Capítulo 06 Raízes: Métodos Abertos
Objetivos do capítulo Reconhecer a diferença entre os métodos intervalares e os métodos abertos para localização de raízes. Compreender o método de iteração de ponto fio e como se pode avaliar suas características de convergência. Aprender como resolver um problema de raízes com o método de Newton-Raphson e apreciar o conceito de convergência quadrática. Saber como implementar os métodos da secante e da secante modificada. Entender o método de Brent. Aprender como usar a função fzero do MATLAB.
Introdução Métodos intervalares: A raiz era localizada dentro de um intervalo. Tais métodos são ditos convergentes porque sempre se aproimam do valor verdadeiro da raiz a medida que os cálculos prosseguem.
Introdução Métodos Abertos: São baseados em fórmulas que eigem apenas um único valor inicial de ou dois valores que não delimitam necessariamente a raiz. Algumas vezes divergem ou se afastam da raiz verdadeira à medida que os cálculos prosseguem. Entretanto, quando os métodos abertos convergem, em geral o fazem muito mais rapidamente que os métodos intervalares.
Iteração de ponto fio simples A iteração de ponto fio simples consiste em reescrever a função f() = 0 de forma que esteja isolado no lado esquerdo da equação. g Isso pode ser feito por manipulação algébrica ou simplesmente somando em ambos os lados da equação. Desta forma, para encontrar um novo valor para faremos: i1 g i O erro aproimado será calculado da mesma maneira. a i1 i1 i 100%
Eemplo Use a iteração de ponto fio simples para localizar a raiz de: Isolando temos: f e i 1 Começando com o = 0 temos: e i i i a % 0 0.0000 1 1.0000 100.000 2 0.3679 171.828 3 0.6922 46.854 4 0.5005 38.309
Determinação Gráfica da Raiz Temos dois métodos alternativos para visualizar graficamente as raízes. 1. Raiz em um ponto onde o gráfico cruza o eio. f e 2. (Método das duas curvas) Raiz na intersecção das funções componentes. f 1 2 f e
Convergência No método das duas curvas traçadas separadamente as raízes de f 0 correspondem aos valores da abscissa na intersecção das curvas: f ( ) y 1 1 f y g 2 2 Esse método pode ser usado para ilustrar a convergência ou divergência do método do ponto fio
Convergência Eemplo de convergência da iteração por ponto fio simples. Observe que g () < 1.
Convergência Eemplo de convergência da iteração por ponto fio simples. Observe que g () < 1.
Convergência Eemplo de divergência da iteração por ponto fio simples. Observe que g () > 1.
Convergência Eemplo de convergência da iteração por ponto fio simples. Observe que g () > 1.
Variáveis Simbólicas no MATLAB No MATLAB para trabalhar com variáveis simbólicas devemos defini-las antecipadamente com o comando: syms Esse comando permite realizarmos cálculos usando letras como variáveis. Eemplos: >> syms y >> 2* + 3*y + 5* - 4*y ans = 7* - y >> diff(^2-2*) ans = 2* 2 >> diff(cos() + 5*^6) ans = 5 -sin() + 30* Esta técnica será necessária pois o método de Newton-Rapshon necessita da derivada de f.
Método de Newton-Raphson Método mais utilizado para encontrar raízes. A partir da aproimação 1 traçamos uma reta tangente. A nova aproimação é o ponto onde esta reta cruza o eio das abscissas. i 1 i ' f( ) f i ( ) i
Newton-Raphson - Eemplo Use o método de Newton-Raphson para estimar a raiz da função abaio. 0 0 f e Temos: Logo: f ' e 1 e i i e i 1 i1 i
Newton-Raphson - Eemplo Use o método de Newton-Raphson para estimar a raiz da função abaio. 0 0 f e Temos: i i Erro 0 0 1 0,500000000 100% 2 0,566311003 11,7% 3 0,567143165 0,147% 4 0,567143290 0,000%
Newton-Raphson - Eemplo Em geral o método de Newton-Raphson é muito eficiente. Há situações nas quais tem um desempenho fraco. Use o método de Newton-Raphson para estimar a raiz da função abaio. 10 f 1 0,5 9 Temos: f ' 10 0 Logo: 10 i i1 i 10 9 i 1
Newton-Raphson - Eemplo Use o método de Newton-Raphson para estimar a raiz da função abaio. 10 f 1 Que pode ser usada para calcular: Por que isso acontece? i i Erro 0 0,5 1 51,65 99,032% 2 46,485 11,111% 3 41,8365 11,111% 4 37,65285 11,111%... 40 1,002316 2,130% 41 1,000024 0,229% 42 1 0,002%
Newton-Raphson - Eemplo Descrição gráfica do método de Newton-Raphson para um caso com convergência lenta. A seta na aproimação inicial (o = 0,5) mostra como uma inclinação próima de zero inicialmente joga a solução para longe da raiz. Depois disso, a solução converge muito lentamente para a raiz. f 10 1
Newton-Raphson Eemplo de convergência insatisfatória 01 Ocorre um ponto de infleão, isto é, f () = 0 na vizinhança de uma raiz. As iterações começam em o e se afastam progressivamente da raiz.
Newton-Raphson Eemplo de convergência insatisfatória 02 Ilustra a tendência da técnica de Newton-Raphson em oscilar em torno de uma posição de máimo ou mínimo. Tais oscilações podem persistir, ou, como na figura, atingir uma inclinação próima de zero, em que a solução é afastada da área de interesse.
Newton-Raphson Eemplo de convergência insatisfatória 03 Mostra uma aproimação inicial perto da raiz pular para uma posição longe de diversas raízes. Isso ocorre porque foram encontradas inclinações próimas de zero.
Newton-Raphson Eemplo de convergência insatisfatória 04 Uma inclinação nula (f () = 0) é um desastre, porque provoca a divisão por zero na fórmula. Isso significa geometricamente que a solução dispara horizontalmente e nunca atinge o eio.
Newton-Raphson Não eiste nenhum critério para garantir a convergência do método de Newton-Raphson. Sua convergência depende da natureza da função e do ponto inicial escolhido. A única solução é ter um aproimação inicial que esteja suficientemente perto da raiz. Para algumas funções, nenhuma aproimação funcionará.
Newton-Raphson - MATLAB function NewtonRaphson( f, df, r, es, mait ) %NewtonRaphson : Localização de Raízes através de Newton-Raphson %Entradas: % f: função (Função InLine) % df: Derivada da funçao f ( Função Inline) % r : Aproimação inicial % es : Erro relativo desejado ( padrão = 0,0001%) % mait : Número Máimo de Iterações Permitidas ( padrão = 50) if nargin < 3 error('são necessário no mínimo 3 parâmetros'); end if nargin < 4 es = 0.0001; end if nargin < 5 mait = 50; end end
Newton-Raphson - MATLAB function NewtonRaphson( f, df, r, es, mait ) it = 0; ea = 100; disp('*************************************************'); fprintf('iteração r Erro \n'); fprintf('%2d %8.4f %8.4f \n', it, r, ea); while (ea > es) && ( it < mait) it = it + 1; anterior = r; r = r - f(r)/df(r); if r ~= 0 ea = abs((r-anterior)/r*100); end fprintf('%2d %8.4f %8.4f \n', it, r, ea); end disp('*************************************************'); end
Newton-Raphson - Eemplo >> NewtonRaphson( @() ^10-1, @() 10*^9, 0.5) Iteração r Erro 0 0.5000 100.0000 1 51.6500 99.0319 2 46.4850 11.1111 3 41.8365 11.1111 4 37.6529 11.1111 5 33.8876 11.1111 6 30.4988 11.1111 7 27.4489 11.1111 8 24.7040 11.1111 9 22.2336 11.1111 10 20.0103 11.1111 11 18.0092 11.1111 12 16.2083 11.1111 13 14.5875 11.1111 14 13.1287 11.1111 15 11.8159 11.1111 16 10.6343 11.1111 17 9.5708 11.1111 18 8.6138 11.1111 19 7.7524 11.1111 Iteração r Erro 20 6.9771 11.1111 21 6.2794 11.1111 22 5.6515 11.1111 23 5.0863 11.1111 24 4.5777 11.1111 25 4.1199 11.1111 26 3.7079 11.1111 27 3.3371 11.1111 28 3.0034 11.1110 29 2.7031 11.1109 30 2.4328 11.1105 31 2.1896 11.1094 32 1.9707 11.1062 33 1.7738 11.0971 34 1.5970 11.0711 35 1.4388 10.9968 36 1.2987 10.7874 37 1.1784 10.2140 38 1.0833 8.7696 39 1.0237 5.8305 Iteração r Erro 40 1.0023 2.1299 41 1.0000 0.2292 42 1.0000 0.0024 43 1.0000 0.0000
Método da Secante Um grande problema na implementação do método de Newton-Raphson é o cálculo de sua derivada. Para esses cálculos, a derivada pode ser aproimada pela fórmula: f ' f f i1 i1 Essa aproimação transforma o método de Newton-Raphson no método da secante com a seguinte equação: i1 i Observe que a fórmula eige duas estimativas iniciais de mas não é eigido que f() mude se sinal entre as estimativas. i i1 i f f f i1 i i i
Método da Secante Use o método da secante para f e 0 1 0 1 i i Erro 0 0 1 1 2 0.6127 63.21% 3 0.5638 8.67% 4 0.5672 0.59% 5 0.5671 0.02%
Método da Secante Modificado Ao invés de usar dois valores arbitrários para estimar a derivada, uma alternativa envolve uma pequena perturbação da variável independente para estimar f (). f ' f f i i i Essa aproimação transforma o método da secante no método da secante modificado com a seguinte equação: i f i i1 i f i i f i Observe que a fórmula eige duas estimativas iniciais de mas não é eigido que f() mude se sinal entre as estimativas. i
Método da Secante Modificado A escolha do valor de δ não é automática. Se for muito pequeno, o método pode ser sobrecarregado por erros de arredondamento. Se for muito grande a técnica pode tornar-se ineficiente e mesmo divergente. Ele fornece uma alternativa para os casos nos quais o cálculo da derivada é difícil e encontrar duas aproimações é inconveniente.
Secante Modificado - Eemplo Use o método da secante modificado para determinar a massa do saltador de bungee-jumping com coeficiente de arrastre de 0,25 kg/m a fim de atingir uma velocidade de 36 m/s após 4 s de queda livre. Use g = 9,81. Use aproimação inicial o = 50 e uma valor de 10^(-6) para a fração de perturbação. 9.81m 9.810.25 f( m) tanh 4 36 0.25 m i f i i1 i f i i f i
Secante Modificado - Eemplo 9.81m 9.810.25 f( m) tanh 4 36 0.25 m i f i i1 i f i i f i o 6 50 10 0, 000001 I Xi Erro 0 50,0000 1 88,3993 43,438% 2 124,0897 28,762% 3 140,5417 11,706% 4 142,7072 1,517% 5 142,7376 0,021% 6 142,7376 0,000%
Função do MATLAB - fzero A função fzero é projetada para encontrar uma raiz real de uma equação. Sua sintae básica é fzero(função, 0) Onde função é o nome ou a função a ser avaliada e 0 é a aproimação inicial. Observe que duas aproimações que delimitam a raiz podem ser passadas como um vetor. fzero(função, [0 1])
Função do MATLAB - fzero Eemplo: Calcular a raiz de uma equação quadrática simples f 2 ( ) 9 Claramente, eistem duas raízes, uma em -3 e outra em 3. >> = fzero( @() ^2-9, -4) = -3 >> = fzero( @() ^2-9, 4) = 3 >> = fzero( @() ^2-9, 0) = -3 >> = fzero( @() ^2-9, [0 4]) = 3 >> = fzero( @() ^2-9, [-4 4]) Error using fzero (line 274) The function values at the interval endpoints must differ in sign.
Função do MATLAB - fzero
Função do MATLAB - fzero Considere que se deseja utilizar um tolerância menor que a tolerância padrão que é de 0.0001. >> opcoes = optimset('tol', 0.001); >> fzero( @() ^2-9, 4, opcoes) ans = 2.999982326320501
Polinômios : roots Um polinômio é um tipo especial de epressão algébrica na forma: P a a... a a a n n 1 2 n n1 2 1 0 Os polinômios tem muitas aplicações na engenharia e na ciência:
Polinômios : roots O MATLAB possui uma função chamada roots que permite encontrar todas as raízes de um polinômio. A função roots tem a sintae = roots(c) Onde é um vetor coluna que contém as raízes e c é um vetor linha que contém os coeficientes do polinômio.
Polinômios : poly A função poly possui uma função inversa chamada poly que retorna os coeficientes de um polinômio quando passados os valores das raízes. A sintae é: c = poly(r) Onde r é um vetor coluna que contém as raízes e c é um vetor linha que contém os coeficientes do polinômio.
Trabalhando com Polinômios Dado o polinômio: 5 4 3 2 P 3,5 2, 75 2,125 3,875 1, 25 Inserindo o polinômio no MATLAB >> a=[1-3.5 2.75 2.125-3.875 1.25] Calcular o valor de P(1) >> polyval(a,1) ans = -0.2500