Geometria Diferencial

Geometria Diferencial Curvas no plano e no espaço - Segundo semestre de 2007 Versão 14 compilada com o pdflatex no dia 2 de Agosto de 2007. Departamento de Matemática - UEL Prof. Ulysses Sodré: ulysses(a)uel(pt)br Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/ Resumo: Notas de aulas geradas com materiais usados em aulas na UEL em 1985. Elas devem ser usadas como roteiro e não espero que elas venham a substituir qualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros citados na Bibliografia, mas os assuntos foram modificados de acordo com o meu interesse. Sugiro que o leitor pesquise na Internet para obter materiais de domínio público para os seus estudos. Mensagem: No princípio era o Verbo, e o Verbo estava com Deus, e o Verbo era Deus. Ele estava no princípio com Deus. Todas as coisas foram feitas por intermédio dele, e sem ele nada do que foi feito se fez. Nele estava a vida, e a vida era a luz dos homens; a luz resplandece nas trevas, e as trevas não prevaleceram contra ela. (...) Estava ele no mundo, e o mundo foi feito por intermédio dele, e o mundo não o conheceu. Veio para o que era seu, e os seus não o receberam. Mas, a todos quantos o receberam, aos que crêem no seu nome, deu-lhes o poder de se tornarem filhos de Deus; os quais não nasceram do sangue, nem da vontade da carne, nem da vontade do varão, mas de Deus. E o Verbo se fez carne, e habitou entre nós (...) A Bíblia Sagrada, João 1:1-15

CONTEÚDO ii Conteúdo 1 Introdução à Geometria Diferencial 1 2 Conceitos topológicos na reta real 2 2.1 Conjuntos abertos em R............................ 2 2.2 Conjuntos fechados em R........................... 2 2.3 Conjuntos conexos em R............................ 3 2.4 Conjuntos compactos em R.......................... 3 2.5 Aplicações contínuas em R........................... 4 3 Vetores no plano e no espaço 5 3.1 O espaço vetorial R3.............................. 5 3.2 Dependência linear em R3........................... 7 3.3 Bases para R3................................. 7 3.4 Produto escalar e suas principais propriedades................. 8 3.5 Bases ortogonais e ortonormais........................ 9 3.6 Produto vetorial e suas principais propriedades................ 10 3.7 Produto misto e suas principais propriedades................. 11 4 Funções vetoriais de uma variável real 12 4.1 Funções vetoriais com um parâmetro real................... 12 4.2 Funções limitadas............................... 12 4.3 Limites de funções e as suas principais propriedades............. 13 4.4 Continuidade e as suas principais propriedades................ 13 4.5 Derivadas de funções e suas principais propriedades.............. 14 4.6 Classes de diferenciabilidade.......................... 15 4.7 Fórmula de Taylor com resto......................... 16 4.8 Funções anaĺıticas reais............................ 17 4.9 Símbolos de Landau.............................. 17

CONTEÚDO iii 5 Curvas no plano e no espaço 18 5.1 Curvas parametrizadas............................. 18 5.2 Projeções ortogonais.............................. 21 5.3 Representação impĺıcita de curvas....................... 22 5.4 Vetor tangente unitário............................ 22 5.5 Curvatura................................... 23 5.6 Vetor normal unitário............................. 23 5.7 Vetor binormal unitário............................ 24 5.8 Torção..................................... 25 5.9 A teoria das curvas e o triedro de Frenet-Serret................ 25 5.10 Complementos sobre a teoria de curvas.................... 28

Seção 1 Introdução à Geometria Diferencial 1 1 Introdução à Geometria Diferencial Geometria Diferencial( 1.) é o ramo da Geometria no qual os conceitos de Cálculo são aplicados a curvas, superfícies e outros objetos geométricos. A Geometria Diferencial clássica usa a geometria de coordenadas, como geometria anaĺıtica, coordenadas cartesianas, etc, embora no século XX os métodos de Geometria Diferencial têm sido aplicados a outras áreas de Geometria, como Geometria Projetiva. A Geometria Diferencial foi estudada por Gaspard Monge e Carl F. Gauss no início do século XIX. Trabalhos importantes no século XIX foram feitas por matematicos como: B. Riemann, E. B. Christoffel e C. G. Ricci, que foram colecionados e sistematizados no final do século por J. G. Darboux e Luigi Bianchi. A importância da Geometria Diferencial é vista no estudo da Teoria da Relatividade Geral que Einstein formulou inteiramente em função da Geometria Diferencial de uma variedade tetra-dimensional combinando espaço e tempo, usando a notação tensorial. No estudo de curvas, se um ponto r = r(s) se move através de uma curva cujo comprimento do arco é s a partir de um ponto fixo, então T = dr é um vetor tangente unitário à curva ds em r = r(s). O vetor normal N é perpendicular à curva neste ponto, indicando a direção da taxa de variação de T, isto é, a tendência de T se desviar da curva original no plano contendo r e T, e o vetor binormal B é perpendicular a ambos T e N, indicando a tendência da curva sair para fora do plano contendo T e N. Os três vetores T, N e B, estão relacionados por três fórmulas do matemático francês Jean Frédéric Frenet, que são fundamentais no estudo de curvas no espaço: dt dn db = κ N, = κ T + τ B e = τ N, onde as constantes κ e ds ds ds τ são a curvatura e a torção da curva, respectivamente. Curvas importantes são a evoluta e a involuta. A evoluta de uma curva é uma outra curva cujas tangentes são normais à curva original e a involuta de uma curva é uma curva cuja evoluta é a curva dada. No estudo de superfícies, pontos sobre uma superfície podem ser descritos não somente com respeito às coordenadas do espaço onde a superfície está imersa, mas também com respeito a um sistema de coordenadas intrínsecas, definido em função de curvas sobre a própria superfície. As curvas na superfície que representam localmente a menor distância entre pontos na superfície são as geodésicas. Geodésicas no plano são segmentos de reta. Vetores Tangente e Normal também são definidos para uma superfície, mas a relação entre eles é muito mais complexa que no caso de curvas no espaço, pois em um dado ponto de uma superfície existe um círculo completo formado por vetores tangentes unitários. Os resultados da teoria de superfícies são mais facilmente representados na notação tensorial. Mostra-se que a curvatura total ou Gaussiana de uma superfície é um invariante, que é uma propriedade intrínseca da própria superfície, independente do espaço no qual a superfície está imersa. São importantes as superfícies de curvatura constante, planos, cilindros, cones, algumas superfícies desenvolvíveis com curvatura zero, as superfícies eĺıpticas da geometria não-euclidiana que são superfícies de curvatura constante positiva e as superfícies hiperbólicas da geometria não-euclidiana que são superfícies de curvatura constante negativa. 1 Adaptado da seção sobre Geometria Diferencial de infoplease: http://www.infoplease.com/index.html

Seção 2 Conceitos topológicos na reta real 2 2 Conceitos topológicos na reta real 2.1 Conjuntos abertos em R Definição 1. (Bola aberta centrada em um ponto) Bola aberta de raio r centrada em um ponto p R, denotada por B r (p), é o conjunto de todos os x R tal que x p < r. Se x pertence a esta bola aberta, denotamos tal fato por x B r (p). Dependendo das circunstâncias, uma bola aberta pode ser identificada com um intervalo aberto. Exemplo 1. (Bolas abertas) 1. B 1 (0) = { x R : 1 < x < 1 } = ( 1, 1) é uma bola aberta em R. 2. B r (c) = { x R : c r < x < c + r } = (c r, c + r) é uma bola aberta em R. Definição 2. (Conjunto aberto) Um conjunto A R é aberto se para cada x A é possível construir uma bola aberta de raio r centrada em um ponto x, que esteja inteiramente contida em A. Exemplo 2. (Conjuntos abertos) 1. O intervalo aberto (a, b) é aberto em R. 2. Se x R, então a bola aberta B r (x) é um conjunto aberto em R. 3. O conjunto {x R : x > 0} é um conjunto aberto em R. 4. O conjunto {x R : x 0} não é um conjunto aberto em R. Proposição 1. (Propriedades dos conjunto abertos em R) 1. e R são conjuntos abertos em R 2. Se (A k ) é uma coleção de conjuntos abertos em R, então a reunião de elementos dessa coleção é um conjunto aberto em R. 3. Se (A k ) é uma coleção finita de conjuntos abertos em R, então a interseção de elementos dessa coleção é um conjunto aberto em R. Proposição 2. (Propriedade da separação de pontos em R) Dois pontos distintos p, q R podem ser separados por bolas disjuntas B r (p) e B s (q), onde r > 0 e s > 0 são os respectivos raios dessas bolas. 2.2 Conjuntos fechados em R Definição 3. (Conjunto fechado) Um conjunto F R é fechado em R se o seu complementar F c é um conjunto aberto em R. Exercício 1. Apresentar exemplos de conjuntos fechados em R. Definição 4. (Ponto de acumulação) Um ponto p é ponto de acumulação de um conjunto S R se toda bola B r (p) possui pontos de S, que são diferentes do próprio ponto p.

2.3 Conjuntos conexos em R 3 Definição 5. (Ponto isolado) Um ponto p é um ponto isolado em um conjunto S R se existe uma bola B r (p) contendo apenas o ponto p. Definição 6. (Ponto de aderência) Um ponto p é ponto de aderência de um conjunto S R se toda bola B r (p) possui pontos de S. Observação 1. Um ponto de aderência de um conjunto S R pode ser: ou um ponto isolado em S ou um ponto de acumulação de S. Proposição 3. (Ponto de acumulação implica ponto de aderência) Se um ponto p é ponto de acumulação de um conjunto S R, então p é ponto de aderência do conjunto S. Proposição 4. (Conjunto fechado via ponto de acumulação) Um conjunto S R é fechado se, e somente se, contém todos os seus pontos de acumulação. 2.3 Conjuntos conexos em R Definição 7. (Conjunto conexo) Um conjunto S R é conexo quando não pode decomposto na reunião disjunta de dois conjuntos abertos não vazios de R. Exemplo 3. (Conexos na reta real) 1. (a, b), (a, b], [a, b) e [a, b] são conjuntos conexos em R. 2. (a, ), (, a), (, b] e [a, ) são conjuntos conexos em R. 3. Se x R, então B r (x) = (x r, x + r) é um conjunto conexo em R. 4. R é um conjunto conexo em R. Exercício 2. (Conjuntos conexos) 1. Será que o conjunto vazio é conexo? 2. Definir o que é um intervalo na reta real. Proposição 5. (Conexo equivale a intervalo) Um conjunto S é conexo em R se, e somente se, S é um intervalo em R. 2.4 Conjuntos compactos em R Definição 8. (Conjunto limitado) Um conjunto K R é limitado se existe uma bola B r (p) contendo inteiramente o conjunto K para todo p K. Definição 9. (Conjunto compacto) Um conjunto K R é compacto se K é limitado e fechado em R. Observação 2. Existem várias maneiras equivalentes de definir conjuntos compactos. Exercício 3. Apresentar exemplos de conjuntos compactos em R.

2.5 Aplicações contínuas em R 4 2.5 Aplicações contínuas em R Definição 10. (Aplicação contínua) Uma aplicação f : S R R é contínua em p S se, dado ε > 0 arbitrário, existe δ > 0 tal que se t p < δ implica que f(t) f(p) < ε. Neste caso, usamos o limite para indicar este fato lim f(t) = f(p) t p Definição 11. (Aplicação contínua) Uma aplicação f : S R R é contínua em p S se para cada bola aberta B ε (f(p)) contida na imagem f(s) existe uma bola aberta B r (p) contida em S tal que f(b r (p)) f(b ε (f(p))) Definição 12. (Aplicação contínua) Uma aplicação f : S R R é contínua em p S se, para todo conjunto aberto V contendo f(p)) tem-se que f 1 (V ) é um conjunto aberto contendo p S. Observação 3. (Aplicação contínua em um conjunto) Uma aplicação f é contínua sobre um conjunto S se é contínua em todo ponto p S. Definição 13. (Conjunto conexo por caminhos) Um conjunto S R é conexo por caminhos se, dados dois pontos quaisquer p, q S, existe uma aplicação contínua f : [0, 1] S tal que f(0) = p e f(1) = q. Proposição 6. (Conexo equivale a conexo por caminhos) Um conjunto S é conexo por caminhos em R se, e somente se, S é conexo em R. Teorema 1. (Continuidade e conexão) Se f : S R é uma aplicação contínua sobre S R e A S é um conjunto conexo, então f(a) também é um conjunto conexo em R. Teorema 2. (Continuidade e compacidade) Se f : S R é uma aplicação contínua sobre S R e A é um conjunto compacto em S, então f(a) é um conjunto compacto em R. Teorema 3. (Teorema dos valores extremos) Se f : S R é uma aplicação contínua sobre S R e K um conjunto compacto em S, então f assume o seu valor máximo e também o seu valor mínimo sobre K. Teorema 4. (Homeomorfismo) Uma aplicação f : S T é um homeomorfismo entre os conjuntos S e T, se f é uma aplicação contínua cuja inversa f 1 : T S também é uma aplicação contínua. Quando existe um homeomorfismo f : S T, diz-se que S e T são homeomorfos. Exemplo 4. (Conjuntos homeomorfos) 1. Todo intervalo (a, b) é homeomorfo ao intervalo (0, 1). 2. Todo intervalo (a, b) é homeomorfo ao intervalo ( 1, 1). 3. Todo intervalo (a, b) é homeomorfo à reta real R.

Seção 3 Vetores no plano e no espaço 5 3 Vetores no plano e no espaço Vetores no plano e no espaço tridimensional são segmentos de reta orientados com direção, sentido e intensidade. Um vetor é uma classe formada por todos os segmentos de reta com a mesma direção, mesmo sentido e mesma medida. Um vetor pode ser denotado por uma letra v, mas pela forma como definimos, deveria ser denotado por [v]. Podemos construir um vetor no espaço tridimensional com a direção vertical, tendo o ponto inicial no plano z = 0 e ponto final no plano z = 1, indicando o sentido de baixo para cima, além, do fato que a medida do mesmo seja igual a 1. A palavra medida pode ser substituída por intensidade ou módulo. Existe um infinidade de tais vetores, mas todos possuem as mesmas características indicadas anteriormente. Existem muitos objetos denominados vetores e as estruturas com estes vetores são os Espaços vetoriais. Nem sempre um vetor pode ser interpretado geometricamente de uma forma fácil como fizemos antes. 3.1 O espaço vetorial R3 Existe uma estreita relação entre vetores no espaço R 2 e no espaço R 3. Na verdade, o conceito de vetor geométrico nos espaços euclidianos é sempre realizado da mesma forma, o que diferencia são as aplicações mais ricas que existem em R 3. Definição 14 (Vetor geométrico). Um vetor no espaço R 3 é uma classe de objetos matemáticos (segmentos de reta) que tem a mesma direção, mesmo sentido e mesma intensidade. Esta classe de equivalência de objetos com as mesmas características é representada por um segmento de reta desta família (representante). O representante escolhido, quase sempre é o vetor v cuja origem é (0, 0, 0) e extremidade é o ponto (terno ordenado) (a, b, c) do espaço R 3, razão pela qual denotamos este vetor por: v = (a, b, c). Se a origem do vetor não é a origem (0, 0, 0) do sistema R 3, realizamos a diferença entre a extremidade e a origem do vetor. Por exemplo, se um vetor v tem origem em (1, 2, 3) e extremidade em (7, 12, 15), ele é dado por v = (6, 10, 12), pois: v = (7, 12, 15) (1, 2, 3) = (6, 10, 12) Existe uma definição mais ampla do conceito de vetor (nem sempre geométrica) que envolve uma gama variada de objetos matemáticos como: matrizes, conjuntos, funções, soluções de equações diferenciais, etc. Definição 15 (Adição de vetores). Se v = (v 1, v 2, v 3 ) R 3 e w = (w 1, w 2, w 3 ) R 3, definimos a soma de v e w, por: v + w = (v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 )

3.1 O espaço vetorial R3 6 Proposição 7. (Propriedades da soma de vetores) 1. Fecho: Para quaisquer u e v em R 3, a soma u + v pertence a R 3. 2. Comutativa: Para quaisquer u e v de R 3 : u + v = v + u. 3. Associativa: Para quaisquer u, v e w de R 3 : u + (v + w) = (u + v) + w. 4. Elemento neutro: Existe θ = (0, 0, 0) R 3 tal que para todo u R 3, θ + u = u. 5. Elemento oposto: Para cada v de R 3, existe v em R 3 tal que: v + ( v) = θ. Exemplo 5. (Aplicações geométricas) 1. Ponto Médio de um segmento: Dado um segmento de reta, cujas extremidades são também as extremidades dos vetores v 1 = (x 1, y 1, z 1 ) e v 2 = (x 2, y 2, z 2 ), o ponto médio deste segmento é dado por M = (x, y, z) onde x = x 1 + x 2 2, y = y 1 + y 2, z = z 1 + z 2 2 2 2. Centro de Gravidade de um triângulo: Sejam os vértices de um triângulo, dados pelas extremidades dos vetores v 1 = (x 1, y 1, z 1 ), v 2 = (x 2, y 2, z 2 ) e v 3 = (x 3, y 3, z 3 ). O centro de gravidade deste triângulo é dado pelo vetor G = (x, y, z) onde x = x 1 + x 2 + x 3 3, y = y 1 + y 2 + y 3, z = z 1 + z 2 + z 3 3 3 Exercício 4. Dois retângulos foram sobrepostos para gerar a figura abaixo. Obter o centro de gravidade desta figura plana, utilizando apenas uma régua sem graduação e uma caneta como marcador. Definição 16. (Diferença de vetores) Se v = (v 1, v 2, v 3 ) e w = (w 1, w 2, w 3 ), definimos a diferença entre v e w, por: v w = (v 1 w 1, v 2 w 2, v 3 w 3 ) Exercício 5. Se v = (1, 3, 4) e w = (1, 8, 12), construir os vetores v, w, v, w, v+w, v w. Definição 17. (Produto de escalar por vetor) Se v = (a, b, c) e k é um número real, definimos a multiplicação do escalar k pelo vetor v, como: k v = (ka, kb, kc)

3.2 Dependência linear em R3 7 Exemplo 6. (Produto de escalar por vetor) Se v = (1, 2, 3) e k = 1 então kv = ( 1)(1, 2, 3) = ( 1, 2, 3) apresenta uma forma de obter o vetor oposto de v. Proposição 8. (Propriedades do produto de escalar por vetor) Quaisquer que sejam os escalares a e b e os vetores v e w temos: 1. 0 v = θ 2. 1 v = v 3. (a b) v = a (b v) = b (a v) 4. a (v + w) = a v + a w 5. (a + b) v = a v + b v 6. Se a v = θ sendo v 0, então a = 0. 7. Se a v = b v com v 0, então a = b. 3.2 Dependência linear em R3 Definição 18. (Combinação linear) Um vetor z é combinação linear dos vetores do conjunto {u, v, w} se existem escalares a, b, c R tal que z = a u + b v + c w Definição 19. (Conjunto Linearmente Dependente) Um conjunto {u, v, w} é linearmente dependente (LD) em R 3 se existem escalares não nulos a, b, c R tal que a u + b v + c w = θ Definição 20. (Conjunto Linearmente Independente) Um conjunto {u, v, w} é linearmente independente (LI) em R 3 se a combinação linear a u + b v + c w = θ implicar que os três escalares a, b e c devem ser nulos, isto é, a = b = c = 0. Definição 21. (Conjunto gerador em R3) Um conjunto B = {u, v, w} gera um vetor de z R 3 se z é uma combinação linear dos vetores de B, isto é, existem escalares a, b, c R tal que z = a u + b v + c w 3.3 Bases para R3 Definição 22. (Base para R3) Um conjunto B = {u, v, w} é uma base para o espaço R 3 se B = {u, v, w} é linearmente independente (LI) e gera todos os vetores do espaço R 3. Definição 23. (Componentes de um vetor em uma base) Dada uma base B = {u, v, w} de R 3, podemos escrever um vetor z R 3 nesta base através da notação [z] B = (a, b, c) B = a u + b v + c w onde a, b, c R são as componentes do vetor z na base B dada.

3.4 Produto escalar e suas principais propriedades 8 Definição 24. (Módulo de um vetor) O módulo( 2 ) do vetor v = (x, y, z) é definido por: v = x 2 + y 2 + z 2 Definição 25. (Vetor unitário) Um vetor unitário é um vetor cujo módulo é igual a 1. Definição 26. (Base canônica de R3) O conjunto B = {i, j, k} com os vetores unitários: i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) forma a base canônica para o espaço R 3, significando que todo vetor v = (a, b, c) R 3 pode ser escrito de forma única como combinação linear dos vetores i, j e k, isto é: v = (a, b, c) = a i + b j + c k Definição 27. (Versor) O versor do vetor v é um vetor unitário u com a mesma direção e mesmo sentido que o vetor v, isto é, o vetor v dividido pelo seu módulo, ou seja u = v v Observação 4. Se w = kv denota o produto de um escalar k por um vetor v, então w = kv é um vetor que tem a mesma direção e o mesmo sentido que o vetor v. Definição 28. (Projeções de um vetor em planos ortogonais) As projeções de um vetor v = (a, b, c) sobre os planos x = 0, y = 0 e z = 0, respectivamente, são dadas por: v x = (0, b, c), v y = (a, 0, c) e v z = (a, b, 0). Exercício 6. Quais são as projeções ortogonais do vetor v = (3, 4, 12)? Quais são os módulos de todos estes vetores? Esboce um gráfico com estes vetores? 3.4 Produto escalar e suas principais propriedades Definição 29. (Produto escalar) Dados os vetores v = (v 1, v 2, v 3 ) e w = (w 1, w 2, w 3 ), definimos o produto escalar (produto interno) entre v e w, como o escalar real: Exemplo 7. (Produto escalar entre vetores) v w = v 1.w 1 + v 2.w 2 + v 3.w 3 1. O produto escalar entre v = (1, 2, 5) e w = (2, 7, 12) é v w = 1.(2) + 2.( 7) + 5.12 = 48. 2. O produto escalar entre v = (2, 5, 8) e w = ( 5, 2, 0) é v.w = 2.( 5) + 5.(2) + 8.(0) = 0. 3. Tomando muito cuidado nas medidas, construir um gráfico para cada situação apresentada nos ítens anteriores. 2 O módulo também é denominado: intensidade ou comprimento ou medida.

3.5 Bases ortogonais e ortonormais 9 Proposição 9. (Propriedades do produto escalar) Quaisquer que sejam os vetores u, v e w e qualquer que seja o escalar k, valem as seguintes propriedades: 1. v w = w v 2. v v = v v = v 2 3. u (v + w) = u v + u w 4. (k v) w = v (kw) = k(v w) 5. k v = k v 6. u v u v (Desig. de Schwarz) 7. u + v u + v (Desig. triangular) Definição 30. (Ângulo entre dois vetores com o produto escalar) O produto escalar entre os vetores v e w pode ser escrito na forma: v w = v w cos(α) onde α é o ângulo formado pelos vetores v e w. Observamos que este ângulo pode ser maior ou igual a zero, mas deve ser menor do que 180 graus (π radianos). Com esta última definição, podemos obter o ângulo α, através do cosseno deste argumento α. Exercício 7. (Produto escalar entre vetores) cos(α) = v w v w 1. Analisar o produto escalar de dois vetores, quando o ângulo: α = 0, α = π/2 e α = π. 2. Calcular o ângulo α entre os vetores v = (1, 1, 0) e w = (1, 1, 1). Não se esqueça de construir um gráfico com esses objetos matemáticos. 3.5 Bases ortogonais e ortonormais Definição 31. (Vetores ortogonais) Dois vetores v e w são ortogonais se o produto escalar entre ambos é nulo, isto é, v w = 0. Exercício 8. Dado o vetor v = (2, 3, 7), quais e quantos são os vetores ortogonais a v no espaço R 3? Construir geometricamente esta situação. Definição 32. (Base ortogonal) Uma base ortogonal B = {u, v, w} é um conjunto de vetores em R 3, dois a dois ortogonais, isto é u v = u w = v w = 0. Definição 33. (Base ortonormal) Uma base ortonormal B = {u, v, w} é uma base ortogonal em R 3 tal que u = v = w = 1. Exemplo 8. (Base ortonormal) O conjunto B = {i, j, k} = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é uma base ortonormal em R 3 denominada base canônica de R 3.

3.6 Produto vetorial e suas principais propriedades 10 3.6 Produto vetorial e suas principais propriedades Definição 34. (Produto vetorial) Dados os vetores v = (v 1, v 2, v 3 ) e w = (w 1, w 2, w 3 ), definimos o produto vetorial (ou produto exterior) entre v e w, denotado por v w, como o vetor obtido pelo objeto matemático que não é um determinante mas que pode ser calculado como se fosse um determinante. v w = i j k v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 Exemplo 9. Dados os vetores v = (1, 2, 3) e w = (4, 5, 6), o produto vetorial entre v e w é dado por v w = 3i+6j 3k = ( 3, 6, 3), obtido a partir do determinante. Observamos que o produto vetorial é um vetor em R 3. u v = i j k 1 2 3 4 5 6 = ( 3, 6, 3) Observação 5. Os vetores i = (1, 0, 0) e j = (0, 1, 0) estão no plano z = 0, mas o produto vetorial i j = (0, 0, 1) é um vetor que está fora deste plano z = 0, daí a razão deste produto ser denominado exterior. Definição 35. (Vetores paralelos) Dois vetores v e w são paralelos se v w = θ. Proposição 10. (Propriedades do Produto Vetorial) Quaisquer que sejam os vetores v e w, e, para qualquer escalar k, valem as propriedades: 1. O produto vetorial v w é ortogonal ao plano que contém os vetores v e w. 2. v w = w v. 3. u (v + w) = u v + u w. 4. k(v w) = (kv) w = v (kw). 5. i i = j j = k k = 0. 6. i j = k, j k = i e k i = j. Definição 36. (Ângulo entre dois vetores com o produto vetorial) O produto vetorial entre os vetores v e w pode ser escrito na forma: v w = v w sin(α) u onde α é o ângulo formado pelos vetores v e w, e, u é um vetor unitário paralelo ao produto vetorial v w, isto é, u é perpendicular a v e também é perpendicular a w. Observação 6. Tomando o módulo em ambos os lados na expressão acima, obtemos: v w = v w sin(α) o que significa que a definição de produto vetorial permite obter o ângulo α entre dois vetores v e w, através de: sin(α) = v w v w sendo que α [0, π].

3.7 Produto misto e suas principais propriedades 11 Exemplo 10. (Aplicações do Produto Vetorial) 1. Área do paralelogramo: Sejam dois vetores v e w com um mesmo ponto inicial, de modo a formar um ângulo diferente de zero e também diferente de π radianos. O módulo do produto vetorial entre v e w pode ser interpretado como a área do paralelogramo que tem v e w como lados contíguos. A(paralelogramo) = v w 2. Área do triângulo: A metade do módulo do produto vetorial entre v e w pode ser interpretada como sendo a área do triângulo que tem dois lados como os vetores v e w, com origens no mesmo ponto, isto é: A(triângulo) = 1 v w 2 3.7 Produto misto e suas principais propriedades Definição 37. (Produto misto) Conhecidos os vetores u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) e w = (w 1, w 2, w 3 ), definimos o produto misto entre u, v e w, denotado por [u, v, w], como o número real obtido pelo determinante: [u, v, w] = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 Exercício 9. Mostrar que [u, v, w] = u (v w) = u (v w) Exemplo 11. (Aplicações do Produto Misto) 1. Volume do paralelepípedo: O módulo do produto misto entre u, v e w representa o volume do paralelepípedo que tem as três arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a mesma origem. Isto é, V (paralelepípedo) = [u, v, w] 2. Volume do tetraedro: Um sexto do módulo do produto misto entre u, v e w representa o volume do tetraedro (pirâmide com base triangular) que tem as três arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a mesma origem. V (tetraedro) = 1 [u, v, w] 6 Proposição 11. Seja B = {u, v, w} um conjunto de vetores em R 3. Assim: 1. [u, v, w] = 0 se, e somente se, B é Linearmente Dependente (LD). 2. [u, v, w] 0 se, e somente se, B é Linearmente Independente (LI). Definição 38. (Base orientada) Uma base B = {u, v, w} em R 3 está orientada positivamente se [u, v, w] > 0 e está orientada negativamente se [u, v, w] < 0. Exemplo 12. A base ordenada B = {i, j, k} de R 3 está orientada positivamente, pois [i, j, k] = 1 > 0, mas a base B 1 = {j, i, k} de R 3 está orientada negativamente, pois [j, i, k] = 1 < 0.

Seção 4 Funções vetoriais de uma variável real 12 4 Funções vetoriais de uma variável real 4.1 Funções vetoriais com um parâmetro real Funções vetoriais com um parâmetro real são usadas para definir curvas no plano ou no espaço. Definição 39. (Função vetorial de um parâmetro real) Uma função vetorial com um parâmetro real t é uma função f : I R 3 que associa a cada parâmetro real t I um vetor f(t) = (x(t), y(t), z(t)) R 3. Aqui, Dom(f) = I e f(i) = Im(f) R 3. Se B = {i, j, k} é a base canônica de R 3, então: Exemplo 13. (Funções vetoriais) f(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t) i + y(t) j + z(t) k 1. (Circunferência no plano) f : R R 2 definida por f(t) = (cos(t), sin(t)). 2. (Circunferência no espaço) f : R R 3 definida por f(t) = (cos(t), sin(t), 7). 3. (Parábola no plano) f : R R 2 definida por f(t) = (t, t 2 ). 4. (Parábola no espaço) f : R R 3 definida por f(t) = (t, t 2, 7). 5. (Reta no plano) f : R R 2 definida por f(t) = (at + a 0, bt + b 0 ). 6. (Reta no espaço) f : R R 3 definida por f(t) = (at + a 0, bt + b 0, ct + c 0 ). Definição 40. (Equação de uma reta no espaço Rn) A equação de uma reta que passa pelo ponto P 0 R n e é paralela ao vetor u R n é definida para t R, por P (t) = P 0 + t u A definição abaixo não é apropriada para um parâmetro real, mas ela foi inserida aqui para observarmos a semelhança entre a equação de uma reta e equação de um plano no espaço R 3. Definição 41. (Equação de um plano no espaço R3) A equação de um plano que passa pelo ponto P 0 R 3 e é paralela aos vetores u e v de R 3 é definida para (s, t) R 2, por P (t, s) = P 0 + t u + s v 4.2 Funções limitadas Definição 42. (Função limitada) Diz-se que f : R R 3 é limitada sobre um intervalo real I se existe um número real M > 0 tal que f(t) M para todo t I. Exemplo 14. (Funções limitadas) 1. f : R R 2 definida por f(t) = (cos(t), sin(t)) é limitada. 2. f : R R 2 definida por f(t) = (t, t 2 ) não é limitada. 3. f : R R 2 definida por f(t) = (a, bt + c) não é limitada.

4.3 Limites de funções e as suas principais propriedades 13 4.3 Limites de funções e as suas principais propriedades Definição 43. (Limite de uma função) Diz-se que f : R R 3 tem limite L em p se, dado ε > 0 arbitrário, existe δ > 0 tal que se 0 < t p < δ implica que f(t) L < ε. Neste caso, denotamos o limite por L = lim t p f(t) Exemplo 15. (Limites de funções) 1. Se f : R R 2 é definida por f(t) = (t, 2t), então lim f(t) = (2, 4). x 2 2. A aplicação f : R R 2 definida por { (t, +1) se t 0 f(t) = (t, 1) se t < 0 não possui limite em t = 0. Teorema 5. Seja f : R R 3. lim t p (f(t) L) = 0 se, e somente se, lim t p f(t) L = 0. Teorema 6. Seja f : R R 3. Se lim t p f(t) = L, então existe uma bola aberta B r (p) na qual f = f(t) é limitada. Proposição 12. (Propriedades dos limites) Seja f(t) = (f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t)). Assim 1. lim f(t) = L = (L 1, L 2, L 3 ) se, e somente se, lim f i (t) = L i para todo i = 1, 2, 3. t p t p 2. Se lim f(t) = L, então lim f(t) = L t p t p 3. Mostrar que a recíproca para o ítem anterior não é verdadeira. 4. lim[f(t) g(t)] = lim f(t) lim g(t) onde pode ser uma das operações: adição, t p t p t p subtração, produto escalar ou produto vetorial. 5. lim(g f)(t) = g[lim f(t)] se cada função possui limite no ponto apropriado. t p t p 4.4 Continuidade e as suas principais propriedades Definição 44. (Função contínua em um ponto) Diz-se que f : R R 3 é contínua em p se, dado ε > 0 arbitrário, existe δ > 0 tal que se t p < δ implica que f(t) f(p) < ε. Neste caso, podemos usar o limite para indicar que lim f(t) = f(p) t p Exercício 10. Se u, v e w são vetores constantes em R 3, mostrar que a aplicação f : R R 3 definida por f(t) = u + tv + t 2 w é contínua.

4.5 Derivadas de funções e suas principais propriedades 14 4.5 Derivadas de funções e suas principais propriedades Definição 45. (Derivada de uma função) A derivada de uma função f : R R 3 no ponto p é o vetor que depende de p, denotado por L p ou por quando este limite existe. f (p) = lim h 0 f(p + h) f(p) h Exemplo 16. A aplicação f : R R 3 definida por f(t) = u + tv + t 2 w possui derivada f (t) = lim h 0 f(t + h) f(t) h [u + (t + h)v + (t + h) 2 w] [u + tv + t 2 w] = lim h 0 h hv + 2thw + h 2 w = lim h 0 h = lim(v + 2tw + hw) = v + 2tw h 0 Definição 46. (Aplicação diferenciável) Uma aplicação f : R R 3 é diferenciável em p, se existe um vetor L p tal que f(p + h) = f(p) + h L p + R(p, h) desde que R(p, h) lim h 0 h = 0 Exemplo 17. A aplicação f : R R 3 definida por f(t) = u + tv + t 2 w é diferenciável pois tomando L p = v + 2tw, segue que R(p, h) = f(p + h) f(p) h L p = (u + (t + h)v + (t + h) 2 w) (u + tv + t 2 w) h(v + 2tw) = h 2 w e R(p, h) lim h 0 h h 2 w = lim h 0 h h 2 w = lim h 0 h = lim h w = θ = (0, 0, 0) h 0 Teorema 7. (Diferenciabilidade com as componentes) Seja f : R R 3 uma aplicação tal que f = (f 1, f 2, f 3 ). f é diferenciável em p se, e somente se, todas as componentes f i, (i = 1, 2, 3) são diferenciáveis em p. Teorema 8. (Diferenciabilidade implica continuidade) Se a aplicação f : R R 3 é diferenciável no ponto p, então f : R R 3 é contínua no ponto p. Teorema 9. (Difeomorfismo) Uma aplicação f : S T é um difeomorfismo entre os conjuntos S e T, se f é uma aplicação diferenciável cuja inversa f 1 : T S também é uma aplicação diferenciável. Quando existe um difeomorfismo f : S T, diz-se que S e T são difeomorfos.

4.6 Classes de diferenciabilidade 15 Proposição 13. (Fórmulas para derivadas) 1. Se é a adição ou a subtração, então d dt (u v) = d dt (u) d dt (v) 2. Se é o produto escalar ou o produto vetorial, então 3. Se u = f(t), então d dt (u v) = u d dt (v) + d dt (u) v d dg (g f)(t) = dt du Teorema 10. Se u(t) é uma constante, então o vetor u é ortogonal a du dt. Exemplo 18. (Vetores na circunferência) Se u(t) = (cos(t), sin(t)), então u(t) = 1 e pelo teorema 10, para cada t R, os vetores u(t) (vetor posição) e u (t) (vetor tangente) são perpendiculares. Neste caso, u (t) = 1, logo u (t) é ortogonal a u (t). du dt 4.6 Classes de diferenciabilidade Definição 47. (Classes de diferenciabilidade) Seja f : K R R 3. 1. Se f é contínua sobre K, escrevemos que f C 0 (K). 2. Se f é diferenciável sobre K, então f é uma função contínua sobre K, isto e, f C 0 (K) 3. Se existe a derivada da derivada de uma função f, usamos a notação f para indicar a segunda derivada de f. 4. Se f possui a primeira derivada sobre K e esta primeira derivada é contínua sobre K, diz-se que f é de classe C 1 sobre K, denotado por f C 1 (K). 5. Se f possui a primeira derivada sobre K, a segunda derivada sobre K e todas elas são contínuas sobre D, diz-se que f é de classe C 2 sobre K, denotado por f C 2 (K). 6. Em geral, pode-se escrever: C n (K) = {f : K R : f (k) C 0 (K) (k = 0, 1, 2,..., n)} 7. Quando podemos realizar todas as derivadas possíveis de uma função f sobre K, diz-se que f é infinitamente diferenciável sobre K e denotamos isto por f C (K). Exemplo 19. (Classes de diferenciabilidade) 1. A função f : R R definida por f(x) = x é contínua sobre R mas não é diferenciável em x = 0, isto é, f C 0 (K) mas f / C 1 (K). 2. A função f : R R definida por f(x) = x 2 é contínua sobre R é infinitamente diferenciável sobre R, isto é, f C (R). 3. A função f : R R definida por f(x) = x 3 é diferenciável até a segunda ordem sobre R mas a terceira derivada não existe em x = 0, logo f / C 3 (R).

4.7 Fórmula de Taylor com resto 16 4.7 Fórmula de Taylor com resto Teorema 11 (Taylor). Seja f : [a, b] R R 3. Se f C n ([a, b]) e f C n+1 ((a, b)), então existe p (a, b) tal que f(b) = f(a) + (b a)f (b a)2 (a) + f (2) (a) + 2! (b a)n + f (n) (b a)n+1 (a) + f (n+1) (p) n! (n + 1)! Tomando b = t e a = 0, obtemos a fórmula de Taylor com resto: onde 0 < p < x e (b a)3 f (3) (a) + 3! f(t) = f(0) + tf (0) + t2 2! f (2) (0) +... + tn n! f (n) (0) + R n (t) R n (x) = xn+1 (n + 1)! f (n+1) (p) A fórmula de Taylor também pode ser escrita na forma: f(t) = n k=0 f (k) (0) tk k! + R n(t) Para muitas funções, é possível escrever um somatório infinito (uma soma infinita), pois quando n o resto R n (t) 0 e dessa forma temos a série de MacLaurin (caso particular da série de Taylor) da função desenvolvida em torno do ponto t = 0 f(t) = k=0 f (k) (0) tk k! Se o desenvolvimento ocorre em torno do ponto t = a, escrevemos: f(t) = f (k) (a) k=0 (t a)k k! Exemplo 20. (Algumas funções importantes desenvolvidas em série de MacLaurin) 1 1. 1 x = x k, ( x < 1). k=0 x k 2. exp(x) = k!. k=0 3. cos(x) = ( 1) k+1 x2k (2k)!. 4. sin(x) = k=0 k=0 ( 1) k+1 x 2k+1 (2k + 1)!.

4.8 Funções anaĺıticas reais 17 4.8 Funções anaĺıticas reais Definição 48 (Função anaĺıtica real). Diz-se que uma função f é anaĺıtica real se pode ser escrita através do desenvolvimento de uma série de potências sobre uma região D. Observação 7 (Caso importante). Se uma função f possui desenvolvimento de Taylor sobre uma região D, f é anaĺıtica sobre D o que é garantido, em grande parte pelo fato de f ser infinitamente diferenciável, mas nem todas as funções infinitamente diferenciáveis são anaĺıticas. Exemplo 21 (Função infinitamente diferenciável que não é anaĺıtica). A função f : R R definida por: { e 1/x 2 se x 0 f(x) = 0 se x = 0 é infinitamente diferenciável mas não é anaĺıtica. O gráfico de f se assemelha a 4.9 Símbolos de Landau f(t) o (o pequeno) Diz-se que f(t) = o(g(t)) nas proximidades de t = p se lim t p g(t) = 0. O (O grande) Diz-se que f(t) = O(g(t)) nas proximidades de t = p se f(t) g(t) é limitada nas vizinhanças de t = p. Exemplo 22. (Uso dos símbolos de Landau) cos(t) 1 1. cos(t) 1 = o(t) próximo de t = 0 pois lim t 0 t sin(t) 2. sin(t) = O(t) próximo de t = 0 pois lim = 1. t 0 t = 0.

Seção 5 Curvas no plano e no espaço 18 5 Curvas no plano e no espaço 5.1 Curvas parametrizadas Definição 49. (Curva parametrizada) Uma curva parametrizada diferenciável é uma aplicação diferenciável f : I R R 3 que associa a cada t I em vetor f(t) = (x(t), y(t), z(t)). Neste caso, t é o parâmetro e f(i) é a imagem de f. Exemplo 23. (Curvas parametrizadas) 1. A circunferência centrada na origem de R 2 com raio a é uma curva parametrizada diferenciável definida por f(t) = (a cos(t), a sin(t)) onde t R. 2. A reta definida por f(t) = (1 + 2t, 2 + 3t), (t R) é parametrizada diferenciável. 3. A curva definida por f(t) = (t(t 2 4), t 2 4), (t R) é parametrizada diferenciável. 4. A curva definida por f(t) = (t, t ), (t R) é parametrizada diferenciável? Definição 50. (Curva regular) Uma curva parametrizada diferenciável f : I R R 3 é regular se para todo t I tem-se que f (t) 0. Quando f (t) 0 para cada t I, a curva possui apenas uma reta tangente à curva no ponto f(t). Definição 51. (Ponto singular) Diz-se que t 0 I é um ponto singular para a curva f = f(t) se f (t 0 ) = θ = (0, 0, 0).

5.1 Curvas parametrizadas 19 Definição 52. (Comprimento do arco entre dois pontos de uma curva) O comprimento do arco de uma curva regular f : I R R 3 entre dois pontos f(a) e f(b) é dado por onde u I. l = b a f (u) du Definição 53. (Comprimento de arco de uma curva) O comprimento do arco de uma curva regular f : I R R 3 a partir de t 0 I até um parâmetro genérico t I é dado por onde u I. s(t) = t t 0 f (u) du Observação 8. Se f = f(t) é uma curva regular, então f (u) 0, para todo u I e segue que s = s(t) é diferenciável e pelo Teorema do Valor Médio ds dt = f (t) Definição 54. (Curva parametrizada pelo comprimento de arco) Uma curva f : I R 3 regular está parametrizada pelo comprimento de arco se para todo t I R, tem-se que f (t) = 1. Neste caso, ds = dt, de onde segue que s = t + C. Exercício 11. (Curvas parametrizadas) 1. Mostrar que a curva f(t) = (2 + 3t, 6 + 4 t, 0) para t R está parametrizada pelo 5 5 parâmetro comprimento de arco. 2. Mostrar que a curva f(t) = (cos( t), sin( t), 5)), (t R) está parametrizada pelo comprimento de arco e calcular o comprimento do arco desta curva entre os pontos t = 0 e t = π. 3. Dada a curva f(t) = (a cos(t), a sin(t), 0)), (t R), obter uma função t = t(s) tal que f = f(t(s)) esteja parametrizada pelo parâmetro comprimento de arco. Teorema 12. Se f = f(s) é uma parametrização pelo comprimento de arco s de uma curva C, então: 1. O comprimento de arco entre os pontos f(s 1 ) e f(s 2 ), denotado por l(f(s 1 ), f(s 2 )) coincide com s 2 s 1. Demonstração. Vamos considerar dois casos: (a) Se s 1 s 2, então (b) Se s 2 s 1, então l(f(s 1 ), f(s 2 )) = l(f(s 1 ), f(s 2 )) = s2 s 1 f (u) du = s1 s 2 f (u) du = s2 s 1 du = +(s 2 s 1 ) s1 s 2 du = (s 2 s 1 )

5.1 Curvas parametrizadas 20 Reunindo os dois casos, tem-se que l(f(s 1 ), f(s 2 )) = s 2 s 1. 2. Se f = f(σ) é outra parametrização pelo comprimento de arco, então s = ±σ + C onde C é uma constante. Demonstração. Se f = f(σ) então df dσ = df ds ds dσ assim f (σ) = f (s) ds dσ Como f (σ) = f (s) = 1, segue que ds = 1 ou seja dσ ds dσ = ±1 Resolvendo esta equação diferencial, obtemos s = ±σ+c onde C é uma constante. 3. Se g = g(t) é outra parametrização de C (a) tendo a mesma orientação, então ds dt = f (t). (b) com a orientação oposta, então ds dt = f (t). 4. Se s = t t 0 f (t) dt então f (s) = 1. Exercício 12. Considerando funções reais de uma variável, enunciar e demonstrar o Teorema do Valor Médio e o Teorema da função inversa. Teorema 13. Se t : I u I t é uma mudança de parâmetro sobre I u, então 1. t = t(u) é injetora de I u sobre I t. 2. A função inversa u = u(t) também é uma mudança de parâmetros definida sobre I t. Demonstração. Se t = t(u) é uma mudança de parâmetros, então dt du > 0 para todo u I u ou dt du < 0 para todo u I u. Se dt du > 0 para todo u I u então, pelo teorema do valor médio, segue que t = t(u) é estritamente crescente, garantindo que t = t(u) é injetiva. Pelo teorema da função inversa, existe u = u(t), e, como t = t(u) é contínua e crescente, segue que u = u(t) é contínua e decrescente. Como du dt = 1 dt du 0, temos que u = u(t) é uma mudança de parâmetros. Lema 1. Se f = f(t) é contínua em t 0 e f(t 0 ) 0, então existe uma bola aberta B r (t 0 ) na qual f(t) 0 para todo t B r (t 0 ).

5.2 Projeções ortogonais 21 Teorema 14. Se f = f(t) é uma curva regular sobre um intervalo I, então para cada t 0 I, existe uma bola aberta B r (t 0 ) na qual f = f(t) é uma função injetora. Demonstração. Se f(t) = (x(t), y(t), z(t)) é uma curva regular, então pelo menos uma das componentes de f = f(t) é não nula. Vamos supor que x (t) 0. Desse modo x (t) é contínua em t = t o, assim existe uma bola aberta B r (t 0 ) tal que x (t) 0 para todo t B r (t 0 ), assim, dados t 1 t 2, t 1, t 2 B r (t 0 ) implicando que x(t 1 ) x(t 2 ), garantindo que x = x(t) é injetiva em B r (t 0 ). Mesmo que as duas outras componentes coincidam, podemos garantir que f = f(t) é injetiva sobre B r (t 0 ). Definição 55. (Mudança de parâmetro) Uma função real t = t(u) é uma mudança de parâmetros sobre um intervalo I contendo u se: 1. t = t(u) C 1 (I). dt 2. du garantindo que dt du 0 para todo u I, > 0 para todo u I ou dt du u2 < 0 para todo u I. Exercício 13. Mostrar que a função t = é uma mudança de parâmetros definida 1 + u2 sobre o intervalo I = (0, ) cuja imagem é o intervalo (0, 1). Definição 56. (Curva com auto-interseção) Uma curva regular f = f(t) possui autointerseção, se existem parâmetros distintos t 1 e t 2 tal que f(t 1 ) = f(t 2 ). Auto-interseção é um ponto onde a curva volta a passar de novo sobre si mesma. Definição 57. (Curva simples) Uma curva regular f = f(t) é simples se não possui autointerseções, isto é, se para quaisquer parâmetros distintos t 1 e t 2 segue que f(t 1 ) f(t 2 ). 5.2 Projeções ortogonais Definição 58. (Projeção ortogonal de uma curva) Seja f(t) = (x(t), y(t), z(t)) uma curva definida sobre o intervalo I contendo t. 1. Se existe t 0 I, para o qual a terceira coordenada z(t 0 ) = C é constante, a equação f(t) = (x(t), y(t), C) representa uma curva que passa pelo ponto f(t 0 ) e é ortogonal ao plano z = 0. 2. A família de todas as curvas da forma f(t) = (x(t), y(t), C) gera uma superfície ciĺındrica S ortogonal ao plano z = 0 e S contendo a curva dada. 3. A projeção ortogonal da curva dada sobre o plano z =0 é a curva f(t)=(x(t), y(t), 0). Exemplo 24. (Projeção ortogonal) Seja a curva helicoidal f(t) = (a cos(t), a sin(t), bt) e t 0 = 1/b. Assim, f(1/b) = (a cos(1/b), a sin(1/b), 1) e a projeção ortogonal de f = f(t) sobre o plano z = 0 é dada por f(t) = (a cos(t), a sin(t), 0)

5.3 Representação impĺıcita de curvas 22 5.3 Representação impĺıcita de curvas Definição 59. Seja t I e x = x(t), y = y(t) e z = z(t) representações paramétricas reais de uma curva C R 3. A curva C está definida implicitamente por f(x, y, z) = 0 e g(x, y, z) = 0, se para todo t I: f(x(t), y(t), z(t)) = 0 e g(x(t), y(t), z(t)) = 0 Exemplo 25. (Curvas determinadas implicitamente) 1. Se t R, as funções reais x = t, y = t 2 e z = t 3 determinam uma representação impĺıcita de uma curva no espaço R 3 através das relações y x 2 = 0, z = x 3 2. As equações x 2 + y 2 + z 2 = R 2 e x 2 + y 2 = r 2 definem implicitamente uma curva no espaço R 3 definida pela parametrização f(t) = (r cos(t), r sin(t), R 2 r 2 ) 3. As equações y = x e z = x 2 + y 2 definem implicitamente uma curva em R 3. 4. Obter cada curva definida implicitamente por: (a) z = x 2 y 2 e z = 0. (b) z = x 2 y 2 e z = 1. (c) z = x 2 y 2 e z = 1. (d) z = x 2 + y 2 e z = 9. (e) x 2 + y 2 z 2 = 1 e x = 0. (f) x 2 + y 2 z 2 = 1 e y = 0. (g) x 2 + y 2 z 2 = 1 e z = 0. 5.4 Vetor tangente unitário Definição 60 (Vetor tangente (parâmetro genérico))). Seja C uma curva regular parametrizada por f(t) = f C 1 (I). O vetor f (t) é um vetor tangente à curva f = f(t) no ponto t I e o vetor tangente unitário neste ponto é definido por T (t) = f (t) f (t) Observação 9 (Vetor tangente (parâmetro comprimento de arco)). Seja C uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco f(s) = f C 1 (I). O vetor tangente unitário pode ser obtido por T = f (s), pois a regra da cadeia nos garante que T (t) = f (t) f (t) = df dt ds dt = df dt dt ds = df ds = f (s) Exercício 14. Seja a curva f : R R 3 parametrizada por f(t) = (cos(2t), sin(2t), 0). 1. Determinar um vetor tangente à curva C no ponto t = 0. 2. Determinar o vetor tangente unitário à curva C no ponto t = 0. 3. Determinar a equação da reta tangente à curva C no ponto t = 0. 4. Construir um gráfico com a curva e os objetos obtidos nos ítens anteriores.

5.5 Curvatura 23 5.5 Curvatura Definição 61 (Curvatura - parâmetro comprimento de arco). Se C é uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco f(s) = f C 2 (I), então T (s) = f (s) e a curvatura de C em um ponto s I é definida por κ(s) = dt ds = f (s) Definição 62 (Curvatura - parâmetro genérico). Seja C uma curva regular parametrizada por f(t) = f C 2 (I). A curvatura de C em um ponto t I é definida por dt κ(t) = dt ds = dt dt dt ds = dt = T (t) ds f (t) dt Exercício 15. (Curvatura) 1. Qual é a interpretação geométrica do número κ = κ(s) com relação a uma curva C? 2. Se f = f(t) é uma parametrização para uma curva C, mostrar que a curvatura pode ser obtida por κ(t) = f (t) f (t) f (t) 3 Definição 63. (Raio de curvatura) Se f = f(s) C 2 (I) é uma curva regular parametrizada pelo parâmetro comprimento de arco, o raio de curvatura desta curva é definido por Exercício 16. (Curvatura) ρ = ρ(s) = 1 κ(s) 1. Mostrar que as curvas com curvatura κ = 0 são retas. 2. Dada a curva f(t) = (a cos(bt), a sin(bt), act) onde t R, a, b e c são positivos tal que a 2 = b 2 + c 2, obtenha T, κ e ρ. 3. Qual é a interpretação geométrica do número κ = κ(s) com relação a uma curva C? 5.6 Vetor normal unitário Definição 64. (Vetor normal - parâmetro genérico) Seja uma curva regular f = f(t) C 2 (I) e dt θ, o vetor normal unitário é definido por dt N(t) = dt dt dt dt = T (t) T (t)

5.7 Vetor binormal unitário 24 Observação 10. Nem sempre a curva f = f(t) para a qual desejamos calcular o vetor normal unitário está parametrizada pelo comprimento de arco, mas quando isto ocorre, o cálculo é mais simples. Definição 65. (Vetor normal - parâmetro comprimento de arco) Seja uma curva regular f = f(s) C 2 (I) parametrizada pelo comprimento de arco. Se f (s) θ, o vetor normal unitário é definido por N = f (s) f (s) Exercício 17. Seja a hélice f : R R 3 parametrizada por f(t) = (3 cos(t), 3 sin(t), 4t). 1. Determinar um vetor normal à curva C no ponto t = 0. 2. Determinar a equação da reta normal à curva C no ponto t = 0. 3. Construir um gráfico com os objetos obtidos nos ítens anteriores. Definição 66. (Orientação de uma curva plana) Seja C uma curva regular plana parametrizada por f : I R 2 tal que f C 2 (I) e s o parâmetro comprimento de arco. Indicaremos o vetor tangente unitário por T = (t 1, t 2 ), o vetor normal unitário por N = (n 1, n 2 ) e ( ) t1 t D = det 2 n 1 n 2 A curva C possui 1. orientação positiva se D > 0 (Curvatura positiva), 2. orientação negativa se D < 0 (Curvatura negativa) e 3. orientação nula se D = 0 (Curvatura nula) 5.7 Vetor binormal unitário Definição 67. (Vetor binormal) Seja uma curva regular f = f(s) C 2 (I) parametrizada pelo comprimento de arco. O vetor binormal unitário B = B(s) é definido por B = T N Exercício 18. Seja C uma curva regular parametrizada por f = f(t) C 2 (I), onde t é um parâmetro genérico. Demonstrar que o vetor binormal unitário pode ser definido por B(t) = f (t) f (t) f (t) f (t)

5.8 Torção 25 5.8 Torção Definição 68. (Torção de uma curva) Seja C uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco f = f(s) C 2 (I). A torção de C é o número obtido pelo produto escalar τ = B (s) N(s) Exercício 19. Qual é a interpretação geométrica do número τ = τ(s) com relação a uma curva C? Exercício 20. Seja a curva f : R R 3 parametrizada por f(t) = (3 cos(t), 3 sin(t), 4t). 1. Determinar o vetor binormal unitário à curva C no ponto t = 0. 2. Determinar a equação da reta binormal à curva C no ponto t = 0. 3. Determinar a torção da curva C no ponto t = 0. 4. Construir um gráfico com os objetos obtidos nos ítens anteriores. 5.9 A teoria das curvas e o triedro de Frenet-Serret Definição 69. (O triedro de Frenet-Serret) Os planos que formam o triedro de Frenet-Serret são gerados pelos vetores T, N e B. Tais planos são: 1. Plano osculador, que contém a curva f = f(s) e os vetores T e N. 2. Plano normal que contém os vetores N e B. 3. Plano retificante que contém os vetores T e B. Exercício 21. (Triedro de Frenet-Serret) 1. Determinar o plano osculador à hélice f(t) = (cos(t), sin(t), t) no ponto t = 0. 2. Dada a curva f(t) = (5 cos(t), 5 sin(t), 12t) (t R), obter: T, N, B, k, ρ e τ. Dica: Reparametrizar a curva pelo parâmetro comprimento de arco. Após obter os seis objetos, verificar valem as equações de Frenet: T = kn, N = kt τb e B = τn. Teorema 15. Se f = f(s) é uma curva regular parametrizada pelo parâmetro comprimento de arco s, então valem as três equações no sistema diferencial linear: T T N = M N B B onde M é a matriz anti-simétrica dada por 0 k 0 M = k 0 τ 0 τ 0

5.9 A teoria das curvas e o triedro de Frenet-Serret 26 Demonstração. Seja uma curva regular f = f(s) parametrizada pelo parâmetro comprimento de arco. Assim, f (s) = 1 e a derivada de f = f(s) com relação ao parâmetro s: T (s) = f (s) é um vetor unitário tangente à curva f = f(s) dada. Como T (s) = 1, segue que T (s) é um vetor ortogonal a T = T (s), o que significa que T (s) T (s) = 0 Assim, podemos definir um vetor normal unitário à curva f = f(s) por O vetor binormal B = B(s) é definido por N(s) = T (s) T (s) = f (s) f (s) B(s) = T (s) N(s) Definindo a curvatura k = k(s) da curva como o módulo da taxa de variação do vetor tangente unitário T = T (s) com relação ao parâmetro s: podemos escrever k = f (s) T (s) = k N(s) Como B(s) = 1, então B (s) é um vetor ortogonal a B = B(s), isto é, B (s) B(s) = 0. Derivando em relação ao parâmetro s o vetor B(s) = T (s) N(s), obtemos: B (s) = T (s) N(s) + T (s) N (s) Tomando o produto escalar entre B (s) e T (s), obtemos B (s) T (s) = [T (s) N(s) + T (s) N (s)] T (s) = k N(s) N(s) T (s) + T (s) N (s) T (s) = k[n(s), N(s), T (s)] + [T (s), N (s), T (s)] = 0. Assim, B (s) é ortogonal a B = B(s) e também ortogonal a T = T (s), de onde segue que B (s) é paralelo ao vetor normal N = N(s), isto é, B (s) = τ N(s) onde τ = τ(s) é um número que representa a torção da curva f = f(s). Derivando o vetor N(s) = B(s) T (s) com relação ao parâmetro s, obtemos N (s) = B (s) T (s) + B(s) T (s)

5.9 A teoria das curvas e o triedro de Frenet-Serret 27 Como B (s) = τ N(s) e T (s) = k N(s), segue que N (s) = τ N(s) T (s) + B(s) k N(s) = k T (s) τ B(s) Reunindo as três equações obtidas, temos as equações de Frenet-Serret: T = kn N = kt τb B = τn Observação 11. As curvas regulares são determinadas de forma única pela curvatura e torção quando estes objetos estão considerados em função do parâmetro comprimento de arco s. Exercício 22. Mostrar que é possível reescrever as equações de Frenet-Serret em função do vetor de Darboux D = τt + kb, como: T = D T N = D N B = D B Observação 12 (Vetor de Darboux, curvatura e torção). O vetor de Darboux permite um modo simples para interpretar geometricamente a curvatura κ e a torção τ de uma curva: 1. A curvatura é a medida da rotação do triedro de Frenet em torno da reta contendo o vetor B binormal unitário. 2. A torção é a medida da rotação do triedro de Frenet em torno da reta contendo o vetor T tangente unitário. Em http://en.wikipedia.org/wiki/darboux_vector podemos obter mais informações sobre o vetor de Darboux.

5.10 Complementos sobre a teoria de curvas 28 Definição 70. (Equações intrínsecas de uma curva) As equações k = k(s) e τ = τ(s) que representam a curvatura e a torção de uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco f = f(s) são as equações intrínsecas da curva f = f(s). Exercício 23. (Equações intrínsecas) 1. Obter as equações intrínsecas de curva: (a) f(t) = (t, a cosh( t ), 0), a (b) g(t) = (3 cos(t), 3 sin(t), 4t). 2. Obter as curvas f = f(s) cujas equações intrínsecas são dadas por (a) k = 1, τ = 0, (b) k = 1, τ = 1, (c) k = 0, τ = 1 2as 3. Mostrar que toda curva plana, tem torção nula e obter a curva parametrizada plana cuja curvatura é igual a 1. 4. Mostrar que as retas tangentes à curva parametrizada f(t) = (3t, 2t 2, 2t 3 ) formam um ângulo constante com a reta definida por x = z e y = 0. 5. Evoluta de uma curva regular f = f(s) parametrizada pelo parâmetro comprimento de arco s, é o lugar geométrico dos centros de curvatura de f = f(s), definida pela curva g(s) = f(s) + ρn(s). Mostrar que a evoluta da curva f(s) = (cos(s), sin(s), 2) é dada por g(s) = (0, 0, 2). 6. Determinar uma situação prática onde se usa a evoluta de uma curva. 7. Definir a forma parametrizada g = g(s) da ciclóide de uma curva parametrizada pelo comprimento de arco f = f(s) e obter a evoluta h = h(s) da ciclóide g = g(s). 8. Mostrar que a evoluta da curva f(t) = (cos(t), sin(t), 0) é dada por g(s) = (0, 0, 0). 9. Obter a evoluta da curva f(t) = (t, t 2, 0). 5.10 Complementos sobre a teoria de curvas Dada uma curva plana f = f(s), tomamos α = α(s) como o ângulo formado entre os vetores tangentes T = T (s) e o vetor i = (1, 0, 0). Desse modo, escrevemos T = (cos(α), sin(α)), N = ( sin(α), cos(α)) e derivando T e N em relação ao parâmetro s, obtemos dt ds dn ds = (cos(α), sin(α)) dα ds = dα ds N = ( sin(α), cos(α)) dα ds = dα ds T Tomando τ = 0 nas fórmulas de Frenet-Serret, obtemos T = k N e N = T assim k(s) = dα ds

5.10 Complementos sobre a teoria de curvas 29 Integrando com relação ao parâmetro s, obtemos α(s) = k(s) ds + C Como f(s) = T (s) ds + K então f(s) = (cos(α(s)), sin(α(s))) ds + K Se para todo s temos que k(s) 0, então podemos escrever que ds = ds dα dα = dα k(s(α)) e a curva pode ser reescrita na forma 1 f(s) = (cos α, sin α) ds + K k(s(α)) que é uma forma de escrever a equação da curva f = f(s) em função de α = α(s)). Exemplo 26. Se k(s) = 1 dα, (s > 0), então s ds = 1, de onde segue que α(s) = log(s) + C s o que equivale a s = exp(α C). Desse modo, f(α) = e α C (cos α, sin α) ds + K é a equação da curva plana ( τ = 0) cuja curvatura é dada por k(s) = 1 para todo s > 0. s Exemplo 27. Se τ = 0 e k(s) = 1, (s > 0), então dα 2as ds = 1, de onde segue que 2as s = a 2 α2. Assim, a equação da curva plana com a curvatura dada é: f(α) = (cos α, sin α) dα + K Exemplo 28. Se τ = 1, mostraremos que f(s) = B(s) B (s) ds De fato, como logo T = N B = B N = B B τ f(s) = T (s) ds = = B B 1 B(s) B (s) ds = B B Exemplo 29. (Hélice circular) As equações intrínsecas de uma hélice circular são dadas pela torção τ =Constante e pela curvatura k=constante. Esta hélice está apoiada sobre um cilindro circular reto e além disso: raio = k e passo = 2π τ k 2 + τ 2 k 2 + τ 2