Filtro FIR : Características Projeto de um Filtro FIR 1/38 Filtro FIR: Estudo, Projeto e Simulação Fabrício Simões IFBA 28 de Novembro de 2011
Filtro FIR : Características Projeto de um Filtro FIR 2/38 1 Filtro FIR : Características 2 Projeto de um Filtro FIR Método de Projeto Usando Janelas Janela de Kaiser Projeto de Filtros FIR com Banda de Transição Especificada
3/38 Filtro FIR : Características Projeto de um Filtro FIR Filtro FIR - Características 1 Filtro FIR é sempre estável. Os pólos do filtro FIR estão localizados em z=0; 2 Filtros FIR são empregados em problemas de filtragem onde exigem resposta de fase linear; 3 É possível projetar filtro FIR causal com fase linear se sua resposta ao impulso satisfaz a condição h(n) = ±h(n n) para n = 0, 1, 2,..., N, ou seja, h[n] é simétrico ou antisimétrico 4 Comparando ao filtro IIR, a ordem do filtro FIR para atender as especificações desejadas é maior.
4/38 Filtro FIR : Características Projeto de um Filtro FIR Tipos de Filtro FIR - Resposta ao Impulso
5/38 Filtro FIR : Características Projeto de um Filtro FIR Tipos de Filtro FIR Resposta em Frequência Desejada: H(ω) = D(ω)e jmω, onde D(ω) é magnitude e Mω, a fase. M = N/2 para N par e ímpar A depender da ordem N do filtro (par ou ímpar) e dos coeficientes b m (simétrico e anti-simétrico), os filtros FIR podem ser classificados como: Filtro Tipo I: N é par e os coeficientes b m são simétricos. h[n] = h[n n]
6/38 Filtro FIR : Características Projeto de um Filtro FIR Tipos de Filtro FIR - Continuação Filtro Tipo II: N é ímpar, o atraso M = N/2 não é inteiro e os coeficientes b m são simétricos. h[n] = h[n n] Zeros: z=-1. Qual a influência desse zero na resposta em frequência H(ω)? Filtro Tipo III: N é par e os coeficientes b m são anti-simétricos. h[n] = h[n n] zeros: z=± 1. Qual a influência desse zero na resposta em frequência H(ω)?
7/38 Filtro FIR : Características Projeto de um Filtro FIR Tipos de Filtro FIR - Continuação Filtro Tipo IV: N é impar, M = N/2 não é inteiro e os coeficientes b m são anti-simétricos. h[n] = h[n n] zeros: z=1. Qual a influência desse zero na resposta em frequência H(ω)?
8/38 Filtro FIR : Características Projeto de um Filtro FIR Projeto de um Filtro FIR : Considerações São baseados em uma aproximação direta da resposta em frequência desejada O método mais simples é chamado de window method. Esse método geralmente começa com uma resposta em frequência ideal desejada, H d (ω).
Resposta em Frequência Desejada. 9/38 1 Considere as respostas em frequência IDEAIS a seguir: H lp (ω) H hp (ω) 1 1 ω c π ω ω c π ω h lp [n] = sen(n M)ωc π(n M) h hp [n] = δ(n M) sen(n M)ωc π(n M) 2 h d [n] é a resposta ao impulso de um sistema IIR e não-causal.
Como Obter um Filtro FIR Causal? 10/38 1 Podemos obter um filtro FIR e causal h[n] de ordem N, usando uma versão truncada da resposta h d [n] h[n] = { hd [n], n = 0, 1,..., N 0, n < 0 e n > N (1) 2 O truncamento pode ser matematicamente escrito por em que w r [n] é uma janela retangular. h[n] = h d [n]w r [n], (2)
Qual o Efeito do Truncamento? 11/38 1 Considere a resposta em frequência desejada. H d (ω) = h d [n]e jωn (3) n= 2 Como H d (ω) é uma função periódica e contínua de ω, então h d [n]e jωn n= É uma representação em Série de Fourier de H d (ω)
Fenômeno de Gibbs 12/38 Problema de convergência não-uniforme da Série de Fourier. A Série de Fourier não converge uniformemente para funções com descontinuidade. Figura 1 : Ilustração do Fenômeno de Gibbs (OPPENHEIM, 1998)
Resposta em Frequência do Filtro FIR e Causal 13/38 N H(ω) = h d [n]e jωn, (4) n=0 em que h[n] = h d [n] para n = 0, 1, 2,... N. H lp (ω) 1 N 1 N 2 N 2 > N 1 ω c π ω Figura 2 : filtro Efeito do truncamento sobre a resposta em frequência do
Observando o Efeito do Truncamento a partir da Convolução 14/38 H(ω) = H d (ω) W r (ω) 2π W r (ω) = sen(ω(n+1)/2) sen(ω/2) Efeito da largura do lobulo principal Figura 3 : filtro. Efeito do truncamento sobre a resposta em frequência do
Como Reduzir o Efeito do Truncamento? 15/38 Para reduzir o efeito do fenômeno de Gibbs, deve-se usar janelas com truncamento menos abrupto. Tabela 1 : Janelas : Equações Tipo de Janela Triangular Hamming Blackman Equação w 2 [n] = 1 2 n N/2 N w 3 [n] = 0, 54 0, 46 cos(2πn/n) w 4 [n] = 0, 42 0, 5 cos(2πn/n) + 0, 08 cos(4πn/n)
Características Desejadas 16/38 Lóbulo principal estreito: A largura do lóbulo principal afeta a largura da banda de transição; Intensidade dos lóbulos laterais: Quanto maior, maior é a intensidade dos ripples na bandas de passagem e de rejeição.
Comparação entre as Janelas 17/38 Tabela 2 : Janelas : Comparação Tipo de Janela Amplitude (db) Largura Aproximada (lóbulo lateral) (lóbulo principal) Retangular -13 4π/(M + 1) Triangular -25 8π/M Hamming -41 8π/M Blackman -57 12π/M
Exemplo de Projeto 18/38 Considere o sinal x(t) = cos(2π1000t) + cos(2π1500t). Projete um filtro passa-baixa de ordem N=4 para eliminar a frequência de 1,5kHz. Considerando a frequência máxima igual a 1500Hz, adotou-se f a = 3kHz (tempo de amostragem T = 0, 33ms). As frequências devem ser normalizadas no intervalo ω [ π, π].
Exemplo de Projeto 19/38 1 Frequências normalizadas: 2π1000 = 2, 09 rad 2π1500 = π rad ω c = 2, 61 rad 2 Resposta ao impulso do filtro h[n] = h d [n] = sen((n 2)2, 61) π(n 2) para n = 0, 1, 2,..., 4 3 Equação de Diferenças : y[n] = 0, 14(x[n] + x[n 4]) + 0, 16(x[n 1] (5) + x[n 3]) + 0, 83x[n 2]
Usando o Fdatool - Matlab 20/38
Usando a Janela de Hamming 21/38 Aplicando a janela de Hamming. w h [n] = 0, 54 0, 46 cos(2πn/4) Equação de Diferenças h h [n] = h[n]w h [n] para n = 0, 1, 2, 3, 4 y(n) = 0, 011(x[n] + x[n 4]) + 0, 087(x[n 1] (6) + x[n 3]) + 0, 83x[n 2]
Resposta em Frequência dos Filtros 22/38 Figura 4 : Resposta em frequência usando janelas retangular e de Hammimg.
Janela de Kaiser 23/38 Diferentemente dos métodos anteriorer, usando a janela kaiser é possível especificar os parâmetros do filtro. Não existe tentativa e erro; A equação da janela para n = 0, 1, 2,..., N é dada por w 5 [n] = J 0(0, 5Nβ (0, 5N) 2 (n 0, 5N) 2 ) J 0 (0, 5Nβ) em que β controla a relação entre a largura do lóbulo principal e a intensidade dos lóbulos laterais. 0, 1102(R s 8, 7), 50 < R s β = 0, 5842(R s 21) 0,4 + 0.07886(R s 21), 21 R s 50 0, R s < 21
Equações de Projeto do Filtro Usando Janela de Kaiser 24/38 H(jω) R s = 20 log δ s 1 + δ s 1 δ s N = Rs 8 2,285 ω H(jω p ) = 1 δ s H(jω s ) = δ s δ s ω p ω s ω ω Figura 5 : Equações de Projeto e Gabarito do Filtro Passa-Baixa.
Exemplo de Projeto de um Filtro Passa-Baixa 25/38 1 Exemplo 7.8 - Oppenheim. Projeto de um filtro FIR passa-baixa com as especificações a seguir : ω p = 0, 4π; ω s = 0, 6π δ s = 0, 001 2 Definição dos parâmetros da janela de Kaiser. ω = ω s ω p = 0, 2π R s = 20log(δ s ) = 60 3 Frequência de corte do filtro passa-baixa ideal. ω c = ω p + ω s 2 = 0, 5π
Exemplo de Projeto : Continuação 26/38 4 Parâmetros β e N da janela de Kaiser. 5 Determinando h[n]. β = 5, 653 N = 37 h[n] = sen((n M)0, 5π) J 0 (0, 5Nβ (0, 5N) 2 (n 0, 5N) 2 ) π(n M) J 0 (0, 5Nβ)
A Janela de Kaiser e o RESTO 27/38 Tabela 3 : Obtendo outras janelas usando a de Kaiser Tipo de Janela R s = 20log(δ s )(db) β ω Retangular -21 0 1,81 π/m Triangular -25 1,33 2,37 π/m Hamming -53 4,86 6,27 π/m Blackman -74 7,04 9,19 π/m
Projeto de um Filtro Passa-Alta Usando Janela de Kaiser 28/38 1 Exemplo 7.9 - Oppenheim. Resposta em frequência do filtro passa-alta ideal { 0, ω < ωc H(jω) = e jωn/2, ω c < ω π 2 Resposta ao impulso de um filtro passa-alta ideal h hp [n] = sen(π(n M/2)) π(n M/2) sen(ω c(n M/2)) π(n M/2)
Gabarito de Projeto do Fitro Passa-Alta 29/38 H(jω) R s = 20 log δ s 1 + δ s 1 δ s N = Rs 8 2,285 ω H(jω p ) = 1 δ s H(jω s ) = δ s δ s ω ω s ω p ω Figura 6 : Equações de Projeto e Gabarito do Filtro Passa-Baixa.
Continuação 30/38 1 Especificações do Filtro: H(jω) δ 2 para ω ω s em que δ s = 0, 021 2 Parâmetros da Janela : N = 1 δ s H(ω) 1 + δ s, R s = 20 log δ s = 33, 56 33, 56 8 2, 2850, 15π = 23, 73 = 24
Continuação 31/38 1 Como 21 R s 50, então β = 0, 5842(33, 56 21) 0,4 +0, 07886(33, 56 21) = 2, 5980 = 2, 6 2 Resposta ao impulso do filtro h[n] = h hp [n] J 0(0, 5Nβ (0, 5N) 2 (n 0, 5N) 2 ), J 0 (0, 5Nβ) para ω c = ωp+ωs 2
Porque o Filtro FIR tem Fase Linear? 32/38 1 Note que as janelas são simétricas em torno de n = N/2, ou seja, { w[n n], 0 n N w[n] = 0, cc 2 Como a janela é simétrica, a sua transformada de Fourier pode ser representada por W (jω) = W e (jω)e jωn/2, em que W e (jω) é a transformada de Fourier de uma janela de duração N e simétrica em torno de n = 0
Porque o Filtro FIR tem Fase Linear? 33/38 1 A resposta ao impulso desejada h d [n] pode ser simétrica ou antisimétrica, portanto H d (ω) = H d (ω) = 2 Resposta em frequência do filtro obtido H(ω) = W (jω) H d(jω) 2π H(jω) = π π H e(jθ)e jθn/2 W e (j(ω θ))e j(ω θ)n/2 dθ 2π
Porque o Filtro tem Fase Linear? 34/38 1 Resposta em frequência do filtro H(jω) = 1 2π 2 Reescrevendo D(jω) { }} { π π H e (jθ)w e (j(ω θ))dθ H(jω) = D(jω)e jωn/2 Fase Linear { }} { e j(ωn/2) 3 Usando h d [n] simétrico (tipos I e II) ou anti-simétrico (tipos III e IV) e janelas simétricas é possível obter um filtro FIR com fase linear.
Banda de Transição Especificada 35/38 1 Eliminação do fenômeno de Gibbs. Considere a resposta en frequência H(jω) = D(jω)e jn/2ω, em que D(jω) é dado por 1, 0 ω ω p (ω D(jω) = s ω p) ω s ω p, ω p < ω < ω s 0, ω s ω π
Determinação de h[n] 36/38 H d (ω) 1 = ω s ω p ω c = ωp+ωs 2 ω p ω s ω Figura 7 : Resposta em frequência desejada com banda de transição Resposta ao Impulso Desejada; ( senωc n ) ( ) sen0.5 n h d [n] = 2π, πn πn A resposta h d [n] é IIR e não-causal.
Exemplo 37/38 Uma janela retangular trunca a resposta h d [n] para obter um filtro FIR e Causal. Para ilustrar o método, considere o exemplo abaixo: H d (ω) 1 = ω s ω p = 0, 5 ω c = ωp+ωs 2 = 1, 25 1 1, 5 ω Figura 8 : Resposta desejada. 1 Considere uma resposta emn frequência desejada com ω p = 1 e ω s = 1.5.
Resposta em Frequência: Resultado. 38/38