Matrizes - Transpostas e Simetrias

Matrizes - Transpostas e Simetrias Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 20152 7 de janeiro de 2016 1 / 34

Sumário 1 Transposição 2 Matriz Conjugada 3 Conjugada Transposta 4 Simetrias 5 Exercícios 2 / 34

Sumário 1 Transposição 2 Matriz Conjugada 3 Conjugada Transposta 4 Simetrias 5 Exercícios 3 / 34

Considere as matrizes [ ] 1 i (2 + i) A = (2 2i) (1 + i) 4 1 (2 2i) e B = i (1 + i) (2 + i) 4 Alguma semelhança entre elas? Foi feita a transposição de cada linha de A para uma coluna de B 4 / 34

Definição (Transposta de uma Matriz) Seja A = [a rs ] uma matriz de ordem n m Se reescrevermos os elementos de A de modo que cada linha seja disposta em forma de coluna, então a nova matriz obtida terá ordem m n e será chamada transposta de A, cuja notação é A T a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm a 11 a 21 a n1 A T a 12 a 22 a n2 = a 1m a 2m a nm 5 / 34

Exemplos: 1 2 m 1 2 2 m 2 A = 1 2 n m n 1 i 1 i i 1 i 1 A = 1 i 1 i i 1 i 1 A T = 1 1 1 A T 2 2 2 2 n = m m 2 m n 1 i 1 i i 1 i 1 1 i 1 i i 1 i 1 6 / 34

Sumário 1 Transposição 2 Matriz Conjugada 3 Conjugada Transposta 4 Simetrias 5 Exercícios 7 / 34

Qual o conjugado do número complexo z = 3 2i? z = 3 + 2i (Conceito Algébrico) Qual o significado geométrico para o conjugado de um número complexo? Repare que z + z R Em geral: z = a + bi = z = a bi 8 / 34

Mas, e a conjugada de uma matriz? Definição (Matriz Conjugada) Seja A = [a rs ] uma matriz de ordem n m A matriz conjugada de A é definida por: A = [a rs ] onde a rs é o conjugado do número complexo a rs para cada r {1, 2,, n}, s {1, 2,, m} a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm Qual a ordem da matriz conjugada A? 9 / 34

Exemplos: 1 i 1 i 1 i 1 i A = i 1 i 1 1 i 1 i A = i 1 i 1 1 i 1 i i 1 i 1 i 1 i 1 1 3 2 1 3 2 A = 1 17 3 A = 1 17 3 4 2 0 4 2 0 10 / 34

Sumário 1 Transposição 2 Matriz Conjugada 3 Conjugada Transposta 4 Simetrias 5 Exercícios 11 / 34

Podemos tomar a conjugada e a transposta de uma matriz A [ ] (3 i) ( 2 + i) 4 A = i 2i ( 1 i) (3 i) i (3 + i) i A T = ( 2 + i) 2i A T = ( 2 i) 2i 4 ( 1 i) 4 ( 1 + i) [ ] (3 + i) ( 2 i) 4 (3 + i) i A = i 2i ( 1 + i) A T = ( 2 i) 2i 4 ( 1 + i) A T = A T 12 / 34

Em geral A = a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a n1 a n2 a nm A T = a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n2 a 1m a 2m a nm A T = a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n2 a 1m a 2m a nm A = a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a n1 a n2 a nm A T = a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n2 a 1m a 2m a nm A T = A T 13 / 34

Notação Quando quisermos denotar a matriz conjugada e transposta de uma matriz A, usaremos a notação Isto é, A A = A T 14 / 34

Propriedades Dada uma matriz A de ordem n m, são válidas: (A + B) T = A T + B T (A + B) = A + B (αa) T = αa T (αa) = αa 15 / 34

Prova Provemos a última igualdade: (αa) = αa (αa) = (αa) T = (α[a rs ] n m ) T = ([αa rs ] n m ) T = ([αa rs ] n m ) T = [αa sr ] m n = [αa sr ] m n = α[a sr ] m n = α[a rs ] T n m = αa 16 / 34

Sumário 1 Transposição 2 Matriz Conjugada 3 Conjugada Transposta 4 Simetrias 5 Exercícios 17 / 34

A transposta ou conjugada transposta de matrizes quadradas podem gerar matrizes com algumas peculiaridades, como veremos a seguir A = 1 i 1 i i 1 i 1 1 i 1 i i 1 i 1 Veja que A = A T A T = 1 i 1 i i 1 i 1 1 i 1 i i 1 i 1 18 / 34

Matriz Simétrica Definição (Matriz Simétrica) Dizemos que uma matriz quadrada A é simétrica quando A = A T Observe que em uma matriz simétrica, A 1 = A 1, A 2 = A 2, A n = A n Consequentemente a rs = a sr para cada r {1, 2,, n}, s {1, 2,, n} 19 / 34

Exemplo Seja A = [a rs ] n n a matriz tal que a rs = (r s) 2 A é simétrica? a rs = a sr? (r s) 2 = (s r) 2? Sim Portanto, A é simétrica 20 / 34

Matriz Antissimétrica Considere o seguinte caso: 0 2 1 0 2 1 A = 2 0 1 A T = 2 0 1 1 1 0 1 1 0 Observe que A T = A Definição (Matriz Antissimétrica) Seja A uma matriz quadrada Dizemos que A é antissimétrica quando A T = A Tem-se A 1 = A 1, A 2 = A 2,, A n = A n Consequentemente, a rs = a sr 21 / 34

Matriz Antissimétrica Verdadeiro ou falso? Se A é uma matriz antissimétrica então sua diagonal principal é nula Verdadeiro! a rs = a rs = a 11 = a 11, a 22 = a 22,, a nn = a nn Daí, 2a 11 = 0, 2a 22 = 0,, 2a nn = 0 Ou seja, a 11 = 0, a 22 = 0,, a nn = 0 Observação ANTISSIMÉTRICA NÃO É O CONTRÁRIO DE SIMÉTRICA 22 / 34

Matriz Antissimétrica Exemplo A = 4 2 1 5 3 2 1 78 13 45 22 15 9 11 8 7 4 3 13 9 A T = 2 2 45 11 1 1 22 8 5 78 15 7 Claramente não ocorre A T = A nem A T = A Portanto A não é simétrica, nem antissimétrica 23 / 34

Existem matrizes que são, ao mesmo tempo, simétrica e antissimétrica? Dada A = [a rs ] n n, é possível: a rs = a sr e a rs = a sr, para cada r, s {1, 2, n}? Se a rs = a sr e a rs = a sr, então a sr = a rs, isto é, a sr = 0 Portanto a rs = 0 Conclusão: A = 0 24 / 34

Matriz Hermitiana Quando consideramos a matriz conjugada transposta, temos conceitos análogos para simetria e antissimetria 2 1 i 2 + 2i Seja A = 1 + i 5 3i 2 2i 3i 4 2 1 i 2 + 2i Então Se A = 1 + i 5 3i 2 2i 3i 4 Conclusão: A = A 25 / 34

Definição (Matriz Hermitiana) Seja A uma matriz quadrada Dizemos que A é hermitiana 1 quando A = A A 1 = A 1, A 2 = A 2,, A n = A n Isto é, a rs = a sr 1 Termo em homenagem ao matemático francês Charles Hermite (1822-1901) 26 / 34

Matriz Hermitiana Verdadeiro ou falso? Se A é uma matriz hermitiana, então sua diagonal principal é formada por números reais puros Verdadeiro! Sendo A hermitiana, então A = A Isto é, a rs = a sr Em particular, a 11 = a 11, a 22 = a 22,, a nn = a nn Para a 11 = a 11, temos que a 1 + ib 1 = a 1 ib 1, ou seja, b 1 = b 1 Portanto b 1 = 0 e a 11 = a 1 + i0 = a 1 R Da mesma forma, a 22, a 33,, a nn R 27 / 34

Matriz Anti-hermitiana 2i 3 + 5i 2 7i Seja A = 3 + 5i 0 9 2 7i 9 3i 2i 3 5i 2 + 7i Então Se A = 3 5i 0 9 2 + 7i 9 3i Conclusão: A = A 28 / 34

Definição (Matriz Anti-hermitiana) Seja A uma matriz quadrada Dizemos que A é anti-hermitiana quando A = A A 1 = A 1, A 2 = A 2,, A n = A n Daí, a rs = a sr O que acontece com a diagonal principal de uma matriz anti-hermitiana? São elementos na forma ib com b R Observação ANTI-HERMITIANA NÃO É O CONTRÁRIO DE HERMITIANA 29 / 34

Sumário 1 Transposição 2 Matriz Conjugada 3 Conjugada Transposta 4 Simetrias 5 Exercícios 30 / 34

Exercício Mostre que (A T ) T = A Solução a 11 a 12 a 1m a 11 a 21 a n1 a 21 a 22 a 2m A = A T a 12 a 22 a n2 = a n1 a n2 a nm a 1m a 2m a nm a 11 a 12 a 1m (A T ) T a 21 a 22 a 2m = = A a n1 a n2 a nm 31 / 34

Exercício O que ocorre com (A )? Solução a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A = a n1 a n2 a nm a 11 a 12 a 1m (A ) a 21 a 22 a 2m = a n1 a n2 a nm a 11 a 21 a n1 A a 12 a 22 a n2 = a 1m a 2m a nm a 11 a 12 a 1m (A ) a 21 a 22 a 2m = = A a n1 a n2 a nm 32 / 34

Exercício Qual a solução para X = X T? Solução x 11 x 12 x 1m x 21 x 22 x 2m X = x n1 x n2 x nm x 11 x 21 x n1 X T x 12 x 22 x n2 = x 1m x 2m x nm m n x 11 x 21 x n1 X x 12 x 22 x n2 = x 1m x 2m x nm x rs = x rs x rs R X R n m m n 33 / 34

Exercício Seja A uma matriz quadrada Mostre que a matriz B = A + A T é simétrica Exercício Devemos mostrar que B T = B B = A + A T = B T = (A + A T ) T = B T = A T + (A T ) T = B T = A T + A = B T = B Seja A uma matriz quadrada Mostre que a matriz C = A A T é antissimétrica 34 / 34