Estatística Aplicada I ESPERANCA MATEMATICA AULA 1 25/04/17 Prof a Lilian M. Lima Cunha Abril de 2017 EXPERIMENTO RESULTADOS EXPERIMENTAIS VARIÁVEL ALEATÓRIA X = variável aleatória = descrição numérica do resultado de um experimento -cada um de seus possíveis valores se associa a uma probabilidade DISCRETA CONTINUA 1
Distribuição de X: conjunto dos valores de X e as respectivas probabilidades X = variável aleatória P(X) = Probabilidade associada aos valores de X X = numero de clientes que usam caixa eletrônico no período de 1 minuto EX1 X P(X) 0 0,1353 1 0,2707 2 0,2707 3 0,1804 4 0,0902 5 ou mais 0,0527 ( ) = % EX2 Resultado do lançamento de um dado P (X) P (X) 1/6 1/6 1/7 1/8 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 X ( ) = = 2
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS EX1:Examecom4partes(CPA) X = numero de partes que o candidato foi aprovado (0,1,2,3,4) = numero finito EX 2: X = numero de carros que chegam no pedágio no períodode1dia=numerointeiroseinfinitos EX 3: Pesquisa solicita ao individuo que relembre a mensagem de um recente comercial de TV X = 1 para os que lembram X = 0 para os que não lembram. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTINUAS EX 1: Ambulância no atendimento de ocorrências em um trecho de 90 km; X = numero de km até o local do próximo acidente de trânsito ao longo do trecho de 90 km; X = qualquervalorentre0e90 EX2:X=tempoparasacardinheiro EX3: encher uma lata de refrigerante que tem capacidade para 350 ml X = quantidade em ml; x = qualquer valor entre 0 e 350 3
DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE X = variável aleatória discreta P(X)=probabilidadeassociadaacadaX A distribuição dessas probabilidades (P(X)) e definida por uma função de probabilidade chamada f(x) EX1: X = numero de carros vendidos em um dia O experimento foi realizado no período de 300 dias X varia de 0 a 5 por histórico de vendas DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE EX1: X = numero de carros vendidos em um dia X Numero de dias f (X) 0 54 54/300 f(0) 1 117 117/300 f(1) 2 72 72/300 f(2) 3 42 42/300 f(3) 4 12 12/300 f(4) 5 3 3/300 f(5) 300 ( ) =( ) = + +()= 4
DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE EX1: X = numero de carros vendidos em um dia X Numero de dias f (X) f(x) f(x) 0 54 54/300 f(0) 0,18 1 117 117/300 f(1) 0,39 2 72 72/300 f(2) 0,24 3 42 42/300 f(3) 0,14 4 12 12/300 f(4) 0,04 5 3 3/300 f(5) 0,01 300 1 soma soma A venda de 1 carro por dia é o evento mais provável Qual seria a probabilidade de vender 3 ou mais carros por dia? Resp: 0,19 DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE CONDIÇÕES NECESSARIA PARA FUNÇÃO DE PROBABILIDADE DISCRETA: 1) ( ) = 2) ( ) * Esta associada a probabilidade de ocorrência (só pode ser positiva) f (X) 0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0 1 2 3 4 5 X 5
DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DE PROBABILIDADE = n = número de valores que a variável aleatória pode assumir DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DE PROBABILIDADE CONSIDERE O LANÇAMENTO DE UM DADO X = NUMERO QUE APARECE NA FACE VIRADA PARA CIMA X f(x) 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6 = = * Existem 6 possíveis valores para X 6
ESPERANÇA MATEMATICA (ou valor esperado) Aesperançadeumavariávelaleatóriaéasuamédia; Para variável discreta, a sua media não será media simples e sim uma média ponderada pela probabilidade de ocorrência. = = ( ) i = 0,1,..., n ESPERANÇA MATEMATICA (ou valor esperado) ** Utilizando o exemplo de vendas de automóveis... X f(x) 0 0,17 1 0,39 2 0,24 3 0,14 4 0,04 5 0,01 1,0 soma = =, +, + +, =, Por dia 7
ESPERANÇA MATEMATICA (ou valor esperado) ** para o exemplo do lançamento de um dado E (X) = 3,5 X f(x) X x f(x) 1 0,17 0,167 2 0,17 0,333 3 0,17 0,500 4 0,17 0,667 5 0,17 0,833 6 0,17 1,000 3,50 ESPERANCA VARIÂNCIA MEDIDA DE VARIABILIDADE OU DISPERSÃO PARA SINTETIZAR A VARIABILIDADE DE UM CONJUNTO DE DADOS E, NESSE CASO, PARA SINTETIZAR A VARIABILIDADE DOS VALORES DA VARIAVEL ALEATÓRIA VAR = = (( ( )) ( )) i = 0,1,..., n 8
VARIÂNCIA - cálculo ** Utilizando o exemplo de vendas de automóveis... X f(x) X x f(x) (X- E (X)) (X- E (X)) 2 (X- E (X)) 2 x f (X) 0 0,18 0,000-1,500 2,250 0,4050 1 0,39 0,390-0,500 0,250 0,0975 2 0,24 0,480 0,500 0,250 0,0600 3 0,14 0,420 1,500 2,250 0,3150 4 0,04 0,160 2,500 6,250 0,2500 5 0,01 0,050 3,500 12,250 0,1225 1,500 1,250 soma soma Uma companhia está considerando uma expansão da fábrica que tornará possível à empresa produzir um novo produto. O presidente da empresa precisa decidir se a expansão será em média ou em grande escala. Existe uma incerteza em relação à demanda do produto, a qual pode ser baixa, média ou alta, com probabilidades de 20%, 50% e 30%, respectivamente. Considere que X e Y são as previsões de lucro da empresa em cada um dos cenários de expansão. Demanda EXEMPLO - APLICADO Média Escala Alta Escala X P(X) Y P(Y) Baixa 50 0,20 0 0,20 Média 150 0,50 100 0,50 Alta 200 0,30 300 0,30 a. Calcule o valor esperado para o lucro associado às duas alternativas de expansão. Que decisão é preferida para o objetivo de maximizar o lucro? b. Calcule a variância para o lucro associado às duas alternativas de expansão. Que decisão é preferida para o objetivo de minimizar o risco/incerteza? 9
RESOLUÇÃO Demanda média escala alta escala X P(X) Y P(Y) X*Pr(X) Y*Pr(Y) Baixa 50,00 0,20 0,00 0,20 10 0 Média 150,00 0,50 100,00 0,50 75 50 Alta 200,00 0,30 300,00 0,30 60 90 145 140 ESPERANCA X ESPERANCA Y a.calcule o valor esperado para o lucro associado às duas alternativas de expansão. Que decisão é preferida para o objetivo de maximizar o lucro? RESP: CENARIO DE MEDIA ESCALA RESOLUÇÃO (X - Media) 2 x Pr (X) (Y- Media) 2 x Pr (Y) 1805 3920 12,5 800 907,5 7680 2725 12400 VARIÂNCIA X VARIÂNCIA Y b. Calcule a variância para o lucro associado às duas alternativas de expansão. Que decisão é preferida para o objetivo de minimizar o risco/incerteza? RESP: CENARIO DE MEDIA ESCALA, também!!!! 10
DISTRIBUIÇÃO CONTINUA DE PROBABILIDADE 1) Para a variável aleatória discreta, a função de Probabilidade(f(X)) produz a probabilidade de a variável aleatória assumir um valor em particular; 2) Para a variável aleatória contínua, a contraparte da função de Probabilidade é a função de densidade de probabilidade, também expressa por f(x) função de densidade de probabilidade não produz probabilidade DIRETAMENTE A probabilidade de a variável aleatória continua assumir um exato valor, é zero; Aprobabilidadenessecasoseráobtidapelaáreasobográficodef(X).Essaáreaserá a probabilidade de a Variável aleatória continua X assumir um valor nesse intervalo. DISTRIBUIÇÃO CONTINUA DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DE PROBABILIDADE SEMPRE QUE A PROBABILIDADE FOR PROPORCIONAL AO COMPRIMENTO DO INTERVALO, A VARIAVEL ALEATÓRIA SE ENCONTRA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA 11
EX: SUPONHA QUE X = TEMPO DE VOO DE UMA AVIAO QUE VAI DE A PARA B. SUPONHA QUE TEMPO DE VOO POSSA TER QUALQUER VALOR NO INTERVALODE120 A140MINUTOS.UMAVEZQUEAVARIAVELALEATORIAX PODE ASSUMIR QUALQUER VALOR DESSE INTERVALO, X É UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTINUA, E NÃO UMA DISCRETA. DIANTE DE DADOS DISPONIVEIS, PODEMOS CONCLUIR QUE A PROBABILIDADE DE TEMPO DE VOO NO INTERVALO DE 1 MINUTO QUALQUER TENHA A MESMA PROBABILIDADE DE TEMPO DE VOO EM OUTRO INTERVALO DE 1 MINUTO, TODOS CONTIDOS NO INTERVALO TOTAL DE 120 A 140 MINUTOS. CONSIDERA-SE QUE CADA UM DOS INTERVALOS DE 1 MINUTO É IGUALENTE PROVAVEL, DIZEMOS QUE A VARIAVEL ALEATORIA CONTINUA TEM UMA DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DE PROBABILIDADE. ASSIM, A FUNÇÃO DE DENSIDADE DE PROBABILIDADE, A QUAL DEFINE A DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DE PROBABILIDADE, CORRESPONDE A VARIAVEL ALEATORIA TEMPO DE VOO E: 1/20 para f (X) = 0 outro ponto qualquer DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DE PROBABILIDADE A FÓRMULA GERAL PARA FUNÇÃO DE DENSIDADE UNIFORME DE PROBABILIDADE: f (X) = 1/(b a) para a 0 outro ponto qualquer EM RELAÇÃO A VARIAVEL ALEATORIA TEMPO DE VOO, a = 120 e b = 140 1/20 QUAL A PROBABILIDADE DO TEMPO DE VOO SITUAR-SE ENTRE120E130MINUTOS? RESP: 0,5 120 125 130 135 140 12
() FORMA GENERICA DE CALCULO DA DISTRIBUICAO DE PROBABILIDADE UNIFORME CONTINUA = =, F(X)= () *USANDO O EXEMPLO DA VARIAVEL ALEATORIA TEMPO DE VOO -QUAL A PROBABILIDADE DO TEMPO DE VOO SITUAR-SE ENTRE 120 E 130 MINUTOS? 1/20 Função de densidade de probabilidade 120 125 130 135 140 ESPERANÇA MATEMATICA (ou valor esperado) 13
COMO SERIA O CALCULO DA ESPERANÇA MATEMATICA PARA: PARA DISTRIBUICAO UNIFORME DE PROBABILIDADE DISCRETA??? Usando a formulação genérica do slide anterior... 14
*USANDO O EXEMPLO DA VARIAVEL ALEATORIA TEMPO DE VOO, a = 120 e b = 140 1/20 120 125 130 135 140 O CALCULO GENERICO PARA A ESPERANDA SERIA: == () (+) = () = EXERCICIO PARA ENTREGAR A tabela ao lado é uma distribuição de probabilidade referente ao lucro projetado da MRA Company (X = lucro em milhares de dólares) para o primeiro ano de operação ( o valor negativo denota prejuízo). X f(x) -100 0,10 0 0,20 50 0,30 100 0,25 150 0,10 200???? a)qual é o valor adequado para f (200)? Qual a interpretação desse valor? b)qualaprobabilidadedeamraserrentável? c)qual e a probabilidade de a MRA alcançar pelo menos USS100mil? d)calculeovaloresperadodalucrodaempresa. e) Calcule a respectiva variância. 15
RESULTADOS a 0,05 b 0,90 Considerando lucro zero c 0,40 d 55 e 5475 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANDERSON, D.; SWEENEY, D.J.; WILLIANS, T.A. 2007. Estatistica aplicada a administração e economia. Ed. Thompson. 2ª ed. 597 p. cap6pgs205a209;cap5pgs169a178. HOFFMANN, R. Estatística para economistas. 2006. cap6. 16