Resolução de Sistemas Lineares Método de Gauss O algoritimo conhecido como Método de Gauss é desenvolvido a partir de dois ingredientes básicos: Resolução de Sistemas Lineares Triangulares Procedimento de escalonamento Sob um ponto de vista mais conceitual, o Método de Gauss consiste em um algoritmo que surge naturalmente da questão sobre existência e unicidade de soluções de Sistemas Lineares envolvendo n equações e n incógnitas Para melhor entender esta observação, considere um sistema de equações lineares da forma: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n 1 x n 1 + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n 1 x n 1 + a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nn 1 x n 1 + a nn x n = b n (1) onde {a ij } 1 i,j n e {b i } 1 i n são coeficientes dados e os valores das incógnitas {x i } 1 i n são fixados pelas equações (1) Utilizando notação matricial nós reescrevemos este sistema na forma: a 11 a 12 a 1n 1 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n 1 a 2n x 2 b 2 a n1 a n2 a nn 1 a 1n x n = b n (2) As informações que definem as equações do sistema (ie os valores dos coeficientes a s e b s )podem ser organizados em uma única matriz E, a qual denominamos de matriz estendida: 1
E = a 11 a 12 a 1n 1 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n 1 a 2n b 2 a n1 a n2 a nn 1 a 1n b n (3) A questão de existência e unicidade da solução de um sistema linear da forma (2) é facilmente respondida no caso particular em que o sistema tem a propriedade a ij = 0 se i > j (4) Sistemas com esta propriedade são denominados de T riangulares ou Escalonados e o sistema de equações (1) é da forma: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n 1 x n 1 + a 1n x n = b 1 a 22 x 2 + + a 2n 1 x n 1 + a 2n x n = b 2 a nn x n = b n (5) A solução de Sistemas Lineares com esta propriedade quando a ii 0; 1 i n, pode ser obtida pelo seguinte algoritimo recursivo: x n = [b n ]/a nn x n 1 = [b n 1 a n 1n x n ]/a n 1n 1 n x i = [b i a ik x k ]/a ii (6) k=i+1 n x 1 = [b 1 a 1k x k ]/a 11 Assim a existência e unicidade da solução é equivalente à condição: k=2 2
a ii 0; 1 i n (7) Observe que esta condição pode ser sintetizada na forma: D = 1 i n a ii 0 (8) O valor de D é chamado de Determinante Quando D = 0, o conjunto das colunas da matriz dos coeficientes A não constitui um conjunto de vetores Linearmente Independente de R n e neste caso o sistema é indeterminado se b R n é um vetor no subespaço das combinações lineares das colunas de A ou impossível se b nã pertence a este subespaço Em termos do processo iterativo do o sistema tem solução indeterminada se para as linhas em que a ii = 0, é possível escolher no x k ; k > i de forma que [b i n k=i+1 a ikx k ] = 0, caso contrário o sistema é impossível No caso mais geral em que a condição (4) não está satisfeita, a questão de existência e unicidade pode ser respondida considerando o procedimento de escalonamento descrito a seguir, o qual consiste em efetuar transformações na matriz estendida E de forma a obter uma nova matriz E cujo sistema linear associado é triangular e equivalente ao sistema original no sentido de que os conjuntos soluções coincidem Assim a existência e unicidade da solução do sistema original fica estabelecida pela existência e unicidade do sistema escalonado equivalente Procedimento Iterativo de Escalonamento 1 Primeira Iteração 11 Condensação pivotal Consiste em efetuar uma eventual troca de linhas na matriz E de forma a obter uma matriz estendida com a propriedade a i1 a 11 ; 1 < i n 3
12 Definição de multiplicadores Efetuada a condensação pivotal, definimos multiplicadores m i1 1 < i n: m i1 = a i1 a 11 1 < i n Como consequência da condensação pivotal, m i1 1 Observe também que os multiplicadores m i1 estão definidos desde que a 11 0, também como consequência da condensação pivotal, a 11 = 0 somente se todas as entradas na primeira coluna da matriz E forem nulas, o que ocorre somente se o sistema for indeterminado ou impossível 13 Substituição de linhas Utilizando os multiplicadores efetuamos as seguintes trocas de linhas: (i ésima linha) (i ésima linha) m i1 (1a linha) com este procedimento obtemos uma nova matriz estendida em que as entradas na primeira coluna, a i1 ; i > 1, são nulas pois a i1 m i1 a 11 = a i1 a i1 a 11 a 11 = 0 2 Segunda Iteração 21 Condensação pivotal Consiste em efetuar uma eventual troca de linhas na matriz E de forma a obter uma matriz estendida com a propriedade a i2 a 22 ; 2 < i n 22 Definição de multiplicadores Efetuada a condensação pivotal, definimos multiplicadores m i2 2 < i n: 4
m i2 = a i2 a 22 2 < i n Como consequência da condensação pivotal, m i2 1 Observe também que os multiplicadores m i2 estão definidos desde que a 22 0, também como consequência da condensação pivotal, a 22 = 0 somente se todas as entradas na segunda colunas da matriz E com indices de linha i 2 forem nulas Como após a 1a iteração as entradas na primeira coluna para estas linhas são iguais a zero, a 22 = 0, após efetuada a condensação pivotal, implica em que o sistema é indeterminado ou impossível 23 Substituição de linhas Utilizando os multiplicadores efetuamos as seguintes trocas de linhas: (i ésima linha) (i ésima linha) m i2 (2a linha) com este procedimento obtemos uma nova matriz estendida em que as entradas na segunda coluna, a i2 ; i > 2, são nulas pois a i2 m i2 a 22 = a i2 a i2 a 22 a 22 = 0 k Iteração k1 Condensação pivotal Consiste em efetuar uma eventual troca de linhas na matriz E de forma a obter uma matriz estendida com a propriedade a ik a kk ; k < i n k2 Definição de multiplicadores Efetuada a condensação pivotal, definimos multiplicadores m ik k < i n: m ik = a ik a kk k < i n 5
Como consequência da condensação pivotal, m ik 1 Observe também que os multiplicadores m ik estão definidos desde que a kk 0 e, também como consequência da condensação pivotal, a kk = 0 somente se todas as entradas na k-ésima colunas da matriz E com indices de linha i k forem nulas Como após as iterações anteriores as entradas nas colunas de 1 a k 1, para estas linhas são iguais a zero, a kk = 0, após efetuada a condensação pivotal, implica em que o sistema é indeterminado ou impossível k3 Substituição de linhas Utilizando os multiplicadores efetuamos as seguintes trocas de linhas: (i ésima linha) (i ésima linha) m ik (k ésima linha) As transformações envolvidas na condensação pivotal (passos k1 do procedimento de escalonamento) são implementadas pela multiplicação de E por uma matriz de permutação simples P (ie multiplicação por uma matriz P com a propriedade de que p ij = 0 ou 1; em cada linha e em cada coluna de P existe apenas uma entrada não nula e na diagonal de P existe no máximo duas entradas nulas) Por exemplo a troca da linha i com a linha j é implementada por uma matriz de permutação em que p ij = p ji = 1 Matrizes P com estas propriedades tem inversa e P 1 = P, de forma que se x é tal que Ax = b então P Ax = P b e se y é tal que P Ay = P b então Ay = b Assim sistemas lineares Ax = b associadosà matriz estendida E e P Ax = P b associado à matriz estendida P E são equivalentes no sentido que seus conjuntos soluções coincidem As transformações envolvidas nas substituições de linhas (passos k3) são implementadas pela multiplicação de E por uma matriz S com as propriedades: s ii = 1; 1 i n existe apenas uma entrada não nula fora da diagonal de S Por exemplo a troca de linhas: 6
(i ésima linha) (i ésima linha) m ik (k ésima linha) é implementada multiplicando a matriz E por uma matriz S com s ik = m ik Observando que S = S 1 existe e é definida por: s ii = 1; 1 i n e existe apenas uma entrada não nula fora da diagonal de S ; s ik = m ik, podemos concluir que que se x é tal que Ax = b então SAx = Sb e se y é tal que SAy = Sb então Ay = b Portanto sistemas lineares Ax = b associadosà matriz estendida E e SAx = Sb associado à matriz estendida P E são equivalentes no sentido que seus conjuntos soluções coincidem Com estas observações podemos concluir que o sistema triangular obtido no final do processo de escalonamento é equivalente ao sistema original pois todas as transformações envolvidas são implementadas pela multiplicação por matrizes que possuem inversas assegurando a equivaleência dos conjuntos soluções 7