Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Funções Parte 2 Parte 2 Pré-Cálculo Parte 2 Pré-Cálculo 2 O que é uma função? O que é uma função? Uma função f é uma lei a qual para todo elemento x em um conjunto D faz corresponder exatamente um elemento chamado f (x) em um conjunto C. D é denominado de domínio e C de contradomínio da função f. Parte 2 Pré-Cálculo 3 Parte 2 Pré-Cálculo 4
: avaliando funções Lembram-se dos diagramas de Venn? f (0) =0, f (2) =4, f (a + b) =2 (a + b), f ( ) =2. f (p + h) f (p) h = 2 (p + h) 2 p h = 2 p + 2 h 2 p h = 2. D C Parte 2 Pré-Cálculo 5 Parte 2 Pré-Cálculo 6 Lembram-se dos diagramas de Venn? Uma outra representação para funções (entrada) (saída) (considerando uma função como uma transformação) (Ir para o GeoGebra) Parte 2 Pré-Cálculo 7 Parte 2 Pré-Cálculo 8
Cuidado! f : D C x y = f (x) Aqui x é um número real no domínio D! Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) C chama-se o valor assumido pela função f no ponto x D. Aqui f é uma função real que a todo número real x no domínio D associa um único número real f (x) no contradomínio C! O correto é dizer a função f e não a função f (x) (ou a função y = f (x) ). Contudo, por simplicidade, livros e pessoas costumam usar as formas incorretas. : dizer a função y = 2 x ao invés de a função tal que y = f (x) =2 x. A Imagem de Uma Função Parte 2 Pré-Cálculo 9 Parte 2 Pré-Cálculo 0 Parte 2 Pré-Cálculo Parte 2 Pré-Cálculo 2
pertence a imagem de f? Sim, pois f (/2) =! 2 pertence a imagem de f? Sim, pois f () =2! Parte 2 Pré-Cálculo 3 Parte 2 Pré-Cálculo 4 3 pertence a imagem de f? Sim, pois f ( 3/2) = 3! b R pertence a imagem de f? Sim, pois f (b/2) =b! Parte 2 Pré-Cálculo 5 Parte 2 Pré-Cálculo 6
Moral: Imagem de f = R! 2 pertence a imagem de f? Sim, pois f ( 2)=2! Parte 2 Pré-Cálculo 7 Parte 2 Pré-Cálculo 8 Temos que f ( 2)=2. Note, também, que f ( 2)=2. Para que y Imagem de f basta um x D tal que f (x) =y! Parte 2 Pré-Cálculo 9 Parte 2 Pré-Cálculo 20
0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (0) =0! pertence a imagem de f? Não, pois x R, f (x) =x 2 0e < 0! Parte 2 Pré-Cálculo 2 Parte 2 Pré-Cálculo 22 b 0 pertence a imagem de f? Sim, pois f ( b)=b! b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois x R, f (x) =x 2 0eb < 0! Parte 2 Pré-Cálculo 23 Parte 2 Pré-Cálculo 24
Determinar a imagem de uma função pode ser difícil! Qual é a imagem da função f abaixo? x f (x) =x 4 + x 3 + x 2 + x + Imagem de f = 695 +( 35 + 20 6) 3 35 + 60 6 +( 49 + 24 6) 3 (35 + 60 6) 2, + 2304 Moral: Imagem de f =[0, + )! = [0.673553223476400089..., + ). A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolver questões deste tipo! Parte 2 Pré-Cálculo 25 Parte 2 Pré-Cálculo 26 O que é o gráfico de uma função real? Gráfico de Uma Função Real Parte 2 Pré-Cálculo 27 Parte 2 Pré-Cálculo 28
O que é o gráfico de uma função real? O que é o gráfico de uma função real? O gráfico de uma função real f : D C é o subconjunto de pontos (x, y) R 2 tais que x D e y = f (x): Gráfico de f = {(x, y) R 2 x D e y = f (x)}. (Ir para o GeoGebra) Parte 2 Pré-Cálculo 29 Parte 2 Pré-Cálculo 30 Como construir o gráfico de uma função real? Cuidado: usar tabelas pode não ser suficiente! para se construir gráficos de funções! Toda curva é gráfico de uma função real? A resposta é não! A disciplina de Cálculo ensinará ferramentas mais adequadas para se construir gráficos de funções! Toda reta vertical corta o gráfico de uma função no máximo em ponto! Parte 2 Pré-Cálculo 3 Parte 2 Pré-Cálculo 32
Exercícios da Lista 02 40 20 y [06] Desenhe o gráfico de duas funções f e g diferentes com domínio [, 2] e imagem [ 2, 3]. 2 0 2 3 4 5 x [07] Desenhe o gráfico de uma função f com domínio [, 2] e imagem [ 2, ] [3, 4]. 20 Qual é o domínio da função? Qual é a imagem da função? 40 pertence à imagem da função? E 20? E 0? [08] Considere a função f (x) =/x cujo domínio é o intervalo ], 2[. Indique as coordenadas de 5 pontos que pertencem ao gráfico de f e as coordenadas de 5 pontos que não pertencem ao gráfico de f. Parte 2 Pré-Cálculo 33 Parte 2 Pré-Cálculo 34 Domínio e contradomínio naturais de uma função Convenção Domínio e Contradomínio Naturais (Efetivos) de Uma Função Quando uma função real é definida apenas pela sua lei de associação, convenciona-se que o seu domínio é o maior subconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e que o seu contradomínio é R. : f (x) = x. O domínio natural de f é D = R {0}. Parte 2 Pré-Cálculo 35 Parte 2 Pré-Cálculo 36
Domínio e contradomínio naturais de uma função Domínio natural de uma função Convenção Qual é o domínio natural de f (x) = 2 x 4? Quando uma função real é definida apenas pela sua lei de associação, convenciona-se que o seu domínio é o maior subconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e que o seu contradomínio é R. 2 x 4 > 0 2 x > 4 x > 4 2 x > 2. Resposta: o domínio natural de f é Atenção: aqui, o termo domínio natural não significa que o domínio da função seja o conjunto N dos números naturais! O domínio natural também é denominado efetivo ou maximal! D = {x R x > 2} =]2, + [ = (2, + ). 0 2 2 Parte 2 Pré-Cálculo 37 Parte 2 Pré-Cálculo 38 Exercício Exercício Qual é o domínio natural de f (x) = x 3 x? Qual é o domínio natural de f (x) = 2 x 6 x? x 3 x 0 x(x 2 ) 0 x(x )(x+) 0 x 0ex ex. 2 x 6 x > 0 2 x 6 2 x 6 (x ) < 0 x x < 0 x 5 x < 0 Resposta: o domínio natural de f é Sinal de x 5 5 D = {x R x 0ex ex } = R {, 0, }. Sinal de x 5 0 0 Sinal de (x 5)/(x ) D = {x R < x < 5} =(, 5). 5 Parte 2 Pré-Cálculo 39 Parte 2 Pré-Cálculo 40
Motivação: o problema da caixa Você foi contratado por uma empresa que fabrica caixas sem tampa. Cada caixa é construída a partir de uma folha retangular de papelão medindo 30 cm 50 cm. Para se construir a caixa, um quadrado de lado medindo x cm é retirado de cada canto da folha de papelão. x Modelagem com funções reais x 30 cm 50 cm Dependendo do valor de x, diferentes caixas (com diferentes volumes) podem ser confeccionadas. O problema é determinar o valor de x a fim de que a caixa correspondente tenha o maior volume possível. Parte 2 Pré-Cálculo 4 Parte 2 Pré-Cálculo 42 Motivação: o problema da caixa O problema da caixa x x 30 cm 50 cm Aqui, y = f (x) =x (30 2 x)(50 2 x) =500 x 60 x 2 + 4 x 3 e A =(0, 5). Parte 2 Pré-Cálculo 43 Parte 2 Pré-Cálculo 44
O problema da caixa O problema da caixa Em Cálculo I -A-, você aprenderá a calcular exatamente o valor de x que maximiza o volume da caixa: x = 40 5 9 3 6.068... Parte 2 Pré-Cálculo 45 Parte 2 Pré-Cálculo 46 O problema da caixa O problema da caixa foi modelado por meio de uma função real f. Por que é importante, neste contexto, conhecer o domínio eaimagem de f? É possível produzir uma caixa com volume 5000 cm 3? É possível produzir uma caixa com volume 2000 cm 3? De quantas maneiras diferentes? Parte 2 Pré-Cálculo 47