Aula 12 Funções Contínuas

Analise Matemática 1 Aula 12 Funções Contínuas Ano académico 2017

Bibliografia Básica Autor Título Editorial Data Stewart, James Cálculo, Volume 1 Zuma Medeiros, Valéria Demana, Franklin... (et al.) Larson, Ron Pré-Cálculo 2ª edição revista actualizada Pré-Cálculo Cálculo Aplicado 5ta. Edição, Pioneira Thompson Learning CENGAGE Learning Pearson Education do Brasil 1 Edição, Pioneira Thomson Learning 2006 2012 2011 2011

Tema 1. Cálculo Diferencial A ideia da continuidade. Definição de função contínua. Propriedades da continuidade. Propriedades fundamentais das Funções Contínuas.

A ideia de Continuidade Ao definir Lim f(x), x a, analisamos o comportamento da função f(x) para valores de x próximos de a, porem diferentes de a. Vimos que Lim f(x) pode existir, mesmo que f(x) não esteja definida no ponto a. Se f está definida em x=a e Lim f(x) existe, ainda pode ocorrer que este limite seja diferente de f(a).

A idea de Continuidade Uma ideia muito simple de como saber se uma função real é contínua, é se pode ser traçada a função numa folha sem retirar a caneta do papel. Caso se interrompa o gráfico da função e se comece em outro local do papel, ocorre uma "descontinuidade.

A ideia de Continuidade A função f contínua (sem interrupção) A função g descontínua 1. Não existe Lim g(x), se x b, pois os limites laterais de g=g(x) são diferentes 2. Não existe Lim g(x) quando x c 3. Em x=d, temos que f(d)=s e se x d e os limites laterais são iguais a s 4. Em x=e, o valor que se obtém não é o esperado, pois g(e)=z e os limites laterais são iguais a k

A idéia de Continuidade A análise dos quatro casos nos leva a uma caracterização do que significa uma função não ser contínua num intervalo (a,b). A partir desses exemplos, parece que as descontinuidades surgem quando: o limite da função não existe, existe mas não coincide com o valor da função naquele ponto.

A idéia de Continuidade Para que uma função f seja contínua em um ponto x = a é necessário que: a função esteja definida em a; e que os valores de f(x), para x próximos de a, estejam próximos de f(a).

Definição de função contínua Definição: Uma função f é contínua no ponto a se: Se uma o mais de uma dessas condicões não forem verificadas em a, a função f será descontínua no ponto a.

Definição de função contínua. Exemplos Verifique a continuidade das funções, nos pontos indicados:

Definição de função contínua. Exemplos Verifique a continuidade das funções, nos pontos indicados: Observação: Se uma função não é contínua em um ponto a, dizemos que ela é descontínua neste ponto.

Tipos de descontinuidades Se f é uma função descontínua em um ponto x=c do seu domínio, dizemos que: i) f tem descontinuidade de salto finito (1a. espécie) em x=c, se os limites laterais de f em c existem (são finitos) e são distintos. ii) f tem descontinuidade infinita (2a. espécie) em x=c, se a função toma valores arbitrariamente grandes ou arbitrariamente pequenos próximos de c. iii) f tem descontinuidade evitável ou removível em x=c, se existe o limite da função no ponto x=c (a função pode ou não pode ser definida no ponto).

Continuidade Vimos que a definição de continuidade de uma função no ponto x=c, exige o conceito de limite lateral à esquerda e à direita, portanto só pode ser aplicada a pontos c de um intervalo aberto. Podemos mesmo estender esta definição a intervalos fechados, semi-abertos ou infinitos.

Continuidade Continuidade de uma função em um intervalo Uma função f é contínua em um intervalo aberto se for contínua em todos os pontos desse intervalo. a,b f é contínua em um intervalo fechado contínua no aberto, e além disso, a,b e se for

Continuidade Como verificar se uma função é contínua em um intervalo, se ele contém infinitos elementos? Existem duas maneiras: 1. Tomar um ponto genérico do intervalo, por exemplo, x0, e verificar, usando a definição, se f é contínua neste ponto. Se for, será em todo o intervalo, uma vez que x0 representa um ponto qualquer do intervalo em questão. 2. Utilizar as propriedades válidas para continuidade.

Propriedades da Continuidade

Exemplos

Propriedades fundamentais das Funções Contínuas