20 Modelos de Sistemas Amostrados Relógio u(kh) D/A u(t) G(s) Sistema y(t) A/D y(kh) Qual a função de transferência discreta vista pelo computador?
21 Recorde-se que, para determinar a função de transferência, devemos: Aplicar um sinal à entrada do sistema, com condições iniciais nulas Observar a saída Determinar as transformadas Z da entrada e da saída correspondente Calcular a função de transferência como o quociente entre a transformada Z da saída e a transformada Z da entrada Que sinal de teste é mais conveniente aplicar?
22 Método Escalão Invariante Se aplicarmos um escalão discreto à entrada, à entrada do sistema contínuo aparecerá também um escalão, o que facilita as contas Relógio u(kh) D/A u(t) G(s) Sistema y(t) A/D y(kh)
23 Equivalência das saídas nos instantes de amostragem A função de transferência discreta equivalente é [ ] [ ]
24 Função de Transferência Discreta Sendo u(kh) um escalão discreto, a sua transformada Z é: Portanto: [ ]
Método Escalão Invariante (Conclusão) 25 Relógio u(kh) D/A u(t) G(s) Sistema y(t) A/D y(kh) Do ponto de vista do computador, i.e. entre a entrada e a saída discreta, este sistema é equivalente a um SLIT discreto com função de transferência
Tabelas Auxiliares TZ de sinais amostrados Equivalentes ZOH 26
27 Modelo de sistema amostrado Exemplo Qual a função de transferência discreta (causal) que se obtém quando se amostra o sistema contínuo com função de transferência Solução: Decompondo em fracções simples +? + + +
TL inversa do primeiro termo: TL inversa do segundo termo: + Amostrando nos instantes kh: 28 Cuja TZ é:
29 Finalmente, a função de transferência discreta vem dada por: A região de convergência deve ser escolhida por forma a que o sistema seja causal.
30 A resposta ao escalão do sistema contínuo coincide, nos instantes de amostragem, com a resposta do sistema discretizado. Isto não acontece para outro tipo de entradas, por exemplo uma sinusóide. 1 1 0.8 0.6 0.8 0.4 0.6 0.2 0 0.4 0.2-0.2-0.4-0.6-0.8 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Este facto motiva que se designe este método de discretização por método do escalão invariante.
Entradas Constantes por Troços (Zero-Order-Hold) Se os sinais de entrada de um sistema provêm de um retentor de amostras de ordem zero (zero-order-hold) então a saída dos sistemas contínuo e discreto equivalem-se nos instantes de amostragem: 31 1 u(t) sin(t), h 0.5s 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Transformação dos pólos 32 Na discretização com retentor de amostras de ordem zero os pólos são transformados de acordo com uma transformação exponencial. Um pólo em no contínuo é transformado num pólo dado por: Características de estabilidade são preservadas: semi-plano complexo esquerdo é mapeado no interior do círculo unitário. Unicidade não é preservada: vários pontos do plano-s são mapeados num mesmo ponto do plano-z (aliasing).
Exemplo de transformação de pólos 33
34 Sistema de 2ª ordem com pólos complexos conjugados ω + ζω + ω Os pólos são transformados nas raízes do polinómio + + ( ) ζ ω ζω ζω
35 Transformação dos zeros A transformação dos zeros é mais complexa e não existe uma regra geral simples. Para elevadas frequências de amostragem, um sistema contínuo com N polos e M zeros finitos (s i, j 1,...,M), conduz a um sistema discreto com: N-1 zeros finitos (d 1) M zeros em N-M-1 zeros tendem para as raízes dos polinómios da tabela: N-M A(z) Raízes 1 1 2 z+1-1 3 z 2 + 4z +1-3.7321, -0.2679 4 z 3 + 11 z 2 + 11z + 1-9.8990, -1, -0.1010 5 z 4 + 26z 3 + 66z 2 + 26z + 1-23.2875, -0.0154, -1.3486 ± j0.9860
36 Deve ser notado que um sistema contínuo de fase mínima pode dar origem, por amostragem, a um sistema de fase não mínima (i. e. em que há zeros fora do círculo unitário), o que pode dar origem a problemas no controlo. Em muitos casos isto acontece para ritmos de amostragem o que sugere sugere que nem sempre é bom aumentar o ritmo de amostragem (ao contrário do que nos diz a intuição e do que sucede em problemas de Processamento de Sinal).
37 Método Rampa Invariante Em alguns sistemas, não é adequado introduzir sinais do tipo escalão (descontinuidades). Uma forma de eliminar o problema é a utilização de retentores de ordem-1 na entrada do sistema: 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 time Para gerar o sinal a partir de tkh, é necessário conhecer o seu valor para t kh+1. Por isso, este método costuma também denominar-se predictive first-order hold. Para aplicar este modelo em controlo, os controladores projectados valor da actuação do sistema u(kh+1) no instante t kh. Requerem, portanto, um atraso adicional.
38 Equivalente discreto com Predictive First-Order Hold (PFOH) Pode ser implementado com um ZOH, um integrador, e um novo sinal de entrada v(k). + ZOH 1/s G(s) A/D + PFOH G(s) A/D { }
39 Oscilações Escondidas Os modelos de sistemas amostrados anteriores apenas nos dizem o que acontece nos instantes de amostragem. No intervalo entre esses instantes, coisas estranhas podem acontecer. 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 Para evitar estes efeitos, deveremos garantir que o intervalo entre amostras seja bastante mais curto do que o período das frequências naturais do sistema. 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
40 Selecção do Ritmo de Amostragem Regra prática: A frequência de amostragem deve ser cerca de 10 a 30 vezes superior à largura de banda (-3dB) do sistema em análise. Para efeitos de aproximação entre as respostas do sistema contínuo e seu equivalente discreto, considerar a largura de banda do sistema em malha aberta. No entanto, na maior parte das vezes pretende-se efectuar o controlo do sistema e portanto, deve-se considerar a largura de banda desejada do sistema em malha fechada.
41 Exercícios 1 Considere o modelo simplificado de um motor DC: + a) Deduza, utilizando a definição, o seu equivalente discreto ZOH. b) Confirme a validade da expressão obtida com o resultado listado na tabela de transformadas. c) Mostre que o mesmo equivalente discreto pode ser obtido pela discretização ZOH do termo 1/s, seguido da discretização PFOH do termo +.
42 2 Considere o sistema contínuo descrito pela função de transferência G(s): + + a) Obtenha a função de transferência discreta do sistema para um intervalo de amostragem h 0.5 (pode usar a função matlab c2d ). b) Quais os valores dos polos e zeros do sistema discreto? Confirme a regra exponencial de transformação dos polos. c) Faça h tender para zero. Para que valores tendem os polos e zeros do sistema dado? Confirme o comportamento assimptótico dos zeros dado pela tabela da pag. 2-34. d) Escolha uma frequência de amostragem adequada para efectuar o controlo por retroacção unitária deste sistema.