v n V então λ 1 =... = λ n = 0. Reciprocamente, se a única combinação linear nula de vetores de V é aquela cujos coeficientes são todos iguais a zero, entao V é um conjunto L.I.

exemplos Dependencia Linear Exemplo 1 Os vetores canônicos e 1 = (1,0,...,0),e 2 = (0,1,0...,0),...e n = (0,...,0,1) em E = R n são L.I. Exemplo 2 Os monômios {1,x,x 2,x 3 } P 3 são L.I. Onde P 3 são os polinomios de grau 3 Exemplo 3 Mostre que os vetores v = (2,3,4),w = (2,0, 1),z = (6,3,2) em R 3 são L.D.

Exercícios Dependencia Linear 1 Seja v = (1,2,0),w = (0,1, 1),z = (3,0,1), mostre que eles formam um conjunto L.I no espaço V = R 3. 2 no R 2, os vetores {e 1 = (1,0),e 2 = (0,1),v = (m,n);m,n R} são L.D. 3 Verifique se o seguinte conjunto V = {v 1 = é ou não L.I. [ 1 0 5 2 ] [ 3 0,v 2 = 15 6 4 Verifique se são L.I. ou L. D. o seguinte conjunto ] } M(R) 2 2. P = {1+2x x 2,2 x +3x 2,3 4x +7x 2 } P 2

Definição de base de um E. V. Seja E um espaço vetorial qualquer e B = {v 1,v 2,...v n } um conjunto de vetores qualquer de E. Dizemos que B é uma base de E se as seguintes condições são satisfeitas. B é linearmente independente. B gera E Que B gera E significa que todo vetor v E se exprime, de modo único, como uma combinação linear v = λ 1 v 1 +λ 2 v 2 +..,λ n v n de elementos da base B. Os números λ 1,λ 2,..λ n chaman-se as coordenadas do vetor v na base B. Teorema Todas as bases de um espaço vetorial (e. v.) de dimensão finita n, têm o mesmo número de vetores e igual a n.

Teorema Se B = {v 1,...,v n } é uma base de E então cada vetor v E pode ser expresso assim: v = λ 1 v 1 +λ 2 v 2 +..,λ n v n de forma única. Exemplo 1 Os vetores e 1 = (1,0,...0),e 2 = (0,1,0...0),...e n = (0,...0,1) constituem uma base {e 1,e 2,..e n } de R n, chamada de base canônica. Exemplo 2 Os monômios {1,x,x 2,..x n } formam uma base para o espaço vetorial P n dos polinomios de grau n Exemplo 3 Mostre que as matrices m 1,m 2,m 3,m 4 são uma base de M(R) 2 2 [. Onde, ] [ ] [ ] 1 0 0 0 0 1 m 1 =, m 0 0 2 =, m 0 1 3 = ; m 0 0 4 = [ ] 0 0, os três exemplos anteriores são bases canônicas. 1 0

Dimensão de um E. V. Definição de Dimensão. Se E possui uma base com n vetores, então E tem dimensão n e anota-se dim E = n. Um espaço vetorial E é chamado de dimensão finita se contém um conjunto finito {v 1,...v n } de vetores de base de E, n é um número inteiro. Caso esta base de E não for finita, diz-se que E é um e. v. (espaço vetorial) de dimensão infinita. Teorema. Seja E um e. v. de dimensão finita n, onde {v 1,..v n } é uma base qualquer de E. então é válido. 1 Um conjunto com mais de n vetores em E é L.D. 2 Um conjunto com menos do que n vetores não gera E.

Exemplos Dependencia Linear Exemplo 1 Seja E = R 2 o espaço vetorial Euclidiano. a) Considere o conjunto B 1 = {e 1,e 2 } de vetores, ele é base de E? b) Quais são as coordenadas do vetor V = (x,y) nessa base? c) Seja outro conjunto de vetores B 2 = {b 1,b 2 }, b 1 = (1,1),b 2 = (2,0). B 2 é base do espaço E = R 2? d) Quais são as coordenadas do vetor V = (x,y) na base B 2?. e) Qual é a dimensão do espaço E = R 2. Exemplo 2 Seja conjunto de vetores B = {p 1,p 2,p 3,p 4 } do espaço vetorial P 2. Verfique se eles são L.I. ou L.D. p 1 = 1+x, p 2 = 2 x 2, p 3 = x +x 2, p 4 = 1.

Exercícios Dependencia Linear Exemplo 1 O espaço vetorial A(m n) das matrizes m n tem dimensão finita igual a m.n. Exemplo 2. Mostre que a dimensão da base canônica de P n é n+1. P n é o polinomio de grau n 1 Mostre que S = {V 1,V 2,V 3 } forma uma base do espaço R 3. V 1 = (1,0,2);V 2 = ( 1,3,2);V 3 = (0,1,2). Encontrar as componentes do vetor W = (3,1, 2) na base S. 2 Encontre as componentes do polinomio P, na base S = {P 1,P 2,P 3 }. Onde P = 2 x +x 2,P 1 = 1+x,P 2 = 1+x 2,P 3 = x +x 2.

Mostre que as [ matrices m] 1,m 2,m 3 [,m 4 são uma] base de M(R) n n 0 1 0 8 Onde, m 1 =, m 1 0 2 =, m 12 4 3 = [ ] [ ] 3 6 0 1 ;m 3 6 4 =. 1 0 Encontre [ as componentes ] [ de A na] base S = [ {v 1,v 2 ],v 3,v 4 } 2 0 1 1 1 1 A =, v 1 3 1 =, v 0 0 2 =, v 0 0 3 = [ 0 0 1 0 ] ;v 4 = [ 0 0 0 1 ]. Determine a dimensão do subespaço de P 3, consistindo de todos os polinômios da forma P 3 = a 1 x +a 2 x 2 +a 3 x 3. Determine a dimensão do subpespaço de R 4 da forma v = (a,b,c,d),d = a+b,c = a b.

Determine a dimensão da base do espaço-solução do sistema x +y z = 0, 2x y +2z = 0, x +z = 0 Dado o sistema de equações x +y z = 0,y 2w = 0,x z +2w = 0 a) Determine o posto da matriz de coeficientes, e o posto da matriz aumentada. b) o sistema tem solução única ou infinitas soluções? c) Defina uma base do espaço solução do sistema anterior. d) qual é a dimensão deste espaço? e) o sistema tem solução trivial? f) o espaço solução é subespaço de R 4

Os axiomas do espaço vetorial não são suficientes para abordar certas noções geometricas como ângulo, ortogonalidad,comprimento, distância,etc. para estudar estas noções geométricas precisamos introduzir o conceito de produto interno no espaço vetorial. produto interno Um produto interno num espaço vetorial E é uma função bi-linear simétrica e positiva de E. <,> : E E R u, v < u,v > o número real < u,v > é chamado de produto interno de u por v.

As seguintes propriedades devem ser satisfetias u,v,w, E Bilinearidade < u +w,v >=< u,v > + < w,v >; < u,w +v >=< u,w > + < u,v >, < αu,v >= α < u,v >, < u,αv >= α < u,v >, simetria ou comutatividade < u,v >=< v,u >, Positividade < u,u > 0, se u 0. como < 0,v >=< 0+0,v >=< 0,v > + < 0,v >, então segue que < 0,v >= 0, v E

Norma : A norma de um vetor v (ou comprimento de v) no espaco vetorial E, esta definida do seguinte modo N : E R v N(v) = v = < v,v >. (2) Observamos que N(v) é um número real não negativo. Quando v = 1 o vetor v chama-se de vetor unitario. Distancia: A distancia entre os vetores v = (v 1,v 2,...,v n ),u = (u 1,u 2,...,u n ) E esta definido assim : d[u,v] = u v. (3)

Exemplos Dependencia Linear 1 no espaço euclidiano R 3 o produto interno canônico de vetores u = (u 1,u 2,u 3 ) e v = (v 1,v 2,v 3 ) esta definido assim: < u,v >= u 1 v 1 +u 2 v 2 +u 3 v 3 = i=3 i=1 u iv i. 2 Seja < u,v > um produto interno num espaço linear E. Mostre que se < u,v >= 0, para qualquer v que pertence a E, então u = 0. 3 Seja u = (u1,u2) e v = (v1,v2). Mostre que temos um produto interno em R 2 no seguintes casos: a) < u,v >= 4u1.v1+u2.v1+u1.v2+4u2.v2 b) < u,w >= 3u 1 w 1 +5u 2 w 2.

Exercicios Dependencia Linear 1 Dado o produto interno < u,w > no espaço vetorial E, prove que se tem u +v 2 + u v 2 = 2( u 2 + v 2 ). 2 demonstre a desigualdade triangular para dois vetores u e v do plano R 2, u +v u + v. 3 Seja E = C 0 [a,b] um espaço vetorial das funções contínuas reais g,f [a,b] R, provar que a função <.,. >: E E R (4) < f,g > = b a fgdx (5) é um produto interno, [a,b] R. Determine o produto interno entre f = cos(x) e g = sin(x) e o módulo da função f = cos(x),a = 0,b = π.

1 Seja o espaço vetorial M 2 2 (R) formado por todas as matrizes com elementos reais da forma A = [a ij ]. Considerando o produto interno < A,B [ >= tr(a] T B). Determine a norma de U M 2 2 (R), sendo 1 2 U = 3 1 2 Seja p = a 0 +a 1 x +a 2 x 2 +...+a n x n é q = b 0 +b 1 x +b 2 x 2 +...+b n x n, dois vetores do espaço vetorial P n dos polinomios de grau máximo n. Demonstre que < p,q >= i=n i=0 a ib i é um produto interno. logo, p =< p,p >= a0 2 +a2 1 +...an n. Determine p, onde p = 2 x 2. 3 Dois vetores de um espaço vetorial se chamam ortogonais se < u,v >= 0. No espaço Euclidiano R 3, verifique que < i,j >=< i,k >=< k,j >= 0, considerando o produto interno canônico de R 3.

Para todo número natural n, o símbolo R n representa o espaço vetorial euclideano n-dimensional. os elementos de R n são as listas ordenadas v = (v 1,...,v n ),w = (w 1,...,w n ) de números reais. Por definição a igualdade vetorial v = w significa as n igualdades numéricas v 1 = w 1,...,v n = w n. Os números v 1,...v n são chamados as coordenadas do vetor v na base canônica {e 1,e 2,..,e 3 } de R 2. As duas operaçõs fundamentais do espaço vetorial R n são definidas assim : v +w = (v 1 +w 1,...,v n +w n ), λv = (λv 1,...,λv n ) O vetor zero 0 é por definição, aquele cujas coordenadas são todas iguais a zero; 0 = (0,...,0). O inverso aditivo de v = (v 1,...,v n ), é v = ( v 1,..., v n ).

Definição Dependencia Linear Seja u,v R n, entao o angulo θ entre os vetores u e v esta definido do seguinte modo (ver exerício 1 da pág 45) 1 cos(θ) = < u,v > u v 1. Norma Euclidiana: A norma de um vetor v = (v 1,v 2,...,v n ) do espaco R n esta definida do seguinte modo N : R n R, v N(v) = v = < v,v >. (6) onde v = u 2 1 +u2 2 +...u2 n. Geométricamente a norma v é o comprimento do vetor v.

Distancia entre vetores. Em forma similar a distancia entre os pontos v = (v 1,v 2,...,v n ),u = (u 1,u 2,...,u n ) R n esta definido assim : d(u,v) = u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +...(u n v n ) 2 Propriedades da distancia entre os vetores u e v. Seja u,v,w vetores de R n, logo d(u,v) 0, d(u,v) = d(v,u) d(u,v) = 0, u = v, d(u,v) d(u,w)+d(w,v) (desigualdade triangular). A ultima propriedade, generaliza para o espaço R n o resultado usual em R 3 que afirma que a menor distância entre dois pontos do R n é ao longo de uma reta.

Exercicios Dependencia Linear Considere R 3 com o produto interno usual (canônico) para as seguintes questões. Seja u = (2,1, 2,0) e v = (1,2,k,2). a) Para que valores de k podemos afirmar que u e v são ortogonais (perpendiculares), b) Se k = 0 qual é o angulo formado pelo vetores u e v. Sejam u = (4,1,2,3),v = (0,3,8, 2),w = (3,1,2,2). Calcule a) v b) u +3v c) u + 3v d) (u+w) u+w Determine o angulo entre os vetores u = (1,0,2),v = (1,2,0). Suponha que v,w,u são vetores tais que(u,v) = 2, (v,w) = 3,(u,w) = 5, u = 1, v = 2, w = 7. Calcule a) < u +v,v +w > b) 2w v

1 Dado o produto interno < u,w > no espaço vetorial E = R n, prove que < u +v > u v desigualdade de Cauchy-Schwarz. 2 Use o resultado anterior e demonstre a desigualdade triangular para dois vetores u e v de R n, u+v u + v. desigualdade triangular. 3 Encontre a distancia euclidiana entre os vetores u = (1,2,0) e v = (0,3,2). 4 Resolva para v = (v 1,v 2,v 3 ), se u.v = 10,w.v = 1,s.v = 7,u = (1, 1,4),w = (3,2,0),s = (4, 5, 1). 5 u,v são vetores do espaço R n, encontre u.v, se u v = 5, u +v = 1. 6 Seja V 1,V 2,...,V n vetores de R n, considerando que < V i,v j >= 0, i j, demonstre que i=n i=1 V i = i=n i=1 V i 2.

Summary Dependencia Linear 1 Definição de E. V. 2 Subespaço 3 Dependencia Linear 4 Base e Dimensão 5 Produto interno 6 Espaço Vetorial Euclidiano 7 Ortonormalidade Ortonormalidade processo de ortonormalização 8 9 10 11 ortogonal Processo de Gram-Schmidt 12

Processo de Gram-Schmidt Definição Seja E um espaço vetorial com produto interno. Dois vetores u e v chaman-se ortogonais (ou perpendiculares) quando < u,v >= 0. Escreve-se então u v. Em particular o vetor 0 é ortogonal a qualquer vetor v de E. Exemplo Seja P 2 o espaço vetorial formado pelo conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2. Seja P = p o +p 1 x +p 2 x 2,Q = q 0 +q 1 x +q 2 x 2. Seja o produto interno neste espaço vetorial da seguinte forma : < P,Q >= p 0 q 0 +p 1 q 1 +p 2 q 2. Sendo assim, se P = x kx 2,Q = b +2x +2x 2. Determine k para que P e Q sejam ortogonais, b é constante. bases ortonormais Seja E um espaço vetorial, um conjunto de vetores F = {V 1,...V m } E é dito ortogonal quando dois vetores distintos quaisquer em F são ortogonais. Se, além disso, todos os vetores de F são unitários então F é chamado de conjunto ortonormal.

Processo de Gram-Schmidt Definição Uma base B = {V 1,...V m } do espaço vetorial E é dito base ortonormal se e somente se, para qualquer vetor V i,v j B tem-se que { 0, i j < V i,v j >= (7) 1, i = j. Teorema Num espaço vetorial E, com produto interno, todo conjunto ortogonal F de vetores não-nulos é L.I (provar, ver exercícios). Exemplo. Seja B = {V 1,V 2,V 3 } uma base do R 3, onde V 1 = 1 3 2 3 2 3, V 2 = 2 3 1 3 2 3, V 3 = 2 3 2 3 1 3 O calculo direto mostra que usando o produto interno canônico usual: < V 1,V 2 >=< V 1,V 3 >=< V 2,V 3 >= 0,< V 1,V 1 >=< V 2,V 2 >=< V 3,V 3 >= 1. Ou em forma resumida < V i,v j >= δ ij..

Processo de Gram-Schmidt complemento ortogonal Se um vetor w E é ortogonal a todos os vetores de um subespaço F E, então, dizemos que w é ortogonal a F. O conjunto de todos os vetors ortogonais a F é chamado del complemento ortogonal de F, e é denotado porf. Exemplo 1 O vetor w = (0,0,3) R 3 é complemento ortogonal do plano xy = R 2. Exemplo 2 Mostrar que se dois vetores são ortogonais então u +v 2 = u 2 + v 2 (Teorema de pitagoras para espaços vetoriais com produto interno). Exemplo 3 Mostre que a base canônica {e 1,e 2,...,e n } de R n é ortonormal, considerando o{ produto canônico usual. Ou seja 0, se; i j < e i,e j >= δ ij, onde δ ij = 1, se; i = j

Processo de Gram-Schmidt Exercicios 1 Seja o conjunto B = {v = (1,1)/ 2,w = (1, 1)/ 2} R 2. Seja v = (v 1,v 2 ),w = (w 1,w 2 ). O conjunto B é ortonormal na base canônica?. Considere o seguinte produto interno : < v,w >= v 1 w 1 +2v 2 w 2, verifique se B é ou não conjunto ortonormal. 2 Demonstre o Teorema enunciado na pagina 48. 3 seja v,w dois vetores arbitrarios de R 3, Demonstrar que a projeção ortogonal do vetor v sobre o vetor w é dado por O vetor Pr w (v) é paralelo a w. Pr w (v) = < v,w > w 2 w. 4 Verifique se o conjunto B = { i j 2, j+ k 2, i+ k 2 } é ortonormal.

Processo de Gram-Schmidt Seja, B = {v 1,v 2,...v n }, uma base qualquer do espaço vetorial E. A partir desta base podemos construir uma base ortonormal O = {q 1,...q n } E. O processo é como segue: Seja w 1 = v 1, logo q 1 = w1 w 1. w 2 = v 2 Pr w1 (v 2 ), logo q 2 = w2 w 2 w 3 = v 3 Pr w1 (v 3 ) Pr w2 (v 3 ), logo q 3 = w3 w 3.. w n = v n j=n 1 j=1 Pr wj (v n ), logo q n = wn w n. Observe que q 1 =... q n = 1.

segue... Dependencia Linear Processo de Gram-Schmidt logo, se pode verificar que o conjunto {q 1,q 2,...,q n } é uma base ortonormal de E. A este processo de construção de uma base ortonormal no espaço vetorial E é denominada de processo de ortonormalização de Gram-Schmidt. exercicios Exercício 1. Seja B = {v 1 = (1,1),v 2 = (1,2)} uma base do espaço euclidiano E = R 2. Construa uma base ortonormal de R 2 a partir da base B, usando o processo de Gram-Schmidt. Exercício 2. Seja B = {v 1 = (1,1,1),v 2 = (0,1,1),v 3 = (0,0,1)} uma base de E = R 3. Construa uma base ortonormal para o espaço R 3 a partir da base B, usando o processo de Gram-Schmidt. Nos dois exemplos anteriores, se assume que os vetores de base B estão dadas na base canônica, e se deve utilizar o produto interno canônico de R n.

Seja E um espaço vetorial de dimensão n. Consideremos as bases arbitrarias B 1 = {q 1,q 2,...,q n } E, e a base B 2 = { q 1, q 2,..., q n } E. Dado v E, tal que v = x 1 q 1 +x 2 q 2 +...+x n q n = x i q i,i = 1,..n. (8) v = y 1 q 1 +y 2 q 2 +...+y n q n = y l q l,l = 1,..n. (9) Os números reais x i são as coordenadas de v na base B 1, e os números reais y i são as coordenadas de v na base B 2. Coordenadas de v em forma matrizial. x 1 y 1 [v] B1 = x 2., [v] B 2 = y 2. (10) x n y n Qual é a relação entre o conjunto de coordenadas x i e y i?.

Consideremos como exemplo o vetor q 1 na base nova B 2, teriamos: q 1 = a 11 q 1 +a 12 q 2 +,...+a 1n q n = j=n j=1 a 1j q j. Em forma geral l=n q k = a kl q l (11) l=1 Podemos pensar que as coordenadas do vetor q k na nova base B 2 pode-se colocar como uma matriz coluna (k-ésima coluna da matriz A). a k1 [q k ] B2 =.. (12) a kn Os números reais a ij são elementos de uma matriz A, chamada matriz de transformação ou matriz de mudança de base, da base B 2 a base B 1. Substituindo (11) em (8), e organizando chegamos a seguinte relação

v = x i q i = k=n l=n x k q k x k ( a kl q l ) (13) logo, a ordem da sumação pode-se trocar, k=1 k=n l=n l=n k=n v = x k a kl q l = ( x k a kl ) q l (14) k=1 l=1 comparando a igualdade anterior com a equação (9) e utilizando a independencia linear dos vetores de base q k, chegamos a conclusão: y l = k=n k=1 l=1 k=1 l=1 a kl x k, ou matricialmente,

y 1 y 2. y n = a 11 a 21. a n1 a 12 a 22...... a 1n.. a nn x 1 x 2. x n, ou [v] B 2 = A T [v] B1 (15) Esta última equação é mais útil, desde que permite calcular as coordenadas de v na base nova B 2 em função das coordenadas de v na base anterior B 1 e da matriz de mudança de coordenadas A T. Observe que as colunas da matriz A T esta formada pelas coordenadas dos vetores q k, na nova base B 2 respetivamente A T = [[q 1 ] B2 [q 2 ] B2...[q n ]B 2 ]

è importante fazer uma observação, que verdadeiramente a matriz de mudança de bases, da base B 1 B 2 é a matriz A 1. Desde que q 1 q 1.. = A 1.., (16) q n q n observe a equação (11), na qual realizamos a inversão da matriz A. Exemplo 1 Seja B 1 = {q 1 = (1,0),q 2 = (0,1)} a base canônica de R 2. Considere a nova base B 2 = { q 1 = (1,1), q 2 = ( 1,1)}. a) Dado um vetor v, encontre a matriz que transforma as coordenadas iniciais deste vetor na base B 1 à base B 2. b) Encontre a matriz A 1 da mudança de bases (B 1 B 2 ). c) Dado o vetor v = (3,4) na base inicial B 1, encontre suas novas coordenadas na base B 2.

Exemplo 2 Seja B 1 = { i, j, k} a base canônica de R 3. Considere a nova base B 2 = { i + j, k + j, i + k}. a) Encontre a matriz A T de transformação de coordenadas. b) Dado os vetores v = (1,1,1),w = (1,3, 2) na base inicial B 1, encontre suas novas coordenadas na base B 2. Exercício 1 Seja B = {e 1,e 2 } uma base ortonormal do R 2, sendo e 1 = (1,0) e e 2 = (0,1). Consideremos uma nova base ortonormal B = {e 1,e 2 } de R2, produto da rotação da base anterior B um ángulo θ. a) Determine a matriz de transformação (matriz de rotação aoredor do eixo z) da base ortonormal B a base ortonormal B. b) Determine a matriz de mudança de coordenadas da base ortonormal inicial B à base ortonormal final B

Exercício 2 Seja um vetor v = (3,4) na base canônica B 0 = { i, j}. a) Determine as componentes do vetor v na base B 1 = {q 1,q 2 }, e na base B 2 = { q 1, q 2 }. q 1 = (1,1),q 2 = ( 1,1), q 1 = ( 1,0), q 2 = (1, 1). b) Encontre a matriz de mudança de base A 12 que leva as coordenadas de v na base B 1 à base B 2. c) Verifique que A 2 = A 12 A 1. A matriz A 1 é a matriz de mudança de coordenadas da base canônica B 0 à base B 1.A matriz A 2 é a matriz de mudança de coordenadas da base canônica B 0 à base B 2. Exercício 3 Seja P 1 o espaço vetorial formado pelos polinomios de grau máximo 1. Neste espaço definimos a base B 1 = {p 1,p 2 }, e a base B 2 = {q 1,q 2 }. Onde p 1 = 2+3x,p 2 = 2x, e q 1 = 2,q 2 = 4+5x. a) Encontre a matriz de mudança de coordenadas de B 1 a B 2. b) Seja o vetor w = 6+10x, encontre as coordenadas de w na base B 1. c) Usando o resultado anterior, encontre as coordenadas de w na base B 2. d) De forma similar que a pergunta b, calcule as coordenadas de w na base B 2, e compare com o resultado da parte c.

Vamos visualizar o conceito de matriz ortogonais atraves de um exemplo. Exemplo 1 Seja a matriz U = 1 2 2 3 3 3 2 3 1 2 3 3 2 2 3 3 1 3, esta matriz é dita ortogonal se os vetores coluna {u i,i = 1,2,3} desta matriz são ortonormais como se mostrou no exemplo 4.1. Podemos observar também que a matriz U T = 1 2 3 3 2 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 3 é inversa de U. Podemos verificar diretamente que UU T = U T U = 1, o que quer dizer U 1 = U T.

Em geral se temos uma matriz ortogonal a 11.. a 1i.. a 1j.. a 1n a 21.. a 2i.. a 2j..... A = a k1.. a ki.. a kj..., a n1.. a ni.. a nj.. a nn os vetores coluna a i e a j são ortonormais o que que dizer < a i,a j > a i. a j = δ ij, ou em componentes a ki a kj = δ ij. (17) k

Porem, lembrando que aik t = a ki, sendo aik t as componentes da matriz transposta A t ; podemos re-escrever a equação 17 deste modo a ki a kj = aik t a kj = δ ij. (A T A = 1 n n ). (18) k k A análise da ortonormalidade feita com os vetores coluna também pode ser feita com os vetores linha, desta forma chegariamos a seguinte relação a ik a jk = a ik akj t = δ ij. (AA T = 1 n n ), (19) k k similiar a equação anterior 18. Logo, esta provado que para uma matriz ortogonal se cumpre que A T = A 1.

Exercicios Dependencia Linear Exemplo 1 Mostre que a matriz A é ortogonal [ ] 1/2 3 A = 2 3 2 1/2 Exercício 1 Demonstre que se a matriz A é ortogonal, A 1 também é. Exercício 2 Demonstre que det(a) = ±1, para toda matriz ortogonal A. Exercício 3 Se temos duas bases B 1,B 2 ortonormais, a matriz de transformação de coordenadas é uma matriz ortogonal: A 1 = A T.

Exercício 4 Seja o espaço Euclidiano R 3 e a base canônica B 1 = { i, j, k}, ao longo dos eixos x 1,x 2,x 3, respectivamente. Se giramos o sistema de coordenadas x 1,x 2,x 3 rígidamente um ángulo θ ao redor do terceiro eixo x 3 e no sentido antihorário, teremos uma nova base B 2 = { q 1, q 2, q 3 }. a) Determine os vectores q i,i = 1,2,3 em função dos vetores unitários i, j, k da base canônica B1, considere um angulo fixo e arbitrario. b) Dado um vetor v = (0,1,2) na base canônica B 1, qual será as novas coordenadas de v = (y 1,y 2,y 3 ) na nova base B 2?, considere os cassos θ = π/2, e θ = π/4. Exercício 5 Considere o espaço vetorial dos polinomios de grau máximo 1 P 1. Em P 1 temos duas bases, a base canônica B 1 = {p 1 = 1,p 2 = x}; e a base B 2 = {q 1 = 2+x 3, q 2 = 1 2x 3 }. a) Verifique que esta última é uma base ortonormal também. b) Verique que a matriz de mudança de coordenadas de B 1 B 2 é uma matriz ortogonal. Considere o produto interno definido para polinomios em exercícios anteriores.

Matriz de rotação Quando temos um sistema de coordenadas fixo X,Y,Z, e realizamos a rotação (no valor do angulo θ) de um vetor V = (x,y,z) ao redor do certo eixo fixo no espaço R 3 tal como n ; a matriz que transforma as velhas coordenadas de V nas novas coordenadas de V = (x,y,z ) é sempre uma matriz ortogonal; isto porque este tipo de matriz não modifica a norma do vetor, ou seja, V = V ; como é o caso numa rotação. Em geral, essa matriz de rotação depende do angulo de giro θ e das componentes do vetor n que define o eixo de rotação, logo: R = R(θ, n). Em particular se o eixo de rotação é o eixo +Z, esta matriz somente depende do angulo θ, tal como segue: Prove a igualdade (20). V = R(θ)V, R T = R 1 V = V (20)

Exercício 6 Seja a matriz de rotação cos(θ) sin(θ) 0 R(θ) = sin(θ) cos(θ) 0, 0 0 1 esta matriz descreve a rotação feita por um vetor V ao redor do eixo +Z num ángulo θ no sentido antihorario. Por tanto, tendo a informação da posição inicial do vetor V = (x,y,z), e o angulo de rotação θ, podemos determinar as novas coordenadas do vetor V = (x,y,z ) usando a equação matricial [V ] = R(θ)[V]. Verifique que a matriz R é ortogonal. Pergunta : Se V = (1,0,3) e ele gira um ángulo de θ = 90 o graus em sentido antihorario, ao redor do eixo +z determine as coordenadas do vetor V. Obseve que, a diferença do exercício 4 (desta seção), aqui não tem mudança de base, quem mudou foi o vetor.

Aplicações Orientação de ônibus espacial: Determinação do eixo instantaneo de rotação. Solução de sistema de equações diferenciais lineares (mistura de substancias, modos normais de vibração, vibração de um predio, etc) Busca na rede e hierarquização de páginas no google. referência: Steven J. Leon, àlgebra linear, 8 a edição,editorialgen2011.

Seja A = [a ij ] n n, seja X = [x i ] n 1. Equação de autovalores AX = λx (21) λ autovalor de A associado ao autovetor X A equação de autovalores pode ser colocada desta forma Onde I é a matriz identidade n n Seja B = A λi, então : BX = 0. (A λi)x = 0 n n. (22) Para termos solução em X não trivial(x 0), a matriz B deve ser singular (B 1 ). Logo det(b) = det(a λi) = 0, (23)

função carateríztica. Do ponto de vista do autovalor λ a equação anterior (23) define um polinomio em λ, por tanto podemos definir f(λ) = det(a λi) = 0. Para uma matriz A n n o polinômio f(λ) = a 0 +a 1 x +a 2 x 2 +...a n+1 x n+1 +a n x n, P n. chama-se função carateriztica Equação carateriztica f(λ) = det(a λi) = 0. (24) As raizes da equação anterior, são os autovalores da matriz A.

Exemplo 1 Encontre os autovalores e autovetoes da matriz ( ) 4 5 A = 2 1 (25) Alguma propriedades de autovalores. Se v é autovetor associado ao autovalor λ de A : Então αv(αreal) também é autovetor de A associado ao mesmo autovalor λ. λ k é autovalor de A k. λ 1 é autovalor de A 1. bλ é autovalor de ba. Uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se λ = 0 não é um autovalor de A. http://www.wolframalpha.com/ procure eigenvalues (autovalores).

Exercícios Dependencia Linear Exercício 1 Encontre os autovalores e autovetoes das matrizes A, B, C, D, F, K. [ ] 4 4 A =,B = 1 0 1 0 2 0,C = 1 0 2 0 0 0, 4 2 0 0 3 2 0 4 D = 0 0 2 0 2 2 1 0 3,F = 1 0 2 0 2 0 2 0 1,K = [ 0 1 4 0 Exercício 2 Mostre que a equação carateriztica de uma matriz A de ordem 2 2 é da forma λ 2 - traço(a)λ +det(a) = 0. λ é autovalor de A. Exercício 3 Probar que se A é uma matriz quadrada, então A e sua transposta A T tem os mesmo autovalores. ].

Exercício 3 Determine os valores propios das matrizes B 1,C 1,D 5 (da pagina anterior). Propriedades 1.- Os autovalores de uma matriz triangular são os elementos da sua diagonal principal. 2.- Os autovalores de uma matriz simétrica (A = A T ) são números reais, e os autovetores associados a estes autovalores reais (distintos) são ortogonais (provar). 3.- Seja V e λ autovetor e autovalor associados a uma matriz A., prove que λ s é um autovalor da matriz G = A si, onde I matriz identidade. λ, s são números reais. Teorema Se {X 1,X 2,...X n } são autovetores de A associados a autovalores distintos λ 1,λ 2,..λ n respetivamente, então o conjunto {X 1,X 2,...X n } é L. I. Exemplo: verifique a validade deste teorema nos exemplos anteriores.

Summary Dependencia Linear 1 Definição de E. V. 2 Subespaço 3 Dependencia Linear 4 Base e Dimensão 5 Produto interno 6 Espaço Vetorial Euclidiano 7 Ortonormalidade Ortonormalidade processo de ortonormalização 8 9 10 11 ortogonal ortogonal 12

ortogonal Problema da diagonalização Dada uma matriz A n n existe uma matriz P (invertível) tal que P 1 AP é uma matriz diagonal?. Resposta: Dita matriz pode existir ou não. Casso dita matriz P existir, a matriz A chama-se diagonalizavel. Dizemos que P diagonaliza A. Teorema Uma matriz quadrada A n n é diagonalizavel se e somente se A tem n autovetores linearmente independentes. Procedimento de diagonalização 1 Encontre os n,{x 1,X 2,...X n } autovetores de A. L. I. 2 Forme a matriz P con os vetores coluna {X 1,X 2,...X n }. 3 Realize a multiplicação P 1 AP = D, D é a matriz procurada.

ortogonal D = P 1 AP, D = λ 1 0. 0 0 λ 2 0 0 0 0. 0 0 0 0 λ n n n, (26) Condição suficiente para diagonalizabilidade de uma matriz A Teorema se uma matriz A n n tem n autovalores distintos então ela é diagonalizável. Isto não descarta a possibilidade de que a matriz A n n seja diagonalizável mesmo quando tenha um número menor que n de autovalores distintos. Exemplo Daigonalize A = 1 3 3 3 5 3, 3 3 1

ortogonal Exercícios 1.- Diagonalize se é possível as matrizes A,B,C,D,F que aparecem no exercício 1 da seção anterior. 2.- Diagonalize as seguintes matrizes A 1 = [ 6 2 2 3 ], A 2 = 1 1 0 1 1 0 0 0 0,A 3 = 2 4 3 4 6 3 3 3 1

Matrizes semelhantes ortogonal Definição. Considere duas matrizes quadradas A e B. A matriz A é semelhante à matriz B se, e somente se, existe uma matriz inversível P tal que A = PBP 1. - Observe que se A è semelhante a B então B è semelhante a A. Propriedades Sejam A e B matrizes semelhantes então: 1. det(a) = det(b), 2. A é inversível se, e somente se, B é inversível, 3. A e B têm o mesmo polinomio característico (mesmos autovalores), 4. A e B têm o mesmo traço. 5.- a matriz A e sua forma diagonal D = P 1 AP são semelhantes. 6.- Seja P matriz invertível, e B = PAP 1 demostrar que B n = PA n P 1, n natural.

Observações importantes ortogonal Suponhamos que temos uma matriz A 3 3 e queremos diagonalizar. Pode acontecer os seguintes cassos. 1.- Se a matriz tiver 3 autovalores diferentes (λ 1 λ 2 λ 3 ), então pela condição suficiente de diagonalizabilidade, a matriz A sera diagonalizavel. 2.- Pode ser que dois autovalores sejam iguais, tal que λ 1 = λ 2 λ 3. 2a) Neste casso se mesmo assim conseguimos encontrar 3 autovetores L.I. (um associado a λ 3, e dois associaos a λ 1 ), então ainda poderemos diagonalizar a matriz A. 2b) Se somente encontramos dois autovetores L. I. associados a λ 1 e λ 3, respectivamente, então nao será mais possível diagonalizar a matriz A, posto que precisamos 3 autovetores L.I. 3) Tres autovalores iguais. Nesste casso a semelhança do casso dois, teremos duas possibilidade, ou vamos poder diagonalizar (quando conseguirmos 3 vetores L.I) ou não será possível diagonalizar a matriz A.

ortogonal ortogonal Definição 6. Seja A M n n (R), diz-se que A é diagonalizável ortogonalmente se existe uma matriz P, ortogonal (P T = P 1 ), tal que P 1 AP = P T AP = D é uma matriz diagonal; diz-se que P diagonaliza ortogonalmente A. Lembrando que se A é uma matriz simétrica então: (a) Todos os valores próprios de A são reais. (b) Vectores próprios associados a valores próprios distintos são ortogonais. Teorema.- Seja A M n n (R). São equivalentes as afirmações: (a) A é diagonalizável ortogonalmente. (b) A admite um conjunto o.n. de n vectores próprios. (c) A é simétrica. (prove de a b).

ortogonal ortogonal Processo de diagonalização: Seja A M n n (R) matriz simétrica. Passo 1. Determinar uma base para cada subespaço próprio de A. Passo 2. Aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt a cada base encontrada no Passo 1, para obter uma base o.n. para cada um dos subespaços próprios de A. Passo 3. Formar a matriz P cujas colunas são os vectores das bases o.n. dos subespaços próprios determinadas no Passo 2; a matriz P diagonaliza ortogonalmente a matriz A. A matriz diagonal D = P T AP = P 1 AP tem como entradas principais os valores próprios de A.

ortogonal Exercício 1 Determine a matriz ortogonal P que diagonaliza a matriz simétrica A = 7 2 0 2 6 2 0 2 5 Exercício 2 Determine a matriz ortogonal P que diagonaliza a matriz simétrica A = 1 0 2 0 0 0 2 0 4 Exercício 3 Determine a matriz ortogonal P que diagonaliza a matriz simétrica B = 3 2 4 2 6 2 4 2 3

ortogonal Aplicações: Solução de Sistema de equações diferencias ordinarias a 11 x 1 (t)+a 12 x 2 (t) = ẋ 1 (t) a 21 x 1 (t)+a 22 x 2 (t) = ẋ 2 (t),que na forma matricial é [ ] [ ] [ ] a11 a 12 x1 (t) ẋ1 (t) =,ou AX(t) = Ẋ(t) sendo a 21 a 22 x 2 (t) ẋ 2 (t) A = [ ] [ ] a11 a 12 x1, X = a 21 a 22 x 2 A solução do sistema anterior é (demonstração em calculo 3). X(t) = c 1 e λ1 t V 1 +c 2 e λ2 t V 2, sendo λ 1,λ 2 e V 1,V 2 autovalores/autovetores correspondentes da matriz A.

ortogonal Questão. Dois tanques contêm cada um 100 litros de uma mistura. Inicialmente, a mistura no tanque A contém 40 gramas de sal, enquanto a mistura no tanque B contém 20 gramas de sal. O ĺıquido é bombeado para dentro e para fora dos tanques como mostra a figura a seguir. Determine a quantidade de sal em cada tanque no instante t. Determine a concentração final em cada tanque no estado estacionario.

Dependencia Linear E. Elon Lages Lima, Àlgebra linear, coleção matemática universitária (IMPA)- Sétima edição 2008. Anton Rorres, Álgebra Linear com aplicações, oitava edição, bookman. Àlgebra linear com aplicações, Steven J. Leon, Oitava edição, Gen LTC (2011). àlgebra linear e suas aplicações, David C. Lay. 2da edição GEN.