ENDOGENEIDADE E VARIÁVEIS INSTRUMENTAIS

Econometria II, Lic. em Economia Luís Filipe Martins Dpt. de Métodos Quantitativos ISCTE - EG luis.martins@iscte.pt http://home.iscte.pt/ lfsm Lisboa, 6/09/005 ENDOGENEIDADE E VARIÁVEIS INSTRUMENTAIS Wooldridge 5 0. Motivação e Consequências para o OLS Uma das hipóteses clássicas (M M5) do MRLM, y i = β + β x i +... + β k x ik + u i = x 0 iβ + u i,,..., n, () é M de exogeneidade estrita entre erros e regressores E(u i X) =E(u i x,..., x n )=0,,..., n E(u X) =0 n, () uma condição que implica E(u i )=0e Cov(u i,x ij )=E(u i x ij )=0,j =,..., k, i =,..., n. (3) Portanto, quando derivámos as propriedades do OLS assumimos que, no modelo em causa, os erros e os regressores não estavam autocorrelacionados - eram exógenos. Na prática existem casos de modelizações nas quais esta hipótese pode não ser válida. Eis três exemplos de modelos com endogeneidade. Example Sal = β + β Exp + u, onde Sal ésalário, Exp éanosdeexperiência e u inclui avariável idade que está correlacionada com Exp. Este é um exemplo de um modelo em que se encontra omitida uma variável relevante. Quando se admite que a variável idade éestatisticamentesignificativa para explicar o nível de salários, o verdadeiro modelo é Sal = β + β Exp + β 3 Id + u, β 3 6=0. (4)

Como foi demonstrado num capítulo anterior, bβ = Expi Exp Sal i Expi Exp, (5) em que, porque a verdadeira especificação é(4), E bβ Exp,Id Expi Exp Id i = β + β 3 Expi Exp = β + β 3 b δ 6= β, (6) onde Id = δ + δ Exp + u. O estimador β b não é centrado porque β 3 6= 0 (idade érelevante)e b δ 6=0. Este segundo resultado éverdadeiropoise (Id Exp) =δ +δ Exp, uma função de Exp! Apesar de ser enviesado, será queoestimadoré consistente (corrige o bias assimptóticamente)? Arespostaé negativa pois, como Cov(Id,Exp) 6= 0, p lim bβ n = β Cov(Id,Exp) + β 3 6= β V (Exp) (7) O sentido do bias (enviesamento) para amostras finitas e assimptóticamente depende do sinal da correlação na amostra e nas variáveis, respectivamente, para além do sinal de β 3. Este podemos tomar como positivo, β 3 > 0, em que maiores salários são, em média, pagos a trabalhadores de maior idade. Por outro lado podemos assumir que Expi Exp Id i e Cov(Id,Exp) são de sinal positivo - experiência aumenta com a idade. Consequentemente, os enviesamentos (finito ou assimptótico) são de sinal positivo, Expi Exp Id i β 3 Expi Exp > 0; β 3 Cov(Id,Exp) V (Exp) > 0, (8) o que significa que b β sobreavalia o verdadeiro valor b β. Example Sav = β + β Inc + u, onde Sav époupança e Inc érendimentodisponível mas que émedidocomerro:e = Inc Inc,E(e) =0,V(e) =σ e, onde Inc é o verdadeiro valor. é Este é um exemplo de erro de medida na variável independente em que o verdadeiro modelo Sav = β + β (Inc e)+u = β + β Inc +(u β e), (9) onde Cov(u β e, Inc) =Cov(u, Inc)+Cov( β e, Inc) = β σ e 6= 0, (0) assumindo que Cov(u, Inc) =0eCov(e, Inc )=0: Cov(e, Inc) =E(e.Inc) =E(e ) E(e.Inc )=σ e. () Foi provado anteriormente que β b é inconsistente: p lim bβ n = β + Cov(u β µ e, Inc) σ = β Inc V (Inc) σ Inc + σ e < β. ()

( q d = βp + u Example 3, onde, para um dado mercado (bens, serviços, trabalho,...), p é q s = δp + e preço, q d é a quantidade procurada, q s é a quantidade oferecida. Este é um exemplo de um modelo de equações simultâneas. Como a quantidade observada é determinada em equilibrio de procura e oferta, nenhuma das curvas (procura (β) eoferta(δ)) éidentificada. Se q s = δp + γz + e, z éumavariável exógena, entãoaofertanão é identicada (não é possivel estimar δ, γ) mas a procura éidentificável (é possível estimar β). De qualquer forma, a estimação de β em q d = q = βp + u por OLS é inconsistente: p = q γz e δ = βp + u γz e δ p = πz + η (u e), oqueimplicanaequação de procura E (u p) =E (u πz + η (u e)) 6= 0. De uma forma semelhante, Cov(u, p) =E(up) =E(u [πz + η (u e)]) 6= 0. Portanto, o OLS é enviesado e inconsistente. O que estes exemplos nos permitem concluir é que quando existe endogeneidade no modelo o OLS é enviesado e inconsistente. Este resultado não édeestranharvistoqueahipótese M (que implica M 0 )éumacondição necessária para que o OLS seja centrado (e, consequentemente, consistente). Esta éumasituação mais grave para o OLS quando comparada com os casos de heterocedasticidade e autocorrelação dos erros. Para além destes problemas, e como consequência, a inferência com o OLS standard torna-se errónea; não faz sentido falar em estimação robusta de V ( β) b e o estimador não éblue(não é U - unbiased!), nem assimptóticamente. Nestas condições, importa definir um método de estimação alternativo ao OLS. O método éde variáveis instrumentais (ou SLS) e serádiscutidonaspróximas secções. 0. Variáveis Instrumentais e o Estimador IV TalcomooOLSeoMLE, oestimadoriv(variáveis instrumentais) pertence à classe de estimadores GMM. O IV éumgmmlineareasuautilização justifica-seprincipalmenteemmodelos com endogeneidade, Cov(u i,x ij )=E(u i x ij ) 6= 0, para algum j =,..., k e i =,..., n, (3) onde se mantém a hipótese de E(u) = 0. Na estimação IV é necessário recorrer ao uso de variáveis instrumentais a(s) qual(is) estão associadas a um particular regressor endogeno. Definition z éumavariável instrumental para x se (i) z é exogeno em relação ao erro u, Cov(u, z) =E(uz) =0; e(ii) z está (fortemente) correlacionado com o regressor x, Cov(x, z) 6= 0 Example 4 Anos de experiência do pai pode ser um instrumento para Exp. Nível de escolaridade dos pais e número de irmãos/irmãs podem ser instrumentos para Educ. Teste IQ pode ser 3

um instrumento para talento/aptidão. Salário pode ser um instrumento para Inc. No mercado agrícola, o número de dias de chuva pode ser uma variável exogena na equação da oferta. Para que um instrumento z para x seja estatisticamente válido, temos de verificar ambas condições Cov(u, z) =0eCov(x, z) 6= 0. Em relação à primeira, e como não observamos u, partimos apenas de pressupostos da teoria económica ou senso comum. A análise da correlação amostral entre z eosresiduosbu é um tanto quanto simplista e não rigorosa. Para verificar que Cov(x, z) 6= 0 e qual a intensidade da relação entre eles, uma das possibilidades éusarumteste t na regressão auxiliar x = δ + δ z + u; δ = Cov(x, z). (4) V (z) Após a definição de variável intrumental é muito simples a expressão do estimador IV. No MRLS, y = β + β x + u, Cov(u, x) =E(ux) 6= 0, (5) para uma amostra de dimensão n eumúnico instrumento para x, bβ,iv = (z P i z)(y i y) n (z i z)(x i x) = β + (z i z) u P i n (z i z)(x i x). (6) Naturalmente, β b,iv = y β b,iv x. Ao contrário do OLS e GLS, o IV não resulta de minimização de quadrados de erros. A sua expressão pode no entanto ser justificada pelo método dos momentos: de (5), Cov(y, z) = Cov(β + β x + u, z) =β Cov(x, z)+cov(u, z) =β Cov(x, z) (7) β = Cov(y, z) Cov(x, z). Alternativamente, resulta dos momentos E (u) =0eE(uz) =0. Quando a variável instrumental éválida, o estimador IV é consistente, p lim bβ n IV = β. Mas vejamos o seguinte. Num modelo com endogeneidade, Corr(u, x) 6= 0, p lim bβ n,ols = β + Corr(u, x) σ u 6= β σ, (8) x Corr(u, z) σ u p lim bβ n,iv = β + = β Corr(x, z) σ, (9) x porque o instrumento éválido, Corr(u, z) =0eCorr(x, z) 6= 0. Mas, se o instrumento não é válido, no sentido de que Corr(u, z) 6= 0, então o IV também éinconsistente,p lim bβ n IV 6= β. O IV tem um menor enviesamento assimptóticodoqueoolssecorr(u, x) > Corr(u,z) Corr(x,z), condição Nada pode ser dito em relaçãoaamostrasdedimensão finita pois a hipótese que assumimos édecov(z, u) =0. Estudos de Monte Carlo podem mostrar que existe um enviesamento para pequenas amostras. 4

esta que não éfácil de testar a não ser de uma forma intuitiva em que se calculam as correlações amostrais onde u é representado pelos residuos bu. Sob a hipótese de E(u z) =σ = V (u), V bβ,iv σ x, z = nσ xcorr(x, z), (0) que pode ser consistentemente estimada por d V bβ,iv x, z = bσ nbσ, () xrx,z onde bσ = n bu i e bu i são os residuos IV, bu i = y i β b,iv β b,iv x i, bσ x = n (x i x), e R x,z resultadomodelo(4). Portanto, para n elevado, s se bβ,iv bσ = SST x Rx,z q = bσ Pn (z i z) (z i z)(x i x), () q bσ quecoincidecomaexpressão para o estimador inconsistente OLS SST x se R x,z =, isto é, se x e z são linearmente dependentes na amostra! Em geral, isso não acontece, e porque 0 <R x,z <, oivémenosefficiente (maior se do que o OLS). Mas, não nos esqueçamos que, ao contrário do IV, o OLS é inconsistente sob a hipótese de endogeneidade. Quanto maior éa correlação entre x e z (melhor qualidade do instrumento), maior éaprecisão na estimação IV do modelo. Passamos agora àanálise geral no MRLM, y i = x 0 iβ + u i,,..., n, y = Xβ + u, (3) em que Cov(u, X) =E(X 0 X 0 u u)=p lim = p lim! x i u i 6= 0 k. (4) Suponhamos em primeiro lugar que existem tantos instrumentos como regressores, z 0 z Z n k =... =... z k...... ; Z0 k n =(z,...,z n ); (5) Z 0 u p lim z 0 n = p lim z n... z nk! z i u i =0 k. (6) 5

Nestas condições, (3) é equivalente a Z 0 y = Z 0 Xβ + Z 0 u e por isso, supondo que a matriz Z 0 X = z ix 0 i não ésingular, Z 0 y p lim = bβ IV = p lim n Z 0 X n! Z 0 X Z 0 u β + p lim n n! 0 Z y n = Z 0 0 X Z y = = β + Z 0 0 X Z u = β + OIVé consistente, p lim bβ n IV = β + p lim! n β Z 0 X Z 0 y k = p lim.p lim, (7)! z i x 0 i z i y i (8)! z i x 0 i z i u i. (9) z i xi! 0.p lim n n z i u i = β, (30) e, sob V (u Z) =σ I n, tem como matriz consistente de variâncias-covariâncias, bσ k k = µ d bβiv d 0 V bβiv X, Z = E β bβiv β X, Z (3) bσ = = bσ!! Z 0 X Z 0 Z X 0 Z = bσ z i x 0 i z i z 0 i x i zi! 0 ; (3) n k bu i,iv. (33) Notequeseaamostraé i.i.d., pela (U)LLN, p lim P n z ix 0 i σ Ω, então = E z x 0. Se V (u Z) = Σ = σ Z 0 X Z 0 ΩZ X 0 Z. (34) Pode-se provar que bσ é menor (maior eficiencia) quando X e Z estão mais correlacionados equeoivé, em geral, menos eficiente do que o OLS. As matrizes de variâncias-covariâncias (e o próprio estimador) do IV e do OLS coincidem quando Z = X. Mas o OLS é inconsistente! Assimptóticamente, e sob algumas condições de regularidade, n bβiv β énormalmente distribuido. Na prátical, no entanto, o modelo pode ser sobre-identificado:onúmero de intrumentos m ésuperioraonúmero de regressores k, z 0 Z n m =... = Z 0 u p lim z 0 n = p lim z... z m...... ; Z0 m n =(z,...,z n );m>k; (35) z n... z nm! z i u i =0 m. (36) 6

Quando m>k,a matriz Z 0 X de dimensão m k não é quadrada e por isso não admite uma inversa. Neste caso, pré-multiplicamos (3) por X 0 Z Z 0 0 Z Z para obter bβ IV µ = X 0 Z Z 0 0 Z Z X X 0 Z Z 0 0 Z Z y; (37) bσ = bσ X 0 Z Z 0 Z Z 0 X. (38) Escolha do número de instrumentos. Escolha dos instrumentos. 0.3 Estimador SLS Nesta secção apresentamos um método de estimação alternativo que se baseia em minimos quadrados a dois passos (SLS). Para efeitos de simplicidade na exposição consideremos o modelo estrutural y = β + β x + β 3 z + u; Cov(u, x) 6= 0,Cov(u, z) =0, (39) em que x éendógeno, z éexógeno e z,z são instrumentos válidos para x. Num primeiro passo, estima-se consistentemente por OLS o modelo (v satisfaz as hipóteses standard) x = δ + δ z + δ 3 z + δ 4 z + v; δ 3 6=0, δ 4 6=0, (40) em que x temcomoregressorestodasasvariáveis exógenas (instrumentos e do modelo estrutural). Como a combinação linear de todas as variáveis exógenas E (x z,z,z )=δ +δ z +δ 3 z + δ 4 z é o melhor instrumento para x, este é estimado por d E (x z, z,z )=bx = b δ + b δ z + b δ 3 z + b δ 4 z. (4) No segundo passo, estima-se consistentemente por OLS o modelo estrutural (39) y = β + β bx + β 3 z + u, (4) onde bx é determinado no primeiro passo e o estimador resultante para β coincide com o IV. No entanto, os se para o SLS não são os mesmos que do IV (). E para o MRLM, numa forma mais geral? Como sabemos, o estimador SLS coincide com o estimadoriv(ver(7)e(37)).aideiaéaseguinte:nomodelo y = X β + X β + u, X =(X,X ), β 0 = β 0, β 0, (43) em que X é o conjunto de variáveis endógenas, Cov(u, X )=E(Xu) 0 X 0 =p lim u 6=0. (44) 7

No primeiro passo, do sistema X = Zπ + v, resulta o OLS bπ = Z Z 0 Z (37) éoolsem Z 0 Z Z 0 X e bx = Zbπ = Z 0 X. Fazendo a substituição no modelo original, e após alguma cálculos, o SLS y = X b + bv β + X β + u y = Z Z 0 0 Z Z X β + X β + u. (45) A expressão do SLS é dada em (37). Uma condição necessária équeonúmero de instrumentos (colunas de Z) seja igual ou superior ao número total de regressores (X,X ),k. Alternativamente, podia-se tomar y = Xβ + u emquenoprimeiropassobπ = Z 0 0 Z Z X e bx = Z Z 0 0 Z Z X e o SLS era o OLS em y = bxβ + v, β b = X b 0 bx X b 0 y. 0.4 Testes: Endogeneidade e Sobre-Identificação Tal como apresentámos nos capítulos de heterocedasticidade e autocorrelação dos erros, torna-se necessário nesta discussão apresentar testes à exogeneidade dos regressores. No caso de mais do que um instrumento por regressor endogeno, também podemos testar a validade de algum dos instrumentos no sentido de não estarem correlacionados com os erros. OtestedeHausmané o procedimento de referência para inferir sobre a exogeneidade dos regressores. Podendo ser utilizado noutro contexto, o teste de Hausman procura comparar estatisticamente dois estimadores β b E e β b C para o mesmo modelo e vector de parâmetros β. O estimador β b C é consistente sob ambas as hipóteses H 0 e H enquanto que o estimador β b E apenas é consistente sob a nula H 0. Por outro lado, sob a hipótese nula H 0, β b E é(assimptóticamente) mais eficiente do que β b C. No contexto deste capítulo, onde H 0 é exogeneidade e H é endogeneidade, β b C éoiveβ b E éools. Vejamos o teste de Hausman com o recurso a regressão auxiliar. Porque Cov(u, x) 6= 0, os erros u e v dos modelos (39) e (40) estão autocorrelacionados, Cov(u, v) 6= 0. Otesteà exogeneidade é muito simplesmente o teste rácio t ao coeficiente δ na regressão auxiliar (aumentada em relação ao modelo estrutural em δbv) y = β + β x + β 3 z + δbv + u, (46) onde bv são os resíduos do primeiro passo. Se existirem mais do que uma variável endogena (por exemplo, 5) então usa-se o teste F àsignificância conjunta dos 5 coeficientes associados aos 5 resíduos do primeiro passo. Afórmula geral da estatística de Hausman édadapor µ H = n bβc β b d E 0 AV bβc d AV bβe bβc β E b, (47) d onde AV bβ éavariância-covariância assimptótica, em que soba hipótese nula é assimptóticamente 8

distribuida χ k. No nosso caso de interesse, µ H = bβiv β b d OLS 0 V bβiv V d bβols bβiv β OLS b d χ k, (48) onde β b IV, β b d OLS, V bβiv d, V bβols foram definidos anteriormente. Para testar se um particular regressor x, que tem associado o parâmetro β no modelo, não éendógeno! H 0 : Cov(u, x) =E(ux) =0 p lim x i u i =0, (49) pode-se utilizar a estatística bβ,iv b β,ols V d bβ,iv V d χ bβ,ols d. (50) Para finalizar, apresentamos um teste ànão autocorrelação de erros e instrumentos onde o numero de instrumentos é pelo menos dois. Num contexto IV ou GMM linear, procura-se testar a hipótese nula de H 0 : E(uZ) =0,Z m em que os m> instrumentos para x não estão autocorrelacionados com u. Se H 0 não éaceiteentão concluimos que pelo menos um dos instrumentos não éválido e está correlacionado com os erros u. O modelo diz-se sobre-identificado pois m>. No caso de exacta identificação, m =, não é possivel desenvolver este teste. OtesteésimilaraoanteriordeHausmanemqueserecorrearesiduos. Nestecaso,no entanto, a estatística de teste é nr em que o R resulta do modelo auxiliar, bu = δ + δ z + π z + π z +... + π m z m + e, (5) onde bu são os resíduosivdomodeloestruturalez,z,..., z m são os (possiveis) instrumentos para x. Aestatisticaéassimptóticamente distribuida como χ m. Na prática, pode-se estimar o modelo por IV com um instrumento existente e depois testar a introdução de um novo instrumento em que m =. De uma forma mais geral, pode-se testar para r regressores endogenos aintrodução de q instrumentos adicionais no modelo. A estatistica seria distribuida como χ q, onde q é a diferença entre o numero de instrumentos disponiveis (fora do modelo estrutural) e onumeroderegressoresendógenos r. Aplicações (...) Na verdade, o GMM linear considera E(u (β).z) =0 m onde m k (numero de instrumentos é maior ou igual ao número de parâmetros). 9

Exercícios. Discuta a questão de endogeneidade e a escolha de instrumentos no modelo Nota = β + β Faltas+ u, em que Nota é a nota do exame e Faltas é o numero de aulas que o aluno faltou.. Provar que o SLS no modelo y = β + β x + u eapenasz é instrumento para x coincide com o IV (6). 3.... 0